BSDSXBX05010202等差數(shù)列的前n項與

1、2.2 等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項和項和問題提出有200根相同的圓木料,要把它們堆放成正三角形垛,并使剩余的圓木料盡可能的少,那么將剩余多少根圓木料?根據題意,各層圓木料數(shù)比上一層多一根,故其構成等差數(shù)列: 1,2,3,4,設共擺放了n層,能構成三角形垛的圓木料數(shù)為Sn,則:Sn=1+2+3+4+n問題提出這是一個等差數(shù)列的求和問題.如何計算該等差數(shù)列的和呢?高斯在10歲時就巧妙地求出了n=100時的結果.S100=1 +2 +3 +4 +98+99+100 =100+99+98+97+3 + 2+ 1這兩個等式上、下對應的和均為101，所以.2S100=101+101+101+101+10

2、1+101因為有100個101，所以.2S100=101100=10100S100=5050抽象概括設Sn是等差數(shù)列an的前n項和，即123.nnSaaaa那么根據等差數(shù)列an的通項公式，上式可以寫成：1111()(2 ). (1) nSaadadand再把項的次序反過來，又可以寫成()(2 ). (1) nnnnnSaadadand把，等號兩邊分別相加，得1112()().()nnnnSaaaaaa1()nn aan個于是，首項為a1 ，末項為an，項數(shù)為n的等差數(shù)列的前n項和1()2nnn aaS這個公式表明:等差數(shù)列的前n項和等于首末兩項的和與項數(shù)乘積的一半.將1(1)naand1(1)

3、2nn nSnad代入式 ，得特別地，當a1 =1， d =1時，n個連續(xù)正整數(shù)的和(1)123.2nn nSn 圓木料問題，即轉化為求滿足(1)2002nn nS的最大自然數(shù)n19,190;nnS當時20,210.nnS當時19.n所以 的最大值為此時，將堆垛19層，剩余10根圓木料. 例7 7：求n個正奇數(shù)的和.解解: : 由等差數(shù)列前n項和公式,得2(121)135.(21)2nnnn也可用面積圖來表示 例8 8：在我國古代,9是數(shù)字之極,代表尊貴之意,所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關的設計.例如,北京天壇圓丘的地面由扇環(huán)形的石板鋪成,最高一層的中心是一塊天心石,圍繞它的第一圈有9

4、塊石板,從第二圈開始,每一圈比前一圈多9塊,共有9圈.請問: (1)第9圈共有多少塊石板? (2)前9圈一共有多少塊石板?解解(1)(1)設從第1圈到第9圈石板數(shù)所在成數(shù)列為an ,由題意可知an是等差數(shù)列,其中a1=9,d=9,n=9.由等差數(shù)列的通項公式,得第9圈有石板91(9 1)9(9 1) 981()aad塊(2)由等差數(shù)列前n項和公式,得前9圈一共有石板919(9 1)9 899 99405()22Sad 塊答 第9圈有81塊石板,前9圈一共有405塊石板.例例9 9 在數(shù)列an中 , an=2n+3,求這個數(shù)列自第100項到第200項之和S的值.解 由于12(1)3(23)2nn

5、aann . .所以數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列,此數(shù)列自第100項到第200項仍是等差數(shù)列.共有101項,所求和為1002001012aaS2 1003(2 2003)1012 30603例例10 10 在新城大道一側A處,運來20棵新樹苗.一名工人從A處起沿大道一側路邊每隔10m栽一棵樹苗,這名工人每次只能運一棵.要栽完這20棵樹苗,并返回A處,植樹工人共走了多少路程?.解 植樹工人每種一棵樹并返回A處所要走的路程(單位:m)組成了一個數(shù)列0,20,40,60,380,這是首項為0,公差為20,項數(shù)為20的等差數(shù)列,其和20 (20 1)203800()2mS答 植樹工人共走了3800 m

6、的路程.例例11 11 九江抗洪指揮部接到預報,24時后有一洪峰到達.為確保安全,指揮部決定在洪峰來臨前筑一道堤壩作為第二道防線.經計算,除現(xiàn)有的部隊指揮員和九江干群連續(xù)奮戰(zhàn)外,還需調用20臺同型號翻斗車,平均每輛工作24時.但目前只有一輛車投入施工,其余的需從昌九高速公路沿線抽調,每隔20分能有一輛車到達,指揮部最多可調集25輛車,那么在24時內能否構筑成第二道防線?解 從第一輛車投入工作算起,各車工作時間(單位:h)依次為:1225,.,a aa這是一個等差數(shù)列,1124,.3ad 25輛車可以完成的工作量為:122525 241.25 24()50023aaa 需要完成的工作量為:24 20480因此,在24小時內能構筑成第二道防線.1 已知一個數(shù)列的前n項和為解：當21,nSnn求它的通項公式,它是等差數(shù)列嗎?2,n 時221(1)(1)(1) 12nnnaSSnnnnn當n=1時,111aSna1(n=1),2n(n2),214 132,aa 數(shù)列an中每一項與前一項的差不是同一個常數(shù). an 不是等差數(shù)列.2 已知兩個等差數(shù)列an與bn,它們的前n項和的比為解：設10103,.1nnSanSnb求(3),(1),nnSkn nSkn n101010(1