第1章數(shù)學(xué)物理方程定解問題

1、數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程定解問題定解問題主要內(nèi)容主要內(nèi)容r 三類數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出三類數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出r 定解條件定解條件r 數(shù)學(xué)物理方程的分類（自學(xué)）數(shù)學(xué)物理方程的分類（自學(xué)）（一）（一）梯度梯度矢量矢量zkyjxi令令三類數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出三類數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出)()(zkyjxizkyjxi222222zyx222222zyx有時(shí)記有時(shí)記22222yx2222223zyx記記22tuutt22xuuxxtuut222222zyx（二）（二）三類數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出三類數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出1 1 弦的橫振動(dòng)弦的橫振動(dòng)xx+ x1T2T1M2M12),(txFxudsdm0coscos1122

2、TT1122sinsinTT2211sinsinttTTds u弦的橫向位移為弦的橫向位移為 u(x,t)ttdmu考慮小振動(dòng)考慮小振動(dòng)xx+ x1T2T1M2M12xu22)()(dydxds0coscos1122TTttdsuTT1122sinsin012TTttdsuTT1122sinsindx22sintgxxxu11sintgxxuttxxdxxxdxuTuTu)()(ttxxdxxxdxuuuT)(ttxxdxxxudxuuT)(TTT12ttxxuTu0 xxttTuuTa 220ttxxua u記記xx+ x1T2T1M2M12xu例：一長為例：一長為l的均勻柔軟的均勻柔軟輕繩

3、輕繩，其一端固定在豎直軸上，其一端固定在豎直軸上，繩子以角速度繩子以角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)，試推導(dǎo)此繩相對(duì)于水平線的橫轉(zhuǎn)動(dòng)，試推導(dǎo)此繩相對(duì)于水平線的橫振動(dòng)方程振動(dòng)方程xx+ x1T2T1M2M12xudxdm弦的橫向位移為弦的橫向位移為 u(x,t)xu lxx+ xttdxuTT1122sinsinxdxTT22211coscosxdxdT22( )( )lxT lT xxdx ttxxdxxxdxuTuTu)()(ttxxdxxxdxuTuTu)()(22221( )()2lxT xxdxlxttxxdxxxdxuuxluxl)(21)(212222222221()02ttxulx ux整理得：整理

4、得：x=l 端自由端自由( )0T l 2 2 均勻桿的縱振動(dòng)均勻桿的縱振動(dòng)將細(xì)桿分成許多段將細(xì)桿分成許多段t時(shí)刻，時(shí)刻，A段伸長段伸長),(txu),(),(txutdxxutduF)(xuxxdxx )(dxxuABCt時(shí)刻，時(shí)刻，B段伸長段伸長相對(duì)伸長相對(duì)伸長dxtxutdxxu),(),(xu事實(shí)上，相對(duì)伸長事實(shí)上，相對(duì)伸長是位置的函數(shù)，如是位置的函數(shù)，如xxudxxxu相對(duì)伸長相對(duì)伸長由胡克定律，由胡克定律，B兩端的兩端的張應(yīng)力（單位橫截面張應(yīng)力（單位橫截面的力）分別為的力）分別為xxudxxxuxxuYdxxxuYB段運(yùn)動(dòng)方程為段運(yùn)動(dòng)方程為22)(tuSdxxuYSxuYSxdxx

5、ttxxdxxxudxuuYF)(xuxxdxx )(dxxuABCB段運(yùn)動(dòng)段運(yùn)動(dòng)方程為方程為ttxxdxxxudxuuYttxuxuYttxxuYuYa 220ttxxua u記記22)(tuSdxxuYSxuYSxdxx3 3 擴(kuò)散方程擴(kuò)散方程由于濃度不同引起的分子運(yùn)動(dòng)由于濃度不同引起的分子運(yùn)動(dòng)qD u 擴(kuò)散流強(qiáng)度擴(kuò)散流強(qiáng)度q ，即即單位單位 時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi)流過流過單位單位橫截橫截面積面積的分子數(shù)或質(zhì)的分子數(shù)或質(zhì)量，與量，與濃度濃度 u(單位體積內(nèi)的粒子單位體積內(nèi)的粒子數(shù)數(shù)） 的下降成正比的下降成正比 D 為擴(kuò)散系數(shù)為擴(kuò)散系數(shù)()uuuqDijkxyz xuDqxyuDqyzuDqz 負(fù)號(hào)表

6、擴(kuò)散方向負(fù)號(hào)表擴(kuò)散方向與濃度梯度相反與濃度梯度相反nukq大小大小dydzdtqxxuDqxyuDqyzuDqzxyzdxdydz x方向左表面，方向左表面，dt 時(shí)間時(shí)間流流入六面體的流量為入六面體的流量為流出六面體的流量為流出六面體的流量為dydzdtqdxxxxx+dxdydzdtqxx x方向左表面，單位時(shí)間方向左表面，單位時(shí)間流入六面體的流量為流入六面體的流量為單位時(shí)間流出六面體的流量為單位時(shí)間流出六面體的流量為dydzdtqdxxx凈流入量為凈流入量為dydzdtqdydzqdxxxxxdydzdtqqxxdxxx)(dxdydzdtxqx),(zyxxyzdxdydzx 方向凈流

7、入量為方向凈流入量為dxdydzdtxqxdxdydzdtxuDx)(y 方向凈流入量為方向凈流入量為dxdydzdtyuDy)(z 方向凈流入量為方向凈流入量為dxdydzdtzuDz)(),(zyxxyzdxdydz立方體凈流入量為立方體凈流入量為dxdydzdtzuDzdxdydzdtyuDydxdydzdtxuDx)()()(如立方體內(nèi)無源和匯如立方體內(nèi)無源和匯dxdydzuutdtt)(dt時(shí)間內(nèi)粒子增加數(shù)為時(shí)間內(nèi)粒子增加數(shù)為dxdydzduzyx,),(zyxxyzdxdydzdxdydzdttudxdydztudxdydzzuDzdxdydzyuDydxdydzxuDx)()()

8、(0)()()(dxdydzzuDzyuDyxuDxtuD=恒量，恒量， 令令 a2=D2()0txxyyzzua uuu02uaut02xxtuau 一維一維02uaut02xxtuau若單位時(shí)間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的粒子數(shù)為若單位時(shí)間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的粒子數(shù)為 F=(x,y,z,t) 與與 u 無關(guān)無關(guān)),(2tzyxFuaut),(2tzyxFuaut若單位時(shí)間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的粒子數(shù)為若單位時(shí)間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的粒子數(shù)為 b2u ubuaut22022ubuaut4 4 熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)方程),(),()(txuttxuxAcQ0t設(shè)有一根恒截面為設(shè)有一根恒截面為A的均勻細(xì)桿，沿桿長有溫度

9、差，的均勻細(xì)桿，沿桿長有溫度差，其側(cè)面絕熱其側(cè)面絕熱u(x,t) 為為 x 處處 t 時(shí)刻溫度，時(shí)刻溫度， 為桿密度為桿密度xxx+ x （1）dt 時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi)引起小段引起小段 x溫度溫度升高所需熱量為升高所需熱量為txAucQtxxx+ x （2）Fourier實(shí)實(shí)驗(yàn)定理驗(yàn)定理：單位單位 時(shí)時(shí)間內(nèi)流過單位間內(nèi)流過單位橫橫截截面積的熱量面積的熱量 q (熱流強(qiáng)度量）與熱流強(qiáng)度量）與溫度的下降成正溫度的下降成正比比nnukq k 為熱傳導(dǎo)系數(shù)為熱傳導(dǎo)系數(shù) 一維情況下如圖有一維情況下如圖有xukqxnukq大小大小Adtqxx x方向左表面，方向左表面，dt 時(shí)間時(shí)間流入流入圓圓柱體的熱量為柱體

10、的熱量為dt 時(shí)間時(shí)間流出流出圓柱體的熱量為圓柱體的熱量為Adtqdxxxxxx+ xAdtqAdtqdxxxxxdt 時(shí)間凈流時(shí)間凈流入的熱量為入的熱量為AdxdtxqxdxdtAucQtAdxdtkudxdtAucxxtAdxdtkuxxxukqx20txxua ucka25 5 泊松方程泊松方程電通量的高斯定理電通量的高斯定理0qSdEdV01SdEdVE0/ Errl dErVrV0)()(0VE20/V 稱為泊松方程稱為泊松方程20/V 稱為泊松方程稱為泊松方程稱為稱為 Laplace Laplace 方程方程020V),(2tzyxFuaut對(duì)于對(duì)于穩(wěn)定濃度分布有穩(wěn)定濃度分布有0t

11、u),(),(zyxFtzyxF2( , , )/uF x y za 為泊松方程為泊松方程0),(zyxF0u 為為 Laplace Laplace 方程方程6 6 穩(wěn)定濃度分布穩(wěn)定濃度分布和和若若若若定解條件定解條件輸運(yùn)方程輸運(yùn)方程（一）初始條件（一）初始條件02uaut初始條件要求已知初始條件要求已知),(),(0zyxtzyxutt弦振動(dòng)方程弦振動(dòng)方程02uautt初始條件要求已知初始條件要求已知),(),(0zyxtzyxutt),(),(0zyxtzyxuttt位移滿足位移滿足速度滿足速度滿足x=l / 2xux=lhx00),(0ttttzyxu位移滿足位移滿足速度滿足速度滿足0)

12、(ttxu2/0, /2hx ll, 2/)(2llxllh（二）邊界條件（二）邊界條件),(),(000000tzyxftzyxuzyx第一類邊界條件第一類邊界條件),(),(000000tzyxfntzyxuzyx第二類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件第三類邊界條件),(),(000000tzyxfntzyxuHuzyx),(),(000000tzyxftzyxuzyx如兩端固定弦如兩端固定弦, ,端點(diǎn)位移端點(diǎn)位移x=l / 2xyx=lhx00),(0 xtxu0),(lxtxu（1 1）第一類邊界條件）第一類邊界條件如細(xì)桿熱傳導(dǎo)端點(diǎn)溫度如細(xì)桿熱傳導(dǎo)端點(diǎn)溫度l0 x00),(utxu

13、x1),(utxulx（如擴(kuò)散端點(diǎn)濃度）（如擴(kuò)散端點(diǎn)濃度）A）如細(xì)桿）如細(xì)桿的縱振動(dòng)，的縱振動(dòng)，x=a 處受力處受力 f(t)()(tfSYuaxn（2 2）第二類邊界條件）第二類邊界條件)()(tfSYuaxxYStfuaxx)(如桿端自由如桿端自由 f(t)=00axxu),(000000tzyxfuzyxna0 x)(tf如細(xì)桿熱傳導(dǎo)端如細(xì)桿熱傳導(dǎo)端點(diǎn)有熱量流出點(diǎn)有熱量流出)(tfaxnkuaxxq如細(xì)桿熱傳導(dǎo)端如細(xì)桿熱傳導(dǎo)端點(diǎn)有熱量流入點(diǎn)有熱量流入axaxxxukq)(tfB B）熱傳導(dǎo)）熱傳導(dǎo)axxuk0 xa如細(xì)桿熱傳導(dǎo)，如細(xì)桿熱傳導(dǎo)，x=a端自由冷卻端自由冷卻)(axuh則熱流強(qiáng)

14、度與桿端則熱流強(qiáng)度與桿端 u|x=a 和周圍介質(zhì)溫度和周圍介質(zhì)溫度 差有關(guān)系差有關(guān)系axaxxnukq（3 3）第三類邊界條件）第三類邊界條件axxHuu)(axxuk),()(000000tzyxfHuuzyxn0 xax=0 處處0 xa)(0 xuh00 xxxnukq0)(xxHuu0 xxukaxxHuu)(0)(xxuk（三）銜接條件（三）銜接條件0sinsin)(21TTtF)(tFx0 xy012), 0(), 0(00txutxu11sintan), 0(0txux22sintan), 0(0txux)(), 0(), 0(00tFtxTutxTuxx), 0(), 0(00

15、txutxu例：半徑為例：半徑為a,表面熏黑的金屬長圓柱，受到陽光照射，表面熏黑的金屬長圓柱，受到陽光照射，陽光的方向垂直于柱軸，熱流強(qiáng)度為陽光的方向垂直于柱軸，熱流強(qiáng)度為M，寫出熱傳導(dǎo)的，寫出熱傳導(dǎo)的邊界條件。邊界條件。1sinQMdSdt解：解：xy陽光照射，陽光照射，流入流入圓柱的熱量為圓柱的熱量為dS由于溫度梯度，因散由于溫度梯度，因散熱流出圓柱的熱流為熱流出圓柱的熱流為2-naaQkudSdtukdS dtxy設(shè)柱面外溫度為設(shè)柱面外溫度為u0dtdSukQa2柱面溫度柱面溫度 u| = a由牛頓冷卻定律由牛頓冷卻定律120()aQQh uudSdt1sinQMdSdt0sinaauMdSdtkdSdth uudSdt令令kMm khH 02當(dāng)當(dāng)M=0時(shí)，時(shí)，m=0 xy0sinaauMdSdtkdSdth uudSdt0sinauHumHu0auHuHu例：一根導(dǎo)熱桿由兩段構(gòu)成，兩段例：一根導(dǎo)熱桿由兩段構(gòu)成，兩段熱傳導(dǎo)系數(shù)、