2003年高考數(shù)學(xué)試題江西卷

1、2003 年高考數(shù)學(xué)試題（江西卷理工農(nóng)醫(yī)類）試題部分一、選擇題：本大題共只有一項是符合題目要求的第I卷（選擇題 共 60 好）12 小題，每小題 5 分，共 60 分.在每小題給出的四個選項中,1.二汽等于（ 仁3i）21A.-41B.-43.I43.C.1i2 21D.22已知 x(jr0),2cosx=-，貝 U tan2x 等于(7A.247B.2424C.-724D.73設(shè)函數(shù) f(x)21x2,-1,0,若 f （ X0）1，則 X0的取值范圍是（x 0.A.(1,1)C.(m,2)U(0,4.0 是平面上+m）定點，A、B.(1,+m)D.( m, 1)U(1,是平面上不共線的三個

2、點,+m)動點PABOP =OA(-|AB|A.外心）,入 0 , +m），則 P 的軌跡一定通過厶|AC|B.內(nèi)心ABC 的（C.重心D.垂心x + 15.函數(shù) y=lnx 1x（1 , +m）的反函數(shù)為（xe -1A.y=(0,+m)B.y=V，x(0,+m)ex-1xeC.y=xe二,x( m,10)ex1D.y= -,x( m,0)ex-16棱長為 a 的正方體中,連結(jié)相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為（3aA. 一33aB.一43aC.一63aD.-122003 年高考數(shù)學(xué)試題（江西卷理工農(nóng)醫(yī)類）7.設(shè) a0 , f (x) =ax2+bx+c,曲線 y=f (x)在點 P

3、 (xo, f ( xo)處切線的傾斜角的取值c2cC2 C3 C4-C2Cn)等于（A.31B.-31C.-6D.612. 一個四面體的所有棱長都為2,四個頂點在同一球面上， 則此球的表面積為（A.3nB.4nD.6nTT范圍為0,二,則 P 到曲線 y=f （ x）對稱軸距離的取值范圍為（）41ibb -1A.:0,舌:B.:0，2a:C.:0,|2a|:D.:0，方卩i8.已知方程（x22x+m） （x2- 2x+n） =0 的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列，則4|m n| 等于（）F （7, 0），直線 y=x 1 與其相交于 M、N 兩點，MN 中點的橫坐標(biāo)為一 -，則此雙曲線的方程

4、是（）310.已知長方形的四個頂點 A （0, 0）、B （2, 0）、C （2, 1）和 D （0, 1）, 一質(zhì)點從 AB的中點 P0沿與 AB 夾角為B的方向射到 BC 上的點 P1后，依次反射到 CD、DA 和 AB 上 的點 P2、P3和 P4（入射角等于反射角）.設(shè) P4的坐標(biāo)為（X4,0）.若 1X40,求函數(shù) f (x) =、x ln (x+a)(x( 0, +a)的單調(diào)區(qū)間.20. (本小題滿分 12 分)A、B 兩個代表隊進行乒乓球?qū)官?，每隊三名隊員，A 隊隊員是 A1, A2, A3, B 隊隊員是 B1, B2, B3,按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間勝負(fù)概率 如下

5、：現(xiàn)按表中對陣方式出場，每場勝隊得1 分，負(fù)隊得 0 分.設(shè) A 隊、B 隊最后所得總分分別為E、n.(I)求E、n的概率分布；(n)求 EE ,En.21. (本小題滿分 12 分)已知常數(shù)a0,向量 c=(0, a), i= (1, 0),經(jīng)過原點O 以c+入 i 為方向向量的直線與經(jīng)過定點 A ( 0, a),以 i 2 入 c 為方向向量的直線相交于點 P. 其中入 R.試問：是否存在兩個定點 E、F，使得|PE|+|PF|為定值.若存在，求出 E、F 的坐 標(biāo)；若不存在，說明理由.22. (本小題滿分 14 分)設(shè) ao為常數(shù)，且 an=3n 1 2an-1(n N+).1(I)證明

6、對任意 n1, an=: 3n+ ( 1)n1 2n + ( 1)n 2%;(n)在給出的直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=f (x)在區(qū)間n n,上的圖象22=1解法=2x -1x 一，又 2LJx Tly-1xTxT 2x T而 x1,的內(nèi)心.5答案：B(n)假設(shè)對任意 n1 有 anan-1，求 a的取值范圍 答案解析1答案：B解析:2(cos60 - i sin60 )22(COS30isin30 )2(cos60 -isin60 )22(cos60isin60 )= cos120 ) isin( 120 )二丄(一丄2 2 2i)解法一JI43:. x (0), cosx= , sinx=2

7、552ta nx24tan2x=-tan2x174n解法二：在單位圓中，用余弦線作出 cosx= ,x ( ，0)，判斷出 2x且 tan2x=AT1，當(dāng) x 0 時， X00 時，x021 ,二 X01.綜上，所以 X0的取值范圍為(一31)U(1,+8).解法二：首先畫出函數(shù) y=f( x)與 y=1 的圖象由圖中易得 f( x) 1 時，所對應(yīng)的 x 的取值范圍4答案：BAB 解析：設(shè)AB為AB上的單位向量|AB|ACI AC |ABAC的單位向量，則的方向為/ BAC|AB| |AC|又入0,+a, 入+)的方向與 上B的方向相同| AB| | AC| AB | AC |而OP =OA

8、 (-AB|AB|.點P在AD上移動, P 的軌跡一定通過厶 ABC2答案：D3tanx=4的角平分線28答案：C9.答案：D2x解法一：設(shè)所求雙曲線方程為2a2 2得務(wù)一 (r=1, (7 a2) x2 a2(x 1)2=a2(7 a2)a27-a2-即 3a2=2 (7 2a2), a2=2.2(7-a2)3xx 1x 1x 1l 11, ln 0，因此 y=ln 的反函數(shù)為 y=x -1x-1x-1lx_1(x0)解法二：因原函數(shù)的定義為(1, +R),而 y-1Ir 1一2lx12=1x1.因此lx1排除 A、C,又原函數(shù)的值域為(0, +R),排除6.答案：C解析：如圖，此八面體可以

9、分割為兩個正四棱錐,D.而AB2=(旦)2+(a)2=ia2, V八面體=】(2(2237.答案：B解析：f (x)的導(dǎo)數(shù)為f( x) =2ax+b，由已知 y=f (x)在點 P傾斜角的取值.因此有 0W2ax+bw1.而 P 到曲線 y=f (x)的對稱軸的距離42ax0b2a卜|2ax。b|2a解析：設(shè) a1=41a2= +d,41a3=+2d,41、a4=+3d,而方程4x2一2x+m=為 2, x2 2x+n=0中的兩根之和也是2. ai+a2+ a3+ a4=1+6d=4 ,1 d=,21a1=,4a4=是4一個方程的兩個根,35a?= , a3= 是44個方程的兩個根，15為 m

10、 或 n. |m16 161n|=2=1整理得：222224J(7 2a ) x +2a x 8a +a =0.又 MN 中點橫坐標(biāo)為 一，x0=(xo, f (xo)處切線的X1X2x2 2故所求雙曲線方程為 =1.25解法二：因所求雙曲線與直線y=x 1 的交點的中點橫坐標(biāo)為一-0，故雙曲線的漸近3-3,依題設(shè) 1AP42，即 12 30)時，為 k1，因此，排除 B、C.經(jīng)檢驗22 2乞-乂 =15y = x1的交點的中點橫坐標(biāo)為-|.解法三：由已知 MN 中點橫坐標(biāo) xo=-，可得中點縱坐標(biāo)3yo=xo-1=-，設(shè)MN與2b-,則得：厲-yJA y?)(X2-Xj(X1X2)b210.

11、答案：C解析：設(shè) P1B=x, / P1PoB=0,則 CP1=1 x,/ AP4P3均為0，所以 tan0=-p1B=x，又 tan0PoB CP2=X=11,而 tan0=PDX XP2D1 .2_(1)3-xDPL=X1 ,1DP3=x ( 3 X=3x 1,又 tan0=擔(dān)AP41 -(3x T)AP42-3xA巳=X，2 -3x雙曲線交點分別為 M (xi, yi)、N (X2, y2),2則有務(wù)a.區(qū)-X1)(xX2)_ W2-yj(y1y?)DP321x112二 4 5,，二 X .x 4252511答案：B解析：C2二c3=1,c：cm，=cm.11119 8 7=()rC；X

12、18r由題意得 18 3r=9, r=3，因此 x9的系數(shù)為(一)3C3 :228321二214.答案：63010461解析：因總轎車數(shù)為 9200 輛，而抽取 46 輛進行檢驗，抽樣比例為，而2 2 2 2C2 C3 C4Cn322=C3C3C4232Cn= C4C4= c3,c；+c3+c；+c5 + +C1=c2* 1n 12345nn 112 答案：A解法一：AD6,AO=ZAD -233SOSA2- AO2、2、332:R2=（3、3-R）2球的表面積為 3n解法二：構(gòu)造棱長為1 的正方體,則 C1A1BD 為棱長為x2的正四面體，正方體的外接球體也為正四面體的外接球3徑為, 3，因

13、此球的表面積為4n( )2=3n.22113.答案：一21解析：(x2-云)9的展開式中，x2)9-r（-2x）1、r小r18_42r=（）C9X X,29Di920020016.答案：解析：、易判斷，中 PMN 是正三角形且 AM=AP=AN，因此，三棱錐 APMN 是正三棱錐所以圖中 I 丄平面 MNP，由此法，還可否定 / AM豐APMAN.也易否定2I兀.兀17.解：(I)f(x)=2sinx+2sinxcosx=1cos2x+sin2x=1+、2(sin2xcoscos2xsin)44=1+2sin (2x),4（n）由（I）知xy111JI JI故函數(shù) y=f （x）在區(qū)間一，一上

14、的圖象是2 218.解法一：（I）連結(jié) BG,則 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即 / EBG是 A1B 與平面 ABD 所成的角.設(shè) F 為 AB 中點，連結(jié) EF、FC,D、E 分別是 CC1、A1B 的中點，又 DC 丄平面 ABC, CDEF 為矩形.連結(jié) DF , G 是厶 ADB 的重心，1 G DF.在直角三角形 EFD 中，EF2=FG FD = FD2,所以函數(shù) ffx）的最小正周期為n，最大值為 1 +2.三種型號的轎車有顯著區(qū)別 根據(jù)分層抽樣分為三層按1200比例抽樣分別有6、 30、 10 輛.15答案：120解法一：先排 1 區(qū)，有 4 種方法，把其余四個區(qū)視

15、為一個圓環(huán)（如 圖 1），沿著圓環(huán)的一個邊界剪開并把圓環(huán)拉直，得到如圖 2 的五個空格，在五個空格中放 3 種不同元素，且相同元素不能相鄰兩端元素不能 相同共有 15 種不同方法然后再把圖 2 粘成圓形即可下面解決兩端元素 相同的情況在這種情況下我們在六個空格如圖3.要求相同元素不能相鄰兩端元素必須相同， 共有 15 種不同方法然后再把圖 3 粘成圓環(huán) 形，把兩端的兩格粘在一起看成一個格即可綜上，共有 4（ 15+15）=120種方法3/ EF=1 , FD= 3.=01：2 6是 ED= 、.2, EG=- FC=ED= 、2, AB=22, AiB=23, EB=, 3sinEBGn61E

16、B 33(n)連結(jié) A1D,有VA1JDE-VD -AA1E/ ED 丄 AB, ED 丄 EF，又 EFnAB=F ,二 ED 丄平面 AiAB,設(shè) A1到平面 AED 的距離為 h,則SAAED h=S-A1AE ED.1 1 1 0 , x0 時，f( x) 0= x2+ (2a 4) x+a20 ,22f( x) 0= x + (2a 4) x+a 1 時，對所有 x0 ,有 x2+ (2a 4) x+a20 , 即 f( x) 0 ,此時 f (乂)在(0 , +g)內(nèi)單調(diào)遞增.(ii )當(dāng) a=1 時，對XM1,有 x2+ (2a 4) x+a20 ,即 f( x) 0 ,此時 f

17、 (乂)在(0, 1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1, +g)內(nèi)單調(diào)遞增 又知函數(shù) f (x)在 x=1 處連續(xù)，因此，函數(shù) f (乂)在(0, +g)內(nèi)單調(diào)遞增.(iii) 當(dāng) 0a0,即 x2+ (2a 4) x+a20,解得 x2 a+2J - a.因此，函數(shù) f (x)在區(qū)間(0, 2 a 2 d - a )內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(2 a+2 , 1 - a ,+g)內(nèi)也單調(diào)遞增.14AiB 與平面 ABD 所成角是7arccos-.3()由(I)有 A (2,0, 0), Ai(2,0, 2), E (1 , 1, 1), D (0, 0, 1).AE ED= ( 1, 1, 1)( 1, 1 ,

18、0) =0 ,23321 A1K=(2,2,-4).|AK| =3 33故 A1到平面 AED 的距離為2.6319解:f(x)2”x(x0 )令 f( x) 0 ,即 x2+ (2a 4) x+a20,23因為E+n=3，所以 En=3 EE=1521.解：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點P 坐標(biāo)滿足的方程.據(jù)此再判斷是否存在兩定點，使得點 P 到兩定點距離的和為定值.Ti= (1, 0), c= (0, a) ， c+ 入 i=(入，a), i 2 入 c= (1, 2 入 a).因此，直線 0P 和 AP 的方程分別為 入 y=ax 和 y a= 2 入 ax.消去參數(shù)入，得點 P (x, y)

19、的坐標(biāo)滿足方程 y (y a) = 2a,2,a2解得 2-a 2 J - a x 0,所以得：(i)當(dāng) a=2 時，方程是圓方程，故不存在合乎題意的定點222(ii )當(dāng) Ovav時，方程表示橢圓，焦點E (1 a2)和 F (-22 W 2 22/k+1ck+1+ ( 1)2 ao,也就是說，當(dāng) n=k+1 時，等式也成立.根據(jù)(門和(ii)，可知等式對任何 n N+成立.證法：如果設(shè) an a3“=一 2 (an-1 a3“ 1),1n1 2an-1代入，可解出 a=-5(n)解法一：由 an通項公式2匯3*4十(_1)*二3；2*4an an1=3二 anan-1(n N+)等價于(1)n1( 5a。 1) 2時，方程也表示橢圓,2焦點 E(O(a211-)和 F (0， (a22a2-1)為合乎題22.(I