函數(shù)與導數(shù)專題復習導航

1、函數(shù)與導數(shù)專題復習導航一、考綱與考向函數(shù)與導數(shù)是高中數(shù)學最重要的知識板塊，又是考查數(shù)學思想方法，如函數(shù)方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等的理想素材，因而是高考數(shù)學命題中份量最重的一部分內(nèi)容.高考對函數(shù)問題的考查常設置兩個客觀題，一個解答題，分值在22分左右，約占總分的14%，其考查特點一是以基本初等函數(shù)或抽象函數(shù)為載體，全面考查函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性、有界性，以及函數(shù)圖象變換等基礎知識；二是以基本初等函數(shù)為載體，在方程、不等式、數(shù)學建模與導數(shù)、代數(shù)推理等交匯處設置解答題，考查函數(shù)五大性質(zhì)的應用、不等式問題和函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等綜合問題.高考導數(shù)試題的考查特點一是設置

2、客觀題，主要考查導數(shù)概念、性質(zhì)、幾何意義等基礎知識；二是以函數(shù)知識為載體設置解答題，主要考查導數(shù)的單調(diào)性、極值、幾何意義和物理意義等主干知識的應用；三是在導數(shù)與三角函數(shù)、向量、不等式、解析幾何、數(shù)學建模等知識的交匯處設置試題，主要考查導數(shù)的工具性作用、同學們的綜合解題能力和數(shù)學應用意識、高考導數(shù)試題的分值約為17分左右、約占總分11%的左右.二、知識與方法1.函數(shù)的重點知識有：(1)函數(shù)解析式的求法和分段函數(shù)的求法；(2)函數(shù)的五大性質(zhì)，特別是函數(shù)的對稱性、周期性、復合函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)圖象變換等性質(zhì)的應用；(3)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)及其應用；(4)函數(shù)、導數(shù)、數(shù)學建模

3、與代數(shù)推理等交匯問題.導數(shù)的重點知識有：(1)客觀題考查導數(shù)概念、性質(zhì)、幾何意義、物理意義等基礎知識；(2)解答題考查導數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)中的應用以及導數(shù)工具在代數(shù)、幾何與數(shù)學建模等綜合問題中的應用.2.復習函數(shù)時，應立足考綱和基礎，搞好以函數(shù)概念、性質(zhì)及其應用為主線的復習.一是夯實基礎，知識與能力并重：沒有基礎就談不到能力，復習要真正地回到重視基礎的軌道上來.要認真分析、處理各種關(guān)系，加深對函數(shù)基礎知識系統(tǒng)的整體把握，深入理解有關(guān)概念，正確運用有關(guān)性質(zhì)，抓住函數(shù)的本質(zhì)特征，掌握求函數(shù)表達式、定義域、值域、最值、單調(diào)區(qū)間的方法.二是加強對數(shù)學思想方法的掌握和運用：對于函數(shù)與方程的綜合

4、問題，關(guān)鍵是正確運用等價轉(zhuǎn)化思想；對于函數(shù)與不等式的綜合問題，要主要用運動變化的觀點去觀察、分析問題，函數(shù)方程思想、分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想是解決這類問題的關(guān)鍵；對于函數(shù)與其他知識的綜合問題一般難度較大，應綜合運用多種數(shù)學思想方法解決.三要注意幾點：在研究函數(shù)綜合問題時，應首先考慮函數(shù)的定義域，并始終考慮變量的范圍；解決含參數(shù)的函數(shù)綜合問題時，常需要應用函數(shù)知識對參數(shù)進行討論；對函數(shù)問題進行轉(zhuǎn)化求解時，應保證等價轉(zhuǎn)化.復習導數(shù)，一要夯實基礎知識，準確理解導數(shù)定義、性質(zhì)、幾何意義、物理意義，牢固掌握“和、差、積、商的導數(shù)公式和復合函數(shù)的求導法則”；二會運用導數(shù)知識解決函數(shù)單調(diào)性、極值和數(shù)學建模

5、問題；三是構(gòu)造函數(shù)，運用導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，解決代數(shù)式大小比較、不等式證明、參數(shù)取值范圍等問題.三、交匯與應用1.與向量交匯例1.已知向量=(x2，x+1) ，=(1-x，t) ，若函數(shù)f(x)=· 在區(qū)間(-1，1)上是增函數(shù)，求t的取值范圍.分析：根據(jù)已知條件先確定函數(shù)f(x)的解析式，再利用導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系進行求解。解：因為f(x)=·=(，x+1) · (1-x，t)=-x3+x2+tx+t ，所以f(x)=-3x2+2x+t 。若函數(shù)f(x)在(-1，1)上是增函數(shù)，則當x(-1，1)時，-3x2+2x+t0 ，得t3x2-2x在區(qū)間(-1

6、，1)上恒成立。又g(x)=3x2-2x 是對稱軸為x= ，且開口方向向上的拋物線， 故要使t3x2-2x在區(qū)間(-1，1)上恒成立，則需tg(-1) ，即t5.故所求的t的取值范圍是5，+).點評：本題考查了導數(shù)的應用、向量數(shù)量積的坐標運算與及二次函數(shù)等知識，在知識的交匯點處設計命題的思路和風格非常明顯. 2.導數(shù)與數(shù)列的綜合例2已知數(shù)列an中，a1t(t0)，a2t2當x時，函數(shù)f(x)(an-1an)x3(anan+1)x，(n2)取得極值（）求數(shù)列an的通項公式分析：首先利用導函數(shù)，結(jié)合f¢()0，確定數(shù)列an的遞推關(guān)系，然后利用解決遞推數(shù)列的方法求an的通項公式.解：f&#

7、162;(x) (an-1an)x2(anan+1)，則f¢()(an-1an)t(anan+1)=0,得an+1ant(anan-1), (n2)，所以an+1an是首項為t2t，公比為t的等比數(shù)列，當t1時，an+1an(t2t)tn-1tn+1tn，而a2a1t2t，a3a2t3t2，a4a3t4t3，anan-1tntn-1，各式相加，得ana1tnt，而a1t，所以antn當t1時，適合上式，故antn(t0)3.應用性問題例3.家電下鄉(xiāng)政策是應對金融危機，積極擴大內(nèi)需的重要舉措.某家電制造集團為盡快現(xiàn)實家電下鄉(xiāng)提出四種運輸方案，據(jù)預測，這四種方案均能在規(guī)定的時間T內(nèi)完成預

8、期運輸任務Q0，各種方案的運輸總量Q與時間t的函數(shù)關(guān)系如下圖所示，在這四種方案中，運輸效率（單位時間的運輸量）逐步提高的是（ ） Q Q Q Q Q0 Q0 Q0 Q0 O T t O T t O T t O T tA. B. C. D.分析：由題意可知，運輸效率越來越高，只需曲線上點的切線的斜率越來越大即可，觀察圖形可知，選項B滿足條件，故選B.點評：本題的題干背景與時俱進，來自于具有時代氣息現(xiàn)實生活情形 家電下鄉(xiāng)，屬給出模型（函數(shù)圖象）的一類問題.要求同學們通過結(jié)合圖象分析出函數(shù)關(guān)系，找出規(guī)律，從而解決問題.四、考題與變式考點1.函數(shù)基本關(guān)系問題例1.(2010·天津)設函數(shù)f(

9、x)=，若f(a)>f(-a)，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）A.(-1，0)(0，1) B.(-，-1)(1，+) C.(-1，0)(1，+) D.(-，-1)(0，1)解：由題意可得或，解得a>1，或-1<a<0.故選C.點評：本題考查分段函數(shù)的基本知識，考查對數(shù)不等式的解法和分類討論思想的運用.變式練習：1.已知f(x)=且方程f(x)=x恰有兩個實根，則實數(shù)a的取值范圍是（ ） A.(-2，3 B.(-2，+) C.(-3，2 D.2，+)考點2.函數(shù)的基本性質(zhì)例2.(2010·安徽)若f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f(1)=1，f(2)=2，則f

10、(3)-f(4)=（ ）A.-1 B.1 C.-2 D.2解：由于函數(shù)f(x)的周期為5，所以f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1)，又f(x)為R上的奇函數(shù)，所以f(-2)-f(-1)=-f(2)+f(1)=-2+1=-1.故選A.點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的奇偶性和周期性求函數(shù)值，關(guān)鍵是將所求的值利用函數(shù)的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化，從而將問題解決. 變式練習：2.已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且在區(qū)間0，1上是減函數(shù)，則f(-0.5)、f(-1)、f(0)的大小關(guān)系是（ ）A.f(-0.5)f(0)f(-1) B.f(-1)f(-0.5)f(0) C.f(0)f(-0.5)f(-1) D.f

11、(-1)f(0)f(-0.5)3.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若f(x)=-f(3-x)，f(1)1，f(2)=，則y=-m2-2m+的最小值為（ ）A.-1 B. 0 C. D.考點3.函數(shù)圖象及圖象變換問題例3.(2010·湖南)用mina，b表示兩數(shù)a，b中的最小值.若函數(shù)f(x)=min|x|，|x+t|的圖象關(guān)于直線x=-對稱，則t的值為( ) A.10 B.11 C.12 D.15 解：由圖象關(guān)于直線x=-對稱，得|-|=|-+t|，解得t=0，或t=1.當t=0時，f(x)=|x|，不符合題意，故t=1.選D.點評：本題主要通過引入新符號構(gòu)造函數(shù)的方式，考查分段函

12、數(shù)的圖象及性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合的思想與方法及驗證法解選擇題的方法技巧.變式練習：4.若函數(shù)y=f(x+2)-2為奇函數(shù)，且函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點M（a，b）對稱，則a+b=（ ）A.2 B.4 C.8 D. 165.若函數(shù)f(x)=kax-a-x(a>0，且a1)在(-，+)上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，則g(x)=loga(x+k)的圖象是（ ） y y y y O 1 2 x O 1 2 x -1 O 2 x -1 O 2 xA. B. C. D.考點4.導數(shù)的概念及其運算例4.（2010·遼寧）已知點P在曲線y=上，為曲線在點P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是（ ）A.0,)

13、B.，） C.（, D.,）解：設曲線在點P處的切線斜率為k，橫坐標為x0,則k=y=.因為ex>0，所以由均值不等式，可得k=-1.又k<0，所以-1k<0，即-1tan<0,所以<.故選C.點評：本題主要考查了導數(shù)的幾何意義、函數(shù)的求導法則、求導公式的應用，以及利用均值不等式求解最值問題.變式練習：6.已知函數(shù)f(x)=x3-x(a>0)在點(x1，f(x1)處的切線在x軸上的截距為x2，則當x1> 時，的取值范圍是.考點5.導數(shù)的應用例5.(2010·安徽)設a為實數(shù)，函數(shù)f(x)=ex-2x+2a，xR.（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極

14、值；（2）求證：當a>ln2-1且x>0時，ex>x2-2ax+1.解：（1）由f(x)=ex-2x+2a，xR，知f(x)=ex-2，xR.令f(x)=0，得x=ln2.于是當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(-，ln2)ln2(ln2，+)f(x)-0+f(x)單調(diào)遞減2(1-ln2+a)單調(diào)遞增故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-，ln2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2，+)，f(x)在x=ln2處取得極小值，極小值為f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a).（2）設g(x)=ex-x2+2ax-1，xR，于是g(x)=ex-2x+2a，xR.由

15、（1）知當a>ln2-1時，g(x)最小值為g(ln2)=2(1-ln2+a)>0.于是對任意xR，都有g(shù)(x)>0，所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增.于是當a>ln2-1時，對任意x(0，+)，都有g(shù)(x)>g(0).而g(0)=0，從而對任意x(0，+)，g(x)>0.即ex-x2+2ax-1>0，故ex>x2-2ax+1.點評：本題考查導數(shù)的運算，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值和證明不等式，考查運算能力、分析問題和解決問題的能力.變式練習：7.對于在R上可導的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x+1)f(x)0 ，則必有（ ） A.f(0)+f(

16、-2)<2f(-1) B.f(0)+f(-2)2f(-1) C.f(0)+f(-2)>2f(-1) D.f(0)+f(-2)2f(-1)8.已知函數(shù)f(x)=x3-bx2+2cx的導函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對稱.（1）求b的值；（2）若函數(shù)f(x)無極值，求c的取值范圍；（3）若f(x)在x=t處取得極小值，記此極小值為g(t)，求g(t)的定義域和值域.考點6.定積分的計算與應用例6.(2010·山東)由曲線y=x2,y=x3圍成的封閉圖形的面積為（ ）A. B. C. D.解：由題可知y=x2,y=x3圍成的封閉圖形的面積為x2-x3)dx=(x3-x4)=-=.故選

17、A.點評：本題考查了定積分的幾何意義，利用函數(shù)圖象給出情境，然后需要轉(zhuǎn)化為定積分的知識.變式練習：9.兩條曲線y=與y=x2所圍成的封閉圖形的面積等于.考點7.應用導數(shù)解決實際問題例7.（2010·江蘇）將邊長為1m的正三角形薄鐵皮，沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記s=，則s的最小值是.解：如圖，設AD=x(0<x<1)，則DE=AD=x，所以梯形的周長為x+2(1-x)+1=3-x，又SADE=x2，所以梯形的面積為-x2，所以s=×(0<x<1)，所以s=×，令s=0，得x=，或x=3（舍去），當x(0，)時，s<0，s單調(diào)遞減；當x(，1)時，s>0，s單調(diào)遞增.故當x=