高等代數(shù)北大版第5章習(xí)題參考答案

1、1)4x1x2 2x1x32x2 x3;2)2cC 2x12x1x22x24x2x3 4x2;3)x； 3x2 2x1 x22x1 x3 6x2x3 ；4)8x1x4 2x3 x4 2x2x3 8x2x4 ；5)x1x2x1x3x1x4 x2x3x2x4x3x4;6)2c 22,"CCCCx12x2 x44x1x24x1x32x1x42x2x32x2M2x3x4;7)x； x； x2 x2 2x1x2 2x2x3 2x3x4。解1）已知f ”,乂2?34x1x22x1x3 2x2x3 ,第五章二次型1.用非退化線(xiàn)性替換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并利用矩陣驗(yàn)算所得結(jié)果。最后將（2）代入（1

2、）,可得非退化線(xiàn)性替換為先作非退化線(xiàn)性替換x1y1y2x2y1y2(1)x3y34y124y2 4y1y34y124y1y32Y34y；2y13y3再作非退化線(xiàn)性替換y1y212 z1z212 z3(2)y3Z3則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為x1,x2,x3Z24z211XiZlZ2Z322(3)1 1X2-Z1Z2-Z32 2X3Z3112T 012001于是相應(yīng)的替換矩陣為1212012121且有100TAT040。0012 )已知 f X1 ,X2,X3xj 2x1x2 2X2 4x2x3 4X2,由配方法可得f X1, X2, X32X12x1x22X222x2 4x2x3 4x3X1X2X2于

3、是可令y1X1y2X2X22x3 ,y3X32V2則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為X1,X2,X3且非退化線(xiàn)性替換為X1y1y22y3X2y22y3X3y3相應(yīng)的替換矩陣為0 。且有TAT(3)已知X1,X2,X32X13x22x1x22x1X36x2x3,由配方法可得fX1,X2,X32X12x1x22X1X32x2X32X22X34x24X2X3x32于是可令X1X2X322x2X3則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為且非退化線(xiàn)性替換為X1X2X3相應(yīng)的替換矩陣為且有TATy1y2y3y1y3X12x2X3y2X2X3X3X1,X2,X32Y12V23y一、3212y322(4)已知 f x1,x2,x3,x48x1

4、x2 2x3x4 2x2x3 8x2x4 ,先作非退化線(xiàn)性替換xiyiy4X2y2X3y3X4、4X1,X2.X3.X428y1y48y42y3y42y2y38y2y42y42y4yii2y2i8y3i2yii2y2再作非退化線(xiàn)性替換fXi,X2,X3,X4再令則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為y3i2yii2yi8Tzi2Z2w2W3W4i2y2i2y2yiy2y3y4Z2ZiZ2Z2Z45Z282Z2Z3i2Zi5X24y3i8y3Z3Z33Z3858Z2Xi,X2,X3,X42y2y3V4Z4yiZiV25Z243X3438Z3i4y33Z342y2y3,2w；2w；2w；8w2,Z4且非退化線(xiàn)性替換

5、為W4相應(yīng)的替換矩陣為且有X3X42T001TAT153-W1W2W3244W2W3W2W3XiX21W1W4(5)已知fx1,x2,x3,x4先作非退化線(xiàn)性替換fx1，x2,x3,x4再作非退化線(xiàn)性替換xx2x/3xx4x?x3x?x4x3x4x2x3x42y1y2y2y3y，22y2V22y32y2y32丫區(qū)2y2y，2%V2V3y4y1Z2Z3yyy31V33y4V4Z4V4則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為V2y3V4fX1,X2,X3,X4且非退化線(xiàn)性替換為XiX2X3X4相應(yīng)的替換矩陣為且有(6)已知由配方法可得TATX1，X2,X3,X4fX1,X2,X3,X42X11Z3-Z42Z42Z12

6、Z2Z2ZiZ2Z3Z42x1Z32Z3Z3Z312Z41Z4212Z4，1一Z4212121212x；2X44x1x24印32x1x42X2X32x2x42X3X42x12x22x3x42x22X32X42x22x3 x4 2 2x2X2 2X2X32x2x42X3X42于是可令則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為且非退化線(xiàn)性替換為故替換矩陣為且有(7)已知f由配方法可得Xi2x222x3x42x2y1x12x22x3x4y2x2V4x3x431x3x42212X331-x3-x422x4x1V12y2V33x2V22y3V4x3V3V4x4V42c212V12y2-y3,2V4TA/p>

7、為“2?3,乂422xx22x32M2x1x22x2x32x3x4,f2,乂2?3442x22x2x1x3x1x322x1x32x3x4x22x2x32x1x3222x32x3x4x4x3于是可令x1x2x3x3x42x1x3x；x2x；x1x22x3x3則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為且非退化線(xiàn)性替換為相應(yīng)的替換矩陣為y2X1X2X3y3X3X4y，X1X32222y1y2y2y4X1y1X2y2y，X3y1y，X4y1y3y，10000101yi%且有(1) 在實(shí)數(shù)域上，若作非退化線(xiàn)性替換TAT(n)把上述二次型進(jìn) 退化線(xiàn)性替換。步化為規(guī)范形,分實(shí)系數(shù)、復(fù)系數(shù)兩種情形；并寫(xiě)出所作的非解1)已求得二次型

8、fX1,X2,X34X1X22X1X32X2X3的標(biāo)準(zhǔn)形為且非退化線(xiàn)性替換為X1X2X32.22fy14y23y3,11二y1y2二y32211二，y2y22y3yiV2Z312Z2V3可得二次型的規(guī)范形為222ZiZ2Z3。(2) 在復(fù)數(shù)域上,若作非退化線(xiàn)性替換yiV2iZi 1 2Z2y3Zi可得二次型的規(guī)范形為2Zi22Z2Z3。2)已求得二次型f X1,X2,X32Xi222x1x2 2x2 4x2x3 4x3的標(biāo)準(zhǔn)形為且非退化線(xiàn)性替換為XiyiX2y2y22 y32 y3,X3y3故該非退化線(xiàn)性替換已將原二次型化為實(shí)數(shù)域上的規(guī)范形和復(fù)數(shù)域上的規(guī)范形fy；y2。3)已求得二次型Xi,

9、X2, X32Xi3x22x1x22X1X36x2x3XiX2yi的標(biāo)準(zhǔn)形為22fyiy2,且非退化線(xiàn)性替換為3y2y32(1) 在實(shí)數(shù)域上，上面所作非退化線(xiàn)性替換已將二次型化為規(guī)范形，即22fyiy2。(2) 在復(fù)數(shù)域上，若作非退化線(xiàn)性替換yiziy2iz2。yZ3可得二次型的規(guī)范形為fZi2Z2。(3)已求得二次型fXi,X2,X3,X48X1X22X3X42X2X38X2X4的標(biāo)準(zhǔn)形為_(kāi)2_2_2_2f2y；2y22y28y2,且非退化線(xiàn)性替換為i5Xi-yi-V2X2V2y3V4X3V2V3iX4-yiy4(i)在實(shí)數(shù)域上，若作非退化線(xiàn)性替換yiy2y3y4可得二次型的規(guī)范形為iZ4.

10、2i一Z2,2i2z3i2、2乙2222ZiZ2Z3Z2。(2)在復(fù)數(shù)域上，若作非退化線(xiàn)性替換yiV2V3V4izi212z2i2z31z422可得二次型的規(guī)范形為2zi222z2z3z2。(5)已求得二次型X2X4X3X4fXi,X2,X3,X4X1X2X1X3X1X4X2X3的標(biāo)準(zhǔn)形為,22232fyiy2y3y，4且非退化線(xiàn)性替換為1Xiyiy2y3-y42iX2yiy2y3-y42iX3y3-y42X4y4(1) 在實(shí)數(shù)域上，若作非退化線(xiàn)性替換yiz2y2ziy3z3，2y4z43可得二次型的規(guī)范形為2222fziz2z3Z4。(2) 在復(fù)數(shù)域上，若作非退化線(xiàn)性替換yiiziy2z2y

11、3iz3，2.y4iz4可得二次型的規(guī)范形為2222fZiZ2Z3Z4。6)已求得二次型f Xi,X2,X3,X4x；2x2x24x1x24x1x32x1x42X2x32x2x42X3X4的標(biāo)準(zhǔn)形為2212fy12y2y3，2且非退化線(xiàn)性替換為x1y12y2y3y,3X2V22V3V4X3y3V4X4V4(1)在實(shí)數(shù)域上，若作非退化線(xiàn)性替換y1Z21y2Z32y3-2Z1y4Z4可得二次型的規(guī)范形為222fZ1Z2Z3。(2)在復(fù)數(shù)域上，若作非退化線(xiàn)性替換y1iZ1iy2Z2<2,y2Z3y4Z4可得二次型的規(guī)范形為222fZ1Z2Z3。7)已求得二次型X1,X2,X3,X42X12x；

12、 x24x1 x2 4x1 x3 2x1x42x2 X32x2x42X3X4的標(biāo)準(zhǔn)形為2y1且非退化線(xiàn)性替換為x1y1可得二次型的規(guī)范形為1)在實(shí)數(shù)域上，上面所作非退化線(xiàn)性替換已將二次型化為規(guī)范形，即2)在復(fù)數(shù)域上，若作非退化線(xiàn)性替換x2x3x42證明：秩等于r的對(duì)稱(chēng)矩陣可以表成證由題設(shè)知且D為對(duì)角陣，又因?yàn)槠渲衐1y2D1C1222y2y2y4，y4y1y1y4y3y42222fy1y2y2y4。y1z1y2y3y4fz12z2z3iz42z222z3z4。r個(gè)秩等于1的對(duì)稱(chēng)矩陣之和。AA且rank(A)11C,C1,C1CAC,D21D1D1CD2r，于是存在可逆矩陣C使CACD，1均為可

13、逆矩陣，所以有D1d21C1D2Dr，,Drdr0DrD2C11C1DrC1。11rankC1DiC11i1,2,r且3證明：C1DiC1DiC1都是對(duì)稱(chēng)矩陣，故C1DiC1CA可表成r個(gè)秩為i1i2DiC1。的對(duì)稱(chēng)矩陣之和。in合同，其中i1i2"是1,2,n的一個(gè)排列。證題中兩個(gè)矩陣分別設(shè)為A,B，與它們相應(yīng)的二次型分別為222A1x12x2nxn，222fBi1y1i2y2inyn，作非退化的線(xiàn)性替換ytxitt1,2,n，則fB可化成fA。故A與B合同。4設(shè)A是一個(gè)n階矩陣，證明：1 ）A是反對(duì)稱(chēng)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任一個(gè)n維向量X，有XAX0。2 ）如果A是對(duì)稱(chēng)矩陣，且對(duì)任一個(gè)n

14、維向量X有XAX0，那么A0。證1）必要性。因?yàn)锳A，即aii0,aijajiij，所以XAXaij xi xj i,jaij ajixixjaijaji0，故X AXaij a ji xi xj0。充分性。因?yàn)閄Rn，有XAX0，即2 a11x1a12 a21 x1 x2x1nan1 x1 xna22 x2a2nan2 X?XnannXn0這說(shuō)明原式是一個(gè)多元零多項(xiàng)式，故有alla22ann0,aj aji i即AAo2）由于A是對(duì)稱(chēng)的，且2 aiiXi2a12x1x22ainXi%2 a22 X22a2nX2XnannXn0這說(shuō)明XAX為一個(gè)多元零多項(xiàng)式，故有a11a22ann0,2aj0

15、ajaji0,即A0。5 .如果把實(shí)n階對(duì)稱(chēng)矩陣按合同分類(lèi)，即兩個(gè)實(shí)n階對(duì)稱(chēng)矩陣屬于同一類(lèi)當(dāng)且僅當(dāng)它們合同，問(wèn)共有幾類(lèi)？解實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A與B合同的充要條件為存在可逆矩陣T與C使didrd2TBTCACdi i 1,2, ,r中可分為卜面考慮對(duì)角矩陣D的相應(yīng)二次型的合同分類(lèi)情況，在r個(gè)正，0個(gè)負(fù)r1個(gè)正，1個(gè)負(fù)2個(gè)正，r2個(gè)負(fù)1個(gè)正，r1個(gè)負(fù)0個(gè)正，r個(gè)負(fù)共計(jì)r1個(gè)合同類(lèi)。但秩r又可分別取n,n1,2,1,0,故共有個(gè)合同類(lèi)。6 .證明：一個(gè)實(shí)二次型可以分解成兩個(gè)實(shí)系數(shù)的一次齊次多項(xiàng)式的乘積的充分必要條件是：它的秩等于2且符號(hào)差等證必要性。設(shè)于0,或者秩等于1。fXi,X2,XnaiXia2X2a

16、nXnbiXib2X2bnXn,其中ai,biii,2,n均為實(shí)數(shù)。1）若上式右邊的兩個(gè)一次式系數(shù)成比例，即bikaii i,2, ,n不失一般性，可設(shè)ai0,則可作非退化線(xiàn)性替換yia*a2X2i 2,anXn,n使二次型化為f Xi,X2,Xnkyi2故二次型fx1，x2,Xn的秩為i。2）若兩個(gè)一次式系數(shù)不成比例，不妨設(shè)aibia2一 r ,r r上，則可作非退化線(xiàn)性替換b2f Xi,X2 ,Xnym。yiaiXia?X2anXny2biXib2X2bnXn,yXii3,n再令yiZiZ2y2ZiyiZiZ2i3,則二次型可化為fXi,X2,XnVlV2故二次型fXi,X2,Xn的秩為2

17、,且符號(hào)差為0。充分性。i）若fXi,X2,Xn的秩為i,則可經(jīng)非退化線(xiàn)性替換ZCY使二次型化fXi,X2,Xnkyi2,其中必為x,x2,Xn的一次齊次式，即IO412A 4214 ,12141ViaiXia2X2且fXi,X2,Xnk&Xia2X2ka1x1ka2X22)若fXi,X2,Xn的秩為2,且符號(hào)差為化為22fXi,X2,XnViV2ViV2anXn，2anXnkanXnaiXia2X2an%。0,則可經(jīng)非退化線(xiàn)性替換ZCY使二次型ViV2aiXia2X2anXnbiXib2X2bnXn故fXi,X2,Xn可表成兩個(gè)一次齊次式的乘積。7.判斷下列二次型是否正定:1) 99

18、X212x1x248x1x3130x|60x2x371x；2) lOx；8x1x224x1x32x228x2x3x2；n3) X2XiXj；iiiijnnn14） X2XiXii。1 1i1解1）二次型的矩陣為因?yàn)?99O,故原二次型為正定二次型。2）二次型的矩陣為99624A613030,243071996O,61303|AO,因?yàn)锳0,所以原二次型非正定。3）記二次型的矩陣為Aa.,其中ijnn>aij1，ij1，12121 ，22，ij112112A1122由于A的任意k階順序主子式所對(duì)應(yīng)的矩陣Ak與A為同類(lèi)型的對(duì)稱(chēng)矩陣，且k1Ak|12k10k1,2,n,故原二次型為正定二次型。

19、4）記二次型的矩陣為Aaij n n，則A的k級(jí)順序主子式為1 121 1 210,故原二次型為正定二次型。4X2X38. t取什么值時(shí)，下列二次型是正定的:1) X122X25x22tx1 x22X1X3222) X1 4x22X32tx1 x210x1 x3 6x2 x3由原二次型為正定得解1）二次型的矩陣為1t1At12125因?yàn)锳的各階順序主子式為110,0,1t13|At12125當(dāng)原二次型為正定時(shí)，有21t20_2-5t4t0一，一一，14解上面不等式組，可得2t0。52）二次型的矩陣為1t5At43,531當(dāng)A的所有順序主子式都大于零時(shí)，即10,4t20,1t53|At43531

20、t230t1050,4t2t230t1050但此不等式組無(wú)解,9.證明：如果列指標(biāo)相同的子式。即不存在t值使原二次型為正定。A是正定矩陣,那么A的主子式全大于零。所謂主子式，就是行指標(biāo)與證設(shè)正定矩陣Aaijnn,作正定二次型nnaijXiXj，并令i1j1則可得新二次型xj,ki,kik2kikiki西xiXj,ik1jk1由正定二次型的定義知該二次型是正定的，故A的一切i級(jí)主子式A0i1,2,n。10.設(shè)A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣,證證明:t充分大之后,tEA是正定矩陣。tE它的k級(jí)順序主子式為t而a12a1na21ta22a2nan1an2taa11a12aka21ta22a2kak1ak2takkn

21、n當(dāng)t充分大時(shí)，kt為嚴(yán)格主對(duì)角占優(yōu)矩陣的行列式，且tanaaiji1,2,故kt0k1,2,n，從而tEA是正定的。11.證明：如果A是正定矩陣，那么A1也是正定矩陣。證因A是正定矩陣，故XAX為正定二次型，作非退化線(xiàn)性替換也是對(duì)稱(chēng)矩陣，故111YAYYAAAYXAX0,從而YA1Y為正定二次型，即證A1為正定矩陣。12 .設(shè)A為一個(gè)n級(jí)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且 A 0 ,證明：必存在實(shí) n維向量X 0,使XAX0。證因?yàn)锳0,于0,所以rankAn,且A不是正定矩陣。故必存在非退化線(xiàn)性替換XC1Y使XAXYCiACYYBY2yi2V222ypyp2yp2且在規(guī)范形中必含帶負(fù)號(hào)的平方項(xiàng)。于是只要在yi

22、V2ypyp2yn1,則可得一線(xiàn)性方程組Gixici2x2cinXnCpiXiCp2X2cpnxnCpi,iXiCpi,2X2cpi,nXnicniXiCn2X2cnnXn由于C0,故可得唯一組非零解XsXis,X2s,Xns使XsAXs00即證存在X 0,使 XAX0。i3 .如果A, B都是n階正定矩陣，證明:A B也是正定矩陣。證因?yàn)锳,B為正定矩陣，所以XAX,XBX為正定二次型，且XBX0,因此X A B X XAXX BX 0,于是X A B X必為正定二次型，從而A B為正定矩陣。i4.證明：二次型fXi,X2,Xn是半正定的充分必要條件是它的正慣性指數(shù)與秩相等。證必要性。采用反

23、證法。若正慣性指數(shù)p秩r,則pr。即22222fXi,X2,Xnyiy2ypypiy，若令yiy2yp°,ypiyri,則可得非零解x1,x2,xn使fx1,x2,xn0。這與所給條件fx1,x2,xn0矛盾，故pr。充分性。由pr，知22fx1,x2,xny1y22yp，故有fx1,x2,xn0，即證二次型半正定。15證明：n2nxii1nxii12是半正定的。2xi1i1可見(jiàn)：故原二次型xi2x11)2)2nx12x2n12x2xn2x12x22xn2xn2x1x22x1xn2x2x32x2xn2xn1xn2x12x22xn2x1x22x1xn2x2x32x1x22xn1xn)2

24、22x2x12x1x3x3xn212xn1xn2xn2xixj。nx1,x2,xn不全相等時(shí)x1,x2,xnxinxj0。x1x2xn時(shí)x1,x2,xnxinxj0。fx1,x2,xn是半正定的。16設(shè)fx1,x2,xnXAX是一實(shí)二次型，若有實(shí)n維向量Xi,X2使X1AX0，X2AX20。證明：必存在實(shí)n維向量X00使X0AX00。設(shè)A的秩為r，作非退化線(xiàn)性替換XCY將原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型222XAXd1y12d2y22dryr2，其中dr為1或-1。由已知，必存在兩個(gè)向量XX2使2) x1 x2x2x3xn 1 xn ；X1AX10和X2AX20，故標(biāo)準(zhǔn)型中的系數(shù)d1 ,yp q1 ，,dr

25、不可能全為1,也不可能全為-1。不妨設(shè)有p個(gè)1,q個(gè)-1,且pqr，即2222XAXy12y2py2p1yp2q，這時(shí)p與q存在三種可能：pq，pq，pq下面僅討論pq的情形，其他類(lèi)似可證。令y1yq1，yq1yp0，yp1則由ZCY可求得非零向量X0使2222X0AX0y1ypyp1ypq0，即證。17A是一個(gè)實(shí)矩陣，證明：rankAArankA。證由于rankArankAA的充分條件是AX0與AAX0為同解方程組，故只要證明AX0與AAX0同解即可。事實(shí)上AX0AAX0XAAX0AXAX0AX0，即證AX0與AAX0同解，故rankAArankA。注該結(jié)論的另一證法詳見(jiàn)本章第三部分（補(bǔ)充題

26、精解）第2題的證明，此處略。補(bǔ)充題參考解答1用非退化線(xiàn)性替換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并用矩陣驗(yàn)算所得結(jié)果：1)x1x2nx2x2n1x2x2n1xnxn1；3)XiXj;1ijn4)XiX1X2Xn111作非退化線(xiàn)性替換XiyiX2V2y2n 1Xnynyn 1Xnynyn 1X2n 1V2yi2y12y22yn2yn2y2n 12y2n，X2nTY,則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為且替換矩陣01101001TAT其中1111100000111111100011且當(dāng)2)yiX1X2X3y2X1X2X3n為奇數(shù)時(shí),作變換yiyi 1ynX1X2X2X32V2yiV2yiV2X1X2X2X3XiXi 12Xi

27、2XiXi 1 Xi 2135,nXnXn 1Xn2V22V32V422yn 2 yn 1 ,4k 1時(shí)，得非退化替換矩陣為當(dāng)n4k3時(shí)，得非退化替換矩陣為110故當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),都有TAT作非退化線(xiàn)性替換yiyiynynX1X2x2x3XiXi1Xi22XiXi1Xi22xn12Xn1X2xnxn1xn2y12y22y3135,n于是當(dāng)n4k時(shí)，得非退化替換矩陣為于是當(dāng)n4k2時(shí)，得非退化替換矩陣為2V422yn1yn，1111111100001111T1100故當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，都有TAT3）由配方法可得X1Xj j 2X2xjxn1-Xnnn 1 2Z- Xn，2n于是可令y1X

28、1y2X2Xj j 2nXj j 3ynXnynXn則非退化的線(xiàn)性替換為XiX21y12 y2113y3Yn 11 ynnV2yn1 ynnXnyn1 ynnxnyn且原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為2y14y22n2 zi22 n i相應(yīng)的替換矩陣為d1111123n1n111013n1n11001n1n10001n00001T又因?yàn)?111222111122211112221111222A所以由于4）令TAT原式XiX2XnXnyiVi0000030004400006000n02ni0000nyiV2YnYn2yiyiVX2XnXn2y2yiXiynyiyi2ynVyiyjynVV324z2n 2一 Z

29、n2322z1一Z22其中所作非退化的線(xiàn)性替換為yiZiV2Z212Z213Z313Z31Z441Zn1n111znZnynynZn故非退化的替換矩陣為nXii1X1X,X2X,X111111,XnX2n111n111nnnnnnX1n111n11Xnnnnnn11n111n1xnnnnnnX12nXnX1,X2,Xx所以2.設(shè)實(shí)二次型證明：f的秩。Xl,X2,ZAZTATfXi,X2,n111nnnX11n11xX2nnn11n1Xnnnn000030002400030n000n100002sai1X1a2X2ainXn20000,xn,Xxi1X1,X2,Xn的秩等于矩陣aiia12ain

30、a2ia22a2nasias2asn設(shè)rankAr,fXi,X2,AAX卜面只需證明rankAr即可。由于rankArank故存在非退化矩陣P,Q使從而八ErPAQr0PAEr0PAAPEr0Er0000，01由于Q1Q1即證rankA3.設(shè)其中l(wèi)iErPAAPr0是正定的，因此它的rankAA。fXi,X2,1,2,p負(fù)慣性指數(shù)BrCq是Xi,X2,設(shè)libi1X1b2X2fX1,X2,Xn的正慣性指數(shù)為s,VG1X1使得fXi,X2,Xn卜面證明sPO采用反證法。該方程組含pns個(gè)方程,fa1，a2,an上式要成立,必有BrDEr0Br0r級(jí)順序主子式l2l21Br,xn的一次齊次式,bi

31、nXn秩為i1,2,0,從而AA的秩為r。證明：fX1,X2,Xn的正慣性指r,則存在非退化線(xiàn)性替換ci2X2cinXn1,2,n,l；l2l2l2qbi1X1bp1X1Csi,iXi“Xi22ysys12yr°P,考慮線(xiàn)性方程組b1nXn0bpnXn0cs1,nXncnnXn小于未知量的個(gè)數(shù)lp1lpq故它必有非零解a1,a2,2ys，這就是說(shuō)，對(duì)于x1a1,x2a2,xnan這組非零數(shù)，有yi02Q這與線(xiàn)性替換YCX的系數(shù)矩陣非退化的條件矛盾。所以同理可證負(fù)慣性指數(shù)r4.設(shè)P。p,即證。AiA21A2A22是一對(duì)稱(chēng)矩陣，且A10證明:存在T使TATAi00一,其中表不個(gè)級(jí)數(shù)與A2

32、2相同的矩陣。證只要令T注意到A12則有TATA21A11Aii11A21A11Ai1EA12Aii1AiA21A2A22i.A11Ai2EAii0Ai21A21AiA12A22Ai11A2Aii0即證。5.設(shè)A是反對(duì)稱(chēng)矩陣，證明:A合同于矩陣0證采用歸納法。當(dāng)n1時(shí)，A0合同于0,結(jié)論成立。下面設(shè)A為非零反對(duì)稱(chēng)矩陣。當(dāng)n2時(shí)A0ai2第2行乘a12101比0第2歹怵a；10，01人，故A與合同，結(jié)論成立。10假設(shè)n k時(shí)結(jié)論成立，今考察 n0k 1的情形。這時(shí)aka1,k 1Aaka1,k 10 ak,k 1ak,k 10如果最后一行（列）元素全為零，則由歸納假設(shè),結(jié)論已證。若不然，經(jīng)過(guò)行列

33、的同時(shí)對(duì)換,1不妨設(shè)ak,k10,并將最后一行和最后一列都乘以，則A可化成ak,k10a1kb1ak01b110再將最后兩行兩列的其他非零元bi,aiki1,2,k化成零，則有0b1,k100b1,k100000010010由歸納假設(shè)知010b1,k1與10b1,k10合同，從而A合同于矩陣再對(duì)上面矩陣作行交換和列交換，便知結(jié)論對(duì)1級(jí)矩陣也成立，即證。c,使對(duì)任一個(gè)實(shí)n維向量X都有XAXcXX o6.設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，證明：存在一正實(shí)數(shù)證因?yàn)閄AXaj 為 Xji,jajXiXji,jmaXai,j利用XiXjXAX ai,jXiXj2Xi2xj可得XAX2Xiai,j2Xjan2X2 c

34、X X ,其中7an,即證。主對(duì)角線(xiàn)上全是 1的上三角矩陣稱(chēng)為特殊上三角矩陣。1)設(shè)A是一對(duì)稱(chēng)矩陣，T為特殊上三角矩陣，而B(niǎo)TAT,證明：A與B的對(duì)應(yīng)順序主子式有相同的值；2）證明：如果對(duì)稱(chēng)矩陣A的順序主子式全不為零，那么一定有一特殊上三角矩陣TAT成對(duì)角形；3）利用以上結(jié)果證明：如果矩陣A的順序主子式全大于零，則XAX是正定二次型。證1 ）采用歸納法。當(dāng)n 2時(shí)，設(shè)a21a12a22B TAT0 a11a12b a111 a21a22考慮B的兩個(gè)順序主子式：B的一階順序主子式為a11,而二階順序主子式為BT|A|T1?A?1A,與A的各階順序主子式相同，故此時(shí)結(jié)論成立。歸納假設(shè)結(jié)論對(duì)n1階矩

35、陣成立，今考察n階矩陣，將A,T寫(xiě)成分塊矩陣Tn1An1T,A01ann其中Tn1為特殊上三角矩陣。于是_Tn10An1Tn1B1ann011An1TnBn1Tn 1 An 1Tn 1的順序主子式與入1由歸納假設(shè)，B的一切n1階的順序主子式，即Bn1的順序主子式有相同的值，而B(niǎo)的n階順序主子式就是B,由BT|A|T1?A?1A,知B的n階順序主子式也與A的n階順序主子式相等，即證。2）設(shè)n階對(duì)稱(chēng)矩陣Aaj,因a110,同時(shí)對(duì)A的第一行和第一列進(jìn)行相同的第三種初等變換，可以化成對(duì)稱(chēng)矩陣a110,0b22A0bn20b2na1100Bn1bnn一，,a11于是由1）知£0,從而b220,再對(duì)Bn1進(jìn)行類(lèi)似的初等變換，使矩陣A的第二行和第二列中除b22外其余都化成零；如此繼續(xù)下去，經(jīng)過(guò)若干次行列同時(shí)進(jìn)行的第三種初等變換，便可以將A化成對(duì)角形Bo由于每進(jìn)行一次行、列的第三種初等變換，相當(dāng)于右乘一個(gè)上三角形陣Ti,左乘一個(gè)下三角形陣Ti,而上三角形陣之積仍為上三角形陣，故存在T,Ts，使TATB命題得證。）由2）知，存在T使又由所以TATB。1）知B的所有順序主子式與A的所有順序主子式有相同的值，故a11a11a12ai2a2220。a11aii0,ai1所以1,2,因XTY是非退化線(xiàn)性替換，且由于o證明:XAXYTATY21丫122y2n都