自動控制原理 3.1典型輸入作用及時域性能指標(biāo)

1、3.1 典型輸入作用和時域性能指標(biāo) 3.1.0 時域分析 3.1.1 典型輸入作用及其拉氏變換 3.1.2 瞬態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程 3.1.3 瞬態(tài)過程的性能指標(biāo) 3.1.4 穩(wěn)態(tài)過程的性能指標(biāo) 時域分析是指控制系統(tǒng)在一定的輸入信號作用下，根據(jù)輸出量的時域表達(dá)式，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。 時域分析是一種在時間域中對系統(tǒng)進(jìn)行分析的方法，具有直觀和準(zhǔn)確的優(yōu)點。由于系統(tǒng)的輸出量的時域表達(dá)式是時間的函數(shù)，所以系統(tǒng)的輸出量的時域表達(dá)式又稱為系統(tǒng)的時間響應(yīng)。 系統(tǒng)輸出量的時域表示可由微分方程得到，也可由傳遞函數(shù)得到。在初值為零時，可利用傳遞函數(shù)進(jìn)行研究，用傳遞函數(shù)間接的評價系統(tǒng)的性能指標(biāo)。 控制

2、系統(tǒng)的性能指標(biāo)，可以通過在輸入信號作用下系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)過程來評價。系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)過程不僅取決于系統(tǒng)本身的特性，還與外加輸入信號的形式有關(guān)。 3.1.0 時域分析這表明，在外作用加入系統(tǒng)之前系統(tǒng)是相對靜止的，被控制量及其各階導(dǎo)數(shù)相對于平衡工作點的增量為零。典型初始狀態(tài):規(guī)定控制系統(tǒng)的初始狀態(tài)均為零狀態(tài)，即在 時 0t0)0()0()0(.yyy 在分析和設(shè)計控制系統(tǒng)時，需要確定一個對各種控制系統(tǒng)的性能進(jìn)行比較的基礎(chǔ)，這個基礎(chǔ)就是預(yù)先規(guī)定一些具有特殊形式的測試信號作為系統(tǒng)的輸入信號，然后比較各種系統(tǒng)對這些輸入信號的響應(yīng)。 選取測試信號時必須考慮的原則：選取的輸入信號的典型形式應(yīng)反映系統(tǒng)工作時的

3、大部分實際情況。選取外加輸入信號的形式應(yīng)盡可能簡單，易于在實驗室獲得，以便于數(shù)學(xué)分析和實驗研究。應(yīng)選取那些能使系統(tǒng)工作在最不利情況下的輸入信號作為典型的測試信號。在控制工程中采用下列五種信號作為典型輸入信號 3.1.1 典型輸入作用及其拉氏變換 脈沖函數(shù)：階躍函數(shù)：tA)(tx0,0, 0)(tAttxA階躍幅度，A=1稱為單位階躍函數(shù)，記為1（t）。 其拉氏變換后的像函數(shù)為：sAtxL)( 斜坡函數(shù)（速度階躍函數(shù)）：0,0, 0)(tBtttxB=1時稱為單位斜坡函數(shù)。t)(txBttx)( 其拉氏變換后的像函數(shù)為：2)(sBtxL1)(000)(dttttt1)(tL提示：上述幾種典型輸入

4、信號的關(guān)系如下：21)( 1)(23322AtdtdAtdtdtAdtdtA拋物線函數(shù)（加速度階躍函數(shù)）：0,210, 0)(2tCtttxC=1時稱為單位拋物線函數(shù)。t)(tx221)(Cttx 其拉氏變換后的像函數(shù)為：3)(sCtxL正弦函數(shù)： ，式中，A為振幅， 為頻率。tASintx)( 其拉氏變換后的像函數(shù)為：22sinnnAL Ats 分析系統(tǒng)特性究竟采用何種典型輸入信號，取決于實際系統(tǒng)在正常工作情況下最常見的輸入信號形式。 當(dāng)系統(tǒng)的輸入具有突變性質(zhì)時，可選擇階躍函數(shù)為典型輸入信號；當(dāng)系統(tǒng)的輸入是隨時間增長變化時，可選擇斜坡函數(shù)為典型輸入信號。 討論系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)時，通常選擇單

5、位階躍信號作為典型輸入信號。典型響應(yīng)： 單位脈沖函數(shù)響應(yīng)單位脈沖函數(shù)響應(yīng)：1)()(sGsY 單位階躍函數(shù)響應(yīng)單位階躍函數(shù)響應(yīng)：ssGsY1)()( 單位斜坡函數(shù)響應(yīng)單位斜坡函數(shù)響應(yīng)：21)()(ssGsY 單位拋物線函數(shù)響應(yīng)：單位拋物線函數(shù)響應(yīng)：31)()(ssGsY提示：上述幾種典型響應(yīng)有如下關(guān)系：單位脈沖單位脈沖函數(shù)響應(yīng)函數(shù)響應(yīng)單位階躍單位階躍函數(shù)響應(yīng)函數(shù)響應(yīng)單位斜坡單位斜坡函數(shù)響應(yīng)函數(shù)響應(yīng)單位拋物線單位拋物線函數(shù)響應(yīng)函數(shù)響應(yīng)積分積分積分積分積分積分微分微分微分微分微分微分 在典型輸入信號的作用下，任何一個控制系統(tǒng)的時間響應(yīng)都由瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)兩部分組成 。1瞬態(tài)響應(yīng)：又稱為瞬態(tài)過程或

6、過渡過程。是指系統(tǒng)在典型輸入信號的作用下，系統(tǒng)的輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。n 由于實際的控制系統(tǒng)存在慣性、阻尼及其它一些因素，系統(tǒng)的輸出量不可能完全復(fù)現(xiàn)輸入量的變化，瞬態(tài)過程曲線形態(tài)可表現(xiàn)為衰減振蕩、等幅振蕩和發(fā)散等形式。n 瞬態(tài)過程包含了輸出響應(yīng)的各種運動特性，這些特性稱為系統(tǒng)的瞬態(tài)性能。n 一個可以實際運行的控制系統(tǒng)，瞬態(tài)過程必須是衰減的。即系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。 3.1.2 瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 2穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：又稱為穩(wěn)態(tài)過程。是指系統(tǒng)在典型輸入信號的作用下，當(dāng)時間趨近于無窮大時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)狀態(tài)。n 穩(wěn)態(tài)過程反映了系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度，包含了輸出響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)性能。n 從理論

7、上說，只有當(dāng)時間趨于無窮大時，才進(jìn)入穩(wěn)態(tài)過程，但這在工程應(yīng)用中是無法實現(xiàn)的。因此在工程上只討論典型輸入信號加入后一段時間里的瞬態(tài)過程，在這段時間里，反映了系統(tǒng)主要的瞬態(tài)性能指標(biāo)。而在這段時間之后，認(rèn)為進(jìn)入了穩(wěn)態(tài)過程。n 控制系統(tǒng)在典型輸入信號的作用下的性能指標(biāo)，由瞬態(tài)性能指標(biāo)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)兩部分組成。n 由于穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠正常運行的首要條件，因此只有當(dāng)瞬態(tài)過程收斂（衰減）時，研究系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能才有意義。n 在工程應(yīng)用上，通常使用單位階躍信號作為測試信號，來計算系統(tǒng)時間域的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。 3.1.3 瞬態(tài)過程的性能指標(biāo) 描述穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍信號作用下，瞬態(tài)過程隨時間t的變化狀況的

8、性能指標(biāo)，稱為瞬態(tài)性能指標(biāo)，或稱為動態(tài)性能指標(biāo)。 為了便于分析和比較，假定系統(tǒng)在單位階躍輸入信號作用前處于靜止?fàn)顟B(tài)，而且輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)均等于零。 穩(wěn)定控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線有衰減振蕩和單調(diào)上升兩種類型。（一）衰減振蕩：具有衰減振蕩的瞬態(tài)過程如圖所示： 延遲時間 ：dt輸出響應(yīng)第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時間。)(y 上升時間 ：rt輸出響應(yīng)第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值y()所需的時間。(或指由穩(wěn)態(tài)值的10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時間)。rt 3.1.3 瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)（衰減振蕩） 最大超調(diào)量(簡稱超調(diào)量)：%100)()(%maxyyy式中： 輸出響應(yīng)的最大值； maxy)(lim)(t

9、yyt穩(wěn)態(tài)值；輸出響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值達(dá)到第一個峰值ymax所需要的時間。 峰值時間 ：pt)(yptmaxy瞬態(tài)過程中輸出響應(yīng)的最大值超過穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)。 調(diào)節(jié)時間或過渡過程時間 ：st當(dāng) 和 之間的誤差達(dá)到規(guī)定的范圍之內(nèi)一般取 的5%或2%，稱允許誤差范圍，用D表示且以后不再超出此范圍的最小時間。即當(dāng) ，有：)(ty)(y)(ystt )52(%)(|)()(|或yyty)(02. 0)(05. 0yy或st 振蕩次數(shù)N N：srpttt,在上述幾種性能指標(biāo)中， 表示瞬態(tài)過程進(jìn)行的快慢，是快速性指標(biāo)；而 反映瞬態(tài)過程的振蕩程度，是振蕩性指標(biāo)。其中 和 是兩種最常用的性能指標(biāo)。N%,%st)(y

10、在調(diào)節(jié)時間內(nèi)，y(t)偏離 的振蕩次數(shù)。或在0tts時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)過程。穩(wěn)態(tài)過程的性能指標(biāo)主要是穩(wěn)態(tài)誤差。當(dāng)時間趨于無窮大時，若系統(tǒng)的輸出量不等于輸入量，則系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差，穩(wěn)態(tài)誤差是控制系統(tǒng)精度或抗干擾能力的一種度量。)(lim)(lim0ssEteestss穩(wěn)態(tài)過程的性能指標(biāo)式中：e(t)=給定輸入值-實際輸出值（單位反饋）；E(s)是系統(tǒng)的誤差。 3.1.4 穩(wěn)態(tài)過程的性能指標(biāo) 系統(tǒng)應(yīng)該是穩(wěn)定的； 系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時，應(yīng)滿足給定的穩(wěn)態(tài)誤差的要求； 系統(tǒng)在瞬態(tài)過程中應(yīng)有好的快速性。 簡稱為：穩(wěn)、準(zhǔn)、快 3.1.5 對一個控制系統(tǒng)的要求 3.2 一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng) 3.2.1 一階系

11、統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 3.2.2 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 3.2.3 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 3.2.4 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng) 3.2.5 一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng) 3.2.6 一階系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：11111)()()(TssRsYsKssKsK式中， ，稱為時間常數(shù)，開環(huán)放大系數(shù)越大，時間常數(shù)越小。KT1 由一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。其傳遞函數(shù)是 s的一次有理分式。 一階系統(tǒng)的微分方程為：)(sY-sK)(sE)(sR典型的一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。)()()(trtydttdyT 3.2.1 一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型當(dāng)一階系統(tǒng)的輸入信號為單位脈沖信號r(t)=d(t)，其

12、拉氏變換為R(s)=1，則系統(tǒng)的輸出為:TsTTsTssRsY/1/1111)()(上式的拉氏反變換稱為一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) ：01)(teTtyTt，一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線 ：一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線為單調(diào)下降的指數(shù)曲線，時間常數(shù)T越大，響應(yīng)曲線下降越慢，表明系統(tǒng)受到脈沖輸入信號后，恢復(fù)到初始狀態(tài)的時間越長。單位脈沖響應(yīng)的終值均為零 。 3.2.2 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 顯然一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是一條由零開始按指數(shù)規(guī)律單調(diào)上升并最終趨于1的曲線。ssR1)(,111)(sTssYTteTssLsTsLty1111111)(1111)()()(TssRsYs當(dāng) 時一階系統(tǒng)的單位階躍

13、響應(yīng)曲線 ： 3.2.3 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)n 單位階躍響應(yīng)曲線是單調(diào)上升的指數(shù)曲線，為非周期響應(yīng)；n 時間常數(shù)T反映了系統(tǒng)的慣性，時間常數(shù)T越大，表示系統(tǒng)的慣性越大，響應(yīng)速度越慢，系統(tǒng)跟蹤單位階躍信號越慢，單位階躍響應(yīng)曲線上升越平緩。反之，慣性越小，響應(yīng)速度越快，系統(tǒng)跟蹤單位階躍信號越快，單位階躍響應(yīng)曲線上升越陡峭。由于一階系統(tǒng)具有這個特點，工程上常稱一階系統(tǒng)為慣性環(huán)節(jié)或非周期環(huán)節(jié)。 3.2.3 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)-特點n 單位階躍響應(yīng)曲線的斜率為：1( )tTy teT0,1)(tetyTt顯然在t=0處的斜率為1/T，并且隨時間的增加斜率變小。下表表示了單位階躍響應(yīng)曲線上各點的值

14、、斜率與時間常數(shù)T之間的關(guān)系。 根據(jù)這一特點，可用實驗的方法測定一階系統(tǒng)的時間常數(shù)，或測定系統(tǒng)是否屬于一階系統(tǒng)。 n 一階系統(tǒng)跟蹤單位階躍信號時，輸出量和輸入量之間的位置誤差隨時間減小，最后趨于零。 輸出量和輸入量之間的位置誤差： Ttetytte)()( 1)(穩(wěn)態(tài)位置誤差 ：0lim)(limTtttete當(dāng)一階系統(tǒng)的輸入信號為單位斜坡信號r(t)=t，其拉氏變換為R(s)=1/s2，則系統(tǒng)的輸出為:TsTsTssTsTssRsY/111111)()(22上式的拉氏反變換稱為一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng) ：( )(1),0tTy ttTet 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線 ：曲線1表示輸入單位斜坡信

15、號r(t)=t，曲線2和曲線3分別表示系統(tǒng)時間常數(shù)等于T和2T時的單位斜坡響應(yīng)曲線。 3.2.4 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)n 一階系統(tǒng)在跟蹤單位斜坡信號時，總是存在位置誤差，并且位置誤差的大小隨時間而增大，最后趨于常值T。位置誤差的大小與系統(tǒng)的時間常數(shù)T也有關(guān)，T越大，位置誤差越大，跟蹤精度越低。反之，位置誤差越小，跟蹤精度越高。 3.2.4 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)特點系統(tǒng)的輸入量和輸出量之間的位置誤差為：)1 ()()()(TteTtytrte系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位置誤差為 ：TeTteTttt)1 (lim)(limn 單位斜坡響應(yīng)曲線的斜率為： ( )1tTy te 顯然在t=0時其斜率為零，并且隨

16、時間的增加斜率變大，最大斜率為1。 當(dāng)一階系統(tǒng)的輸入信號為單位加速度信號r(t)=t2/2，其拉氏變換為R(s)=1/s3，則系統(tǒng)的輸出為:上式的拉氏反變換稱為一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng) ：TsTsTsTssTsTssRsY/111111)()(222330)1 (21)(22teTTtttyTt，一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)曲線 ：曲線1表示輸入單位加速度信號r(t)=t2/2 ，曲線2和曲線3分別表示系統(tǒng)時間常數(shù)等于T和2T時的單位加速度響應(yīng)曲線。 3.2.5 一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)n 一階系統(tǒng)在跟蹤單位加速度信號時，總是存在位置誤差，而且位置誤差的大小隨時間而增大，最后趨于無窮大。因此，一階

17、系統(tǒng)不能實現(xiàn)對單位加速度信號的跟蹤。n 系統(tǒng)的輸入量和輸出量之間的位置誤差為：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位置誤差為： )1 ()()()(2TteTTttytrte)1 (lim)(lim2TttteTTtte 3.2.5 一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)特點n 單位脈沖信號與單位階躍信號的一階導(dǎo)數(shù)、單位斜坡信號的二階導(dǎo)數(shù)和單位加速度信號的三階導(dǎo)數(shù)相等。n 單位脈沖響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)的一階導(dǎo)數(shù)、單位斜坡響應(yīng)的二階導(dǎo)數(shù)和單位加速度響應(yīng)的三階導(dǎo)數(shù)也相等。3.2.5 一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)線性系統(tǒng)的特點結(jié)論一：一階系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，等于一階系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。結(jié)論二：這個性質(zhì)是線性定常系統(tǒng)的一個重要特性，

18、適用于任何階的線性定常系統(tǒng)，而線性時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)則不具有這個特性。由：得：n 延遲時間td ：延遲時間定義為輸出響應(yīng)第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時間。 Ttde15 . 0Ttd693. 0n 上升時間tr：設(shè)一階系統(tǒng)輸出響應(yīng)達(dá)到10%穩(wěn)態(tài)值的時間為t1，達(dá)到90%穩(wěn)態(tài)值的時間為t2，則有: Tte111 . 0Tte219 . 0Tt10536. 01Tt30259. 22解得：所以上升時間tr為：Ttttr197. 212 3.2.6 一階系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)n 調(diào)整時間ts :假設(shè)系統(tǒng)的誤差帶寬度為,則根據(jù)調(diào)整時間的定義有:Ttse1%15324%ln，TTTts得：n 峰值時間t

19、p 和超調(diào)量%： 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線為單調(diào)上升的指數(shù)曲線，沒有振蕩，所以峰值時間和超調(diào)量不存在。 例1：已知一階系統(tǒng)的方塊圖如圖所示。試求該系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的調(diào)整時間ts；若要求ts0.1秒，求此時的反饋系數(shù)。)(sC-s100)(sR0.1解：由系統(tǒng)方塊圖求出閉環(huán)傳遞函數(shù)：11 . 010101001 . 01001100)()()(sssssRsYs由閉環(huán)傳遞函數(shù)知時間常數(shù)T=0.1秒所以：ts=3T=0.3秒（5）若要求ts0.1秒，求此時的反饋系數(shù)。 可設(shè)反饋系數(shù)為k101. 011001100)()()(skkksssRsYs當(dāng) ，則 ，即 時ts0.1秒kT01. 01 .

20、 003. 03kTts3 . 0k)(sC-s100)(sRk由此可知：對一階系統(tǒng)而言反饋加深可使調(diào)節(jié)時間減小。反饋加深對系統(tǒng)的響應(yīng)還有什么影響？)1 (310)(30tety由此可知：反饋加深還將使輸出幅值減小。)3011(31013010013 . 01001100)(ssssssssY 3.3 典型二階系統(tǒng)的瞬態(tài)性能 3.3.1 典型二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 3.3.2 典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 3.3.3 典型二階系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo) 3.3.4 二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能的改善開環(huán)傳遞函數(shù)為:sssGnn2)(22閉環(huán)傳遞函數(shù)為:2222)(1)()(nnnsssGsGs)2(2nnss)(sR)

21、(sY-典型結(jié)構(gòu)的二階系統(tǒng)如右圖所示： 由二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。它在控制工程中的應(yīng)用極為廣泛。許多高階系統(tǒng)在一定的條件下，也可簡化為二階系統(tǒng)來研究。典型二階系統(tǒng)的微分方程 ：0)()(2)(222ttrtydtdyTdttydT， 3.3.1 典型二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 稱為典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)， 稱為阻尼系數(shù)， 稱為無阻尼振蕩圓頻率或自然頻率。這兩個參數(shù)稱為二階系統(tǒng)特征參數(shù)。T稱為二階系統(tǒng)的時間常數(shù)。 )(sn1212)(1)()(22222TssTsssGsGsnnn122, 1nnp其特征根為：二階系統(tǒng)的特征方程為：0222nnss注意：當(dāng) 不同時，特征根有不同的形式，系統(tǒng)的

22、階躍響應(yīng)形式也不同。它的階躍響應(yīng)有振蕩和非振蕩兩種情況。 當(dāng) 時，特征方程有一對共軛的虛根，稱為零(無)阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為持續(xù)的等幅振蕩。0 當(dāng) 時，特征方程有一對實部為負(fù)的共軛復(fù)根，稱為欠阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為衰減的振蕩過程。10 當(dāng) 時，特征方程有一對相等的實根，稱為臨界阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過程。1 當(dāng) 時，特征方程有一對不等的實根，稱為過阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過程。1122, 1nnp當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時， ，有： ssR1)(ssssssYnnn121)()(222222221)()(nnnssssssY0cos1)(tttyn當(dāng) 時，極點為：0nj

23、p2, 1 此時輸出將以頻率 做等幅振蕩，所以, 稱為無阻尼振蕩圓頻率。nn121)()(22211sssLssLtynnn 3.3.2 典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)輸入階躍信號和階躍響應(yīng)之間的誤差 ：0cos)(1)()()(tttytytrten， 誤差曲線呈現(xiàn)等幅振蕩形式。即系統(tǒng)在無阻尼情況下，不能跟蹤輸入的單位階躍信號。 2222222121)(nnnnnnssssssssY2222)()(221nnnnnssss222)1()(1nnnnsss222222)1()()1()(1nnnnnnssss 當(dāng) 時，系統(tǒng)極點為：1022, 11nnjp 稱為阻尼振蕩頻率。 21nd0,)1sin

24、(1)1cos(1)(222tttetynntn22222222)1()(11)1()(1nnnnnnssss)sin()(22btebasbat)cos()(22btebasasat0, )11sin(11)(2122ttgtetyntn0, )11sin(11)(2122ttgtetyntnn 在欠阻尼(0-p2時，在兩個衰減的指數(shù)項中，后者衰減的速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)快于前者，即此時二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)主要由前者來決定，或者說主要由極點p1決定，因而過阻尼二階系統(tǒng)可以由具有極點-p1的一階系統(tǒng)來近似表示。 上述四種情況分別稱為二階無阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼系統(tǒng)。其阻尼系數(shù)、特征根、極點分布和單位階

25、躍響應(yīng)形式如下表所示：單位階躍響應(yīng)極點位置特征根阻尼系數(shù)單調(diào)上升兩個互異負(fù)實根單調(diào)上升一對負(fù)實重根 衰減振蕩一對共軛復(fù)根(左半平面） 等幅周期振蕩一對共軛虛根 無阻尼, 0njs2, 1欠阻尼, 1o22, 11nnjs臨界阻尼，1)(2, 1重根ns過阻尼，1122, 1nns可以看出：隨著 的增加，y(t)將從無衰減的周期運動變?yōu)橛兴p的正弦運動，當(dāng) 時y(t)呈現(xiàn)單調(diào)上升運動(無振蕩)?？梢?反映實際系統(tǒng)的阻尼情況，故稱為阻尼系數(shù)。1（一）衰減振蕩瞬態(tài)過程 ：) 10(0, )11sin(11)(2122ttgtetyntn 上升時間 ：根據(jù)定義，當(dāng) 時， 。rtt rt1)(rty1)

26、11sin(112122tgterntrn0)11sin(212tgtrn，210211212kktgtrn 3.3.3 典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)（衰減振蕩瞬態(tài)過程）取 k=0，得： )1(111121212tgtgtdnr 稱為阻尼角，這是由于 。cos21)(tgtg而21ndrt)1(21tg2211nntgn21nj21njn 峰值時間 ：當(dāng) 時，ptptt 0)(pty0)cos(1)sin(1)(22pddtpdtntetetypnpntgttgndpd21)(整理得：,.)2 , 1 , 0( nntpd由于 出現(xiàn)在第一次峰值時間，取n=1，有：dnpt21pt0, )sin(11

27、)(2ttetydtn211tg其中0)cos()sin(pddpdntt00.10.20.30.40.50.60.70.80.910510152025rnpnttdrtdptsin11)sin(11)(212122eetyp 最大超調(diào)量 ：%max)()(ytytyp得將峰值時間 代入dpt0, )sin(11)(2ttetydtn21sinn21nj21njn211)(etyp%100) 1)(%100)()()(%pptyyyty故：%100%21e%100%10021ctgeenn最大超調(diào)量僅與阻尼系數(shù)有關(guān)。 調(diào)節(jié)時間 ：st可見，寫出調(diào)節(jié)時間的表達(dá)式是困難的。由右圖可知響應(yīng)曲線總在一

28、對包絡(luò)線之內(nèi)。包絡(luò)線為： 根據(jù)調(diào)節(jié)時間的定義，當(dāng)tts時 |y(t) - y()| y() %。%)1tgsin(1212tedtn211)(tbnetynst%)1ln(2當(dāng)t=ts時，有： 由于實際響應(yīng)曲線的收斂速度比包絡(luò)線的收斂速度要快，因此可用包絡(luò)線代替實際響應(yīng)來估算調(diào)節(jié)時間。即認(rèn)為響應(yīng)曲線的包絡(luò)線進(jìn)入誤差帶時，調(diào)整過程結(jié)束。當(dāng) 較小時，近似?。?，且1124912. 3)02. 0ln(3996. 2)05. 0ln(時當(dāng)時當(dāng)52,3,4nnst所以%1112snte說明：n 調(diào)整時間與系統(tǒng)特征根的實部數(shù)值成反比。系統(tǒng)特征根距虛軸的距離越遠(yuǎn)，系統(tǒng)的調(diào)整時間越短。 n 由于阻尼系數(shù)z的

29、選取主要是根據(jù)對系統(tǒng)超調(diào)量的要求來確定的，所以調(diào)整時間主要由無阻尼振蕩頻率wn決定。n 若能保持阻尼系數(shù)不變而增加無阻尼振蕩頻率wn值，則可以在不改變超調(diào)量的情況下縮短調(diào)整時間。 52當(dāng)當(dāng),3,4nnst22, 11nnjp5. 振蕩次數(shù)N：振蕩次數(shù)定義為在0t1，其單位階躍響應(yīng)為： 01)11(1211)(21222121212)1(2)1(2teTTTeTTTeetyTtTtttnn，同樣可以根據(jù)確定的阻尼系數(shù) 值，由牛頓迭代法求得系統(tǒng)的調(diào)整時間。比如： 當(dāng)1.25時： 5/6 . 62/4 . 8，nnst過阻尼二階系統(tǒng)調(diào)整時間曲線通常，都希望控制系統(tǒng)有較快的響應(yīng)時間，即希望系統(tǒng)的阻尼系

30、數(shù)在01之間。而不希望處于過阻尼情況(1)，因為調(diào)節(jié)時間過長。但對于一些特殊的系統(tǒng)不希望出現(xiàn)超調(diào)系統(tǒng)（如液位控制）和大慣性系統(tǒng)（如加熱裝置），則可以處于(1)的情況。 需要說明的是，在所有非振蕩過程中，臨界阻尼系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間最小。極點位置與階躍響應(yīng)形式的關(guān)系單位階躍響應(yīng)極點位置特征根阻尼系數(shù)單調(diào)上升兩個互異負(fù)實根單調(diào)上升一對負(fù)實重根 衰減振蕩一對共軛復(fù)根(左半平面） 等幅周期振蕩一對共軛虛根 無阻尼, 0njs2,1欠阻尼, 1o22, 11nnjs臨界阻尼，1)(2, 1重根ns過阻尼，1122, 1nns 3.3.3 典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)（小結(jié)） 阻尼系數(shù)、阻尼角與最大超調(diào)量的關(guān)系 =c

31、os-1 % =cos-1 %0.184.2672.90.6946.3750.278.4652.70.745.574.60.372.5437.230.707454.30.466.4225.380.7838.7420.56016.30.836.871.50.653.139.840.925.840.15極點位置與特征參數(shù)、n及性能指標(biāo)的關(guān)系 極點距虛軸的距離與系統(tǒng)的調(diào)整時間成反比(00.8) n是極點到原點的直線距離，距離越大振蕩頻率越高。對于臨界阻尼和過阻尼情況，此規(guī)律也存在。 為了改善系統(tǒng)性能而改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)或附加具有一定功能的環(huán)節(jié)的方法稱為對系統(tǒng)進(jìn)行校正。附加環(huán)節(jié)稱為校正環(huán)節(jié)。比例微分

32、控制和速度反饋是較常用的校正方法。1比例微分控制：比例微分控制，通常是在系統(tǒng)的前向通道上加入比例微分控制環(huán)節(jié)，該環(huán)節(jié)由比例環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)并聯(lián)而成，其傳遞函數(shù)為： skksGdpc)(式中，和kp和kd分別稱為比例和微分系數(shù)。 3.3.4 改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施-比例微分控制具有比例微分校正的二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為: pndnndpnksksskksRsYs2222)2()()()()(改寫為: 2222)(1)(kdkdkdkdsszszs/2ndkdpnkdpkkk，,dpkkz 其中: 二階系統(tǒng)引進(jìn)比例微分校正后，當(dāng)比例系數(shù)kp1時，系統(tǒng)的無阻尼振蕩頻率kd和阻尼系數(shù)kd都增大了，這

33、是否表明系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時間都將減小，從而使系統(tǒng)的瞬態(tài)性能得到改善呢？ 具有零點的二階系統(tǒng)的零、極點位置： 2222)(1)(nnnsszszs22212211nnnnzzlztgtg，1-系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為： )()()2(1)2(1)()(21222222sYsYsssszssssssYnnnnnn)2(1)(,)2()(22222221nnnnnnsssszsYssssY01sin11)11sin(11)()()(22212221tteztgtetytytyntnntnn，分別為典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和附加零點引起的分量。 2222)(1)(nnnsszszs)2(1)(,)2(

34、)(22222221nnnnnnsssszsYssssY)(1)(12ssYzsY又：即：dttdyzty)(1)(12因此，具有附加零點二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)還可以寫為：dttdyztyty)(1)()(11由圖看出：由于y2的影響，使得具有附加零點的二階系統(tǒng)比典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)具有更快的響應(yīng)速度和更大的超調(diào)量 。 為了更加清楚地說明附加零點對二階系統(tǒng)的影響，用a表示附加零點與典型二階系統(tǒng)復(fù)數(shù)特征根的實部之比，即：nza附加零點位置對y(t)的影響 隨著a的減小，即附加零點越趨向于虛軸，y(t)的超調(diào)量將明顯增大，附加零點對系統(tǒng)的影響愈加顯著。 具有附加零點的二階系統(tǒng)主要性能指標(biāo) y

35、(t)緊湊形式： )1sin(11)(22tzletyntn2超調(diào)量%： %,1002%21)(222errzrn/21)(nrt1上升時間tr 3調(diào)整時間ts ：)5(1)ln3()2(1)ln4(，nsnszltzlta與超調(diào)量%的關(guān)系 超調(diào)量%與a的關(guān)系: 例如：當(dāng)=0.3，a=7或=0.5，a=4時，附加零點對系統(tǒng)超調(diào)量的影響可以忽略。 l 典型二階系統(tǒng)引入比例微分校正后，系統(tǒng)的無阻尼振蕩頻率wn和阻尼系數(shù)z都可以增加。從這個角度說，系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時間可以減小。l 同時系統(tǒng)的表現(xiàn)形式變?yōu)楦郊恿艘粋€零點的二階系統(tǒng)，附加一個零點的二階系統(tǒng)相對典型二階系統(tǒng)（在無阻尼振蕩頻率wn和阻尼系數(shù)z不變的情況下 ）來說，超調(diào)量增大，響應(yīng)速度加快。l 綜合起來，典型二階系統(tǒng)引入比例微分校正后，只要比例系數(shù)kp和微分系數(shù)kd選擇恰當(dāng)，其瞬態(tài)性能指標(biāo)能得到較好的改善。 討論：引進(jìn)比例微分校正前后，二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線的一個例子 曲線1、2分別為未引入和引入比例微分校正后的單位階躍響應(yīng)曲線。很顯然，引入比例微分校正后，系統(tǒng)的響應(yīng)速度加快，超調(diào)量和調(diào)整時間減小。2速度反饋校正： 利用系統(tǒng)輸出信號y(t)的微分作為反饋信號，與輸出