第4章 點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)

1、第一篇第一篇 理論力學(xué)理論力學(xué)第第4章章 點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng) 第第4章章 點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)v 前面我們研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是相對(duì)于慣性參考坐標(biāo)系，當(dāng)所前面我們研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是相對(duì)于慣性參考坐標(biāo)系，當(dāng)所研究的點(diǎn)相對(duì)于不同參考坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)時(shí)（即它們之間存研究的點(diǎn)相對(duì)于不同參考坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)時(shí)（即它們之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)），就形成了點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)。本節(jié)主要學(xué)習(xí)在相對(duì)運(yùn)動(dòng)），就形成了點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)。本節(jié)主要學(xué)習(xí)動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于不同參考坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程、速度、動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于不同參考坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程、速度、加速度之間的幾何關(guān)系。加速度之間的幾何關(guān)系。 4.1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)合成點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)合成v 在工程和實(shí)際生活中物體相對(duì)于

2、不同參考系運(yùn)動(dòng)的例子很多，例如在工程和實(shí)際生活中物體相對(duì)于不同參考系運(yùn)動(dòng)的例子很多，例如沿直線滾動(dòng)的車輪，在地面上觀察輪邊緣上點(diǎn)沿直線滾動(dòng)的車輪，在地面上觀察輪邊緣上點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是旋輪的運(yùn)動(dòng)軌跡是旋輪線，但車廂上觀察是一個(gè)圓，如圖線，但車廂上觀察是一個(gè)圓，如圖4.1所示，又如在雨天觀察雨滴所示，又如在雨天觀察雨滴的運(yùn)動(dòng)，如果在地面上觀察（不計(jì)自然風(fēng)的干擾）雨滴鉛錘下落，的運(yùn)動(dòng)，如果在地面上觀察（不計(jì)自然風(fēng)的干擾）雨滴鉛錘下落，而行駛的汽車上，雨滴在車窗上留下傾斜的痕跡，如圖而行駛的汽車上，雨滴在車窗上留下傾斜的痕跡，如圖4.2所示。所示。 圖圖4.1 點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)實(shí)例點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)實(shí)例 圖圖4

3、.2 點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)實(shí)例點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)實(shí)例 OMOxyxyv v 從上面的兩個(gè)例子看出物體相對(duì)于不同參考系的運(yùn)動(dòng)從上面的兩個(gè)例子看出物體相對(duì)于不同參考系的運(yùn)動(dòng)是不同的，它們之間存在運(yùn)動(dòng)的合成和分解的關(guān)系。一是不同的，它們之間存在運(yùn)動(dòng)的合成和分解的關(guān)系。一般情況下，將研究的物體看成是動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于兩個(gè)般情況下，將研究的物體看成是動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于兩個(gè)坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)，其中建立在不動(dòng)物體上的坐標(biāo)系稱為定參坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)，其中建立在不動(dòng)物體上的坐標(biāo)系稱為定參考坐標(biāo)系（簡(jiǎn)稱定系），如建立在地面上的坐標(biāo)系。另考坐標(biāo)系（簡(jiǎn)稱定系），如建立在地面上的坐標(biāo)系。另一個(gè)坐標(biāo)系是相對(duì)定參考坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，稱為動(dòng)一個(gè)坐標(biāo)系是相

4、對(duì)定參考坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，稱為動(dòng)參考坐標(biāo)系（簡(jiǎn)稱動(dòng)系）。動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于定系運(yùn)動(dòng)可以看參考坐標(biāo)系（簡(jiǎn)稱動(dòng)系）。動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于定系運(yùn)動(dòng)可以看成是動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)和動(dòng)系相對(duì)定系的運(yùn)動(dòng)的合成是動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)和動(dòng)系相對(duì)定系的運(yùn)動(dòng)的合成。上面的例子中，定系建立在地面上，動(dòng)點(diǎn)成。上面的例子中，定系建立在地面上，動(dòng)點(diǎn) 的運(yùn)動(dòng)軌的運(yùn)動(dòng)軌跡是旋輪線，動(dòng)系建立在車廂上，點(diǎn)跡是旋輪線，動(dòng)系建立在車廂上，點(diǎn) 相對(duì)于動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)相對(duì)于動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)圓，而車廂是作平移的運(yùn)動(dòng)。即動(dòng)點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓，而車廂是作平移的運(yùn)動(dòng)。即動(dòng)點(diǎn) 的旋輪的旋輪線可以看成圓的運(yùn)動(dòng)和車廂平移運(yùn)動(dòng)的合成。線可以看成圓的運(yùn)動(dòng)和車廂平移運(yùn)動(dòng)的合成。

5、 v 研究點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)必須要選定一個(gè)動(dòng)點(diǎn)、兩個(gè)參考坐標(biāo)研究點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)必須要選定一個(gè)動(dòng)點(diǎn)、兩個(gè)參考坐標(biāo)系，三種運(yùn)動(dòng)，即一點(diǎn)、兩系三運(yùn)動(dòng)。一點(diǎn)即所研究的系，三種運(yùn)動(dòng)，即一點(diǎn)、兩系三運(yùn)動(dòng)。一點(diǎn)即所研究的動(dòng)點(diǎn)（運(yùn)動(dòng)物體上的點(diǎn)）；兩系即動(dòng)系（與動(dòng)點(diǎn)有相對(duì)動(dòng)點(diǎn)（運(yùn)動(dòng)物體上的點(diǎn)）；兩系即動(dòng)系（與動(dòng)點(diǎn)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)）和定系；三運(yùn)動(dòng)即絕對(duì)運(yùn)動(dòng)、相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)運(yùn)動(dòng)）和定系；三運(yùn)動(dòng)即絕對(duì)運(yùn)動(dòng)、相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)。下面說(shuō)明一下這三個(gè)運(yùn)動(dòng)：動(dòng)。下面說(shuō)明一下這三個(gè)運(yùn)動(dòng)：v 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)即動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于定參考坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)；絕對(duì)運(yùn)動(dòng)即動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于定參考坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)；v 相對(duì)運(yùn)動(dòng)即動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)參考坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)即動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)參考

6、坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)；v 牽連運(yùn)動(dòng)即動(dòng)系相對(duì)于定系的運(yùn)動(dòng)。牽連運(yùn)動(dòng)即動(dòng)系相對(duì)于定系的運(yùn)動(dòng)。v 一般來(lái)講，絕對(duì)運(yùn)動(dòng)看成是運(yùn)動(dòng)的合成，相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽一般來(lái)講，絕對(duì)運(yùn)動(dòng)看成是運(yùn)動(dòng)的合成，相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)看成是運(yùn)動(dòng)的分解，合成與分解是研究點(diǎn)的合成連運(yùn)動(dòng)看成是運(yùn)動(dòng)的分解，合成與分解是研究點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)方面，切不可孤立看待，必須用聯(lián)系的觀點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)方面，切不可孤立看待，必須用聯(lián)系的觀點(diǎn)去學(xué)習(xí)。去學(xué)習(xí)。v 動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)、相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系可以動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)、相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系可以通過(guò)動(dòng)點(diǎn)在定參考坐標(biāo)系和動(dòng)參考坐標(biāo)系中的坐標(biāo)變換通過(guò)動(dòng)點(diǎn)在定參考坐標(biāo)系和動(dòng)參考坐標(biāo)系中的坐標(biāo)變換得到。以平面運(yùn)

7、動(dòng)為例，設(shè)得到。以平面運(yùn)動(dòng)為例，設(shè) 為定系，為定系， 為動(dòng)系，為動(dòng)系， 為動(dòng)點(diǎn)，如圖為動(dòng)點(diǎn)，如圖4.3所示，所示，圖圖4.3 坐標(biāo)變換關(guān)系坐標(biāo)變換關(guān)系oxyo x y MMOyyOxOxxOxyyyxv M點(diǎn)絕對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為點(diǎn)絕對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為 （4-1）v M點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為 （4-2）v 牽連運(yùn)動(dòng)是動(dòng)系牽連運(yùn)動(dòng)是動(dòng)系 相對(duì)于定系相對(duì)于定系 的運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程的運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為為 （4-3）v 由圖由圖4-3得坐標(biāo)變換得坐標(biāo)變換（4-4）v 由此可見(jiàn)，絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是由相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)合成的。由此可見(jiàn)，絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是由相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)合成的。 ( )xx t( )yy t( )xx t

8、( )yy to x y oxy( )ooxxt( )ooyyt( ) tcossinsincosooxxxyyyxyv 例題例題4-1半徑為半徑為r的輪子沿直線軌道無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)，如圖的輪子沿直線軌道無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)，如圖4.4所示，所示，已知輪心已知輪心C的速度為的速度為 ，試求輪緣上的點(diǎn)，試求輪緣上的點(diǎn)M絕對(duì)運(yùn)動(dòng)方程和相對(duì)輪絕對(duì)運(yùn)動(dòng)方程和相對(duì)輪心心C的運(yùn)動(dòng)方程和牽連運(yùn)動(dòng)方程。的運(yùn)動(dòng)方程和牽連運(yùn)動(dòng)方程。圖圖4.4 v 解：沿輪子滾動(dòng)的方向建立定系解：沿輪子滾動(dòng)的方向建立定系oxy，初始時(shí)設(shè)輪緣上的點(diǎn)，初始時(shí)設(shè)輪緣上的點(diǎn)M位于位于y軸上軸上Mo處。在圖示瞬時(shí)，點(diǎn)處。在圖示瞬時(shí)，點(diǎn)M和輪心和輪心C的

9、連線與的連線與CH所的夾角為所的夾角為 cvMCHOyxxy1vcoM1cv tMHrrv 在輪心在輪心C建立動(dòng)系建立動(dòng)系 ，點(diǎn)，點(diǎn)M的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為 （1）v 點(diǎn)點(diǎn)M相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡方程為相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡方程為 （2） 由式（由式（2）知點(diǎn)）知點(diǎn)M的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡為圓。的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡為圓。v 牽連運(yùn)動(dòng)為動(dòng)系牽連運(yùn)動(dòng)為動(dòng)系 相對(duì)于定系相對(duì)于定系oxy的運(yùn)動(dòng)，其牽連運(yùn)動(dòng)方程為的運(yùn)動(dòng)，其牽連運(yùn)動(dòng)方程為 （3）v 其中，由于動(dòng)系作平移，因此動(dòng)系坐標(biāo)軸其中，由于動(dòng)系作平移，因此動(dòng)系坐標(biāo)軸 與定系坐標(biāo)軸與定系坐標(biāo)軸 的夾的夾角角 。x yC 11sinsincoscosccv txrrrv tyr

10、rr 222xyrx yC 0cccxv tyrxx0v 由式由式(4-4)得點(diǎn)得點(diǎn)M絕對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為 （4） 點(diǎn)點(diǎn)M的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡為式（的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡為式（4）表示的旋輪線。）表示的旋輪線。v 例題例題4-2用車刀切削工件直徑的端面時(shí)，車刀沿水平軸用車刀切削工件直徑的端面時(shí)，車刀沿水平軸z作往復(fù)的作往復(fù)的運(yùn)動(dòng)，如圖運(yùn)動(dòng)，如圖4.5所示。設(shè)定系為所示。設(shè)定系為oxyz，刀尖在，刀尖在oxy面上的運(yùn)動(dòng)方面上的運(yùn)動(dòng)方程為程為 ，工件以勻角速度，工件以勻角速度 繞繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，動(dòng)系建立在工件上軸轉(zhuǎn)動(dòng)，動(dòng)系建立在工件上為為 ，試求刀尖在工件上畫(huà)出的痕跡。，試求刀尖在工件上畫(huà)出的痕跡。 11s

11、insincoscosccccv txv trv trrv tyrrrrrsinxrtx yoz 圖圖4.5v 解：由題意知，刀尖為動(dòng)點(diǎn)，刀尖在工件上畫(huà)出的痕跡為動(dòng)點(diǎn)相對(duì)解：由題意知，刀尖為動(dòng)點(diǎn)，刀尖在工件上畫(huà)出的痕跡為動(dòng)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡。由圖運(yùn)動(dòng)軌跡。由圖4.5得動(dòng)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為得動(dòng)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為xyyxOM2cossin cossin22sinsin (1 cos2 )2rxxtrtttryxtrtt v 削去時(shí)間削去時(shí)間 t，得動(dòng)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡方程為，得動(dòng)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡方程為 則刀尖在工件上畫(huà)出的痕跡為圓。則刀尖在工件上畫(huà)出的痕跡為圓。v 注意：若求三種運(yùn)動(dòng)的速度之間的關(guān)系，最直接的方

12、法注意：若求三種運(yùn)動(dòng)的速度之間的關(guān)系，最直接的方法是式（是式（4-4）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，即可求出點(diǎn)的相對(duì)速度、牽）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，即可求出點(diǎn)的相對(duì)速度、牽連速度的絕對(duì)速度三者之間的關(guān)系。連速度的絕對(duì)速度三者之間的關(guān)系。222()24rrxy v 在了解上述三個(gè)運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上，下面研究點(diǎn)的三個(gè)速度。在了解上述三個(gè)運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上，下面研究點(diǎn)的三個(gè)速度。v 動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度即絕對(duì)運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的速度，用動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度即絕對(duì)運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的速度，用 表示；表示；v 動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)速度即相對(duì)運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的速度，用動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)速度即相對(duì)運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的速度，用 表示；表示；v 動(dòng)點(diǎn)的牽連速度即牽連點(diǎn)的速度，用動(dòng)點(diǎn)的牽連速度即牽連點(diǎn)的速度，用

13、 表示。所謂牽連點(diǎn)即動(dòng)系上表示。所謂牽連點(diǎn)即動(dòng)系上與動(dòng)點(diǎn)重合的點(diǎn)。與動(dòng)點(diǎn)重合的點(diǎn)。v 下面分析點(diǎn)的絕對(duì)速度、相對(duì)速度和牽連速度三者之間的關(guān)系。下面分析點(diǎn)的絕對(duì)速度、相對(duì)速度和牽連速度三者之間的關(guān)系。圖圖4.6 三種運(yùn)動(dòng)中矢徑的關(guān)系三種運(yùn)動(dòng)中矢徑的關(guān)系avrvevzOxyMxyzOijkrrOrMv 如圖圖如圖圖4.6所示，設(shè)所示，設(shè) 為定系為定系 ， 為動(dòng)系，為動(dòng)系，M為動(dòng)點(diǎn)。動(dòng)系的坐為動(dòng)點(diǎn)。動(dòng)系的坐標(biāo)原點(diǎn)標(biāo)原點(diǎn) 在定系中的矢徑為在定系中的矢徑為 ，動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) M在定系上的矢徑為在定系上的矢徑為 ，動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)M在動(dòng)系上的矢徑為在動(dòng)系上的矢徑為 ，動(dòng)系坐標(biāo)的三個(gè)單位矢量為，動(dòng)系坐標(biāo)的三個(gè)單位矢量

14、為 ， ， ，牽，牽連點(diǎn)為連點(diǎn)為 （動(dòng)系上與動(dòng)點(diǎn)重合的點(diǎn)）在定系上的矢徑為（動(dòng)系上與動(dòng)點(diǎn)重合的點(diǎn)）在定系上的矢徑為 ，有如，有如下關(guān)系：下關(guān)系： （4-5） （4-6） （4-7）v 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)速度為的絕對(duì)速度為 （4-8）v 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M的相對(duì)速度為的相對(duì)速度為 （4-9）v 將式（將式（4-6）和（）和（4-7）代入（）代入（4-5）中，因牽連點(diǎn)）中，因牽連點(diǎn) 是動(dòng)系上的是動(dòng)系上的一個(gè)確定點(diǎn)，因此一個(gè)確定點(diǎn)，因此 的三個(gè)坐標(biāo)的三個(gè)坐標(biāo) ， ， 是常量，得牽連速度是常量，得牽連速度oxyo x y O orMr i jkMMrMorrrxyz rijkMMrrMaodrdtrvrdxyz

15、dt rvijkMMx y z （4-10）v 從而得相對(duì)速度、牽連速度的絕對(duì)速度三者之間的關(guān)系：從而得相對(duì)速度、牽連速度的絕對(duì)速度三者之間的關(guān)系： （4-11） 式（式（4-11）即為點(diǎn)的速度合成定理的公式表述。）即為點(diǎn)的速度合成定理的公式表述。v 點(diǎn)的速度合成定理點(diǎn)的速度合成定理：在任一瞬時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度等于在同一瞬時(shí)：在任一瞬時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度等于在同一瞬時(shí)的相對(duì)速度和牽連速度的矢量和?；蛘哒f(shuō)，點(diǎn)的相對(duì)速度、牽連速的相對(duì)速度和牽連速度的矢量和?；蛘哒f(shuō)，點(diǎn)的相對(duì)速度、牽連速度、絕對(duì)速度三者之間滿足平行四邊形合成法則，即絕對(duì)速度由相度、絕對(duì)速度三者之間滿足平行四邊形合成法則，即絕對(duì)速度由相

16、對(duì)速度和牽連速度所構(gòu)成平行四邊形對(duì)角線所確定。對(duì)速度和牽連速度所構(gòu)成平行四邊形對(duì)角線所確定。v 應(yīng)當(dāng)注意：應(yīng)當(dāng)注意： （1 1）三種速度有三個(gè)大小和三個(gè)方向共六個(gè)要素，必須已知其中四）三種速度有三個(gè)大小和三個(gè)方向共六個(gè)要素，必須已知其中四個(gè)要素，才能求出剩余的兩個(gè)要素。因此只要正確地畫(huà)出上面三種個(gè)要素，才能求出剩余的兩個(gè)要素。因此只要正確地畫(huà)出上面三種速度的平行四邊形，即可求出剩余的兩個(gè)要素。速度的平行四邊形，即可求出剩余的兩個(gè)要素。 （2 2）動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系的選擇是關(guān)鍵，一般不能將動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系選在同一個(gè)）動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系的選擇是關(guān)鍵，一般不能將動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系選在同一個(gè)參考體上。參考體上。 （3 3）動(dòng)系的運(yùn)

17、動(dòng)是任意的運(yùn)動(dòng)，可以是平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)或者是較為復(fù)雜）動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)是任意的運(yùn)動(dòng)，可以是平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)或者是較為復(fù)雜運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)。Meodxyzdt rvrijkaervvvv 例題例題4-3汽車以速度汽車以速度 沿直線的道路行駛，雨滴以速度沿直線的道路行駛，雨滴以速度 鉛直下鉛直下落，如圖落，如圖4.7所示，試求雨滴相對(duì)于汽車的速度。所示，試求雨滴相對(duì)于汽車的速度。 圖圖4.7 v 解：（解：（1）選擇動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系）選擇動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系v 動(dòng)點(diǎn)：淋在車上的雨滴動(dòng)點(diǎn)：淋在車上的雨滴M；v 定系定系: 建立在地面上建立在地面上 (以后不特殊說(shuō)明定系都建立在地面上以后不特殊說(shuō)明定系都建立在地面上) ；v 動(dòng)系動(dòng)系: 建立

18、在汽車上。建立在汽車上。1v2vMv1vevavrv （2）分析三種運(yùn)動(dòng)及速度）分析三種運(yùn)動(dòng)及速度v 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)，即雨滴的運(yùn)動(dòng)。其絕對(duì)速度為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)，即雨滴的運(yùn)動(dòng)。其絕對(duì)速度為 v 牽連運(yùn)動(dòng)：平動(dòng)，即汽車的運(yùn)動(dòng)。牽連速度牽連運(yùn)動(dòng)：平動(dòng)，即汽車的運(yùn)動(dòng)。牽連速度 v 相對(duì)運(yùn)動(dòng)：雨滴相對(duì)于汽車的運(yùn)動(dòng)，這是未知的，也是要求的。相對(duì)運(yùn)動(dòng)：雨滴相對(duì)于汽車的運(yùn)動(dòng)，這是未知的，也是要求的。v （3）作速度的平行四邊形）作速度的平行四邊形v 由于絕對(duì)速度由于絕對(duì)速度 和牽連速度和牽連速度 的大小和方向都是已知的，如圖的大小和方向都是已知的，如圖4-7所示，只需將速度所示，只需將速度 和和 矢量

19、的端點(diǎn)連線便可確定雨滴相對(duì)于汽車矢量的端點(diǎn)連線便可確定雨滴相對(duì)于汽車的速度的速度 。故。故v 設(shè)雨滴相對(duì)于汽車速度設(shè)雨滴相對(duì)于汽車速度 與鉛垂線的夾角為與鉛垂線的夾角為a2vv1evvavevavevrv222221raevvvvvrv12tanvv12arctanvvv 例題例題4-4如圖如圖4.8所示曲柄滑道機(jī)構(gòu)，所示曲柄滑道機(jī)構(gòu)，T字形桿字形桿BC部分處于水平位部分處于水平位置，置，DE部分處于鉛直位置并放在套筒部分處于鉛直位置并放在套筒A中。已知曲柄中。已知曲柄OA以勻角速以勻角速度度 繞繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，軸轉(zhuǎn)動(dòng)，OA=r=10cm，試求當(dāng)曲柄，試求當(dāng)曲柄OA與水平與水平線的夾角線的夾角 、

20、 、 、時(shí)，時(shí)，T形桿的速度形桿的速度 。 圖圖4.8 v 解：（解：（1）選擇動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系）選擇動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系v 動(dòng)點(diǎn)：套筒動(dòng)點(diǎn)：套筒A；v 動(dòng)系：動(dòng)系：T字形桿；字形桿；20rad/s0o30o60o90oTvBCDAOEvevavrv （2）運(yùn)動(dòng)及速度分析）運(yùn)動(dòng)及速度分析v 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)，即套筒絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)，即套筒A的運(yùn)動(dòng)。絕對(duì)速度大小為的運(yùn)動(dòng)。絕對(duì)速度大小為 絕對(duì)速度的方向垂直于曲柄絕對(duì)速度的方向垂直于曲柄OA沿角速度沿角速度 的方向。的方向。v 牽連運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)，即牽連運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)，即T字形桿的運(yùn)動(dòng)。牽連速度為字形桿的運(yùn)動(dòng)。牽連速度為 。v 相對(duì)速度：直線運(yùn)動(dòng)，即套筒相對(duì)速

21、度：直線運(yùn)動(dòng)，即套筒A相對(duì)相對(duì)T字形桿的運(yùn)動(dòng)，字形桿的運(yùn)動(dòng)， 。v （3）作速度的平行四邊形）作速度的平行四邊形v 速度關(guān)系如圖（速度關(guān)系如圖（4.8）所示，即）所示，即v 將已知條件代入得將已知條件代入得： ： ： ： 10 20200cm/savrevTrvvvsinreavv0oT200sin00v 30oT200sin30100cm/sov 60oT200sin60173.2cm/sov 90oT200sin90200cm/sov v 例題例題4-5曲柄曲柄OA以勻角速度以勻角速度 繞繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其上套有小環(huán)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其上套有小環(huán)M，而，而小環(huán)小環(huán)M又在固定的大圓環(huán)上運(yùn)動(dòng)，大圓環(huán)的半徑為

22、又在固定的大圓環(huán)上運(yùn)動(dòng)，大圓環(huán)的半徑為R，如圖，如圖4.9所所示。試求當(dāng)曲柄與水平線成的角示。試求當(dāng)曲柄與水平線成的角 時(shí)，小環(huán)時(shí)，小環(huán)M的絕對(duì)速度和相的絕對(duì)速度和相對(duì)曲柄對(duì)曲柄OA的相對(duì)速度。的相對(duì)速度。v 解：解：v （1）選擇動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系）選擇動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系v 動(dòng)點(diǎn)：小環(huán)動(dòng)點(diǎn)：小環(huán)M。v 動(dòng)系：曲柄動(dòng)系：曲柄OA。v （2） 分析三種運(yùn)動(dòng)及速度，小環(huán)分析三種運(yùn)動(dòng)及速度，小環(huán)M的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是在大圓上的運(yùn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是在大圓上的運(yùn)動(dòng)，因此小環(huán)動(dòng)，因此小環(huán)M絕對(duì)速度垂直于大圓的半徑絕對(duì)速度垂直于大圓的半徑R；小環(huán)；小環(huán)M的相對(duì)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)是在曲柄是在曲柄OA上的直線運(yùn)動(dòng)，因此小環(huán)上的直線運(yùn)動(dòng)，因此小環(huán)

23、M相對(duì)速度沿曲柄相對(duì)速度沿曲柄OA并指向并指向O點(diǎn)，牽連運(yùn)動(dòng)為曲柄點(diǎn)，牽連運(yùn)動(dòng)為曲柄OA的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，小環(huán)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，小環(huán)M的牽連速度垂直于的牽連速度垂直于曲柄曲柄OA，如圖，如圖4.9所示，作速度的平行四邊形。即所示，作速度的平行四邊形。即t圖圖4.9 v 小環(huán)小環(huán)M的牽連速度為的牽連速度為v 小環(huán)小環(huán)M的絕對(duì)速度為的絕對(duì)速度為v 小環(huán)小環(huán)M的相對(duì)速度為的相對(duì)速度為 OMRvevavrA2 cosevOMR2 coseavvRtan2sin2sinrevvRRtv 例題例題4-6如圖如圖7.10a所示，半徑為所示，半徑為R，偏心距為，偏心距為e的凸輪，以勻角的凸輪，以勻角速度速度 繞繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)

24、，并使滑槽內(nèi)的直桿軸轉(zhuǎn)動(dòng)，并使滑槽內(nèi)的直桿AB上下移動(dòng)，設(shè)上下移動(dòng)，設(shè)OAB在一在一條直線上，輪心條直線上，輪心C與與O軸在水平位置，試求在圖示位置時(shí)，桿軸在水平位置，試求在圖示位置時(shí)，桿AB的的速度。速度。(b)圖圖4-10a 圖圖4-10bv 解：由于桿解：由于桿AB作平移，所以研究桿作平移，所以研究桿AB的運(yùn)動(dòng)只需研究其上的運(yùn)動(dòng)只需研究其上A點(diǎn)的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)即可。因此選桿運(yùn)動(dòng)即可。因此選桿AB上的上的A點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，凸輪為動(dòng)系，地面為定點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，凸輪為動(dòng)系，地面為定系。系。BACOavrBACOvveveavvrv 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是直桿的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是直桿AB的上下直線運(yùn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)為凸輪的的

25、上下直線運(yùn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)為凸輪的輪廓線，即沿凸輪邊緣的圓周運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)為凸輪繞輪廓線，即沿凸輪邊緣的圓周運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)為凸輪繞O軸的定軸軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，作速度的平行四邊形如圖轉(zhuǎn)動(dòng)，作速度的平行四邊形如圖4.10a所示。所示。v 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)A的牽連速度為的牽連速度為v 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)速度為的絕對(duì)速度為v 動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系的選擇可以是任意的。本題的另一種解法是：選凸輪邊動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系的選擇可以是任意的。本題的另一種解法是：選凸輪邊緣上的點(diǎn)緣上的點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，桿為動(dòng)點(diǎn)，桿AB為動(dòng)系，地面為定系。為動(dòng)系，地面為定系。v 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是凸輪繞的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是凸輪繞O軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，絕對(duì)速度的方向垂直軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，絕

26、對(duì)速度的方向垂直于于OA，水平向右，絕對(duì)速度的大小為，水平向右，絕對(duì)速度的大小為evOAcotaeevvOAeOAavOAv 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)A的相對(duì)運(yùn)動(dòng)為沿凸輪邊緣的曲線運(yùn)動(dòng)，相對(duì)速度的方向沿凸的相對(duì)運(yùn)動(dòng)為沿凸輪邊緣的曲線運(yùn)動(dòng)，相對(duì)速度的方向沿凸輪邊緣的切線，牽連運(yùn)動(dòng)為直桿輪邊緣的切線，牽連運(yùn)動(dòng)為直桿AB上下的直線運(yùn)動(dòng)，作速度的平上下的直線運(yùn)動(dòng)，作速度的平行四邊形如圖行四邊形如圖4.10b所示。桿所示。桿AB的速度為動(dòng)點(diǎn)的速度為動(dòng)點(diǎn)A的牽連速度，即的牽連速度，即v 應(yīng)當(dāng)注意：應(yīng)當(dāng)注意：v （1）動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系不能選在同一個(gè)物體上；）動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系不能選在同一個(gè)物體上；v （2）動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系應(yīng)選在容易判斷其相對(duì)

27、運(yùn)動(dòng)的物體上；否則會(huì)使）動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系應(yīng)選在容易判斷其相對(duì)運(yùn)動(dòng)的物體上；否則會(huì)使問(wèn)題變得混亂。問(wèn)題變得混亂。v （3）無(wú)特殊說(shuō)明，定系應(yīng)選在地面上。）無(wú)特殊說(shuō)明，定系應(yīng)選在地面上。 coteaevvOAeOA4.3 點(diǎn)的加速度合成定理點(diǎn)的加速度合成定理4.3.1牽連運(yùn)動(dòng)為平移動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理牽連運(yùn)動(dòng)為平移動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理v 在圖在圖4.11中，設(shè)中，設(shè) 為定系，為定系， 為動(dòng)系且作平移，為動(dòng)系且作平移， 為動(dòng)點(diǎn)。為動(dòng)點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn) 的相對(duì)速度為的相對(duì)速度為 圖圖4.11 牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)點(diǎn)的加速度合成牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)點(diǎn)的加速度合成 （4-12）v 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn) 的相對(duì)加速度為的相對(duì)加速度為

28、（4-13）oxyzo x y z MMjMOxzxyzikOyrdxyzdt rvijkMrrdxyzdt vaijkv 其中，其中， ， ， 為動(dòng)系坐標(biāo)為動(dòng)系坐標(biāo) ， ， 的單位矢量，由于動(dòng)系作平的單位矢量，由于動(dòng)系作平移，故移，故 ， ， 為常矢量，對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)均為零，為常矢量，對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)均為零， 。將速度。將速度合成定理式（合成定理式（4-11）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得v 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn) 的絕對(duì)加速度為的絕對(duì)加速度為 （4-14）v 牽連運(yùn)動(dòng)為水平移動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理牽連運(yùn)動(dòng)為水平移動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理：在任一瞬時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的：在任一瞬時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度等于在同一瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)相對(duì)加速度和

29、牽連加速度的矢量和絕對(duì)加速度等于在同一瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)相對(duì)加速度和牽連加速度的矢量和。它與速度合成定理一樣滿足平行四邊形合成法則，即絕對(duì)加速度。它與速度合成定理一樣滿足平行四邊形合成法則，即絕對(duì)加速度位于相對(duì)加速度和牽連加速度所構(gòu)成平行四邊形對(duì)角線位置。在求位于相對(duì)加速度和牽連加速度所構(gòu)成平行四邊形對(duì)角線位置。在求解時(shí)也要畫(huà)加速度平行四邊形來(lái)確定三種加速度之間的關(guān)系。解時(shí)也要畫(huà)加速度平行四邊形來(lái)確定三種加速度之間的關(guān)系。 i jkxyz i jkeovv()aeordddddxyzdtdtdtdtdt vvvvijkoerxyz aijkaaMaeraaa 第第4章章 點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)v 例題

30、例題4-7如圖如圖4.12a所示，曲柄所示，曲柄OA以勻角速度以勻角速度 繞定軸繞定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)，丁字形桿丁字形桿BC沿水平方向往復(fù)平動(dòng)，滑塊沿水平方向往復(fù)平動(dòng)，滑塊A在鉛直槽在鉛直槽DE內(nèi)運(yùn)動(dòng)，內(nèi)運(yùn)動(dòng)，OA=r，曲柄，曲柄OA與水平線夾角為與水平線夾角為 ，試求圖示瞬時(shí)，桿，試求圖示瞬時(shí)，桿BC的的速度及加速度速度及加速度 。 圖圖4.12a 圖圖4.12b 圖圖4.12c v 解：滑塊解：滑塊A為動(dòng)點(diǎn)，丁字形桿為動(dòng)點(diǎn)，丁字形桿BC為動(dòng)系，地面為定系。動(dòng)點(diǎn)為動(dòng)系，地面為定系。動(dòng)點(diǎn)A的絕的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是曲柄對(duì)運(yùn)動(dòng)是曲柄OA繞繞O軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)為滑塊軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)為滑塊A在鉛直槽在

31、鉛直槽DE內(nèi)的直線運(yùn)動(dòng)；牽連速度為丁字形桿內(nèi)的直線運(yùn)動(dòng)；牽連速度為丁字形桿BC沿水平方向的往復(fù)平移沿水平方向的往復(fù)平移tCDABEOCDABEOva(a)(b)(c)aaaearvrve 第第4章章 點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)v （1）求桿）求桿BC的速度的速度v 作速度的平行四邊形，如圖作速度的平行四邊形，如圖4.12b所示。動(dòng)點(diǎn)所示。動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)速度為的絕對(duì)速度為v 桿桿BC的速度為的速度為v （2）求桿）求桿BC的加速度的加速度v 作加速度的平行四邊形，如圖作加速度的平行四邊形，如圖4.12c所示。動(dòng)點(diǎn)所示。動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)加速度為的絕對(duì)加速度為v 桿桿BC的加速度為的加速度為avrsinsi

32、nBCeavvvrt2cos cosBCeaaaartaarv 例題例題4-8如圖如圖4.13a所示的平面機(jī)構(gòu)中，直桿所示的平面機(jī)構(gòu)中，直桿O1A、O2B平行且等平行且等長(zhǎng)，分別繞長(zhǎng)，分別繞O1、O2軸轉(zhuǎn)動(dòng)，直桿的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，直桿的A、B連接半圓形平板，動(dòng)點(diǎn)連接半圓形平板，動(dòng)點(diǎn)M沿半圓形平板沿半圓形平板ABD邊緣運(yùn)動(dòng)，起點(diǎn)為點(diǎn)邊緣運(yùn)動(dòng)，起點(diǎn)為點(diǎn)B。已知。已知O1A=O2B=18cm，AB=O1O2=2R，R=18cm， ， ，試求當(dāng)，試求當(dāng) 時(shí)，動(dòng)點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)速度和絕對(duì)加速度。的絕對(duì)速度和絕對(duì)加速度。 圖圖4.13a 圖圖4.13b 圖圖4.13c 2S= tBMy30 xO1O2ADMRB

33、xO1O2ADMRBvevrvA(a)(b)yAnxO1O2ADMBvArnenraaaa30y18tv 解：根據(jù)題意，選半圓形平板解：根據(jù)題意，選半圓形平板ABD為動(dòng)系，地面為定系。由于直為動(dòng)系，地面為定系。由于直桿桿O1A、O2B平行且等長(zhǎng)，則動(dòng)系平行且等長(zhǎng)，則動(dòng)系A(chǔ)BD作平移，動(dòng)點(diǎn)作平移，動(dòng)點(diǎn)M的牽連速的牽連速度為度為 （cm/s）v 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M牽連速度的方向垂直于直桿牽連速度的方向垂直于直桿O1A，沿角速度，沿角速度 的轉(zhuǎn)動(dòng)方向。的轉(zhuǎn)動(dòng)方向。v 由于動(dòng)系作曲線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)由于動(dòng)系作曲線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)M的牽連加速度分為切向和法向加速度的牽連加速度分為切向和法向加速度，即，即（cm/s2）v 動(dòng)

34、點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M的相對(duì)速度為的相對(duì)速度為v 同理，動(dòng)點(diǎn)同理，動(dòng)點(diǎn)M的相對(duì)加速度也分為切向和法向加速度，即的相對(duì)加速度也分為切向和法向加速度，即11818eAvvO A22118 ()0.5518neaO A10eaO A2rvst2nrrvaR2rasv 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，動(dòng)點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的相對(duì)軌跡為的相對(duì)軌跡為 （cm）v 而而 （cm）v 則當(dāng)則當(dāng) 時(shí)，動(dòng)點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M恰巧運(yùn)動(dòng)到半圓形平板恰巧運(yùn)動(dòng)到半圓形平板ABD最高點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)最高點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M相對(duì)速度的方向?yàn)樗较蜃螅聪鄬?duì)速度的方向?yàn)樗较蜃?，?（cm/s） （cm/s2） （cm/s2）v 此時(shí)直桿此時(shí)直桿O1A與水平線的夾角為與水平線的夾角為3ts29s

35、t18922sR3ts26rvst22(6)19.7418nrrvaR26.28ras186tv （1）動(dòng)點(diǎn)）動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)速度的絕對(duì)速度v 如圖如圖4.13b所示，由速度合成定理的矢量形式所示，由速度合成定理的矢量形式v 向直角坐標(biāo)軸向直角坐標(biāo)軸x、y上投影，得動(dòng)點(diǎn)上投影，得動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)速度在坐標(biāo)軸上的投影的絕對(duì)速度在坐標(biāo)軸上的投影為為 （cm/s） （cm/s）v 從而得動(dòng)點(diǎn)從而得動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)速度為的絕對(duì)速度為 （cm/s） aervvvsin620.462axrevvv 3cos2.762ayevv2222( 20.4)2.720.58aaxayvvvv （2）動(dòng)點(diǎn)）動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)速度的絕對(duì)

36、速度v 如圖如圖4.13c所示，由牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理的矢量所示，由牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理的矢量形式形式v 向直角坐標(biāo)軸向直角坐標(biāo)軸x、y上投影，得動(dòng)點(diǎn)上投影，得動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)加速度在坐標(biāo)軸上的投的絕對(duì)加速度在坐標(biāo)軸上的投影為影為 （cm/s2） （cm/s2）v 從而得動(dòng)點(diǎn)從而得動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)加速度為的絕對(duì)加速度為（cm/s2）nnaereerraaaaaaacos6.676naxreaaa sin206nnayreaaa 2222( 6.67)( 20)21.1aaxayaaa 4.3.2牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理v

37、設(shè)動(dòng)系設(shè)動(dòng)系 相對(duì)于定系相對(duì)于定系 作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度矢量為作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度矢量為 ，角加，角加 速度矢量為速度矢量為 ，如圖，如圖4.14所示，動(dòng)系坐標(biāo)軸的三個(gè)單位矢量為所示，動(dòng)系坐標(biāo)軸的三個(gè)單位矢量為 ， ， ，在定系，在定系 中是變矢量，對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)矢量端點(diǎn)的速度中是變矢量，對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)矢量端點(diǎn)的速度.圖圖4.14 牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成v 即即（4-15）o x y oxy i jkoxyMzxyOxyzOjikrOrddti iddtjjddtk kv 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)速度為的絕對(duì)速度為v 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M的牽連速度為的牽連速度為v 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)

38、M的相對(duì)速度為的相對(duì)速度為v 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M的牽連加速度為的牽連加速度為v 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M的相對(duì)加速度為的相對(duì)加速度為v 由速度合成定理由速度合成定理 （4-16）addtrvev rrdxyzdt rvijke ea rvrrdxyzdt vaijkraevvvv 式（式（4-16）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得動(dòng)點(diǎn)）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)速度為的絕對(duì)速度為v 即即 （4-17） （4-18）v 式中，式中， 稱為科氏加速度，是科利澳里加速度在稱為科氏加速度，是科利澳里加速度在1832年給出的，年給出的，當(dāng)動(dòng)系作平移時(shí)，其角速度矢量為當(dāng)動(dòng)系作平移時(shí)，其角速度矢量為 ，科氏加速度，科氏加速度 ，式，式（4-18）

39、就轉(zhuǎn)化為式（）就轉(zhuǎn)化為式（4-14）。）。()()()aerddddxyzxyzdtdtdtdt vvv rijkijk()()()dxyzxyzdt rrijkij k( ()()xyzxyz er rvv )ijkijk()erxyz raa vijk2erraavaercaaaa2cravca00cav 式（式（4-18）為）為牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理：在任：在任一瞬時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度等于在同一瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)相對(duì)加速度、牽連一瞬時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度等于在同一瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)相對(duì)加速度、牽連加速度和科氏加速度的矢量和。加速度和科氏加速度的矢量和。v

40、牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理適合動(dòng)系作任何運(yùn)動(dòng)的牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理適合動(dòng)系作任何運(yùn)動(dòng)的情況，此時(shí)動(dòng)系的角速度矢量情況，此時(shí)動(dòng)系的角速度矢量 可以分解為定系三個(gè)軸方向的角速可以分解為定系三個(gè)軸方向的角速度矢量度矢量 ， ， 即可。即可。v 例題例題4-9刨床的急回機(jī)構(gòu)如圖刨床的急回機(jī)構(gòu)如圖4.15a所示。曲柄所示。曲柄OA與滑塊與滑塊A用鉸用鉸鏈連接，曲柄鏈連接，曲柄OA以勻角速度以勻角速度 繞固定軸繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊A在搖桿在搖桿O1B上滑動(dòng)，并帶動(dòng)搖桿上滑動(dòng)，并帶動(dòng)搖桿O1B繞固定軸繞固定軸O1轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)曲柄轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)曲柄OA=r，兩個(gè)軸間的距離兩個(gè)軸間

41、的距離OO1=l，試求當(dāng)曲柄，試求當(dāng)曲柄OA在水平位置時(shí)，搖桿在水平位置時(shí)，搖桿O1B的角速度的角速度 和角加速度和角加速度 。xyz11 圖圖4.15a 圖圖4.15b v 解：根據(jù)題意，選滑塊解：根據(jù)題意，選滑塊A為動(dòng)點(diǎn)，搖桿為動(dòng)點(diǎn)，搖桿O1B為動(dòng)系，地面為定系。為動(dòng)系，地面為定系。動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)A絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為曲柄絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為曲柄OA的圓周運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)A相對(duì)運(yùn)動(dòng)沿?fù)u桿相對(duì)運(yùn)動(dòng)沿?fù)u桿O1B的直線運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)為搖桿的直線運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)為搖桿O1B繞固定軸繞固定軸O1轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)。OBO1x1eneaaaCara(a)(b)OyBO1x1AAvevrvaay11v （1）求搖桿）求搖桿O1B

42、的角速度的角速度 v 當(dāng)曲柄當(dāng)曲柄OA在水平位置時(shí)，動(dòng)點(diǎn)在水平位置時(shí)，動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)速度的絕對(duì)速度 沿圓周的切線鉛錘沿圓周的切線鉛錘向上，動(dòng)點(diǎn)向上，動(dòng)點(diǎn)A的相對(duì)速度的相對(duì)速度 沿?fù)u桿沿?fù)u桿O1B，牽連運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng) 垂直搖桿垂直搖桿O1B，作速度的平行四邊形，如圖，作速度的平行四邊形，如圖4.15a所示。所示。v 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)速度的絕對(duì)速度 為為 （1）v 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)A的牽連速度的牽連速度 為為 （2）v 利用速度的平行四邊形的三角關(guān)系有利用速度的平行四邊形的三角關(guān)系有 （3）v 其中其中 ， ， ， 1avrvevavavrev11evO Asineavv221O Arl221sinOArO

43、 Arl1221cosOOlO Arlv 將式（將式（1）和式（）和式（2）代入式（）代入式（3）得搖桿）得搖桿O1B繞固定軸繞固定軸O1轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，角速度， （4）v 轉(zhuǎn)向與曲柄轉(zhuǎn)向與曲柄OA的角速度的角速度 相同。相同。v 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)A的相對(duì)速度的相對(duì)速度 為為 （5）v 將式（將式（1）代入式（）代入式（5）得）得 （6）v （2）求搖桿）求搖桿O1B的角加速度的角加速度 v 由于動(dòng)系作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，因此求搖桿由于動(dòng)系作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，因此求搖桿O1B的角加速度的角加速度 ，應(yīng)選擇牽連，應(yīng)選擇牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理。即運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理。即 （7）2122rl

44、rrvcosravv22cosralvvrrl11aercaaaav 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)加速度的絕對(duì)加速度 分為切向加速度和法向加速度，但由于曲柄分為切向加速度和法向加速度，但由于曲柄OA以勻角速度以勻角速度 繞固定軸繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，所以其角加速度轉(zhuǎn)動(dòng)，所以其角加速度 ，則有，則有 （8）v 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)A的牽連加速度的牽連加速度 為為 （9） （10）v 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)A的相對(duì)加速度的相對(duì)加速度 大小未知，方向沿?fù)u桿大小未知，方向沿?fù)u桿O1B是已知的。是已知的。v 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)A的科氏加速度由式（的科氏加速度由式（4-18）的矢量形式，大小為）的矢量形式，大小為 （11）v 將式（將式（4）和式（）和式（6

45、）代入式（）代入式（11）得）得 （12）aa02naaaarea422113222()neraO Alr22111eaO Arlra1a2 vcr23132222a2 v()crr llrv 方向按右手螺旋法則來(lái)確定，如圖方向按右手螺旋法則來(lái)確定，如圖4.15b所示。所示。v 式（式（7）的具體表達(dá)式為）的具體表達(dá)式為 （13）v 由圖由圖4.15b所示，將式（所示，將式（13）向）向 軸投影，得軸投影，得 （14）v 將式（將式（8）、（）、（10）和（）和（11）代入式（）代入式（14）得搖桿）得搖桿O1B的角加速的角加速度度 ，即，即v 負(fù)號(hào)說(shuō)明原假設(shè)方向與實(shí)際相反，如圖負(fù)號(hào)說(shuō)明原假設(shè)

46、方向與實(shí)際相反，如圖4.15b所示，應(yīng)為逆時(shí)針轉(zhuǎn)所示，應(yīng)為逆時(shí)針轉(zhuǎn)向。向。nnaaeercaaaaaa1O xcosaecaaa12221222()()rl lrlr v 例題例題4-10例題例題4-6中求桿中求桿AB的加速度。的加速度。圖圖4.16v 解：選桿解：選桿AB上的上的A點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，凸輪為動(dòng)系，地面為定系。應(yīng)用牽點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，凸輪為動(dòng)系，地面為定系。應(yīng)用牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理，即連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理，即 （1）BACOenraaCaaarnaxaercaaaav 下面分析加速度：下面分析加速度：v 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)加速度的絕對(duì)加速度 ：由于動(dòng)點(diǎn)：由于動(dòng)點(diǎn)A

47、的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是作直線運(yùn)動(dòng)，故的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是作直線運(yùn)動(dòng)，故其加速度的方向是已知的，大小是未知的。其加速度的方向是已知的，大小是未知的。v 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)A的相對(duì)加速度的相對(duì)加速度 ：動(dòng)點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)A的相對(duì)運(yùn)動(dòng)是沿凸輪邊緣的圓周運(yùn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)是沿凸輪邊緣的圓周運(yùn)動(dòng)，故其加速度分為切向加速度動(dòng)，故其加速度分為切向加速度 和法向加速度和法向加速度 。v 由前面例題求得相對(duì)速度為由前面例題求得相對(duì)速度為 （2）v 則相對(duì)加速度的法向加速度則相對(duì)加速度的法向加速度 為為 （3）v 相對(duì)加速度的切向加速度相對(duì)加速度的切向加速度 的方向沿圓輪的切線，指向任意；的方向沿圓輪的切線，指向任意； 的的大小是未知的。大小是未知的。a

48、araranracosarveRvRenra22nrrvaRRrarav 牽連加速度牽連加速度 ：因?yàn)橥馆喴詣蚪撬俣龋阂驗(yàn)橥馆喴詣蚪撬俣?繞繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，所以牽連加軸轉(zhuǎn)動(dòng)，所以牽連加速度速度 為法向加速度為法向加速度 ，切向加速度，切向加速度 ，即，即 （4）v 科氏加速度科氏加速度 ：由式（：由式（4-18）的矢量形式得其大小為）的矢量形式得其大小為 （5）v 將式（將式（2）代入式（）代入式（5）得）得 （6）v 方向按右手螺旋法則來(lái)確定，如圖方向按右手螺旋法則來(lái)確定，如圖4.16所示。所示。v 式（式（1）的具體表達(dá)式為）的具體表達(dá)式為 （7）v 由圖由圖4.16所示，將式（所示，將式（7

49、）向）向x軸投影，得軸投影，得 （8）eanea0ea2222neeaaOARecaa2vcr2a2v2crRnnaeerrcaaaaaasinsinnnaercaaaa v 其中，其中， ，將式（，將式（3）、（）、（4）和（）和（6）代入式（）代入式（8） 得桿得桿AB的加速度為的加速度為 22sinReR22221(sin)sinnnaerceaaaaRe 4.4 本章小結(jié)本章小結(jié)v 1. 1.建立兩種坐標(biāo)系建立兩種坐標(biāo)系v 定參考坐標(biāo)系：建立在不動(dòng)物體上的坐標(biāo)系，簡(jiǎn)稱定系。定參考坐標(biāo)系：建立在不動(dòng)物體上的坐標(biāo)系，簡(jiǎn)稱定系。v 動(dòng)參考坐標(biāo)系：建立在運(yùn)動(dòng)物體上的坐標(biāo)系，（簡(jiǎn)稱動(dòng)系）。動(dòng)參考

50、坐標(biāo)系：建立在運(yùn)動(dòng)物體上的坐標(biāo)系，（簡(jiǎn)稱動(dòng)系）。v 2. 2.動(dòng)點(diǎn)的三種運(yùn)動(dòng)動(dòng)點(diǎn)的三種運(yùn)動(dòng)v 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于定參考坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)。絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于定參考坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)。v 相對(duì)運(yùn)動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)參考坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)。相對(duì)運(yùn)動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)參考坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)。v 牽連運(yùn)動(dòng)：動(dòng)參考坐標(biāo)系相對(duì)于定參考坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)。牽連運(yùn)動(dòng)：動(dòng)參考坐標(biāo)系相對(duì)于定參考坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)。v 3. 3.點(diǎn)的速度合成定理點(diǎn)的速度合成定理v 在任一瞬時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度等于在同一瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)速度和牽在任一瞬時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度等于在同一瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)速度和牽連速度的矢量和。連速度的矢量和。aervvvv 4. 4.點(diǎn)的加速度合成定理點(diǎn)的加速

51、度合成定理v （1）牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理）牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理v 在任一瞬時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度等于在同一瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)相對(duì)加速度和在任一瞬時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度等于在同一瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)相對(duì)加速度和牽連加速度的矢量和。牽連加速度的矢量和。v 在應(yīng)用速度合成定理和牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理時(shí)，在應(yīng)用速度合成定理和牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理時(shí)，應(yīng)畫(huà)速度合成和加速度合成的平行四邊形，使絕對(duì)速度和絕對(duì)加速應(yīng)畫(huà)速度合成和加速度合成的平行四邊形，使絕對(duì)速度和絕對(duì)加速度位于平行四邊形對(duì)角線的位置。只有畫(huà)出平行四邊形，才能確定度位于平行四邊形對(duì)角線的位置。只有畫(huà)出平行四邊形，才能確

52、定三種運(yùn)動(dòng)的關(guān)系。三種運(yùn)動(dòng)的關(guān)系。v （2）牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理）牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理v 在任一瞬時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度等于在同一瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)加速在任一瞬時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度等于在同一瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)加速度、牽連加速度和科氏加速度的矢量和。度、牽連加速度和科氏加速度的矢量和。v 在應(yīng)用牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理時(shí)，一般采用投在應(yīng)用牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理時(shí)，一般采用投影法求解。影法求解。aeraaaaercaaaa 4.4 習(xí)題習(xí)題v 4-1.如圖所示，點(diǎn)如圖所示，點(diǎn)M在平面在平面 中運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為中運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為 t以以s計(jì)，計(jì)

53、， 、 以以mm計(jì)，平面計(jì)，平面 繞繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)方程為軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)方程為 （rad），試求點(diǎn)），試求點(diǎn)M的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡和絕對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡。的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡和絕對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡。v 4-2.如圖所示，汽車如圖所示，汽車A沿半徑為沿半徑為150m的圓弧道路，以勻速的圓弧道路，以勻速 =45km/h行駛，汽車沿行駛，汽車沿B直線道路行駛，圖示瞬時(shí)汽車直線道路行駛，圖示瞬時(shí)汽車B的的速度為速度為 =70km/h，加速度為，加速度為 =3m/s2。試求汽車。試求汽車A相對(duì)相對(duì)汽車汽車B的速度和加速度。的速度和加速度。 習(xí)題習(xí)題4-1圖圖 習(xí)題習(xí)題4-2圖圖Ox y 40(1 cos )xt 40sinyt xyOx y tAvBvBaOyxxyMyxA150米v 4-3.如圖所示的兩種機(jī)構(gòu)（如圖所示