數(shù)學(xué)建模公選課第六講

1、數(shù)學(xué)建模公選課數(shù)學(xué)建模公選課基礎(chǔ)教研室第六講第六講:回歸分析模型回歸分析模型一、數(shù)學(xué)模型一、數(shù)學(xué)模型 如：如：測(cè)16名成年女子的身高與腿長(zhǎng)所得數(shù)據(jù)如下：以身高x為橫坐標(biāo)，以腿長(zhǎng)y為縱坐標(biāo)將這些數(shù)據(jù)點(diǎn)（xI，yi）在平面直角坐標(biāo)系上標(biāo)出.1401451501551601658486889092949698100102散點(diǎn)圖cyabx 一般地，稱由一般地，稱由 確定的模型為一元確定的模型為一元線性回歸模型。其中，未知參數(shù)線性回歸模型。其中，未知參數(shù)a、b稱為回歸系稱為回歸系數(shù)，自變量稱為回歸變量。數(shù)，自變量稱為回歸變量。 稱為稱為y對(duì)對(duì)x的回歸直線方程。的回歸直線方程。一元線性回歸分析的一元線性回

2、歸分析的主要任務(wù)主要任務(wù)是：是：1.用試驗(yàn)值（樣本值）對(duì)用試驗(yàn)值（樣本值）對(duì)a、b和方差作矩估計(jì)；和方差作矩估計(jì)；2.對(duì)回歸系數(shù)對(duì)回歸系數(shù)a、b作假設(shè)檢驗(yàn)；作假設(shè)檢驗(yàn)；3.對(duì)對(duì)y作預(yù)測(cè)和區(qū)間估計(jì)。作預(yù)測(cè)和區(qū)間估計(jì)。cyabxcyabx二、模型參數(shù)估計(jì)二、模型參數(shù)估計(jì)1、回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)、回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)有有n組獨(dú)立觀測(cè)值：組獨(dú)立觀測(cè)值：1122(,),(,),(,)nnx yxyxy記21( , )()niiQQ a byabx最小二乘法就是選擇最小二乘法就是選擇a、b的估計(jì)值，使得的估計(jì)值，使得Q最小。根據(jù)最小。根據(jù)極值存在第二必要條件，得知此時(shí)極值存在第二必要條件，得知此時(shí)Q對(duì)

3、對(duì)a和和b的二階偏導(dǎo)的二階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零。數(shù)同時(shí)為零。22()aybxnxyxybnxx 得：檢驗(yàn)檢驗(yàn)（1）相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn)；）相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn)； （2）判定系數(shù)；）判定系數(shù)； （3）線性回歸方程的顯著性檢驗(yàn)；）線性回歸方程的顯著性檢驗(yàn)；2、2的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)三、檢驗(yàn)、預(yù)測(cè)與控制三、檢驗(yàn)、預(yù)測(cè)與控制1、回歸方程的顯著性檢驗(yàn)、回歸方程的顯著性檢驗(yàn) （1）相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)（）相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)法）檢驗(yàn)法）2222()()nxyxyrnxxnyy 其中提出假設(shè)：01:0;:0HH（2）判定系數(shù)）判定系數(shù)222222()() () nxyxyrnxxnyy 用來衡量是否存在依存關(guān)系的指標(biāo)

4、，究竟有多大的隨機(jī)影響可能性。（3）線性回歸方程的顯著性檢驗(yàn)）線性回歸方程的顯著性檢驗(yàn)假設(shè)：01:0,0HH選回歸系數(shù)b的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：(2)bbbtt nSbS是回歸系數(shù)b的標(biāo)準(zhǔn)差。222()2( )byaybxynSxn x選顯著性水平，結(jié)合自由度查表得t臨界值2t確定拒絕域2Wtt2、預(yù)測(cè)與控制、預(yù)測(cè)與控制（1）預(yù)測(cè)）預(yù)測(cè)例：一位心理學(xué)家獲得了例：一位心理學(xué)家獲得了10個(gè)工人的智商值和個(gè)工人的智商值和勞動(dòng)生產(chǎn)率的數(shù)據(jù)，其結(jié)果如下表所示。試擬勞動(dòng)生產(chǎn)率的數(shù)據(jù)，其結(jié)果如下表所示。試擬合一條曲線，建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)模型合一條曲線，建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)模型和某一個(gè)人的智商值和某一個(gè)人的智

5、商值120，預(yù)測(cè)其勞動(dòng)生產(chǎn)率。，預(yù)測(cè)其勞動(dòng)生產(chǎn)率。序號(hào)序號(hào)智商智商x生產(chǎn)率生產(chǎn)率yx2y2xy11105.21210027.04572.0021206.01440036.00720.0031306.31690039.69819.0041265.71587632.49718.251224.81488423.04585.661214.21464117.64508.271033.0106099.00309.008982.996048.41284.209802.764007.29216.0010973.2940910.24310.40合計(jì)合計(jì)110744.0124823210.845042.60r=0

6、.867224.9211rntr四、逐步回歸分析四、逐步回歸分析（4）“有進(jìn)有出”的逐步回歸分析。（1）從所有可能的因子（變量）組合的回歸方程中選擇最優(yōu)者；（2）從包含全部變量的回歸方程中逐次剔除不顯著因子；（3）從一個(gè)變量開始，把變量逐個(gè)引入方程；選擇“最優(yōu)”的回歸方程有以下幾種方法： “最優(yōu)最優(yōu)”的回歸方程的回歸方程就是包含所有對(duì)Y有影響的變量, 而不包含對(duì)Y影響不顯著的變量回歸方程。 以第四種方法，即逐步回歸分析法逐步回歸分析法在篩選變量方面較為理想. 這個(gè)過程反復(fù)進(jìn)行，直至既無不顯著的變量從回歸方程中剔除，又無顯著變量可引入回歸方程時(shí)為止。逐步回歸分析法逐步回歸分析法的思想： 從一個(gè)自

7、變量開始，視自變量Y作用的顯著程度，從大到地依次逐個(gè)引入回歸方程。 當(dāng)引入的自變量由于后面變量的引入而變得不顯著時(shí)，要將其剔除掉。 引入一個(gè)自變量或從回歸方程中剔除一個(gè)自變量，為逐步回歸的一步。 對(duì)于每一步都要進(jìn)行Y值檢驗(yàn)，以確保每次引入新的顯著性變量前回歸方程中只包含對(duì)Y作用顯著的變量。返回返回1、多元線性回歸、多元線性回歸2、多項(xiàng)式回歸、多項(xiàng)式回歸3、非線性回歸、非線性回歸4、逐步回歸、逐步回歸返回返回多元線性回歸多元線性回歸 b=regress( Y, X )npnnppxxxxxxxxxX.1.1.1212222111211nYYYY.21pb.101、確定回歸系數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值：確定回歸

8、系數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值：ppxxy.110對(duì)一元線性回歸，取 p=1 即可3、畫出殘差及其置信區(qū)間：畫出殘差及其置信區(qū)間： rcoplot（r，rint）2、求回歸系數(shù)的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)、并檢驗(yàn)回歸模型：求回歸系數(shù)的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)、并檢驗(yàn)回歸模型： b, bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha)回歸系數(shù)的區(qū)間估計(jì)殘差用于檢驗(yàn)回歸模型的統(tǒng)計(jì)量，有三個(gè)數(shù)值：相關(guān)系數(shù)r2、F值、與F對(duì)應(yīng)的概率p置信區(qū)間 顯著性水平（缺省時(shí)為0.05） 相關(guān)系數(shù) r2越接近 1，說明回歸方程越顯著； F F1-（k，n-k-1）時(shí)拒絕 H0，F(xiàn) 越大，說明回歸方程越顯著； 與 F 對(duì)應(yīng)的概率

9、 p時(shí)拒絕 H0，回歸模型成立.1、輸入數(shù)據(jù)：輸入數(shù)據(jù)： x=143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164; X=ones(16,1) x; Y=88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102;解：解：例例1 測(cè)16名成年女子的身高與腿長(zhǎng)所得數(shù)據(jù)如下：身高143145146147149150153154155156157158159160162164腿長(zhǎng)88858891929393959698979698991001022、回歸分析及檢驗(yàn)：回歸分析及檢驗(yàn)： b,

10、bint,r,rint,stats=regress(Y,X) b,bint,stats得結(jié)果：b = bint = -16.0730 -33.7071 1.5612 0.7194 0.6047 0.8340 stats = 0.9282 180.9531 0.0000即7194. 0,073.1610；0的置信區(qū)間為-33.7017，1.5612, 1的置信區(qū)間為0.6047,0.834;r2=0.9282, F=180.9531, p=0.0000p0.05, 可知回歸模型 y=-16.073+0.7194x 成立.To MATLAB(liti11)3、殘差分析，作殘差圖：、殘差分析，作殘差

11、圖： rcoplot(r,rint) 從殘差圖可以看出，除第二個(gè)數(shù)據(jù)外，其余數(shù)據(jù)的殘從殘差圖可以看出，除第二個(gè)數(shù)據(jù)外，其余數(shù)據(jù)的殘差離零點(diǎn)均較近，且殘差的置信區(qū)間均包含零點(diǎn)，這說明差離零點(diǎn)均較近，且殘差的置信區(qū)間均包含零點(diǎn)，這說明回歸模型回歸模型 y=-16.073+0.7194x能較好的符合原始數(shù)據(jù)，而第能較好的符合原始數(shù)據(jù)，而第二個(gè)二個(gè)數(shù)據(jù)可視為異常點(diǎn)數(shù)據(jù)可視為異常點(diǎn). 4、預(yù)測(cè)及作圖：、預(yù)測(cè)及作圖：z=b(1)+b(2)*x plot(x,Y,k+,x,z,r)246810121416-5-4-3-2-101234Residual Case Order PlotResidualsCase

12、 NumberTo MATLAB(liti12)多多 項(xiàng)項(xiàng) 式式 回回 歸歸 （一）一元多項(xiàng)式回歸（一）一元多項(xiàng)式回歸 （1）確定多項(xiàng)式系數(shù)的命令：p，S=polyfit（x，y，m） 其中 x=（x1，x2，xn） ，y=（y1，y2，yn） ；p=（a1，a2，am+1）是多項(xiàng)式 y=a1xm+a2xm-1+amx+am+1的系數(shù)；S 是一個(gè)矩陣，用來估計(jì)預(yù)測(cè)誤差.（2）一元多項(xiàng)式回歸命令：polytool（x，y，m）1、回歸：、回歸：y=a1xm+a2xm-1+amx+am+12、預(yù)測(cè)和預(yù)測(cè)誤差估計(jì)：、預(yù)測(cè)和預(yù)測(cè)誤差估計(jì)：（1）Y=polyval（p，x）求polyfit所得的回歸多項(xiàng)

13、式在x處 的預(yù) 測(cè)值Y； （2）Y，DELTA=polyconf（p，x，S，alpha）求polyfit所得 的回歸多項(xiàng)式在x處的預(yù)測(cè)值Y及預(yù)測(cè)值的顯著性為1- alpha的置信區(qū)間Y DELTA；alpha缺省時(shí)為0.5. 例例 2 觀測(cè)物體降落的距離s 與時(shí)間t 的關(guān)系，得到數(shù)據(jù)如下表，求s關(guān)于 t 的回歸方程2ctbtas.t (s)1/302/303/304/305/306/307/30s (cm)11.8615.6720.6026.6933.7141.9351.13t (s)8/309/3010/3011/3012/3013/3014/30s (cm)61.4972.9085.44

14、99.08113.77129.54146.48法一法一 直接作二次多項(xiàng)式回歸：直接作二次多項(xiàng)式回歸： t=1/30:1/30:14/30; s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48; p,S=polyfit(t,s,2)To MATLAB（liti21）1329. 98896.652946.4892tts得回歸模型為 ：法二法二化為多元線性回歸：化為多元線性回歸：t=1/30:1/30:14/30;s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71

15、 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48;T=ones(14,1) t (t.2);b,bint,r,rint,stats=regress(s,T);b,statsTo MATLAB(liti22)22946.4898896.651329. 9tts得回歸模型為 ：Y=polyconf(p,t,S) plot(t,s,k+,t,Y,r)預(yù)測(cè)及作圖預(yù)測(cè)及作圖To MATLAB(liti23)（二）多元二項(xiàng)式回歸（二）多元二項(xiàng)式回歸命令：rstool（x，y，model, alpha）nm矩陣顯著性水平（缺省時(shí)為0.05）n

16、維列向量 例例3 設(shè)某商品的需求量與消費(fèi)者的平均收入、商品價(jià)格的統(tǒng)計(jì)數(shù) 據(jù)如下，建立回歸模型，預(yù)測(cè)平均收入為1000、價(jià)格為6時(shí) 的商品需求量.需求量10075807050659010011060收入10006001200500300400130011001300300價(jià)格5766875439選擇純二次模型，即 2222211122110 xxxxy法一法一 直接用多元二項(xiàng)式回歸：x1=1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300;x2=5 7 6 6 8 7 5 4 3 9;y=100 75 80 70 50 65 90 100 110 60;x=

17、x1 x2; rstool(x,y,purequadratic) 在畫面左下方的下拉式菜單中選在畫面左下方的下拉式菜單中選”all”, 則則beta、rmse和和residuals都傳送到都傳送到Matlab工作區(qū)中工作區(qū)中.在左邊圖形下方的方框中輸入在左邊圖形下方的方框中輸入1000，右邊圖形下方的方框中輸入，右邊圖形下方的方框中輸入6。 則畫面左邊的則畫面左邊的“Predicted Y”下方的數(shù)據(jù)變?yōu)橄路降臄?shù)據(jù)變?yōu)?8.47981，即預(yù)測(cè)，即預(yù)測(cè)出平均收入為出平均收入為1000、價(jià)格為、價(jià)格為6時(shí)的商品需求量為時(shí)的商品需求量為88.4791.在Matlab工作區(qū)中輸入命令： beta, r

18、mse得結(jié)果：beta = 110.5313 0.1464 -26.5709 -0.0001 1.8475 rmse = 4.5362故回歸模型為：2221218475. 10001. 05709.261464. 05313.110 xxxxy剩余標(biāo)準(zhǔn)差為 4.5362, 說明此回歸模型的顯著性較好.To MATLAB(liti31)X=ones(10,1) x1 x2 (x1.2) (x2.2);b,bint,r,rint,stats=regress(y,X);b,stats結(jié)果為: b = 110.5313 0.1464 -26.5709 -0.0001 1.8475 stats = 0.

19、9702 40.6656 0.0005法二法二To MATLAB(liti32)返回返回 2222211122110 xxxxy將 化為多元線性回歸：非線性回非線性回 歸歸 （1）確定回歸系數(shù)的命令： beta，r，J=nlinfit（x，y，model, beta0）（2）非線性回歸命令：nlintool（x，y，model, beta0，alpha）1、回歸：、回歸：殘差Jacobian矩陣回歸系數(shù)的初值是事先用m-文件定義的非線性函數(shù)估計(jì)出的回歸系數(shù)輸入數(shù)據(jù)x、y分別為 矩陣和n維列向量，對(duì)一元非線性回歸，x為n維列向量。mn2、預(yù)測(cè)和預(yù)測(cè)誤差估計(jì)：、預(yù)測(cè)和預(yù)測(cè)誤差估計(jì)：Y，DELTA=

20、nlpredci（model, x，beta，r，J）求nlinfit 或nlintool所得的回歸函數(shù)在x處的預(yù)測(cè)值Y及預(yù)測(cè)值的顯著性為1-alpha的置信區(qū)間Y DELTA.例例 4 對(duì)第一節(jié)例2，求解如下：1、對(duì)將要擬合的非線性模型 y=axbe/，建立 m-文件 volum.m 如下： function yhat=volum(beta,x) yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x);2、輸入數(shù)據(jù)： x=2:16; y=6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76

21、; beta0=8 2;3、求回歸系數(shù)： beta,r ,J=nlinfit(x,y,volum,beta0)； beta得結(jié)果：beta = 11.6036 -1.0641即得回歸模型為：xey10641. 16036.11To MATLAB(liti41)4、預(yù)測(cè)及作圖： YY,delta=nlpredci(volum,x,beta,r ,J)； plot(x,y,k+,x,YY,r)To MATLAB(liti42)例例5 財(cái)政收入預(yù)測(cè)問題：財(cái)政收入與國(guó)民收入、工業(yè)總產(chǎn)值、農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值、總?cè)丝?、就業(yè)人口、固定資產(chǎn)投資等因素有關(guān)。下表列出了1952-1981年的原始數(shù)據(jù)，試構(gòu)造預(yù)測(cè)模型。 解

22、解 設(shè)國(guó)民收入、工業(yè)總產(chǎn)值、農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值、總?cè)丝凇⒕蜆I(yè)人口、固定資產(chǎn)投資分別為x1、x2、x3、x4、x5、x6，財(cái)政收入為y，設(shè)變量之間的關(guān)系為：y= ax1+bx2+cx3+dx4+ex5+fx6使用非線性回歸方法求解。1 對(duì)回歸模型建立對(duì)回歸模型建立M文件文件model.m如下如下: function yy=model(beta0,X) a=beta0(1); b=beta0(2); c=beta0(3); d=beta0(4); e=beta0(5); f=beta0(6); x1=X(:,1); x2=X(:,2); x3=X(:,3); x4=X(:,4); x5=X(:,5); x

23、6=X(:,6); yy=a*x1+b*x2+c*x3+d*x4+e*x5+f*x6; 2. 主程序主程序liti6.m如下如下:X=598.00 349.00 461.00 57482.00 20729.00 44.00 . 2927.00 6862.00 1273.00 100072.0 43280.00 496.00;y=184.00 216.00 248.00 254.00 268.00 286.00 357.00 444.00 506.00 . 271.00 230.00 266.00 323.00 393.00 466.00 352.00 303.00 447.00 . 564.0

24、0 638.00 658.00 691.00 655.00 692.00 657.00 723.00 922.00 . 890.00 826.00 810.0;beta0=0.50 -0.03 -0.60 0.01 -0.02 0.35;betafit = nlinfit(X,y,model,beta0)To MATLAB(liti6） betafit = 0.5243 -0.0294 -0.6304 0.0112 -0.0230 0.3658即y= 0.5243x1-0.0294x2-0.6304x3+0.0112x4-0.0230 x5+0.3658x6結(jié)果為結(jié)果為:逐逐 步步 回回 歸歸

25、逐步回歸的命令是： stepwise（x，y，inmodel，alpha） 運(yùn)行stepwise命令時(shí)產(chǎn)生三個(gè)圖形窗口：Stepwise Plot，Stepwise Table，Stepwise History. 在Stepwise Plot窗口，顯示出各項(xiàng)的回歸系數(shù)及其置信區(qū)間. Stepwise Table 窗口中列出了一個(gè)統(tǒng)計(jì)表，包括回歸系數(shù)及其置信區(qū)間，以及模型的統(tǒng)計(jì)量剩余標(biāo)準(zhǔn)差（RMSE）、相關(guān)系數(shù)（R-square）、F值、與F對(duì)應(yīng)的概率P.矩陣的列數(shù)的指標(biāo)，給出初始模型中包括的子集（缺省時(shí)設(shè)定為全部自變量）顯著性水平（缺省時(shí)為0.5）自變量數(shù)據(jù), 階矩陣mn因變量數(shù)據(jù)， 階矩陣1n例例6 水泥凝固時(shí)放出的熱量y與水泥中4種化學(xué)成分x1、x2、x3、 x4 有關(guān)，今測(cè)得一組數(shù)據(jù)如下，試用逐步回歸法確定一個(gè) 線性模 型. 序號(hào)12345678910111213x17111117113122111110 x226295631525571315447406668x3615886917221842398x46052204733226442