數(shù)理統(tǒng)計復習題第八章

1、第七章假設檢驗三、典型題解例1:某車間用一臺包裝機包裝葡萄糖，包得的袋裝糖重是一個隨機變量，它服從正態(tài)分布.當機器正常時，其均值為0.5千克，標準差為0.015千克.某日開工后為檢驗包裝機是 否正常，隨機地抽取它所包裝的糖9袋，稱得凈重為（千克）：0.498 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512,問機器是否正常？解：根據(jù)樣本值判斷N =0.5還是0.5提出兩個對立假設H 0 : N = N0 = 0.5和 H 1 : N # N0X 選擇統(tǒng)計量：Z =* N(0,1)取定a = 0. 05,二 / . n則 Za/2= Z 0.0 =

2、5196又已知n = 9, s = 0.015,由樣本計算得x= 0.511 ,即有m0 二s /、. n2.2 > 1.96 ,于是拒絕假設H 0,認為包裝機工作不正常例2：某工廠生產(chǎn)的固體燃料推進器的燃燒率服從正態(tài)分布N（N,。2）,N=40cm/s,。=2cm/s,現(xiàn)用新方法生產(chǎn)了一批推進器，從中隨機取n= 25只，測得燃燒率的樣本均值為 x = 41.25cm/ s.設在新方法下總體均方差仍為2cm/s ,問這批推進器的燃燒率是否較以往生產(chǎn)的推進器的燃燒率有顯著的提高？（取顯著性水平 口=0.05）解：根據(jù)題意需要檢驗假設H0: m? m0 40 （即假設新方法沒有提高了燃燒率）

3、，Hi :m> m0 （即假設新方法提高了燃燒率），這是右邊檢驗問題，拒絕域為z= x- m0? z0051.645 ,由s / - n .z= x- m0 =3 . 1 2>5 可得出!4翔拒絕域中故在顯著性水平a = 0.05下拒絕 H0.s / . n即認為這批推進器的燃燒率較以往有顯著提高例3:某切割機在正常工作時，切割每段金屬棒的平均長度為10.5cm,標準差是0.15cm,今從一批產(chǎn)品中隨機的抽取15段進行測量，其結果如下10.410.610.110.410.510.310.310.210.910.610.810.510.710.210.7假定切割的長度服從正態(tài)分布，且

4、標準差沒有變化，試問該機工作是否正常 ？（取顯著性水 平 值 =0.05）2解：因為X N（m,s ）, s = 0.15,要檢驗假設H。： m= 10.5, H1: m1 10.5其 中 n =15, x =10.48, a =0.05,則土也=10.48-吐5=-0.516,查表得二 / . n 0.15/ 15x- m0Z005 =1.645，于是言=-0.516< Z0 05 = 1.645,故接受H0 ,認為該機工作正常. s / yn例4:如果在例3中只假定切割的長度服從正態(tài)分布，問該機切割的金屬棒的平均長度有無顯著變化？解：依題意XN（m,s2）, m,s2均為未知，要檢驗

5、假設H0:m= 10.5, H1:m 10.5,n -15, x -10.48,-0.05, s=0.237, t =x- mb s/ n_ 10.48- 10.5 0.237/7150.327，查t分布表得:ta/2（n- 1）= t0.025（14）= 2.1448> t = 0.327,故接受H0 ,認為金屬棒的平均長度 無顯著變化 例5:某種電子元件的壽命 X（以小時計）服從正態(tài)分布，巴仃2均為未知.現(xiàn)測得16只元件的壽命如下159280101212224379179 264222362168250149260485 170問是否有理由認為元件的平均壽命大于225（小時）?解：依

6、題意需檢驗假設 H 0 ： N M / =225, H1 * >225,B a= 0.05, n =16, x =241.5, s = 98.7259，查表得:t0.05（15）= 1.7531 >x- m0s/、n=0.6685故接受H0 ,認為原件的平均壽命不大于 225小時.例6:在平爐上進行一項試驗以確定改變操作方法的建議是否會增加鋼的得率 ，試驗是在同 一只平爐上進行的.每煉一爐鋼時除操作方法外，其它條件都盡可能做到相同.先采用標準 方法煉一爐，然后用建議的新方法煉一爐，以后交替進行，各煉10爐，其得率分別為(1)標準方法：78.1,72.4, 76.2, 74.3, 7

7、7.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3;(2)新方法：79.1,81.0, 77.3, 79.1,80.0, 78.1,79.1,77.3, 80.2, 82.1;設這兩個樣本相互獨立，且分別來自正態(tài)總體，問建議的新操作方法能否提高得率？(取a = 0.05)解：需要檢驗假設 H0: mi - m2 > 0, H1: m)- m2 < 0.分別求出標準方法和新方法下的樣本 均值和樣本方差：_ 2 一 一_ 2n1 =10, x =76.23, 、 =3.325, n? =10, y =79.43, S2 =2.225,22且 Sw2 =(0- 后 + (

8、0- )S2 = 2.775,查表可知 t005(18)= 1.7341，查表 7-1 知其拒絕 10+ 10- 2.x- y 域 t Mt/n1 +n22).因為 t= ,y 一 = Y.295 <-t0 05(18) =-1.7341,所以拒絕11.sw.10+10H0,即認為建議的新操作方法較原來的方法為優(yōu).例7：有兩臺光譜儀Ix , Iy ,用來測量材料中某種金屬的含量，為鑒定它們的測量結果有無顯著差異，制備了 9件試塊（它們的成分、金屬含量、均勻性等各不相同）,現(xiàn)在分別用這 兩臺機器對每一試塊測量一次，得到9對觀察彳1如下：x(%)0.20 0.300.400.500.600.

9、700.800.901.00y(%)0.10 0.210.520.320.780.590.680.770.89d = x - y （% ）問能否認為這兩臺儀器解：本題中的數(shù)據(jù)是成0.10 0.09 -0.12 0.18 -0.18 0.11 0.12 0.13 0.11去的測量結果有顯著的差異？（口=0.01）對的，即對同一試塊測出一對數(shù)據(jù)，我們看到一對與另一對之間的差異是由各種因素，如材料成分、金屬含量、均勻性等因素引起的.這也表明不能將光譜儀Ix對9個試塊的測量結果（即表中第一行）看成是一個樣本，同樣也不能將表中第二行看成 一個樣本，因此不能用表7-3中第1欄的檢驗法作檢驗.而同一對中兩個

10、數(shù)據(jù)的差異則可看成是僅由這兩臺儀器性能的差異所引起的.這樣，局限于各對中兩個數(shù)據(jù)來比較就能排除種種其他因素，而只考慮單獨由儀器的性能所產(chǎn)生的影響.表中第三行表示各對數(shù)據(jù)的差di =xi - yi,設d1,d2,L ,dn來自正態(tài)總體 N（md,s2）,這里n, s2均為未知，若兩臺機器的性能一樣，則對各數(shù)據(jù)的差異d1,d2,L ,dn屬隨機誤差隨機誤差可以認為服從正態(tài)分布，其均值為零.要檢驗假設H0:md= 0, H1:m0.設d1,d2,L ,dn,的樣本均值d樣本方差s2,按表7-1中第1欄中關于單個正態(tài)分布均值的t檢驗，知拒絕域為：t = -d-0 2to（/2（n1）,由 n= 9,

11、132（8） =t0.005（8） =3.3554, d =0.06, s = 0.1227,可知t = 1.467 < 3.3554,所以接受認為這兩臺儀器H0,認為這兩臺儀器的測量結果無顯著的差異.例8:某廠生產(chǎn)的某種型號的電池,其壽命長期以來服從方差 a2 =5000 (小時2)的正態(tài) 分布，現(xiàn)有一批這種電池，從它生產(chǎn)情況來看，壽命的波動性有所變化.現(xiàn)隨機的取26只 電池，測出其壽命的樣本方差 s2 = 9200 (小時2).問根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動性較以往的有顯著的變化？( a = 0.02)解：要檢驗假設 H0:s2 = 5000, H1:s25000,一一一

12、 一一 2 一一一 2一 2一一n =26, a =0.02,仃0 =5000, /a/2(n -1)=4.01(25) = 44.314,i2(n-1)=鼠(25)=11.524,拒絕域為：(n ?S 三11.524,或(n "產(chǎn) 占 44.314二 0二 0因為(n- ?s = 25 9200 = 46> 44.314 ,所以拒絕 Ho ,認為這批電池的壽命的波動性較 s 025000以往的有顯著的變化.例9: 一自動車床加工零件的長度服從正態(tài)分布N(N,。2),原來加工精度 仃02=0.18,經(jīng)過一段時間生產(chǎn)后，抽取這車床所加工的n = 31個零件，測得數(shù)據(jù)如下所示：長度

13、xi10.110.310.611.211.511.812.0頻數(shù)ni13710631問這一車床是否保持原來得加工精度 解：由題意要檢驗假設 H0 :仃2 =0.18; H1 :仃2 =0.18 ,此時我們只要考慮單側的情形，由題中所給的數(shù)據(jù)計算得：:? =£ "(" -X) =44.5 ,對于給定的 豆=0.05,查自由度y 0.18為n 1 = 30的>2分布分位數(shù)表得臨界值？0.95 2(30) = 43.8,此時* > 7 0.952(30),因此拒絕原假設Ho ,這說明自動車床工作一段時間后精度變差對于單個正態(tài)總體有關方差檢驗的問題， 個正態(tài)總

14、體的方差是否相等，我們就要用下面的 例10: 一枚骰子擲了 100次，得結果如下表我們可用?2檢驗來解決，但如果要比較兩 F 一檢驗.點數(shù)123456頻數(shù) fi 131420171521在o( =0.05下，檢驗這枚骰子石頭均勻？解：用X表示骰子擲出的點數(shù)，Px= i = Pi , i =1,2,.,6 .如果骰子是均勻的的，則Pi = 1/6 , i =1,2,.,6 .檢驗假設H。： Pi = 1/62計算統(tǒng)計量上的觀察值，得2100 2100 2100 2100c2 = (13-)2+(14-)2+ +(21-)2?3.26666查表得c；.05(6- 1)= 11.071.經(jīng)比較知c2

15、= 3.2< c；.05(6- 1)= 11.071故接受,認為骰子是均勻的.四、練習題1 .某工廠在正常情況下生產(chǎn)電燈泡的使用壽命(單位：小時)服從正態(tài)分布N(1600,802).某天從該廠生產(chǎn)的一批燈泡中隨機抽取10個，測得它們的壽命均值x = 1548小時.如果燈泡壽命的標準差不變，能否認為該天生產(chǎn)的燈泡壽命均值m= 1600小時？參考答案：U =2.06 AU。. =1.96 ,即認為該天生產(chǎn)的燈泡的壽命均值m1 1600小時.2 .某化學日用品有限責任公司用包裝機包裝洗衣粉，洗衣粉包裝機在正常工作時，裝包量一一 一一一2 一XN(500,2 )(單位：g),每天開工后，需先檢驗

16、包裝機工作是否正常.某天開工后，在樁號的洗衣粉中任取 9袋，其重量如下：505, 499, 502, 506, 498, 498, 497, 510, 503假設總體標準差。不變，即仃=2,試問這天包裝機工作是否正常？。= 0.05)參考答案：，3 .已知某種電子元件的平均壽命為3000小時.采用新技術后抽查 20個，測得電子元件壽命的樣本均值X= 3100小時，樣本標準差s= 170小時.設電子元件的壽命服從正態(tài)分布，試問采用新技術后電子元件的平均壽命是否有顯著提高？(取顯著性水平a = 0.01)參考答案：t = 2.63> t0.99(19)= 2.54 ,認為采用新技術后電子元件

17、的平均壽命有顯著提高.4 .某次考試學生成績服從正態(tài)分布， 從中隨機抽取36位考生的成績，算得平均成績?yōu)?6.5, 標準差為15,在顯著性水平 a =0.05下，是否可認為這次考試全體考生的平均成績高于70分？參考答案：t = 1.4 M to.05 = 1.6869 ,故認為這次考試全體考生成績不高于70分.5 .從甲地發(fā)送訊號到乙地，甲地發(fā)送的真實訊號值為，而乙地收到的訊號值是服從正態(tài)分布N（m,s2）的隨機變量.現(xiàn)甲地重復發(fā)送同一訊號9、次,乙地收到的訊號平均值為8.15,標準差為0.2，試問乙地是否有理由猜測甲地發(fā)送的訊號值為8?如果已知s= s0= 0.22,結論又該如何呢？（取顯著

18、性水平a = 0.05）參考答案：111=2.25 <t0.975（8） =2.306 ,即可猜測甲地發(fā)送的訊號值為8.6 .自動車床加工的某種零件的直徑（單位：mm）服從正態(tài)分布 X N（m,s2）,原來的加工精度s2 £0.09.經(jīng)過一段時間后，需要檢驗是否保持原有加工精度，為此，從該車床加工 的零件中抽取30個，測得數(shù)據(jù)如下：零件直徑9.29.49.69.810.010.210.410.610.8頻數(shù)113675421問加工精度是否變差（顯著性水平a = 0.05） ?參考答案：c2 = 43.3> c2.95（29） = 42.6,即可認為該自動車床的加工精度變差

19、了.7 .某燈泡廠在采用一種新工藝的前后，分別抽取10個燈泡進行壽命（單位：小時）檢測，計算得到：采用新工藝前燈泡壽命的樣本均值為2460,樣本標準差為56;采用新工藝后燈泡壽命的樣本均值為 2550,樣本標準差為48.設燈泡的壽命服從正態(tài)分布，是否可以認為采用 新工藝后燈泡的平均壽命有顯著提高（取顯著T水平a =0.01）?參考答案：因為未知方差未知，為此先檢驗假設Ho :S12 = s2 H1 :S12 s2 ,得F= 1. 3< F0.95 （9,=9）3.即該為兩者無顯著差異，再檢驗Ho止倡皿也：6< m2得，t= - 3.86< - to.99（18）= - 2.5

20、5 ,可認為采用新工藝后燈泡的平均壽命有顯著提高8 .機床廠某日從兩臺機器所加工的同一種零件中，分別抽取若干個測量其尺寸，得：甲機器的：6.2,5.7,6.5,6.0,6.3,5.8,5.7,6.0,6.0,5.8,6.0;乙機器的：5.6,5.9,5.6,5.7,5.8,6.0,5.5,5.7,5.5.問這兩臺機器的加工精度是否有顯著差異（a = 0.05）?11參考答案：F0975（10,8）=<F = 2.13 <F0025（10,8）= 4.30 ,即沒有發(fā)%025（8,10）3.85.現(xiàn)兩臺機器加工零件的尺寸的精度有顯著性差別9 .某校畢業(yè)班歷年語文畢業(yè)成績接近N（78.

21、5,7.6 2）今年畢業(yè)40名學生，平均分數(shù)76.4分,有人說這屆學生的語文水平和歷屆學生相比不相上下，這個說法能接受嗎（顯著性水平 a = 0.05） ?參考答案：U =1.75 < U 0.025 = 1.96,故可以認為這屆學生的語文水平和歷屆學生相比不相 上下.10 .某廠生產(chǎn)的電子元件，其電阻值服從正態(tài)分布，其平均電阻值 m= 2.6 （C）,今該廠換了一種材料生產(chǎn)同類產(chǎn)品，從中抽查了20個，測得其樣本電阻均值為3.0 （建），樣本標準差S=0.11（C）,問新材料生產(chǎn)的元件其平均電阻較之原來的元件的平均電阻是否有明顯 的提高（a = 0.05） ?參考答案：t =16.26

22、At0Q5（19） =1.729 ,認為換材料后電阻平均值有明顯提高.11 .已知某種溶液中水分含量 X N（m,s2）,要求平均水分含量 m不低于0.5%,今測定該 溶液9個樣本，得到平均水分含量為 0.451%,均方差S=0.039%試在顯著性水平a = 0.05下， 檢驗溶液水分含量是否合格 .參考答案：t = -3.77 Ct。.©） = 1.8595 ,即認為溶液水分含量低于0.5% ,不合格.12 .某車間生產(chǎn)銅絲，其中一個主要質量指標是折斷力大小，用X表示該車間生產(chǎn)的銅絲的折斷力，根據(jù)過去資料來看，可以認為 X服從N（N,。2） , N0 =285kg產(chǎn)=4kg,今換了

23、 一批原材料，從性能上看，估計折斷力的方差不會有什么大變化，但不知道折斷力的大小與原先有無差別？從現(xiàn)今產(chǎn)品中任取10根，測得折斷力數(shù)據(jù)如下：289,286,285,284,285,285,286,286,298,292.（單位：kg）.參考答案：先檢驗方差 22222H0：二=:-0 =4 也：二二L得熱975（9） =2.70 < 72 =10.65 < （9） =19.0 ,故認為方差無變化.在方差。2 = 42已知的條件下，檢驗 H0：N=N0 =285, H1 ： N # N0,得 U =2.05 aU0（25 =.96，故認為JAJLJ銅絲折斷力大小與原先有顯著性差異.1

24、3 .為研究某地兩民族間家庭規(guī)模是否有所不同，各做了如下的獨立的隨機抽樣： 民族甲：調查戶數(shù) n1 =12 ,均值X1 =6.8,方差S =1.5民族甲：調查戶數(shù) n2 =12 ,均值X2 =5.3,方差S2 =0.9試問能否認為甲民族的家庭平均人口高于乙民族的家庭平均人口(顯著性水平口=0.05,并認為家庭人口服從正態(tài)分布，且方差相等)？參考答案：t =0.4951<t0.025(22) =2.0739 ,故認為甲民族的家庭平均人口高于不乙民族的家庭平均人口 .14 .某卷煙廠生產(chǎn)甲，乙兩種香煙，分別對它們的尼古丁含量(單位：毫克)作了測定，結 果如下：甲：抽取子樣數(shù)為 6,均值X =25.50,方差S； = 6.25乙：抽取子樣數(shù)為 6,均值Y =25.67 ,方差S22 =9.22試問這兩種香煙的尼姑丁含量有無顯著差異(顯著性水平a =0.05,并認為這兩種煙的尼古丁含量都服從正態(tài)分布，且方差相等)？參考答案：t =-0.1059Vt0.025(10) =2.2281 ,故認為兩種香煙尼姑丁含