9二項(xiàng)分布及其應(yīng)用-拔高難度-講義

1、二項(xiàng)分布及其應(yīng)用引入姚明作為中鋒，他職業(yè)生涯的罰球命中率為0. 8，假設(shè)他每次命中率相同，請(qǐng)問(wèn)他 4 投 3 中的概率是多少？問(wèn)題1:在4次投籃中姚明恰好命中 問(wèn)題2:在 4 次投籃中姚明恰好命中 問(wèn)題3:在 4 次投籃中姚明恰好命中 問(wèn)題 4:在 4次投籃中姚明恰好命中 問(wèn)題5:在n次投籃中姚明恰好命中1 次的概率是多少？2 次的概率是多少？3 次的概率是多少？4 次的概率是多少？ k 次的概率是多少？解讀1、條件概率(1 )條件概率的定義：對(duì)于任何兩個(gè)事件A 和 B，在已知事件 A 發(fā)生的條件下，事件 B 發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)P(B|A) ”來(lái)表示.(2)條件概率公式：P A I

2、 BPBAPA 其中PA 0AIB稱為事件 A 與 B 的積或交(或積).把由事件 A 與 B 的交(或積)，記做 D AI B (或 D AB ).(3)條件概率的求法：利用定義，分別求出P A 和 p B A，得 P B AP AIB . P A借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件數(shù)，即 nA 再求事件 n AI B，得n AI Bn A2、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率(1)事件的獨(dú)立性 ：如果事件 A (或 B)是否發(fā)生對(duì)事件 B (或 A )發(fā)生的概率沒(méi)有影響, P(B|A) P(B)，這時(shí)，我們稱兩個(gè)事件 A , B 相互獨(dú)立，并把這兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事 件.如果事件 A

3、 與 B 相互獨(dú)立，那么事件 AgB 發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積,即0各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，X 服從參數(shù)為 n , p 的二項(xiàng)分布，記作P AgB P A gP B .如果事件 A , A2,，An相互獨(dú)立，那么這 n 個(gè)事件都發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā) 生的概率的積，即 P(A I A2I L I An) P(AJ P(A2)L P(An)，并且上式中任意多個(gè)事 件 A 換成其對(duì)立事件后等式仍成立.(2)相互獨(dú)立”與事件互斥”兩事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件發(fā)生與否對(duì)另一事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響(如有放回的抽取模型).兩事件相互獨(dú)立不一定互斥.3、二項(xiàng)分布(1

4、)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)如果每次試驗(yàn)，只考慮有兩個(gè)可能的結(jié)果A 及 A，并且事件 A 發(fā)生的概率相同在相同的條件下，重復(fù)地做 n 次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，那么一般就稱它們?yōu)閚 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件 A 恰好發(fā)生 k 次的概率為 Pn(k)Cnpk(1 p)n k(k 0,1, 2, L , n).(2 )二項(xiàng)分布若將事件 A 發(fā)生的次數(shù)設(shè)為 X ,事件 A 不發(fā)生的概率為 q 1 p ,那么在 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 中，事件 A 恰好發(fā)生 k 次的概率是 P(X k) V pkqn k，其中 k 0, 1, 2, L , n .于是得到 X(qnp)0 OnCnp q11 n

5、 1.Cn p q Lk k n kCnp qn nL Cnp q如果事件 A 與 B 相互獨(dú)立，那么事件 AgB 發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積,即0X01knP00 nCnp q11 n 1Cnp qk k n kCnp qnn 0Cnp q的分布列由 于 表 中 的 第 二 行恰 好 是項(xiàng) 展 開 式典例精講一選擇題(共 10 小題)1.(2018 春?撫順期末)某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為P,各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè) X 為該群體的 10 位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，D(X)=2.1,P(X=4)vP(X=6),貝UP=()A. 0.7B. 0.62.(2015

6、春？廬江縣期末)已知隨機(jī)變量A. 1B. 23. (2016 秋？武漢期末)已知隨機(jī)變量14XB (n ,-)，若 D (x)=-，則 P (X=2)334.(2017 春?城北區(qū)校級(jí)期末)已知隨機(jī)變量g n滿足令n=8 且E服從二項(xiàng)分布B (10, 0.6),則 E (n)和 D (n)的值分別是()A. 6 和 2.4B. 2 和 2.4C. 2 和 5.6D. 6 和 5.66.(2016 春？曲靖校級(jí)期末)隨機(jī)變量g服從二項(xiàng)分布 B(n, p),且 Eg=3,0A.1315B.8113C243D.802431& N (2, 4)，則 D (令 1)=(C. 0.5D. 45.(

7、2016 春？福建月考)已知隨機(jī)變量1X 服從二項(xiàng)分布 B (4,)，則 D (3X+1)A. 3B. 4C. 9D. 10D$ =20 則 p 等于()21A .B . 一33則 n 和 p 的值分別是（）（3X+2）和 D （3X+2）的值分別是7.（2016 春?邯鄲期中）設(shè)隨機(jī)變量=5，則 P （Y 1）為（）91A.216B.818. （2015 春?重慶期末）若隨機(jī)變量XB (2, p),丫B (4, p),若 P (X 1)65C81D. 1XB （n, p）,其均值是 80,標(biāo)準(zhǔn)差是 4,A.100,B. 200, 0.4C. 100, 0.8D. 200, 0.69. （20

8、14 春?東莞期末）若隨機(jī)變量X 服從兩點(diǎn)分布，其中P (X=0) =1，貝 U EA. 4 和 4B. 4 和 2C. 2 和 4D. 2 和 210.（2014?贛州一模）設(shè)隨機(jī)變量 X 服從二項(xiàng)分布 XB1(5,-),貝 U 函數(shù) f (x)=x2+4x+X 存在零點(diǎn)的概率是（5A -31C -32.填空題（共5 小題）11 . （2017 春？福州期末）若B(n, p)且 E ( $ =3，3D(e =8，貝 u p 仁=)91的值為_ .12.（2013 春?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）某籃球運(yùn)動(dòng)員在三分線外投球的命中率是2，他投球 5 次，恰好投進(jìn) 2 個(gè)的概率是_ .113._（2015 春

9、？珠海期末）已知隨機(jī)變量 B （6,-）,則 E （2 =_ .314._ （2015 春？曲靖校級(jí)期中）設(shè)匕B （n, p）, E （ =12, V （ =4,則 n 的 值是.215.（2017 春?興化市校級(jí)月考）已知隨機(jī)變量 X 服從二項(xiàng)分布 XB （6,-）,3貝U P （X=2）的值為_ .三.解答題（共 4 小題）16.（2013 秋?宜昌期末）甲、乙兩選手比賽，假設(shè)每局比賽甲勝的概率是3，乙31勝的概率是-，不會(huì)出現(xiàn)平局.（1）如果兩人賽 3 局，求甲恰好勝 2 局的概率和乙至少勝 1 局的概率；（2）如果采用五局三勝制（若甲、乙任何一方先勝 3 局，則比賽結(jié)束，結(jié)果為 先勝

10、3 局者獲勝），求甲獲勝的概率.117.（2016 秋?清城區(qū)期末）某批發(fā)市場(chǎng)對(duì)某種商品的日銷售量（單位：噸）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，最近 50 天的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:日銷售量11.52天數(shù)102515頻率0.2ab若以上表中頻率作為概率，且每天的銷售量相互獨(dú)立.(I)求 5 天中該種商品恰好有兩天的銷售量為 1.5 噸的概率；(U)已知每噸該商品的銷售利潤(rùn)為 2 千元，X 表示該種商品某兩天銷售利潤(rùn)的 和(單位：千元)，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望.18. (2015 秋？渭城區(qū)校級(jí)期末)五一節(jié)期間，某商場(chǎng)為吸引顧客消費(fèi)推出一項(xiàng) 優(yōu)惠活動(dòng)活動(dòng)規(guī)則如下：消費(fèi)額每滿 100 元可轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤一次,并獲得相應(yīng)金額的返券.(假定指針等可能地停在任一位置，指針落在區(qū)域的 邊界時(shí)，重新轉(zhuǎn)一次)指針?biāo)诘膮^(qū)域及對(duì)應(yīng)的返券金額見右上表例如： 消費(fèi) 218 元，可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤 2 次，所獲得的返券金額是兩次金額之和.(1)已知顧客甲消費(fèi)后獲得 n 次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)，已知他每轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤指針落在區(qū)域邊界的概率為 p，每次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的結(jié)果相互獨(dú)立，設(shè)E為顧客甲轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn) 盤指針落在區(qū)域邊界的次數(shù)，E的數(shù)學(xué)期望 EE丄，標(biāo)準(zhǔn)差空11，求 n、p2550的值；(2)顧客乙消費(fèi) 280 元，并按規(guī)則參與了活動(dòng)，他獲得返券的金額記為 (元)