第4章 平衡方程的應(yīng)用

1、4.1&4.2 物體系的平衡物體系的平衡 靜定和靜不定問(wèn)題靜定和靜不定問(wèn)題靜定體系：未知量數(shù)目等于獨(dú)立平衡方程數(shù)目靜定體系：未知量數(shù)目等于獨(dú)立平衡方程數(shù)目超靜定體系：未知量數(shù)目多于獨(dú)立平衡方程數(shù)目超靜定體系：未知量數(shù)目多于獨(dú)立平衡方程數(shù)目PABCFAFBFCPABFBFAD1m2m1mABCFEPAQCBDE解：解：(1)取整體為研究對(duì)象取整體為研究對(duì)象已知：已知：P=0.4kN，Q=1.5kN， sin=4/5 ；D,E為中點(diǎn)，為中點(diǎn)， ABl ，桿重不計(jì)，桿重不計(jì)， 求：求：支座支座A、C的反力。的反力。AQCBPDEFAxFAyFCxFCy解得解得:PABFBxFByFAxFAy解上述方

2、程，得解上述方程，得(2)取取AB為研究對(duì)象為研究對(duì)象代入（代入（3）式得）式得DBPACHLaa45ra 圖示構(gòu)架，各桿及圓盤圖示構(gòu)架，各桿及圓盤的重量均不計(jì)，的重量均不計(jì)，試求：試求：A、C的約的約束反力和束反力和DC桿內(nèi)力。桿內(nèi)力。FDCDBHPF1BxFByF解解: (1)取取BC和圓盤和圓盤為研究對(duì)象為研究對(duì)象 0 FMBo1sin45Pr0DCaFF ar（2）取整體為研究對(duì)象）取整體為研究對(duì)象DBCH45APF1FC 0 FMA 021 raFrarPaFCGF3 mG1 m6 m6 m6 m 三鉸拱橋如圖所示，已三鉸拱橋如圖所示，已知每段重知每段重G = 40 kN，重心分別在

3、，重心分別在D，E處，且橋面受一集中荷載處，且橋面受一集中荷載F =10 kN。試求各鉸鏈中的力。試求各鉸鏈中的力。例例 題題 3 qABqABCDFByFBxFAyFAxqABCDaaaFDyFDx已知已知:a=2m，q=3kN/m 求：求：支座支座A、D的反力。的反力。解：解：取取AB部分為研究對(duì)象部分為研究對(duì)象 0 FMB021 AyaFaqaFAyFAx取取ABCD部分為研究對(duì)象部分為研究對(duì)象求：求：A、C處的反力。處的反力。練習(xí)：圖示構(gòu)架桿重不計(jì)練習(xí)：圖示構(gòu)架桿重不計(jì)分分 析析CM=600N.mBFCFBBF q=25N/mABDP=500No45q=25N/mABCD4m4m3mP

4、=500NM=600N.mo45EqaaaaaABCD 已知如圖，構(gòu)架桿重已知如圖，構(gòu)架桿重不計(jì)，不計(jì)，試求：試求：A、E的約束反的約束反力和力和BC桿內(nèi)力。桿內(nèi)力。FAyFAxFECDqFDxFDy解：解：(1) 取整體為研究對(duì)象取整體為研究對(duì)象解得：解得：(2) 取曲桿取曲桿CD為研究對(duì)象為研究對(duì)象解得：解得：FC 圖示構(gòu)架自重不計(jì)，圖示構(gòu)架自重不計(jì)，已知：已知：q=1.5kN/m，P1=10 kN，P2=20 kN 求：求：支座支座A、B處的約束反力。處的約束反力。DABCEP2P12m 2m4m4m6m2m2m3mq解解: (1) 取取DE部分為研究對(duì)象部分為研究對(duì)象DEP2P1FDF

5、ExFEyFDFAyFByFBxFAx kN1542022402121PPFPPF,FMDDE(2) 取整體為研究對(duì)象取整體為研究對(duì)象 0432488012DByAFPP. qF,FM0802 qPFFF,YDByAyDABCEP2P12m 2m4m4m6m2m2m3mqFDFAyFByFBxFAx001PFF,XBxAx4.75kN12.25kNAyByFF(2) 取取BC部分為研究對(duì)象部分為研究對(duì)象BFByFBxFCxFCyCq 024840. qFF,FMBxByC844.63kN85.37kNByBxAxqFFF 1m1mAC1m1mMqB 圖示連續(xù)梁，自圖示連續(xù)梁，自重不計(jì)，重不計(jì)，

6、已知：已知：M = 10kNm, q=2kN/m，試試求：求：支支座座A、C的反力。的反力。BCqMCAqFAxFAyMAFCxFCy FBFAxFAyMA FB解：解：(1) 取取BC為研究對(duì)象為研究對(duì)象解得解得:(2) 取取AC為研究對(duì)象為研究對(duì)象解得解得:500N500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2m 圖示結(jié)構(gòu)，各桿的自重不圖示結(jié)構(gòu)，各桿的自重不計(jì)，計(jì)，試求：試求：D、E的約束反力。的約束反力。500NDCEFDxFDyFExFEyFAxFAyFB解：解：(1)取取CDE為研究對(duì)象為研究對(duì)象解上述方程，得解上述方程，得(2)取整體為研究對(duì)象取整體為研究對(duì)象解得解得:500N500

7、NAHDCGEB2m2m2m2m2m2m500NDCEFDxFDyFExFEyFAxFAyFB1000NN,500,N1000BEyDyFFFGEBExF EyF FGxFGyFB(3) 取取BEG為研究對(duì)象為研究對(duì)象解得解得:代入（代入（3）式得）式得:如果取整體為研究對(duì)象時(shí)，如果取整體為研究對(duì)象時(shí)，A支座的反力都要求出來(lái)么支座的反力都要求出來(lái)么？qMABCDEH2m2m2m2m1m1m 圖示構(gòu)架，各桿自圖示構(gòu)架，各桿自重不計(jì)，重不計(jì)，已知：已知：q=50kN/m, M=80kNm；試求：試求： A、B的的約束反力。約束反力。BCDqMEDFNBFAxFAyFCxFCyFNBDxF DyF

8、FDxFDyFNEH解：解：(1) 取取DE桿為研究對(duì)象桿為研究對(duì)象(2) 取取BDC桿為研究對(duì)象桿為研究對(duì)象(3) 取整體為研究對(duì)象取整體為研究對(duì)象解得：解得：qABC2aaaaaPD試求：試求：A處的反力。處的反力。練習(xí)練習(xí) 圖示構(gòu)架的桿件的圖示構(gòu)架的桿件的重量不計(jì)。重量不計(jì)。 CqBDFBxFByF1qABCPDF1FAxFAyMA練習(xí)練習(xí) 圖示構(gòu)架各桿的圖示構(gòu)架各桿的自重不計(jì)自重不計(jì)試求試求CE桿的內(nèi)力。桿的內(nèi)力。30ABDCEaqqDCqABqFCBFCEFBC4.3 平面簡(jiǎn)單桁架的內(nèi)力計(jì)算平面簡(jiǎn)單桁架的內(nèi)力計(jì)算桁架的桿件都是直的；桁架的桿件都是直的；桿件用光滑的鉸鏈連接；桿件用光滑

9、的鉸鏈連接；荷載均作用在節(jié)點(diǎn)上；荷載均作用在節(jié)點(diǎn)上；重量平均分配在節(jié)點(diǎn)上。重量平均分配在節(jié)點(diǎn)上。理想桁架理想桁架 桁架是一種由桿件彼此在兩端用桁架是一種由桿件彼此在兩端用鉸鏈連接而成的結(jié)構(gòu)，它在受力后鉸鏈連接而成的結(jié)構(gòu)，它在受力后幾何形狀不變。幾何形狀不變。 節(jié)點(diǎn)法節(jié)點(diǎn)法 截面法截面法 以整體為研究對(duì)象，以整體為研究對(duì)象，30FBx 平面桁架的尺寸和支座如圖平面桁架的尺寸和支座如圖所示。在節(jié)點(diǎn)所示。在節(jié)點(diǎn)D處受一集中載荷處受一集中載荷F=10 kN的作用。試求桁架各桿件所受的內(nèi)的作用。試求桁架各桿件所受的內(nèi)力。力。30FD30FDF2F1FAyAF3F4DF5F 如圖所示平面桁架，各桿件如圖所

10、示平面桁架，各桿件的長(zhǎng)度都等于的長(zhǎng)度都等于1 m。在節(jié)點(diǎn)。在節(jié)點(diǎn)E上作用載上作用載荷荷FE =10 kN，在節(jié)點(diǎn)，在節(jié)點(diǎn)G上作用載荷上作用載荷FG = 7 kN。試計(jì)算桿。試計(jì)算桿1，2和和3的內(nèi)力。的內(nèi)力。FE123解：FByFAxFEFGFAymm 用截面用截面m-m將三桿截?cái)?，選將三桿截?cái)?，選取左段為研究對(duì)象。取左段為研究對(duì)象。 F1FAxFAyF2FEF3FByFAxFEFGFAy1FFFFF6aABb例例 題題 12求求1桿的內(nèi)力桿的內(nèi)力mn F.FaFaFaFaFFaaFFMAAB520543260解：解： 整體為研究對(duì)象整體為研究對(duì)象再以截面再以截面mn左面部分為研究對(duì)象左面部分

11、為研究對(duì)象 FbaFaFbFFaFMAC402011FAFBFFAF1F2F3CFAF4(1) 兩桿相交，節(jié)點(diǎn)無(wú)外力作用，兩桿相交，節(jié)點(diǎn)無(wú)外力作用，則兩桿都是零桿則兩桿都是零桿;(2) 三桿相交，其中兩桿共線，節(jié)點(diǎn)三桿相交，其中兩桿共線，節(jié)點(diǎn)無(wú)外力作用，則第三桿為零桿。無(wú)外力作用，則第三桿為零桿。PPP12345678910PPACBGDE123aaaaaCPPBGDEF3F1F2F4F5FBPPGDEF1F2F6F7mnqr零桿：零桿：ABCDEGPnmFDE=0BDGPFDCFDEFDAFGCFB練習(xí)練習(xí) 已知：已知：等邊三角形等邊三角形ABC，其中，其中E、D、G為各為各邊中點(diǎn)。邊中點(diǎn)。

12、求：求：CD桿的內(nèi)力桿的內(nèi)力 FMHABCDOEFG思考題思考題已知：各桿的自重不計(jì)。已知：各桿的自重不計(jì)。HAB平行于平行于EFG,OCD垂直于垂直于AB, 角度角度 30o, 除除AB,CD外外,各桿各桿的長(zhǎng)度均為的長(zhǎng)度均為 。求。求AB桿的內(nèi)力。桿的內(nèi)力。l解：解：選圖選圖(a)為隔離體圖，求出為隔離體圖，求出BC桿的內(nèi)力桿的內(nèi)力FBC ，然后再以，然后再以B節(jié)點(diǎn)為對(duì)象，求出節(jié)點(diǎn)為對(duì)象，求出FAB。 lMFcoslM.F,FMBCBCG32302CG0CG.sin600oo參考受力圖參考受力圖(b)， 選選 軸與軸與FOB垂直。垂直。BFBCFABFOBx(b)FMCDEFFGxFGyF

13、BCFAC(a)lMFCOS.FCOS.F,FABABBCx332060300OOx1. 接觸表面的粗糙性接觸表面的粗糙性2. 分子間的引力分子間的引力 一一. 關(guān)于摩擦現(xiàn)象關(guān)于摩擦現(xiàn)象按兩物體的按兩物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)形式相對(duì)運(yùn)動(dòng)形式分，有分，有滑動(dòng)摩擦滑動(dòng)摩擦和和滾動(dòng)摩阻。滾動(dòng)摩阻。按兩物體間按兩物體間是否有良好的潤(rùn)滑是否有良好的潤(rùn)滑，滑動(dòng)摩擦又可分為滑動(dòng)摩擦又可分為干摩擦干摩擦和和濕摩擦濕摩擦。4.4 考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題 實(shí)驗(yàn)室測(cè)定摩實(shí)驗(yàn)室測(cè)定摩擦系數(shù)的原理擦系數(shù)的原理有關(guān)摩擦角的概念，有關(guān)摩擦角的概念，摩擦錐的形成。摩擦錐的形成。maFwFNF二二. 摩擦定律摩擦定律F

14、PFNFsPFN兩個(gè)表面粗糙的物體，當(dāng)其接觸表面之間有兩個(gè)表面粗糙的物體，當(dāng)其接觸表面之間有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)或相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，彼此作用有阻相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)或相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，彼此作用有阻礙相對(duì)滑動(dòng)的阻力礙相對(duì)滑動(dòng)的阻力滑動(dòng)摩擦力滑動(dòng)摩擦力 靜滑動(dòng)摩擦力的大小必須由平衡方程確定靜滑動(dòng)摩擦力的大小必須由平衡方程確定靜摩擦定律：靜摩擦定律：最大靜摩擦力的大小與兩物體間的正壓力成正比最大靜摩擦力的大小與兩物體間的正壓力成正比FNFsFRAAFmaxFNFRAAFRA=FN+FS全約束反力全約束反力 摩擦角摩擦角全約束反力與法線間夾角的最大值全約束反力與法線間夾角的最大值 FRAAFN摩擦角的正切等于靜摩擦系數(shù)摩擦角的正

15、切等于靜摩擦系數(shù)3. 動(dòng)滑動(dòng)摩擦力動(dòng)滑動(dòng)摩擦力三三. 考慮摩擦?xí)r物體的平衡考慮摩擦?xí)r物體的平衡考慮摩擦?xí)r系統(tǒng)平衡問(wèn)題的特點(diǎn)考慮摩擦?xí)r系統(tǒng)平衡問(wèn)題的特點(diǎn)(1) 當(dāng)當(dāng)0FFmax時(shí)，時(shí)，F(xiàn)是一個(gè)未知量，用平衡方程求出。是一個(gè)未知量，用平衡方程求出。(2) 當(dāng)為當(dāng)為F=Fmax=fs FN的臨界平衡時(shí)的臨界平衡時(shí), 此時(shí)此時(shí),有摩擦定律可有摩擦定律可以作為補(bǔ)充方程，其指向必須與運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)相反。以作為補(bǔ)充方程，其指向必須與運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)相反。(3) 當(dāng)運(yùn)動(dòng)后當(dāng)運(yùn)動(dòng)后, F=f FN一般屬于動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。一般屬于動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。 檢驗(yàn)物體是否平衡；檢驗(yàn)物體是否平衡； 臨界平衡問(wèn)題；臨界平衡問(wèn)題； 求平衡范圍問(wèn)題。求平

16、衡范圍問(wèn)題。PQFmaxFN解：解：取物塊為研究對(duì)象，先求其最大值。取物塊為研究對(duì)象，先求其最大值。解得：解得：（2）求其最小值。）求其最小值。解得：解得：求：求：平衡時(shí)水平力平衡時(shí)水平力 Q 的大小。的大小。已知：已知：P，fsPQFmaxFNPQmaxFR PQminFRFRPQmax+PQminFR用幾何法求解前一個(gè)例題用幾何法求解前一個(gè)例題P P P PFF1 243 已知：已知： P=10N，書之間，書之間 fs1 =0.1，手與書手與書 fs2 = 0.25。問(wèn)：?jiǎn)枺阂崞疬@四本書需加的最小壓力。要提起這四本書需加的最小壓力。FsFsPF1FsF12FN1P2解：解：（1）取整體為

17、研究對(duì)象取整體為研究對(duì)象Fs=20N（2）取書）取書1為研究對(duì)象為研究對(duì)象（3）取書）取書2為研究對(duì)象為研究對(duì)象FN1F12FN2F23請(qǐng)大家回去考慮最多能提起多少本書MeaABdbABOFNAFAD解：解：取推桿為研究對(duì)象取推桿為研究對(duì)象考慮平衡的臨界情況，可得補(bǔ)充方程考慮平衡的臨界情況，可得補(bǔ)充方程已知：已知：fs，b 。求：求：a為多大，推桿才不致被卡。為多大，推桿才不致被卡。FNBFBF極限aCFABObad解解: 由圖示幾何關(guān)系得由圖示幾何關(guān)系得用幾何法求解例用幾何法求解例16即即2sbafPF30 問(wèn)題問(wèn)題1 已知摩擦角已知摩擦角= 20，F(xiàn)=P，問(wèn)物塊動(dòng)不動(dòng)？為什么？問(wèn)物塊動(dòng)不動(dòng)

18、？為什么？PF30FR2015 問(wèn)題問(wèn)題2 已知摩擦角均為已知摩擦角均為 ，問(wèn)欲使問(wèn)欲使楔子打入后不致滑出，在兩種情況下的楔子打入后不致滑出，在兩種情況下的 ，物角應(yīng)為若干？物角應(yīng)為若干？FNAFNBFSBFSAFRAFRBFRAFRBFNAFSAFNBFSB練習(xí)練習(xí)已知：已知： P=1000N， fs =0.52若桿重不計(jì)。若桿重不計(jì)。求：求：系統(tǒng)平衡時(shí)的系統(tǒng)平衡時(shí)的Qmax。ABCQ5cm10cm30PBFBCQFBAFBAFNFmaxAOP解解: (1) 取銷釘取銷釘B為研究對(duì)象為研究對(duì)象FBA=2Q(2) 取物塊取物塊A為研究對(duì)象為研究對(duì)象 處于滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)處于滑動(dòng)的臨界平衡狀

19、態(tài)時(shí) FBAFNFAOP 處于翻倒的臨界平衡狀態(tài)時(shí)處于翻倒的臨界平衡狀態(tài)時(shí)ABCQ5cm10cm30P四四. 滾動(dòng)摩阻的概念滾動(dòng)摩阻的概念FPFNFsoAFPoAPFoAFRMPFFNFsoAMFPoAFsFNdCOMCFSCFNCFPCOFP解：解：以輪為研究對(duì)象以輪為研究對(duì)象(1) 滾動(dòng)時(shí)滾動(dòng)時(shí) PRMPRM,FMPFPF,YFFFF,XCCNCNCSCSC000000NCmaxFMMNPRF12 解出得：(2) 滑動(dòng)時(shí)滑動(dòng)時(shí)F1=Fmax=f FNCF=f P=0.620001200 N 已知：已知：輪胎的半徑輪胎的半徑R40 cm,載載重重P2000 kN，F(xiàn)作用與輪軸，滑動(dòng)摩擦作用與

20、輪軸，滑動(dòng)摩擦系數(shù)系數(shù)f0.6，滾動(dòng)摩擦系數(shù)，滾動(dòng)摩擦系數(shù)0.24 cm，試求推動(dòng)此輪的力試求推動(dòng)此輪的力F。例題例題19 思考題思考題1：有人想水平地執(zhí)持一迭書，他用手在這迭書的兩端有人想水平地執(zhí)持一迭書，他用手在這迭書的兩端加一壓力加一壓力225N。如每本書的質(zhì)量為。如每本書的質(zhì)量為0.95kg，手與書間的摩擦系數(shù)，手與書間的摩擦系數(shù)為為0.45，書與書間的摩擦系數(shù)為，書與書間的摩擦系數(shù)為0.40。求可能執(zhí)書的最大數(shù)目。求可能執(zhí)書的最大數(shù)目。結(jié)論與討論結(jié)論與討論 思考題思考題2：已知如圖，已知如圖，B處存在摩擦。就處存在摩擦。就（a）、（）、（b）分別回答下述問(wèn)題：）分別回答下述問(wèn)題：MF

21、ACBBAF(a)(b)(1) 能否確定能否確定B處的法向反力？處的法向反力？(2) 能否確定能否確定B處的摩擦力？處的摩擦力？(3) 問(wèn)題是靜定，還是靜不定的？問(wèn)題是靜定，還是靜不定的？ 思考題思考題3：均質(zhì)桿重均質(zhì)桿重P，長(zhǎng)，長(zhǎng)l，置于粗糙的水平面上，兩者間的靜置于粗糙的水平面上，兩者間的靜摩擦系數(shù)為摩擦系數(shù)為fs。現(xiàn)在桿的一端施加?，F(xiàn)在桿的一端施加與桿垂直的水平力與桿垂直的水平力F，試求使桿處，試求使桿處于平衡時(shí)的于平衡時(shí)的設(shè)桿的高度忽略不設(shè)桿的高度忽略不計(jì)。計(jì)。FqqFmaxlPfqs ABCxl-x2lx 12 PfFsmax 思考題思考題4：重量均為重量均為 的小球的小球A、B用一

22、不計(jì)重量的桿連結(jié)。放置在用一不計(jì)重量的桿連結(jié)。放置在水平桌面上，球與桌面間摩擦系數(shù)水平桌面上，球與桌面間摩擦系數(shù)為為 ，一水平力一水平力作用于作用于A球，試球，試求系統(tǒng)平衡時(shí)求系統(tǒng)平衡時(shí) 30ABF30FmaxABFSAFSBOFSBPfFsmax3 結(jié)論與討論結(jié)論與討論2. 物體系平衡物體系平衡問(wèn)題的解答需注意選擇研究對(duì)象，宜問(wèn)題的解答需注意選擇研究對(duì)象，宜先求出一個(gè)未知量。可以整體考慮；也可以從某一先求出一個(gè)未知量?？梢哉w考慮；也可以從某一構(gòu)件開始，依次分析?？傊?，應(yīng)盡量避免解聯(lián)立方構(gòu)件開始，依次分析?？傊?，應(yīng)盡量避免解聯(lián)立方程，力求簡(jiǎn)易。程，力求簡(jiǎn)易。 本章研究平衡方程的應(yīng)用。首先分清

23、靜定與靜本章研究平衡方程的應(yīng)用。首先分清靜定與靜不定問(wèn)題，接著解決物體系的平衡，桁架及摩擦。不定問(wèn)題，接著解決物體系的平衡，桁架及摩擦。1. 靜定或靜不定問(wèn)題靜定或靜不定問(wèn)題是根據(jù)獨(dú)立的平衡方程數(shù)目是根據(jù)獨(dú)立的平衡方程數(shù)目等于或少于未知量的數(shù)目而定。等于或少于未知量的數(shù)目而定。3. 桁架由二力桿鉸接構(gòu)成。求平面靜定桁架各桿內(nèi)力桁架由二力桿鉸接構(gòu)成。求平面靜定桁架各桿內(nèi)力的兩種方法：的兩種方法： 節(jié)點(diǎn)法：節(jié)點(diǎn)法：逐個(gè)考慮桁架中所有節(jié)點(diǎn)的平衡，利用平面匯交力逐個(gè)考慮桁架中所有節(jié)點(diǎn)的平衡，利用平面匯交力系的平衡方程求出各桿的內(nèi)力。應(yīng)注意每次選取的節(jié)點(diǎn)其未知力系的平衡方程求出各桿的內(nèi)力。應(yīng)注意每次選取的節(jié)點(diǎn)其未知力的數(shù)目不宜多于的數(shù)目不宜多于2個(gè)。個(gè)。 截面法截面法 ：截?cái)啻髢?nèi)力的桿件，將桁架截割為兩部