平面圖形的幾何性質(zhì)

1、材料力學(xué)材料力學(xué)材料力學(xué)材料力學(xué)1 1、靜矩與形心、靜矩與形心2 2、慣性矩、極慣性矩和慣性積、慣性矩、極慣性矩和慣性積3 3、平行移軸公式、轉(zhuǎn)軸公式、平行移軸公式、轉(zhuǎn)軸公式靜矩、慣性矩、極慣性矩、慣性積、主慣性軸、形靜矩、慣性矩、極慣性矩、慣性積、主慣性軸、形心主慣性軸心主慣性軸本章重點本章重點關(guān)鍵概念關(guān)鍵概念材料力學(xué)材料力學(xué)附錄附錄A A 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì)A.1 面積矩和形心面積矩和形心 A.2 截面的慣性矩和慣性半徑截面的慣性矩和慣性半徑 A.3 平行移軸公式平行移軸公式 A.4 轉(zhuǎn)軸公式與主慣性矩轉(zhuǎn)軸公式與主慣性矩 材料力學(xué)材料力學(xué) A A-1 -1 面積矩和形心面積矩和形

2、心一、基本概念一、基本概念1. 1. 靜矩（或面積矩、一次矩）靜矩（或面積矩、一次矩） z dA微面積對微面積對y軸的靜矩軸的靜矩dAy微面積對微面積對z軸的靜矩軸的靜矩dyAz ASdzAy AS整個平面圖形對整個平面圖形對y軸的靜矩軸的靜矩整個平面圖形對整個平面圖形對z軸的靜矩軸的靜矩dAzyyz常用單位：常用單位：m3 或mm3 。數(shù)數(shù) 值：值：可為正、負或 0 。材料力學(xué)材料力學(xué)等厚等厚均質(zhì)均質(zhì)重心：重心：ddddyAAcAAzcztAz ASzt AAAytAy ASyt AAA等于形心坐標(biāo)等于形心坐標(biāo)dAyzzycz cyd d mcmcz mzmy mym2.2.形心坐標(biāo)公式形心

3、坐標(biāo)公式3.3.靜矩與形心坐標(biāo)的關(guān)系靜矩與形心坐標(biāo)的關(guān)系 yzccA zA ySS材料力學(xué)材料力學(xué)結(jié)論結(jié)論1 1 規(guī)則形狀的幾何圖形，其形心就是它的幾何中心。規(guī)則形狀的幾何圖形，其形心就是它的幾何中心。若其若其有一根對稱軸，那么形心一定在這個對稱軸有一根對稱軸，那么形心一定在這個對稱軸上；如果有兩根對稱軸，那么形心一定是這兩個上；如果有兩根對稱軸，那么形心一定是這兩個對稱軸的交點。對稱軸的交點。截面的對稱軸一定是形心軸。截面的對稱軸一定是形心軸。2 2 若某坐標(biāo)軸通過形心，則圖形對該軸的靜矩等于若某坐標(biāo)軸通過形心，則圖形對該軸的靜矩等于零。零。反之，若圖形對某一軸的靜矩等于零，則該軸反之，若圖

4、形對某一軸的靜矩等于零，則該軸必然通過圖形的形心。必然通過圖形的形心。 材料力學(xué)材料力學(xué)例例1：求圖示陰影部分的面積對求圖示陰影部分的面積對y軸的靜矩。軸的靜矩。242ahaahbSy解：解：2242ahb ycA zS材料力學(xué)材料力學(xué)例例2 圖示拋物線的方程為圖示拋物線的方程為,計算由拋物線、計算由拋物線、y軸和軸和z軸所圍成的平面軸所圍成的平面圖形對圖形對y軸和軸和z 軸的靜矩軸的靜矩Sy和和Sz，并確定，并確定圖形的形心圖形的形心c的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。221yzhbyzhCyCOydybz解：先求對解：先求對z z軸的靜矩軸的靜矩SzdybyhzdydA221bAbhdybyhdAA0223

5、21yzhb221byhzAzydAS取微面積取微面積dAdA材料力學(xué)材料力學(xué)yzhCyCOydybzyzCOydzbzCybAzhbdybyyhydAS022241bASyzC831542bhSyhASzyC52材料力學(xué)材料力學(xué)11 nnyziciiciiiA zA ySS由由 可知，靜矩的幾何意義：形心位置與圖形可知，靜矩的幾何意義：形心位置與圖形 面積的乘積。面積的乘積。 AzSAySCyCz 4組合平面（截面）圖形的形心與靜矩組合平面（截面）圖形的形心與靜矩組合圖形對某一軸的靜矩等于各組合圖形對某一軸的靜矩等于各組成部分對同一軸靜矩的代數(shù)和組成部分對同一軸靜矩的代數(shù)和 當(dāng)一個平面圖形是

6、由幾個簡單平面圖形組成，稱為組當(dāng)一個平面圖形是由幾個簡單平面圖形組成，稱為組合平面圖形，其靜矩為合平面圖形，其靜矩為材料力學(xué)材料力學(xué)組合平面（截面）的形心坐標(biāo)公式為：組合平面（截面）的形心坐標(biāo)公式為：1111 nniiciciyiizccnniiiizyAASSzyAAAA，材料力學(xué)材料力學(xué)112212ciicccy Ay Ay AyAAA40 10 805 10 11019.780 10 10 110mm 5 80 1065 10 11039.710 11080 10czmm例例3 試確定下圖的形心位置。試確定下圖的形心位置。解解 ：坐標(biāo)及圖形分割如圖：坐標(biāo)及圖形分割如圖801201010z

7、y12材料力學(xué)材料力學(xué)本例中的槽形截面也可看作由的矩形本例中的槽形截面也可看作由的矩形I挖去一個的矩形挖去一個的矩形II而成的。而成的。 在計算被挖去的面積時應(yīng)取負值，這在計算被挖去的面積時應(yīng)取負值，這種方法又稱負面積法。種方法又稱負面積法。 2120120 809600 mm60 mm2CAzII2110 707700 mm120 101065 mm2CAz 9600 60( 7700) 6539.7 mm96007700 CCCA yA yzAA801201010zy得得 II9600 40( 7700) 4519.7 mm96007700 CCCA xA xyAA材料力學(xué)材料力學(xué) A-2

8、 慣性矩和慣性積慣性矩和慣性積 1.1.慣性矩（或截面二次軸矩）慣性矩（或截面二次軸矩）22d dyzAAAAyIzIdAyzzy 工程中常把慣性矩表示為平工程中常把慣性矩表示為平面圖形的面積與某一長度平方的面圖形的面積與某一長度平方的乘積，即乘積，即IA iyy2或iIAyyIAiiIAzzzz2或分別稱為平面圖形對分別稱為平面圖形對y軸和軸和z軸的軸的慣性半徑慣性半徑iiyz、（單位：長度的一次方）（單位：長度的一次方）材料力學(xué)材料力學(xué) A-2 慣性矩和慣性積慣性矩和慣性積 2.2.極慣性矩（或截面二次極矩）極慣性矩（或截面二次極矩）AIAd2p222yz所以所以（即截面對一點的極慣性矩，

9、等于截面對以該點為原點的任意（即截面對一點的極慣性矩，等于截面對以該點為原點的任意兩正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和。）兩正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和。） 2p22d ()dAyzAIAyzAIIdAyzzy由于由于材料力學(xué)材料力學(xué)例例A4 求圖所示圓截面及空心圓截面對形心軸的慣性矩求圖所示圓截面及空心圓截面對形心軸的慣性矩Iy、Iz，慣性半徑慣性半徑iy、iz及極慣性矩及極慣性矩Ip。 解解:對于直徑為對于直徑為D的圓形截面，在距圓的圓形截面，在距圓心心C為為r處取微面積處取微面積 注意到注意到Iy=Iz，對，對y、z軸的慣性矩為軸的慣性矩為 慣性半徑為慣性半徑為 d2dA /2423p0d2d32DADI

10、Ar 6424pDIIIzy44/64/24DDDiizyDOd材料力學(xué)材料力學(xué)對于外徑為對于外徑為D、內(nèi)徑為內(nèi)徑為 d的空心圓截面，的空心圓截面，其對圓心其對圓心C的極慣性矩為的極慣性矩為 對對y、z軸的慣性矩為軸的慣性矩為 慣性半徑為慣性半徑為 /24423p/2()d2d32DAdDdIA64)(44dDIIzy44/ )(64/ )(222244dDdDdDiizyODdd材料力學(xué)材料力學(xué)3.3.慣性積慣性積（其值可為正、為負或為零（其值可為正、為負或為零) )結(jié)論：結(jié)論：截面對于包含對稱軸在內(nèi)的一對正交軸的慣性積為0。AzyIAyzddAyzzy由于由于z軸為對稱軸，處于對稱位置的軸

11、為對稱軸，處于對稱位置的zdA值大小相等，符號相反值大小相等，符號相反(z坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同，y坐坐標(biāo)符號相反標(biāo)符號相反)，因此這兩個微面積對，因此這兩個微面積對y、z軸的慣性積之和等于零。軸的慣性積之和等于零。 將此推廣到整個截面，必有將此推廣到整個截面，必有 0d AyzAyzI材料力學(xué)材料力學(xué)例例 5 求圖求圖A-4所示矩形截面對所示矩形截面對y軸和軸和z軸的慣性矩軸的慣性矩Iy、Iz，慣，慣性積性積Iyz及慣性半徑及慣性半徑iy和和iz。 解：解： 截面對形心軸截面對形心軸y的慣性矩為的慣性矩為 慣性半徑為慣性半徑為 12dd32/2/22bhzbzAzIhhAyzbAdd3212/3

12、hbhbhAIiyy取平行于取平行于x軸的狹長條軸的狹長條材料力學(xué)材料力學(xué)慣性半徑為慣性半徑為 12dd32/2/22hbyhyAyIbbAz3212/3bbhhbAIizz在任一點在任一點(y，z)處取微面積處取微面積 zyAddd 截面對截面對y、z軸的慣性矩為軸的慣性矩為 0ddd/2/2-/2/2hhb-bAyzzzyyAzyI材料力學(xué)材料力學(xué)1.1.平行移軸公式推導(dǎo)平行移軸公式推導(dǎo) 左圖是一面積為左圖是一面積為A A的任意形狀的任意形狀的平面，的平面，C為其形心，為其形心，xcyc為形心坐為形心坐標(biāo)軸。與該形心坐標(biāo)軸分別平行的標(biāo)軸。與該形心坐標(biāo)軸分別平行的任意坐標(biāo)軸為任意坐標(biāo)軸為xy

13、 ,形心形心C在在oxy坐標(biāo)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為系下的坐標(biāo)為(a , b) 任意微面元任意微面元d dA A在兩坐標(biāo)系下的在兩坐標(biāo)系下的坐標(biāo)關(guān)系為：坐標(biāo)關(guān)系為：ycyazczCObdAyczczyA.3 平行移軸公式平行移軸公式cc,yybzza材料力學(xué)材料力學(xué)xcyazczCObdAyczcyxAzyAyAzAzyIAzIAyIddd22AcczyAcyAczAzyIAzIAyIccccddd22已知截面對形心軸已知截面對形心軸yc、zc的慣性矩和慣性積的慣性矩和慣性積分別為分別為 、 和和 下面求截面對下面求截面對y、z的慣性矩的慣性矩Iy、Iz 和慣性積和慣性積 Iyz 。cyIczIc c

14、y zI材料力學(xué)材料力學(xué)xcyazczCObdAyczcyx截面對截面對y軸的慣性矩軸的慣性矩 由于由于yc軸是截面的形心軸，軸是截面的形心軸，所以所以Syc=0，故有，故有 同理可得同理可得 cc,yybzza2222c2ddd2dd 2ycAAcAAAycycIzAzaAzAazA aAIaSa A上式為慣性矩的平行移軸公式。上式為慣性矩的平行移軸公式。 2cyya AII2czzb AII材料力學(xué)材料力學(xué)類似地，可求慣性積類似地，可求慣性積Iyz 由于由于y、z軸是截面的形心軸，軸是截面的形心軸，Syc=Szc=0，上式變?yōu)?，上式變?yōu)?上式為慣性積的平行移軸公式。上式為慣性積的平行移軸公

15、式。 d()()dyzccAAIyz Ayb zaAdd ddcccAAcAAy z Abz Aay AabAc cccy zyzIbSaSabAc cyzy zIIabAxcyazczCObdAyczcyx材料力學(xué)材料力學(xué) zC、yC軸是形心軸，在所有的平行軸中，圖形對形心軸是形心軸，在所有的平行軸中，圖形對形心軸的慣性矩最小；軸的慣性矩最小； b和和a是圖形的形心是圖形的形心C在在Oxy坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，所以它們坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，所以它們是有正負的。是有正負的。注意注意在應(yīng)用慣性矩和慣性積的平行移軸公式時，在應(yīng)用慣性矩和慣性積的平行移軸公式時， yC、zC軸必須軸必須是形心軸。是形心軸。 材料

16、力學(xué)材料力學(xué)例例6：已知三角形對底邊：已知三角形對底邊(x1軸軸)的慣性矩為的慣性矩為bh3/12，求其對過頂，求其對過頂點的與底邊平行的點的與底邊平行的x2軸的慣性矩。軸的慣性矩。bx1hx2xCh/3解：由于解：由于x1、x2軸均非形心軸，所以不軸均非形心軸，所以不能直接使用平行移軸公式，需先求出三能直接使用平行移軸公式，需先求出三角形對形心軸角形對形心軸xC的慣性矩，再求對的慣性矩，再求對x2軸軸的慣性矩，即進行兩次平行移軸：的慣性矩，即進行兩次平行移軸：423236362312323223232121bhbhhbhAaIIbhbhhbhAaIICCxxxx材料力學(xué)材料力學(xué)例例7求圖求圖

17、T型截面對于過形心的水平軸型截面對于過形心的水平軸和鉛垂軸的慣性矩。和鉛垂軸的慣性矩。 解解 (1)確定截面的形心位置。確定截面的形心位置。 建立參考坐標(biāo)系建立參考坐標(biāo)系yOz。 因因z為對稱軸，故為對稱軸，故yC=0 。將截面分成將截面分成、兩個矩形，則有兩個矩形，則有 24Imm 107.2120600Amm 4602120400ICz24IImm 108.0400200Amm 2002400IICzmm2 .323100 . 8102 . 7200100 . 8460102 . 74444IIIIIIIIIAAzAzAzCCC材料力學(xué)材料力學(xué) (2)再求截面的慣性矩。再求截面的慣性矩。

18、以形心以形心C為原點建立坐標(biāo)系為原點建立坐標(biāo)系 y0軸到兩個矩形形心的距離為軸到兩個矩形形心的距離為 截面對截面對y0軸的慣性矩軸的慣性矩00Czymm8 .1362 .3232120400Iamm2 .12324002 .323IIa2IIIIII2IIIIIIIII000aAIaAIIIIyyyyy23232 .123400200124002008 .1361206001212060049mm1071. 3截面對截面對z0軸的慣性矩軸的慣性矩4933IIImm1043. 21220040012600120000zzzIII材料力學(xué)材料力學(xué)例例9：求圖示直徑為：求圖示直徑為d 的半圓對其自身

19、形心軸的半圓對其自身形心軸 yc的慣性矩。的慣性矩。（1 1）求形心坐標(biāo)）求形心坐標(biāo)22( )2b zRy2032220d( )d2d12dyAdzAzb zzSdzRzz3212283ycSddzAd解：解：yzb(z)zcCdycz（2 2）求對形心軸）求對形心軸xc c的慣性矩的慣性矩44642128yddI2442()812818cyycdddIIz由平行移軸公式得： 材料力學(xué)材料力學(xué)例例10：求圖示平面圖形對：求圖示平面圖形對y軸的慣性矩軸的慣性矩 Iyyzaadyzaad解：解：Iday()212321284ddd22823dda22823材料力學(xué)材料力學(xué)例例11：求圖示截面對形心

20、軸的慣性矩。：求圖示截面對形心軸的慣性矩。材料力學(xué)材料力學(xué)1先求截面的先求截面的 形心軸形心軸取參考坐標(biāo)系如圖，則：取參考坐標(biāo)系如圖，則：mmyc7 .44201006070205010060222求截面對形心軸的慣性矩：求截面對形心軸的慣性矩：zyzcycA1A246431067. 164401260100mmIIyyc12324226460 1005044.760 10012407044.7204.24 1064AAzczczcIIImm材料力學(xué)材料力學(xué)圖示為一任意截面，圖示為一任意截面，y、z為過任一點為過任一點O的一對正交的一對正交軸，設(shè)截面對軸，設(shè)截面對y、z軸的慣軸的慣性矩性矩Iy

21、、Iz和慣性積和慣性積Iyz均均已知?，F(xiàn)將已知?，F(xiàn)將y、z軸繞軸繞O點點逆鐘向旋轉(zhuǎn)角，得到另逆鐘向旋轉(zhuǎn)角，得到另一對正交軸一對正交軸y1、z1。下面求截面對下面求截面對y1、z1軸的慣性矩軸的慣性矩 、 和慣性積和慣性積 。 一、轉(zhuǎn)軸公式一、轉(zhuǎn)軸公式 1yI1zI11zyIA.4 轉(zhuǎn)軸公式與主慣性矩轉(zhuǎn)軸公式與主慣性矩材料力學(xué)材料力學(xué)在圖所示兩個坐標(biāo)系中，設(shè)微面在圖所示兩個坐標(biāo)系中，設(shè)微面積積dA的坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為的坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 截面對截面對y1軸的慣性矩為軸的慣性矩為 A.4 轉(zhuǎn)軸公式與主慣性矩轉(zhuǎn)軸公式與主慣性矩sincossincos11yzzzyyAAyAyzAzId)sinc

22、os(d22112222cosd2sincosdsindAAAzAyz AyA2sinsincos22yzzyIII2222cos2sincossindAzyzyA材料力學(xué)材料力學(xué)同理同理可得可得 A.4 轉(zhuǎn)軸公式與主慣性矩轉(zhuǎn)軸公式與主慣性矩2sin2cos221yzzyzyyIIIIII2sin2cos221yzzyzyzIIIIII2cos2sin211yzzyzyIIII(A14) (A15) (A16) 式式(A14)、(A15)稱為稱為慣性矩的轉(zhuǎn)軸公式慣性矩的轉(zhuǎn)軸公式，式式(A16)稱為稱為慣性積的轉(zhuǎn)軸公式慣性積的轉(zhuǎn)軸公式。 注意式的注意式的 以逆鐘向為正。以逆鐘向為正。 利用三角函

23、數(shù)整理上式，得轉(zhuǎn)軸公式利用三角函數(shù)整理上式，得轉(zhuǎn)軸公式 ：材料力學(xué)材料力學(xué)2sin2cos221yzzyzyyIIIIII2sin2cos221yzzyzyzIIIIII即，截面對于通過同一點的任意一對相互垂直的坐標(biāo)軸的即，截面對于通過同一點的任意一對相互垂直的坐標(biāo)軸的兩慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對該坐標(biāo)原點的極慣兩慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對該坐標(biāo)原點的極慣性矩。性矩。將轉(zhuǎn)軸公式中的前兩式：將轉(zhuǎn)軸公式中的前兩式：相加可得：相加可得：yxyxIIII11材料力學(xué)材料力學(xué) 從慣性積的轉(zhuǎn)軸公式可推知，隨著坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，慣性積從慣性積的轉(zhuǎn)軸公式可推知，隨著坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，慣性積將隨著將隨著 角作周

24、期性變化，且有正有負。因此，必有一特定的角作周期性變化，且有正有負。因此，必有一特定的角度角度 0 0，使截面對與該角對應(yīng)的新坐標(biāo)軸，使截面對與該角對應(yīng)的新坐標(biāo)軸x0、y0的慣性積為零。的慣性積為零。依此進行如下定義：依此進行如下定義：二二. .截面的主慣性軸和主慣性矩截面的主慣性軸和主慣性矩2cos2sin211yzzyzyIIIIn1.主慣性軸主慣性軸:當(dāng)平面圖形對某一對正交坐標(biāo)軸當(dāng)平面圖形對某一對正交坐標(biāo)軸y0、z0的慣性積的慣性積 n =0時，則坐標(biāo)軸時，則坐標(biāo)軸 y0、z0稱為主慣性軸。稱為主慣性軸。n推論：推論：具有一個或兩個對稱軸的正交坐標(biāo)軸一定是平面圖形的具有一個或兩個對稱軸的

25、正交坐標(biāo)軸一定是平面圖形的n 主慣性軸。主慣性軸。材料力學(xué)材料力學(xué)1.主慣性軸主慣性軸:當(dāng)平面圖形對某一對正交坐標(biāo)軸當(dāng)平面圖形對某一對正交坐標(biāo)軸y0、z0的慣性積的慣性積 =0時，則坐標(biāo)軸時，則坐標(biāo)軸 y0、z0稱為主慣性軸。稱為主慣性軸。00zyI3.形心主慣性軸形心主慣性軸:過形心的主慣性軸稱為形心主慣性軸。過形心的主慣性軸稱為形心主慣性軸?？梢宰C明可以證明:任意平面圖形必定存在一對相互垂直的形心主慣性軸。任意平面圖形必定存在一對相互垂直的形心主慣性軸。4.形心主慣性矩形心主慣性矩:平面圖形對任一形心主慣性軸的慣性矩稱為形平面圖形對任一形心主慣性軸的慣性矩稱為形 心主慣性矩。心主慣性矩。2

26、.主慣性矩主慣性矩:平面圖形對任一主慣性軸的慣性矩稱為主慣性矩。平面圖形對任一主慣性軸的慣性矩稱為主慣性矩。目錄目錄材料力學(xué)材料力學(xué)三三. .主慣性軸位置的確定主慣性軸位置的確定 設(shè)坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動角度為0，則由慣性積的轉(zhuǎn)軸公式及主慣性軸的定義，得：02cos2sin200 xyyxIII經(jīng)整理，得yxxyIII22tan0四四.主慣性矩的確定主慣性矩的確定 由上面tan2 0的表達式求出cos2 0、sin2 0后，再代入慣性矩的轉(zhuǎn)軸公式 ，化簡后可得主慣性矩的計算公式如下：材料力學(xué)材料力學(xué)IIIIIIIIIIIIxyyxyxyxyyxyxx22224212421200結(jié)論：結(jié)論：若截面有一根對稱

27、軸，則此軸即為形心主慣性軸之一，另一形心主慣性軸為通過形心并與對稱軸垂直的軸。若截面有二根對稱軸，則此二軸即為形心主慣性軸。若截面有三根對稱軸，則通過形心的任一軸均為形心主慣性軸，且主慣性矩相等。材料力學(xué)材料力學(xué)五五. . 極值慣性矩極值慣性矩分別對分別對 求導(dǎo)數(shù)，并令其為零，得到求導(dǎo)數(shù)，并令其為零，得到 A.4 轉(zhuǎn)軸公式與主慣性矩轉(zhuǎn)軸公式與主慣性矩(1)(1)截面對過同一點所有坐標(biāo)軸的慣性矩中，對截面對過同一點所有坐標(biāo)軸的慣性矩中，對主軸的慣性矩是極大值和極小值。主軸的慣性矩是極大值和極小值。 2sin2cos221yzzyzyyIIIIII2sin2cos221yzzyzyzIIIIIIz

28、yyzIII22tan0(2)(2)主慣性矩即為極值慣性矩。主慣性矩即為極值慣性矩。 材料力學(xué)材料力學(xué)將主軸方位角將主軸方位角 代入式代入式 得到主慣性矩得到主慣性矩 A.4 轉(zhuǎn)軸公式與主慣性矩轉(zhuǎn)軸公式與主慣性矩2sin2cos221yzzyzyyIIIIII2sin2cos221yzzyzyzIIIIII022min22max2222yzzyzyyzzyzyIIIIIIIIIIII材料力學(xué)材料力學(xué)例例 試確定如圖所示截面的形心主慣性矩。試確定如圖所示截面的形心主慣性矩。 解解 (1) 將截面分為兩個矩形，其面積將截面分為兩個矩形，其面積和形心坐標(biāo)分別為和形心坐標(biāo)分別為 。 (2) 截面的形心

29、坐標(biāo)截面的形心坐標(biāo)yC、zC 21mm3001030A22mm6001060Amm2521040101Cymm52102Cymm52101Czmm302602Czmm335600300560025300212121AAyAyAyCCCmm365600300306005300212121AAzAzAzCCC材料力學(xué)材料力學(xué)(3) 建立形心坐標(biāo)系建立形心坐標(biāo)系yCCzC，截面，截面對形心軸對形心軸yC、zC的慣性矩和慣的慣性矩和慣性積分別為性積分別為 452323mm1008. 3300536512103060036530126010CyI452323mm1008. 130033525123010

30、6005335121060CzI45mm100 . 1300335253655600335536530CCzyI材料力學(xué)材料力學(xué)(4) 形心主軸方向角形心主軸方向角 及形心主慣性及形心主慣性矩矩 和和 00yI0zI110)08. 108. 3(100 . 1222tan550CCCCzyzyIII所以所以 或或 。 5 .2205 .112代入代入 得到形心主慣性矩為得到形心主慣性矩為 5 .22044555mm109 .3445sin)100 . 1(45cos210)08. 108. 3(210)08. 108. 3(0yI44555mm1066. 645sin)100 . 1(45co

31、s210)08. 108. 3(210)08. 108. 3(0zI材料力學(xué)材料力學(xué)rrAd2d32d2d42/032pDrrArIDA6424pDIIIzy44/64/24DDDiizy32)(d2d442/2/32pdDrrArIDdA64)(44dDIIzy44/ )(64/ )(222244dDdDdDiizy材料力學(xué)材料力學(xué)祝大家學(xué)習(xí)祝大家學(xué)習(xí)愉快愉快! !材料力學(xué)材料力學(xué) 當(dāng)一個平面圖形是由幾個簡單平面圖形組成，稱為組當(dāng)一個平面圖形是由幾個簡單平面圖形組成，稱為組合平面圖形，其靜矩為合平面圖形，其靜矩為CiiniyiniyCiinizinizzASSyASS1111niinicii

32、yCniiniCiizCAzAASzAyAASy1111組合圖形對某一軸的靜矩等于各組合圖形對某一軸的靜矩等于各組成部分對同一軸靜矩的代數(shù)和組成部分對同一軸靜矩的代數(shù)和由由 可知，靜矩的幾何意義：形心位置與軸的距可知，靜矩的幾何意義：形心位置與軸的距 離乘積大小。離乘積大小。 AzSAySCyCz 4組合平面圖形的形心與靜矩組合平面圖形的形心與靜矩材料力學(xué)材料力學(xué)2.2.形心坐標(biāo)公式形心坐標(biāo)公式3.3.靜矩與形心坐標(biāo)的關(guān)系靜矩與形心坐標(biāo)的關(guān)系 yxccA xA ySS推論：截面對形心軸的靜矩恒為推論：截面對形心軸的靜矩恒為0 0，反之，亦然。，反之，亦然。d d yAcxAcxASxAAyAS

33、yAAdAxyyxcx cy材料力學(xué)材料力學(xué)例例A-3A-3：試計算矩形截面對于其對稱軸（即形心軸）：試計算矩形截面對于其對稱軸（即形心軸）x和和y y的慣性的慣性矩。矩。 解：解：取平行于x軸的狹長條則 dA=b dy12dd32222bhybyAyIhhAx同理123hbIyyhCxdyyb3/122 3xxIbhhiAbh3/122 3yyIhbbiAbh材料力學(xué)材料力學(xué)圖所示為一任意截面，圖所示為一任意截面，y、z為為通過截面形心通過截面形心C的一對正交軸，的一對正交軸，y1、z1分別為與分別為與y、z平行的坐標(biāo)平行的坐標(biāo)軸，截面形心軸，截面形心C在坐標(biāo)系在坐標(biāo)系y1Oz1中的坐標(biāo)為中

34、的坐標(biāo)為(b，a)。已知截面對形心軸已知截面對形心軸y、z的慣性矩和慣性積分別為的慣性矩和慣性積分別為Iy、Iz和和Iyz，下面求截面對，下面求截面對y1、z1軸的慣性矩軸的慣性矩 、 和慣性和慣性積積 。1yI1zI11zyIA.3 平行移軸公式平行移軸公式材料力學(xué)材料力學(xué)在新舊坐標(biāo)系中微面積在新舊坐標(biāo)系中微面積dA的關(guān)系的關(guān)系截面對截面對y1軸的慣性矩軸的慣性矩 由于由于y軸是截面的形心軸，所以軸是截面的形心軸，所以Sy=0，故有，故有 同理可得同理可得 azzbyy11,1221222ddd2dd2yAAyyAAAIzAzaAzAaz A aAIaSa AAaIIyy21AbIIzz21

35、上式為慣性矩的平行移軸公式。上式為慣性矩的平行移軸公式。 材料力學(xué)材料力學(xué)類似地，可以求出截面對類似地，可以求出截面對y1、z1軸的慣性積軸的慣性積 由于由于y、z軸是截面的形心軸，軸是截面的形心軸，Sy=Sz=0，上式變?yōu)?，上式變?yōu)?上式為慣性積的平行移軸公式。上式為慣性積的平行移軸公式。 注意：在應(yīng)用慣性矩和慣性積的平行移軸公式時，注意：在應(yīng)用慣性矩和慣性積的平行移軸公式時， y、z軸必軸必須是形心軸。須是形心軸。 11zyIAAzyAazbyAzyI)d)(d1111AAAAAabAyaAzbAyzddddabAaSbSIzyyzabAIIyzzy11材料力學(xué)材料力學(xué)規(guī)定：規(guī)定：上式中的

36、上式中的 的符號為：逆時針為正，順時針為負。的符號為：逆時針為正，順時針為負。yxyxIIII11即，截面對于通過同一點的任意一對相互垂直的坐標(biāo)軸的即，截面對于通過同一點的任意一對相互垂直的坐標(biāo)軸的兩慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對該坐標(biāo)原點的極慣兩慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對該坐標(biāo)原點的極慣性矩。性矩。將上述轉(zhuǎn)軸公式中的前兩式相加可得：將上述轉(zhuǎn)軸公式中的前兩式相加可得：討論：討論：材料力學(xué)材料力學(xué)例例I6I6：計算截面的形心主慣性矩。：計算截面的形心主慣性矩。解：解：作形心坐標(biāo)軸xcyc 如 圖所示。（1）求形心坐標(biāo)：),( 、 ),(baba（2）求對自身形心軸的慣性矩。 、 , 、

37、2211ccccyxyxIIII（3）由平行移軸公式求整個截面的 、 、 ccyxycxcIIIxyC10b10b40120a2080CCa 材料力學(xué)材料力學(xué)（4）由轉(zhuǎn)軸公式得093. 122tan0ccccyxyxIII8 .113 6 .2272004422maxmm103214212 0IIIIIIIcccccccyxyxyxx4422minmm104 .574212 0IIIIIIIcccccccyxyxyxyxc0yc0=113.8xyC10b10b40120a2080CCa目錄目錄材料力學(xué)材料力學(xué)例例I1I1：計算由拋物線、：計算由拋物線、y y軸和軸和z z軸所圍成的平面圖形軸所

38、圍成的平面圖形對對y y軸和軸和z z軸的靜矩，并確定圖形的形心坐標(biāo)。軸的靜矩，并確定圖形的形心坐標(biāo)。zhyb122Oyz解：解：SzAyA2dSy AzAd12102222bhybydyhybyb0221d4152bhb h24材料力學(xué)材料力學(xué)OyzydybhAAAd0221bhybyd23bh形心坐標(biāo)為:52321548332422hbhbhASzbbhbhASyyCzC材料力學(xué)材料力學(xué)1. 主慣性軸主慣性軸 主慣性矩主慣性矩(1)當(dāng)當(dāng) ，即兩坐標(biāo)系重合時，即兩坐標(biāo)系重合時 ， ； A.4.2 主慣性軸主慣性軸 主慣性矩主慣性矩 2cos2sin211yzzyzyIIII 0yzzyII11(2)當(dāng)時當(dāng)時 ， ，因此必定有這樣一對，因此必定有