淺析樹形圖的連通性及其求解方法

1、.肅芃芅袂羈節(jié)莇蚅袇芁薀袀袃芀螞螃膂艿莂薆肈羋蒄螁羄芇薆薄袀芇芆螀螆莆莈薂肄蒞蒁螈羀莄蚃薁羆莃莃袆袂莂蒅蠆膁莁薇襖肇莁蝕蚇羃莀荿袃衿肆蒁蚆螅肅薄袁肅肄芃蚄聿肄蒆罿羅肅薈螂袁肂蝕薅膀肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈腿芄薂螄膈莇螇膂膇蕿蝕肈膆蟻裊羄膅莁蚈袀膄蒃襖螆膃薅蚆肅芃芅袂羈節(jié)莇蚅袇芁薀袀袃芀螞螃膂艿莂薆肈羋蒄螁羄芇薆薄袀芇芆螀螆莆莈薂肄蒞蒁螈羀莄蚃薁羆莃莃袆袂莂蒅蠆膁莁薇襖肇莁蝕蚇羃莀荿袃衿肆蒁蚆螅肅薄袁肅肄芃蚄聿肄蒆罿羅肅薈螂袁肂蝕薅膀肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈腿芄薂螄膈莇螇膂膇蕿蝕肈膆蟻裊羄膅莁蚈袀膄蒃襖螆膃薅蚆肅芃芅袂羈節(jié)莇蚅袇芁薀袀袃芀螞螃膂艿莂薆肈羋蒄螁羄芇薆薄袀芇芆螀螆莆莈薂肄蒞蒁螈羀莄蚃

2、薁羆莃莃袆袂莂蒅蠆膁莁薇襖肇莁蝕蚇羃莀荿袃衿肆蒁蚆螅肅薄袁肅肄芃蚄聿肄蒆罿羅肅薈螂袁肂蝕薅膀肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈腿芄薂螄膈莇螇膂膇蕿蝕肈膆蟻裊羄膅莁蚈袀膄蒃襖螆膃薅蚆肅芃芅袂羈節(jié)莇蚅袇芁薀袀袃芀螞螃膂艿莂薆肈羋蒄螁羄芇薆薄袀芇芆螀螆莆莈 淺析樹形圖的連通性及其求解方法董利娟06200101信計061班摘要 本文在有向圖中引入了樹形圖的概念，并證明了樹形圖的連通性，在此基礎(chǔ)上結(jié)合廣探法和深探法思想，給出了求全部樹形圖的廣探算法，而且指出樹形圖不具有Hamilton性。關(guān)鍵詞 有向樹，樹形圖背景 在無向圖中我們往往考慮無向圖中樹的性質(zhì)及最有生成樹算法，那么在有向圖中就要討論有向樹及樹形圖，它們

3、在計算機算法、計算機程序中有著重要的作用。此外，有向樹常用來描述帶有“帶有”體系性質(zhì)的結(jié)構(gòu)，如圖書館的書籍分類等。正文 文獻(xiàn)23提出了求全部樹形圖的深探算法。45研究了最小樹圖的邊Hanmilton性。并給出了求全部最小樹的廣探算法。有關(guān)圖論術(shù)語及符號見文獻(xiàn)1和文獻(xiàn)6。 定義1一個有向圖D，如果略去每條弧的方向時所得到無向圖是一顆樹，就稱D為有向樹。定義2設(shè)G=（V,A）是有向圖，其中V是其頂點集合，A 是其弧集合。T(G)表示根在頂點r的G的全部有向樹（以下簡稱G的全部樹形圖）集合。設(shè),稱是相鄰的，如果G中存在兩弧，使得（亦稱此運算為一一交換）。以T(G)為頂點集合，以相鄰關(guān)系的邊可以構(gòu)成一

4、無向圖，仍記為T(G)，稱T(G)為G的樹形圖。1 兩個定理定理1 有向圖G的樹形圖T(G)是連通的。證：對任意，只要證明在T(G)上存在到的路即可，即通過若干一一交換可由得到。為此，將上所有弧銨根r到其末點的距離分層，距離為i者屬第i層，然后逐層檢查，各層上弧是否相同。若第一層上有不同弧，因上r到有唯一有向路，設(shè)為（r,r）構(gòu)成上的唯一圈，而一一交換后，是樹形圖，且比的相同弧多了一條。假設(shè)，上的第1，2，k-1層上對應(yīng)弧相同，第k層上有一條不同弧，因上r到有唯一有向路（r,，），顯然（r,，）是+上的唯一圈，那么一一交換后，+-是樹形圖，且與的相同弧增加了一條。因有限，故有限次一一交換可以由

5、變到，即T(G)是連通的。證畢。定義3設(shè)u是樹形圖T的任一頂點，以u為根，u及其所有子孫所組成的頂點集記,u到這些子孫的有向路上所有弧組成的弧集記為,稱T的子圖為以u為根的子樹。定義4設(shè)=（，）是G的一顆樹形圖（其中n=）是G的頂點數(shù)），此處各弧編號是從樹梢編起，使在上不存在的終點到（i<j）的始點的有向路。 對的任一弧子集,，（1kn-1）(<)，記（）=TT(G): =,，是包含，且不含中元素的樹形圖全體。 設(shè)=（），-將分為兩個有向子樹，頂點集分別為，且r，定義 那么包含-，且不包含的樹形圖全體 T(i)= + a - :a一般的，我們有定理2 T（） = T + a -:a

6、 ,TT()且不出現(xiàn)重復(fù)枚舉。證：顯然等式左邊右邊，下面證左邊右邊，即對任意 T（）使=T+a-,a。因，設(shè)上與終點相同的弧是a,我們說+-a是樹形圖。否則+-a中存在包含的有向圈，那么上存在包含a的由根r到的始點的唯一有向路，而上存在不包含由根r到的始點的唯一有向路，設(shè)為,所以必有,而=,，,設(shè)=（j<k）,那么的終點到的始點存在有向路，這與中弧的編號矛盾。所以+-a是樹形圖。令T = + - a,則T T(), = T + a -,a。對任意（）（），由定義知T（）T()=,即此處所給遞推公式中不出現(xiàn)重復(fù)枚舉，亦即T(G)= T（）是不交并。證畢。2 算法 有了定理2，我們就可以設(shè)計

7、產(chǎn)生全部樹形圖的算法，此算法結(jié)合了廣探法和深探法思想，用廣探法產(chǎn)生每個集合T（），而由T（）遞歸生成T（）的這種運行思想是基于深探法。 產(chǎn)生全部樹形圖的廣探算法：第0步：k=1, =1, =；第2步：求T()=T+a-:a,T;第3步：若<n-1,則令 = T()， = + 1， k = k + 1,轉(zhuǎn)到第2步；第4步：若=n-1,(1) 若k>2,則令 = T()， = +1， k = k - 1,轉(zhuǎn)到第2步；（2）若k=2,則令 = ， = + 1 k = k- 1,轉(zhuǎn)到第2步；（3）若k=1,則算法停止。定理3 產(chǎn)生全部樹形圖的算法是正確的，其所需時間為0（mk）,其中m=為

8、G的弧數(shù)，k為集合T()的個數(shù)，k = 2n-1 。證：算法由開始，產(chǎn)生所有 T()，結(jié)束于T(n-1),由定理2知算法找到了所有樹形圖T(G)。 對任意樹形圖T的弧a,求割集的時間不超過0（K）。證畢。2 例子與說明例子 考慮如下圖G，r為根。 =，；T(1)= ;T(1,2)= ,;T(1,2,3)= ,T(1,3)= ;所以T(G)= T(1)T(2)T(1,2,3)T(2,3)為G的根在r的樹形圖的全體。說明：1. 無向圖中樹形圖的邊Hamilton性34在有向圖圖上并不成立。如下圖G，容易驗證樹形圖在T(G)中的次數(shù)為1.所以T(G)中不存在Hamilton圈，而G的頂點數(shù)可以任意大

9、。2. 由定理2知，若T（）= ，則T（）。故非空集合T（）的個數(shù)2n-1<(n-1)!(n>3)。從而此算法比已有的算法有效?？偨Y(jié) 樹形圖概念非常重要，原因在于它描述了一個離散結(jié)構(gòu)的層次關(guān)系，而層次結(jié)構(gòu)是一種重要的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，所以樹形結(jié)構(gòu)在相當(dāng)廣泛的領(lǐng)域中有它的應(yīng)用。 首先要明確樹形圖是連通圖。 其次學(xué)會在實例中用廣探算法來求有向圖的全部樹形圖。 另外樹形圖不具有Hamilton性也是一個重要的性質(zhì)。參考文獻(xiàn)1 卜月華.圖論及其應(yīng)用.2000，32 Gabow H W,Myers E W.Finding all spanning trees of a directed and un

10、directrd graph.SLAM J Comput.1978,7:2802873 房大中.生成有向圖全部有向樹的新算法.天津大學(xué)學(xué)報.1990，1：931014 林治勛，張福基.最小樹圖的Hamilton性全部最小樹的生成.數(shù)學(xué)年刊，1985，6（6）：7157185 林治勛. 最小樹問題的全部解，數(shù)學(xué)的實矩與認(rèn)識，1985，2：42476 Bondy,V S R Murty.Graph Theory with applications.The Macmillan press:LTB,19767 AHO A V ,J E Hopcroft,J D man.The Design and A

11、nalysis of Computer Algorithms.Reading,Mass:Addison-Wesley,19768 劉瑞金，侯文華，翁莉娟.有向樹圖的連通性及其算法.北京輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報，1995，6：第13卷第1期 莁袃肄艿薇蝿肅莂荿蚅肂肁薅薁膁膄莈袀膀芆薃螆腿蒈莆螁膈膈蟻蚇螅芀蒄薃螄莃蝕袂螃肂蒃螈螂膄蚈蚄袂芇蒁薀袁荿芄衿袀聿葿裊衿芁節(jié)螁袈莃薇蚇袇肅莀薃袆膅薆袁袆羋荿螇羅莀薄蚃羄肀莇蕿羃膂薂薅羂莄蒅襖羈肄蟻螀羀膆蒃蚆羀艿蠆薂罿莁蒂袀肈肀芅螆肇膃蒀螞肆蒞芃蚈肅肅薈薄肄膇莁袃肄艿薇蝿肅莂荿蚅肂肁薅薁膁膄莈袀膀芆薃螆腿蒈莆螁膈膈蟻蚇螅芀蒄薃螄莃蝕袂螃肂蒃螈螂膄蚈蚄袂芇蒁薀袁荿芄衿袀聿葿裊衿芁節(jié)螁袈莃薇蚇袇肅莀薃袆膅薆袁袆羋荿螇羅莀薄蚃羄肀莇蕿羃膂薂薅羂莄蒅襖羈肄蟻螀羀膆蒃蚆羀艿蠆薂罿莁蒂袀肈肀芅螆肇膃