高中數(shù)學(xué)高一上學(xué)期期中復(fù)習(xí)單元測(cè)試北師大必修

1、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)·例題解析（一） 【例1】求下列函數(shù)的定義域與值域：解 (1)定義域?yàn)閤|xR且x2值域y|y0且y1(2)由2x+210，得定義域x|x2，值域?yàn)閨y|y0(3)由33x-10，得定義域是x|x2，033x13，1.指數(shù)函數(shù)Y=ax （a>0且a1）的定義域是R，值域是（0，+）2. 求定義域的幾個(gè)原則：含根式（被開方數(shù)不為負(fù)）含分式，分母不為形如a0,(a 0)3. 求函數(shù)的值域:利用函數(shù)Y=ax單調(diào)性函數(shù)的有界性(x20;ax>0)換元法.如:y=4x+6×2x-8(1x2) 先換元,再利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)(注意新元的范圍)【

2、例2】指數(shù)函數(shù)yax，ybx，ycx，ydx的圖像如圖262所示，則a、b、c、d、1之間的大小關(guān)系是 Aab1cd Bab1dcC ba1dc Dcd1ab解 選(c)，在x軸上任取一點(diǎn)(x，0)，則得ba1dc【例3】比較大?。?3)4.54.1_3.73.6解 (3)借助數(shù)4.53.6打橋，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，4.54.14.53.6，作函數(shù)y14.5x，y23.7x的圖像如圖263，取x3.6，得4.53.63.73.6 4.54.13.73.6說明 如何比較兩個(gè)冪的大小：若不同底先化為同底的冪，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較，如例2中的(1)若是兩個(gè)不同底且指數(shù)也不同的冪比較大小時(shí)

3、，有兩個(gè)技巧，其一借助1作橋梁，如例2中的(2)其二構(gòu)造一個(gè)新的冪作橋梁，這個(gè)新的冪具有與4.54.1同底與3.73.6同指數(shù)的特點(diǎn)，即為4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)【例5】作出下列函數(shù)的圖像：(3)y2|x-1|(4)y|13x|解 (2)y2x2的圖像(如圖265)是把函數(shù)y2x的圖像向下平移2個(gè)單位得到的解 (3)利用翻折變換，先作y2|x|的圖像，再把y2|x|的圖像向右平移1個(gè)單位，就得y2|x-1|的圖像(如圖266)解 (4)作函數(shù)y3x的圖像關(guān)于x軸的對(duì)稱圖像得y3x的圖像，再把y3x的圖像向上平移1個(gè)單位，保留其在x軸及x軸上方部分不變，把x軸下方的圖像以

4、x軸為對(duì)稱軸翻折到x軸上方而得到(如圖267)變式練習(xí)：用函數(shù)單調(diào)性定義證明a1時(shí)，y = ax是增函數(shù).【解析】設(shè)x1，x2R且x1x2，并令x2 = x1 + h (h0，hR)，則有，a1，h0，即故y = ax (a1)為R上的增函數(shù)，同理可證0a1時(shí)，y = ax是R上的減函數(shù).變式練習(xí)2： 求函數(shù)y=（）的單調(diào)區(qū)間，并證明之.解：在R上任取x1、x2，且x1x2，則=（）（x2x1）（x2+x12）為指數(shù) ， x1x2，x2x10.當(dāng)x1、x2（，1時(shí)，x1+x220.這時(shí)（x2x1）（x2+x12）0，即1.y2y1，函數(shù)在（，1上單調(diào)遞增.當(dāng)x1、x21，+）時(shí)，x1+x220

5、，這時(shí)（x2x1）（x2+x12）0，即1.y2y1，函數(shù)在1，+上單調(diào)遞減. 綜上，函數(shù)y在（，1上單調(diào)遞增，在1，+）上單調(diào)遞減.小結(jié)：上述證明過程中，在對(duì)商式正負(fù)判斷時(shí)，利用了指數(shù)函數(shù)的值域及單調(diào)性合作探究：在填空、選擇題中用上述方法就比較麻煩，因此我們可以考慮用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解題. 解法二、（用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性）：設(shè)： 則： 對(duì)任意的，有，又是減函數(shù) 在是減函數(shù)對(duì)任意的，有又是減函數(shù) 在是增函數(shù)。在該問題中先確定內(nèi)層函數(shù)（）和外層函數(shù)（）的單調(diào)情況，再根據(jù)內(nèi)外層函數(shù)的單調(diào)性確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.例題7 換元法 先換元,再利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)(注意新元u的范圍)當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)y有最大值為1函數(shù)的有界性(x20;ax>0).小結(jié)：上述證明過程中，在求x的范圍時(shí)，逆向利用了指數(shù)函數(shù)的值域及逆向利用了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，是關(guān)鍵及難點(diǎn)。變式練習(xí)：求函數(shù)的值域解：定義域?yàn)?且.故的值域?yàn)?【小結(jié)】求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域時(shí)，要注意到充分考慮并利用指數(shù)函數(shù)本身的要求，并利用好指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的值域；(3)證明f(x)在區(qū)間(，)上是增函數(shù)解 (1)定義域是R<