向量組的極大線性無關組

1、會計學1向量組的極大線性無關組向量組的極大線性無關組一、極大線性無關組的概念一、極大線性無關組的概念定義定義如果向量組如果向量組 中的一個部分組中的一個部分組r ,21siii ,21滿足滿足:(1) 線性無關；線性無關；siii ,21(2) 向量組向量組 中的每一個向量都可由中的每一個向量都可由r ,21siii ,21線性表示，線性表示，(即在即在 中再加一個向量就相關中再加一個向量就相關. .)siii ,21則稱則稱 為為 的的( (一個一個) )極大線性極大線性siii ,21r ,21無關組無關組。第1頁/共30頁則則 是一個極大線性無關組；是一個極大線性無關組；,31 , ,4

2、1 ,32 等都是極大線性無關組。等都是極大線性無關組。由此可見，一個向量組的極大線性無關組不是惟一的。由此可見，一個向量組的極大線性無關組不是惟一的。 需要討論的問題需要討論的問題(1) 一個向量組中各極大線性無關組的向量個數(shù)是否惟一？一個向量組中各極大線性無關組的向量個數(shù)是否惟一？(2) 如何求出向量組的一個極大線性無關組？如何求出向量組的一個極大線性無關組？如何將其余的向量表示為極大線性無關組的線性組合？如何將其余的向量表示為極大線性無關組的線性組合？第2頁/共30頁設有兩個向量組設有兩個向量組1. 向量組之間的線性表示向量組之間的線性表示定義定義若向量組若向量組( () )中的每個向量

3、都能由向量組中的每個向量都能由向量組( (I I) )線性表示，線性表示，mjmjjjccc 2211,),(2121 jmjjmccc 則稱則稱向量組向量組()()能由向量組能由向量組( (I I) )線性表示線性表示。,21jmjjccc,j 此時，對每個向量此時，對每個向量使得使得存在數(shù)存在數(shù)二、向量組的秩二、向量組的秩第3頁/共30頁, ),(21ssnB , ),(21mmnA 若記若記即有即有),(21s ,),(21222211121121 smmmssmccccccccc ,smmnsnCAB 其中其中 n 為向量的維數(shù)。為向量的維數(shù)。則所謂的則所謂的向量組向量組()()能由向

4、量組能由向量組( (I I) )線性表示線性表示意味著意味著使得使得,smC 存在矩陣存在矩陣1. 向量組之間的線性表示向量組之間的線性表示二、向量組的秩二、向量組的秩第4頁/共30頁,322211 1. 向量組之間的線性表示向量組之間的線性表示二、向量組的秩二、向量組的秩例如例如設設向量組向量組 能由能由 線性表示：線性表示：4321, 4321, ,414433 則有則有.1100011000111001),(),(43214321 第5頁/共30頁1. 向量組之間的線性表示向量組之間的線性表示定理定理設向量組設向量組 可由可由 線性表示，線性表示，s ,21r ,21二、向量組的秩二、向

5、量組的秩則向量組則向量組 線性相關。線性相關。若若r ,21,sr 換句話說，若換句話說，若 線性無關，則線性無關，則.sr r ,21證明證明( (略略) )*推論推論n + 1 個個 n 維向量一定線性相關。維向量一定線性相關。基本向量基本向量 線性表示線性表示neee,21因為任何因為任何 n 維向量都可由維向量都可由 n 維維第6頁/共30頁 上述定理的直觀解釋上述定理的直觀解釋 （僅以（僅以 為例）為例）2, 3 sr(1) 設由兩個向量設由兩個向量 構成的向量組，通過線性組合得到構成的向量組，通過線性組合得到21, 三個向量三個向量,321 顯然，即使顯然，即使 是是線性獨立線性獨

6、立的，也不可能線性組合出的，也不可能線性組合出21, 三個三個性線獨立性線獨立的向量；的向量；更何況更何況 本身可能是本身可能是21, 線性相關線性相關的。的。因此，向量組因此，向量組 必然是必然是線性相關線性相關的。的。321, (2) 特別地，若特別地，若 “代表代表” 某方程組中的兩個方程，某方程組中的兩個方程，21, 顯然，通過線性組合不可能得到更多的獨立方程。顯然，通過線性組合不可能得到更多的獨立方程。第7頁/共30頁1. 向量組之間的線性表示向量組之間的線性表示2. 向量組之間的等價向量組之間的等價定義定義若向量組若向量組 與向量組與向量組 能夠相互能夠相互s ,21m ,21線性

7、表示線性表示 ，, ),(21ssnB , ),(21mmnA 此時此時, 若記若記其中其中 n 為向量的維數(shù)。為向量的維數(shù)。則存在矩陣則存在矩陣 和和 使得使得smC ,msD ,smmnsnCAB ,mssnmnDBA 二、向量組的秩二、向量組的秩任何一個向量組與它的極大線性無關組是任何一個向量組與它的極大線性無關組是等價等價的。的。例如例如則稱這兩個則稱這兩個向量組向量組等價等價。第8頁/共30頁1. 向量組之間的線性表示向量組之間的線性表示二、向量組的秩二、向量組的秩性質(zhì)性質(zhì)(1) 反身性，反身性，(2) 對稱性，對稱性，(3) 傳遞性，傳遞性，即向量組自己與自己等價；即向量組自己與自

8、己等價；若若 與與 等價，等價，( (I I) )()()則則 與與 等價；等價；( (I I) )()()若若 與與 等價，且等價，且 與與 等價，等價，()()( (I I) )()()()()則則 與與 等價。等價。( (I I) )()()2. 向量組之間的等價向量組之間的等價第9頁/共30頁1. 向量組之間的線性表示向量組之間的線性表示二、向量組的秩二、向量組的秩定理定理兩個等價的向量組中各自的極大線性無關組所含的向量兩個等價的向量組中各自的極大線性無關組所含的向量2. 向量組之間的等價向量組之間的等價個數(shù)相等。個數(shù)相等。證明證明等價等價等價等價等價等價等價等價m ,21向量組向量組

9、極大線性無關組極大線性無關組riii ,21n ,21向量組向量組極大線性無關組極大線性無關組siii ,21第10頁/共30頁1. 向量組之間的線性表示向量組之間的線性表示二、向量組的秩二、向量組的秩定理定理兩個等價的向量組中各自的極大線性無關組所含的向量兩個等價的向量組中各自的極大線性無關組所含的向量2. 向量組之間的等價向量組之間的等價個數(shù)相等。個數(shù)相等。證明證明即即 可由可由 線性表示，線性表示，riii ,21siii ,21因此因此.sr 同理同理.sr 即得即得. sr 且且 線性無關，線性無關，riii ,21第11頁/共30頁1. 向量組之間的線性表示向量組之間的線性表示二、

10、向量組的秩二、向量組的秩推論推論(1) 若兩個線性無關的向量組等價，則它們所含的向量若兩個線性無關的向量組等價，則它們所含的向量2. 向量組之間的等價向量組之間的等價個數(shù)相等。個數(shù)相等。(2) 在一個給定的向量組中，各個極大線性無關組所含在一個給定的向量組中，各個極大線性無關組所含的向量個數(shù)相等。的向量個數(shù)相等。組的向量個數(shù)是惟一的。組的向量個數(shù)是惟一的。即即一個向量組中各極大線性無關一個向量組中各極大線性無關第12頁/共30頁1. 向量組之間的線性表示向量組之間的線性表示2. 向量組之間的等價向量組之間的等價二、向量組的秩二、向量組的秩定義定義一個向量組中的極大線性無關組所含一個向量組中的極

11、大線性無關組所含的向量個數(shù)稱為的向量個數(shù)稱為3. 向量組的秩向量組的秩向量組的向量組的秩秩。結論結論等價的向量組秩相等。等價的向量組秩相等。第13頁/共30頁1. 向量組之間的線性表示向量組之間的線性表示2. 向量組之間的等價向量組之間的等價3. 向量組的秩向量組的秩二、向量組的秩二、向量組的秩4. 向量組的秩與矩陣秩的關系向量組的秩與矩陣秩的關系第14頁/共30頁設設定理定理4. 向量組的秩與矩陣秩的關系向量組的秩與矩陣秩的關系二、向量組的秩二、向量組的秩m ,21 的秩的秩則則)(Arn ,21 的秩。的秩。通常說，通常說，矩陣的秩矩陣的秩等于等于行秩行秩等于等于列秩列秩(行秩行秩)(列秩

12、列秩) 此定理給出了一種求向量組的秩的方法。此定理給出了一種求向量組的秩的方法。第15頁/共30頁證明證明(1) 首先證明一個引理：首先證明一個引理：QCP化為標準形化為標準形, tI000其中其中. st ,1 tIP000可逆矩陣可逆矩陣 P 和和 使得使得,ssQ 事實上，對于矩陣事實上，對于矩陣 ,21sC 下面利用反證法證明下面利用反證法證明. st 可逆矩陣可逆矩陣 P 和和 使得使得若若列列向量向量 線性無關，線性無關，s ,21則存在則存在 .21 ssIQP 0,Q tIPP)(21000QC tIP1000即即一定存在一定存在第16頁/共30頁 sssssssqqqqqqq

13、qqQC11222211121121 假設假設 則有則有, st ,2211 sssssqqq 0由由 Q 可逆，有可逆，有 不全為零，不全為零，ssssqqq,21這與這與 線性無關矛盾，因此引理成立。線性無關矛盾，因此引理成立。s ,21證明證明(1) 首先證明一個引理：首先證明一個引理：可逆矩陣可逆矩陣 P 和和 使得使得若若列列向量向量 線性無關，線性無關，s ,21則存在則存在 .21 ssIQP 0,Q 000tIP10第17頁/共30頁證明證明它的一個極大線性無關組為它的一個極大線性無關組為,21s 則存在可逆則存在可逆),(),(2121snR 0記為記為,C QCP, sI0

14、00(2) 設由矩陣設由矩陣 A 的的列列構成的向量組構成的向量組 的秩為的秩為 s，n ,21對矩陣對矩陣 根據(jù)引理一定存在可逆陣根據(jù)引理一定存在可逆陣 和和 使得使得P,Q,C矩陣矩陣 R，使得，使得 QRAP, sI000即得即得sQRAPrAr )()(n ,21 的秩的秩 .進一步有進一步有)()(TArAr m ,21 的秩的秩 .第18頁/共30頁4. 向量組的秩與矩陣秩的關系向量組的秩與矩陣秩的關系二、向量組的秩二、向量組的秩推論推論設設 A 為為 mn 階矩陣，且階矩陣，且 則有則有,)(rAr (1) 當當 r = m 時，時，A 的的行行向量線性無關，向量線性無關，當當

15、r m 時，時，A 的的行行向量線性相關；向量線性相關；(2) 當當 r = n 時，時，A 的的列列向量線性無關，向量線性無關，當當 r n 時，時，A 的的列列向量線性相關；向量線性相關；特別地，方陣特別地，方陣 A 的的行行( (列列) )向量線性無關的充要條件向量線性無關的充要條件是是.0| A第19頁/共30頁三、如何求向量組的極大無關組及線性組合關系三、如何求向量組的極大無關組及線性組合關系 首先介紹幾個引例，用來掌握首先介紹幾個引例，用來掌握在什么情況下在什么情況下，可以非常，可以非常容易地知道一個容易地知道一個列向量組列向量組的的秩秩、極大線性無關組極大線性無關組以及它以及它們

16、之間的們之間的線性組合關系線性組合關系。引例引例11 2 4 3 (1) 向量組的秩為向量組的秩為 2;(2) 極大線性無關組為極大線性無關組為;,21 (3) 組合關系組合關系,32213 .4)1(214 0000000043101201第20頁/共30頁引例引例21 2 4 3 (1) 向量組的秩為向量組的秩為 2;(2) 極大線性無關組為極大線性無關組為;,31 (3) 組合關系組合關系,2312 .23314 (1) 向量組的秩為向量組的秩為 3;(2) 極大線性無關組為極大線性無關組為;,421 引例引例31 2 4 3 5 (3) 組合關系組合關系,0524213 .644215

17、 0000000021203011 00000610001051040201第21頁/共30頁三、如何求向量組的極大無關組及線性組合關系三、如何求向量組的極大無關組及線性組合關系1. 原理原理定理定理設矩陣設矩陣 A 經(jīng)過經(jīng)過行行變換得到矩陣變換得到矩陣 B，矩陣矩陣 B 的的列列向量有向量有相同的線性組合關系相同的線性組合關系。證明證明設設, ),(21mB , ),(21mA 則存在可逆矩陣則存在可逆矩陣 P，使得，使得,BAP ,1BPA 若若有有,0 XA,01 XBP,0 XB若若有有,0 XB,0 XAP,0 XA即方程即方程 與與 同解，同解，0 XB0 XA故故 與與 有有相同

18、的線性組合關系。相同的線性組合關系。m ,21m ,21則矩陣則矩陣 A 的的列列向量與向量與第22頁/共30頁三、如何求向量組的極大無關組及線性組合關系三、如何求向量組的極大無關組及線性組合關系1. 原理原理2. 方法方法(1) 無論所給的向量組是行向量還是列向量，都按照無論所給的向量組是行向量還是列向量，都按照列向量列向量排列，并構成矩陣排列，并構成矩陣 A ；(2) 對矩陣對矩陣 A 進行初等進行初等行變換行變換得到得到行標準形行標準形矩陣矩陣 B ；(3) 根據(jù)矩陣根據(jù)矩陣 B 的秩及其列向量的線性組合關系，直接得出的秩及其列向量的線性組合關系，直接得出原向量組的原向量組的秩秩、極大線性無關組極大線性無關組以及以及線性組合關系線性組合關系。第23頁/共30頁 151225311421例例設設 求求(1) 向量組的秩向量組的秩;(2) 向量組的極大線性無關組；向量組的極大線性無關組；(3) 將其余向量表示為極大線性無關組的線性組合。將其余向量表示為極大線性無關組的線性組合。1 2 4 3 解解 333011101421行變換行變換第24頁/共30頁(1) 向量組的秩為向量組的秩為 2;(2) 極大線性無關組為極大線性無關組為;,21 (3) 線性組合關系為線性組合關系為,2213 .)1(214 333011101421行變換行變換 000011101201第25頁/共