§5曲面及其方程

1、5曲面及其方程課 題： 7.5 曲面積及其方程教學(xué)內(nèi)容：旋轉(zhuǎn)曲面，柱面，二次曲面。教學(xué)目的：通過(guò)學(xué)習(xí)，使學(xué)生知道旋轉(zhuǎn)曲面，柱面，二次曲面教學(xué)重點(diǎn)：寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)曲面，柱面方程教學(xué)難點(diǎn)：利用已知寫(xiě)二次曲面教學(xué)過(guò)程：一、曲面方程的概念如果曲面 S 與三元方程F(x y z) 0有下述關(guān)系(1) 曲面 S 上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足方程F(x y z) 0(2) 不在曲面 S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿(mǎn)足方程F(x y z) 0那么 方程 F(x y z) 0 就叫做曲面 S 的方程 而曲面 S 就叫做方程 F(x y z) 0 的圖形常見(jiàn)的曲面的方程例 1 建立球心在點(diǎn) Mo(xoyozo)、半徑為 R 的球面的方程

2、解 設(shè) M(x y z)是球面上的任一點(diǎn)那么|MM| R即，(x x0)2(y y。)2(z勺)2R或(x X0)2(y y0)2(z z0)2R2這就是球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)所滿(mǎn)足的方程而不在球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿(mǎn)足這個(gè)方程所以(x X0)2(y y0)2(z z0)2R2就是球心在點(diǎn) M(x0y0z0)、半徑為 R 的球面的方程特殊地 球心在原點(diǎn) 0(0 0 0)、半徑為 R 的球面的方程為x2y2z2R2例 2 設(shè)有點(diǎn) A(1 2 3)和 B(21 4)求線(xiàn)段 AB 的垂直平分面的方程解 由題意知道所求的平面就是與 A 和 B 等距離的點(diǎn)的幾何軌跡設(shè) M(x y z)為所求平面上的任一點(diǎn) 則有

3、|AM| |BM|即,(x 1)2(y 2)2(z 3)2,(x 2)2(y 1)2(z 4)2等式兩邊平方然后化簡(jiǎn)得2x 6y 2z 7 0這就是所求平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)所滿(mǎn)足的方程而不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿(mǎn)足這個(gè)方程所以這個(gè)方程就是所求平面的方程研究曲面的兩個(gè)基本問(wèn)題(1) 已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí)建立這曲面的方程(2) 已知坐標(biāo) x、y 和 z 間的一個(gè)方程時(shí)研究這方程所表示的曲面的形狀例 3 方程 x2y2z22x 4y 0 表示怎樣的曲面？解通過(guò)配方原方程可以改寫(xiě)成(x 1)2(y 2)2z25這是一個(gè)球面方程球心在點(diǎn) Mo(i2 0)、半徑為 R .5一般地設(shè)有三元二次方程Ax

4、2Ay2Az2Dx Ey Fz G 0這個(gè)方程的特點(diǎn)是缺 xy yz zx 各項(xiàng)而且平方項(xiàng)系數(shù)相同只要將方程經(jīng)過(guò)配方就可以化成方程(x xo)2(y yo)2(z zo)2R2的形式它的圖形就是一個(gè)球面二、旋轉(zhuǎn)曲面以一條平面曲線(xiàn)繞其平面上的一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面這條定直線(xiàn)叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸設(shè)在 yOz 坐標(biāo)面上有一已知曲線(xiàn)C 它的方程為f (y z) o把這曲線(xiàn)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周就得到一個(gè)以 z 軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面它的方程可以求得如下設(shè) M(x y z)為曲面上任一點(diǎn)它是曲線(xiàn) C 上點(diǎn) Mi(0 yizi)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)而得到的因此有如下關(guān)系等式f(yi, Zi) 0 z zi|y

5、i| .x2y2從而得f( x2y2, z) 0這就是所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程在曲線(xiàn) C 的方程 f(y z) 0 中將 y 改成；x2y2便得曲線(xiàn) C 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程f( ,x2y2, z) 0同理曲線(xiàn) C 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為f (y, x2z2) 0例 4 直線(xiàn) L 繞另一條與 L 相交的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面叫做圓錐面兩直線(xiàn)的交點(diǎn)叫做圓錐面的頂點(diǎn) 兩直線(xiàn)的夾角(0y)叫做圓錐面的半頂角 試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn) 0旋轉(zhuǎn)軸為 z 軸半頂角為的圓錐面的方程解在 yO z 坐標(biāo)面內(nèi)直線(xiàn) L 的方程為z ycot將方程 z ycot 中的 y 改成. x2y2就得到

6、所要求的圓錐面的方程z x2y2cotz2a2(x2y2)其中 a cot繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所在的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為x!a2繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所在的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為c2這兩種曲面分別叫做雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面和單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面三、柱面例 6 方程 x2y2R2表示怎樣的曲面？解 方程 x2y2R2在 xOy 面上表示圓心在原點(diǎn) 0、半徑為 R 的圓 在空間直角坐標(biāo)系中這方程不含豎坐標(biāo) z 即不論空間點(diǎn)的豎坐標(biāo) z 怎樣 只要它的橫坐標(biāo) x 和縱坐標(biāo) y 能滿(mǎn)足這方程 那么這些點(diǎn)就在這曲面上也就是說(shuō) 過(guò) xOy 面上的圓 x2y2R2且平行于 z 軸的直線(xiàn)一定在x2y2R2表示的曲面上所以這個(gè)曲面可以看成是由平行于

7、z 軸的直線(xiàn) I 沿 xOy 面上的圓x2y2R2移動(dòng)而形成的這曲面叫做圓柱面xOy 面上的圓 x2y2R2叫做它的準(zhǔn)線(xiàn)這平行于 z 軸的直線(xiàn) I 叫做它的母線(xiàn)例 6 方程 x2y2R2表示怎樣的曲面？解 在空間直角坐標(biāo)系中過(guò) xOy 面上的圓 x2y2R2作平行于 z 軸的直線(xiàn) I 則直線(xiàn) I 上的點(diǎn)都滿(mǎn)足方程 x2y2R2因此直線(xiàn) I 一定在 x2y2R2表示的曲面上 所以這個(gè)曲面可以看成是由 平行于 z 軸的直線(xiàn) I 沿 xOy 面上的圓 x2y2R2移動(dòng)而形成的 這曲面叫做圓柱面 xOy 面上的圓 x2y2R2叫做它的準(zhǔn)線(xiàn) 這平行于 z 軸的直線(xiàn) I 叫做它的母線(xiàn)柱面 平行于定直線(xiàn)并沿

8、定曲線(xiàn)C 移動(dòng)的直線(xiàn) L 形成的軌跡叫做柱面定曲線(xiàn) C 叫做柱面的準(zhǔn)線(xiàn)動(dòng)直線(xiàn) L 叫做柱面的母線(xiàn)上面我們看到不含 z 的方程 x2y2R2在空間直角坐標(biāo)系中表示圓柱面它的母線(xiàn)平行于 z軸 它的準(zhǔn)線(xiàn)是 xOy 面上的圓 x2y2R2一般地 只含 x、y 而缺 z 的方程 F(x y) 0 在空間直角坐標(biāo)系中表示母線(xiàn)平行于z 軸的柱面其準(zhǔn)線(xiàn)是 xOy 面上的曲線(xiàn) C F(x y) 0例如 方程 y22x 表示母線(xiàn)平行于 z 軸的柱面 它的準(zhǔn)線(xiàn)是 xOy 面上的拋物線(xiàn) y22x 該柱面 叫做拋物柱面又如 方程 x y 0 表示母線(xiàn)平行于 z 軸的柱面 其準(zhǔn)線(xiàn)是 xOy 面的直線(xiàn) x y 0 所以它是

9、過(guò) z 軸的平面類(lèi)似地 只含 x、z 而缺 y 的方程 G(x z) 0 和只含 y、z 而缺 x 的方程 H(y z) 0 分別表示母線(xiàn) 平行于 y 軸和 x 軸的柱面例 5 將 zOx 坐標(biāo)面上的雙曲線(xiàn)的方程2 2篤二1分別繞 x 軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面c2例如 方程 x z 0 表示母線(xiàn)平行于 y 軸的柱面 其準(zhǔn)線(xiàn)是 zOx 面上的直線(xiàn) x z 0 所以它是過(guò) y 軸的平面四、二次曲面與平面解析幾何中規(guī)定的二次曲線(xiàn)相類(lèi)似我們把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面把平面叫做一次曲面怎樣了解三元方程 F(x y z) 0 所表示的曲面的形狀呢方法之一是用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的

10、平面與曲面相截考察其交線(xiàn)的形狀 然后加以綜合從而了解曲面的立體形狀這種方法叫做截痕法研究曲面的另一種方程是伸縮變形法設(shè) S 是一個(gè)曲面其方程為 F(x y z) 0 S 是將曲面 S 沿 x 軸方向伸縮 倍所得的曲面顯然若(x y z) S 則(x y z) S 若(x y z) S 則(丄 x, y, z) S對(duì)于任意的(x y z) S 有 F(丄 x, y, z) 0 即 F(-x, y, z) 0 是曲面 S 的方程例如，把圓錐面 x2y2a2z2沿 y 軸方向伸縮b倍 所得曲面的方程為a橢圓錐面由方程務(wù) z2所表示的曲面稱(chēng)為橢圓錐面a2b2圓錐曲面在 y 軸方向伸縮而得的曲面2 2

11、2 2把圓錐面 z2沿 y 軸方向伸縮 B 倍所得曲面稱(chēng)為橢圓錐面 務(wù) Z2a2aa2b2當(dāng) t 變化時(shí)上式表示一族長(zhǎng)短軸比例不變的橢圓當(dāng)|t|從大到小并變?yōu)?0 時(shí) 這族橢圓從大到小并縮為一點(diǎn)綜合上述討論可得橢圓錐面的形狀如圖(2)橢球面2y2 2由方程 務(wù)每務(wù) 1 所表示的曲面稱(chēng)為橢球面a2b2c2球面在 x 軸、y 軸或 z 軸方向伸縮而得的曲面 把 x2 y2壬a沿z軸方向伸縮 f 倍得旋轉(zhuǎn)橢球面即得橢球面芻斗弓 1a b c因此x2（by）2 a2z2即 4a2以垂直于 z 軸的平面 z t 截此曲面當(dāng) t 0 時(shí)得一點(diǎn)(0 0 0)當(dāng) to 時(shí)得平面 z t 上的橢圓2 2x ya

12、2舀1再沿y軸方向伸縮倍(3)單葉雙曲面p 呂 1 所表示的曲面稱(chēng)為單葉雙曲面b2c2y y 軸方向伸縮b倍即得單葉雙曲面 S S匸z 疋a2因此 以 I 為母線(xiàn) L 為準(zhǔn)線(xiàn) 母線(xiàn) I 的項(xiàng)點(diǎn)在準(zhǔn)線(xiàn) L 上滑動(dòng) 且母線(xiàn)作平行移動(dòng)這樣得到的曲面便是雙曲拋物面還有三種二次曲面是以三種二次曲線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的柱面x2dx2忙彳x2221221x2aya2b2a2b22 2把 zOxzOx 面上的雙曲線(xiàn)步 含 1繞 z z 軸旋轉(zhuǎn) 得旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面2 2x y2a2c1再沿雙葉雙曲面 由方程爭(zhēng)b笞 1 所表示的曲面稱(chēng)為雙葉雙曲面c把 z z x x面上得旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面2x_a2z2c21再沿y y 軸方向伸縮b倍c2、,2即得雙葉雙曲面予己z2橢圓拋物面2 2由方程務(wù)每 a2b2z 所表示的曲面稱(chēng)為橢圓拋物面x2把zOx面上的拋物線(xiàn)字z繞z軸旋轉(zhuǎn)所得曲面叫做旋轉(zhuǎn)拋物面x22ya2z 再沿y