定積分在幾何中的應(yīng)用

1、第七章第七章 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用我們已經(jīng)利用定積分解決一些應(yīng)用問題的計算我們已經(jīng)利用定積分解決一些應(yīng)用問題的計算, 如：如：變力沿直線所做的功變力沿直線所做的功 badxxFW)(已知質(zhì)點的運動速度，求質(zhì)點的運動路程已知質(zhì)點的運動速度，求質(zhì)點的運動路程 badttvs)( badxxfA)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 dA面積元素面積元素ab xyo)(xfy xdxx 用用A 表表示示小小區(qū)區(qū)間間,xxx 上上曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積，則則dxxfdAA)( ，7.1 定積分的元素法定積分的元素法用定積分來計算的量用定積分來計算的量U具有以下特點：具有以下特點：1量量U與函數(shù)與函

2、數(shù) f(x)及及x的變化區(qū)間的變化區(qū)間 a, b有關(guān)。有關(guān)。 若若 f(x)常數(shù)，則常數(shù)，則 U= f(x)(ba)。1量量U對區(qū)間具有可加性。即：把對區(qū)間具有可加性。即：把a，b分成若干分成若干 部分區(qū)間，部分區(qū)間， 則則 U相應(yīng)地被分成了許多部分量之和。相應(yīng)地被分成了許多部分量之和。1在區(qū)間在區(qū)間 a, b的任一個子區(qū)間的任一個子區(qū)間x, x+x 上，上， 部分量部分量Uf (x)x。設(shè)設(shè)U U是可用定積分表達的量，則計算量是可用定積分表達的量，則計算量U U的步驟為：的步驟為：定積分的元素法定積分的元素法 選擇函數(shù)選擇函數(shù) f(x)，并確定自變量，并確定自變量 x 的變化區(qū)間的變化區(qū)間a

3、, b; 在在a, b內(nèi)考慮典型小區(qū)間內(nèi)考慮典型小區(qū)間x, x+dx，求出相應(yīng)于這，求出相應(yīng)于這個小區(qū)間的部分量個小區(qū)間的部分量U的近似值的近似值 f(x)dx。稱。稱f(x)dx為量為量U的元素，記為的元素，記為dU= f(x)dx。 計算計算 U= badxxf)(應(yīng)用方向：應(yīng)用方向： 平面圖形的面積、體積及平面曲線的弧長；平面圖形的面積、體積及平面曲線的弧長；功、水壓力、功、水壓力、 引力和平均值等引力和平均值等7.2 7.2 定積分的幾何應(yīng)用定積分的幾何應(yīng)用一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積0 直角坐標系情形直角坐標系情形0 極坐標系情形極坐標系情形xyo)(xfy abxyo)(1

4、xfy )(2xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfA)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfxfA)()(12xxxx .d)()(d,d)(d:12xxfxfAxxfA 面面積積元元素素xx 一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積1、直角坐標系情形、直角坐標系情形例例 1 1 計計算算由由兩兩條條拋拋物物線線xy 2和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.2xy 2yx 例例 2 2 計計算算由由曲曲線線xxy63 和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.2xy xxy63 例例 3 3 計計算算由由曲曲線線xy22 和和直直線線4 xy所所圍圍成成

5、的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點兩曲線的交點).4 , 8(),2, 2( 422xyxyxy22 4 xy dxxxdA)2(21 dxxxdA)4(22 .1882220121 dAdAAAA選選 為積分變量為積分變量y4, 2 ydyyydA 242.1842 dAA如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積.)()(21 ttdtttA （其其中中1t和和2t對對應(yīng)應(yīng)曲曲線線起起點點與與終終點點的的參參數(shù)數(shù)值值）在在1t,2t（或（或2t,1t）上）上)(tx 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，)(ty 連續(xù)連續(xù).例例

6、4 4 求橢圓求橢圓12222 byax的面積的面積. 設(shè)由曲線設(shè)由曲線)( r及射線及射線 、 圍成一曲邊扇圍成一曲邊扇形，求其面積這里，形，求其面積這里，)( 在在, 上連續(xù)，且上連續(xù)，且0)( xo d d 面積元素面積元素 ddA2)(21 曲邊扇形的面積曲邊扇形的面積.)(212 dA )( r2、極坐標系情形、極坐標系情形例例 5 5 求求雙雙紐紐線線 2cos22a 所所圍圍平平面面圖圖形形的的面面積積.xy 2cos22a 1A例例 6 6 求心形線求心形線)cos1( ar所圍平面圖形的所圍平面圖形的面積面積)0( a. d例例7 求求r = a sin3 所圍的面積。所圍的

7、面積。求在直角坐標系下、參數(shù)方程形式求在直角坐標系下、參數(shù)方程形式下、極坐標系下平面圖形的面積下、極坐標系下平面圖形的面積.（注意恰當?shù)模ㄗ⒁馇‘數(shù)倪x擇積分變量選擇積分變量有助于簡化有助于簡化積分運算）積分運算）小結(jié)小結(jié)2 2、曲線、曲線 sin2 r與與 2cos2 r所圍圖形公共部分所圍圖形公共部分 的面積的面積 S（ ） ；） ；（A A）23112 ； （B B）41324 ；（C C）21312 ； （D D）2316 . .1 1、 曲曲線線xyln 與與直直線線ex1 ，ex 及及0 y所所圍圍成成 的的區(qū)區(qū)域域的的面面積積 S（ ） ；（A A）)11(2e ； （B B）ee

8、1 ；（C C）ee1 ； （D D）11 e . .思考思考AD 設(shè)曲線設(shè)曲線)(xfy 過原點及點過原點及點)3 , 2(，且，且)(xf為單調(diào)函數(shù)，并具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，今在曲線上任為單調(diào)函數(shù)，并具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，今在曲線上任取一點作兩坐標軸的平行線，其中一條平行線取一點作兩坐標軸的平行線，其中一條平行線與與x軸和曲線軸和曲線)(xfy 圍成的面積是另一條平圍成的面積是另一條平行線與行線與y軸和曲線軸和曲線)(xfy 圍成的面積的兩圍成的面積的兩倍，求曲線方程倍，求曲線方程.3、 解答解答1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS xdxxfS02)( xdxxfxySxyS021)()( 2

9、)(00 xxdxxfxydxxf,2)(30 xydxxfx 兩邊同時對兩邊同時對 求導(dǎo)求導(dǎo)xyxyxf 22)(3yyx 2積分得積分得,2cxy 因因為為曲曲線線)(xfy 過過點點)3 , 2(29 c,292xy 因因為為)(xf為為單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù)所以所求曲線為所以所求曲線為.223xy 202110102120.)2)(1();)2)(1()2)(1();)2)(1()2)(1();)2)(1()2)(1(dxxxxDdxxxxdxxxxCdxxxxdxxxxBdxxxxAxxxxy為為：軸軸所所圍圍圖圖形形的的面面積積可可表表與與例例：曲曲線線. 2, 1,0 xxx解解：交交

10、點點dxxxxdxxxxA 2110)2)(1()2)(1( A 2110)2)(1()2)(1(dxxxxdxxxx二、二、 體積體積0 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積0 已知平行截面面積的立體體積已知平行截面面積的立體體積 旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺圓臺1、旋轉(zhuǎn)體的體積、旋轉(zhuǎn)體的體積一一般般地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy 、直直線線ax 、bx 及及x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的

11、的立立體體，體體積積為為多多少少？取取積積分分變變量量為為x，,bax 在在,ba上任取小區(qū)上任取小區(qū)間間,dxxx ，取取以以dx為為底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的薄薄片片的的體體積積為為體體積積元元素素，dxxfdV2)( xdxx xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為dxxfVba2)( )(xfy y例例 1 1 連接坐標原點連接坐標原點O及點及點),(rhP的直線、直線的直線、直線hx 及及x軸圍成一個直角三角形將它繞軸圍成一個直角三角形將它繞x軸旋軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個底半徑為轉(zhuǎn)構(gòu)成一個底半徑為r、高為、高為h的圓錐體，計算的圓錐體，計算圓錐體的體積圓錐體的體積rhP

12、xoa aoyx例例 2 2 求求星星形形線線323232ayx )0( a繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積.由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)()(21xfyxfy 、直直線線ax 、bx 所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為多多少少？ xyo)(1xfy )(2xfy ab 類類似似地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(yx 、直直線線cy 、dy 及及y軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為xyo)(yx cddyy2)( dcV例例 3 3 求擺線求擺

13、線)sin(ttax ，)cos1(tay 的一的一拱與拱與0 y所圍成的圖形分別繞所圍成的圖形分別繞 x 軸、軸、y 軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積成旋轉(zhuǎn)體的體積.a 2a )(xy補充補充 如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線)(xfy 、直線直線ax 、bx 及及x軸所圍成的曲邊梯形繞軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為dxxfxVbay| )(|2 利用這個公式，可知上例中利用這個公式，可知上例中dxxfxVay| )(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.63

14、3a 例例 4 4 求由曲線求由曲線24xy 及及0 y所圍成的圖形所圍成的圖形繞直線繞直線3 x旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積.解解取取積積分分變變量量為為y,4 , 0 y體積元素為體積元素為dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQMxoab2、平行截面面積為已知的立體的體積、平行截面面積為已知的立體的體積xdxx 如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算個立體的體積也可用定

15、積分來計算.)(xA表表示示過過點點x且且垂垂直直于于x軸軸的的截截面面面面積積，)(xA為為x的的已已知知連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù),)(dxxAdV .)( badxxAV立體體積立體體積例例 5 5 一一平平面面經(jīng)經(jīng)過過半半徑徑為為R的的圓圓柱柱體體的的底底圓圓中中心心，并并與與底底面面交交成成角角 ，計計算算這這平平面面截截圓圓柱柱體體所所得得立立體體的的體體積積.RR xyo解解 取坐標系如圖取坐標系如圖底圓方程為底圓方程為222Ryx 垂直于垂直于x軸的截面為直角三角形軸的截面為直角三角形x截面面積截面面積,tan)(21)(22 xRxA 立體體積立體體積dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R 例例 6 6 求求以以半半徑徑為為R的的圓圓為為底底、平平行行且且等等于于底底圓圓半半徑徑的的線線段段為為頂頂、高高為為h的的正正劈劈錐錐體體的的體體積積.解解取坐標系如圖取坐標系如圖底圓方程為底圓方程為,222Ryx xyoRx垂直于垂直于x軸的截面為等腰三角形軸的截面為等腰三角形截面面積截面面積22)(xRhyhxA 立體體積立體體積dxxRhVRR 22.212hR 思考題思考題