第13講巧解弦圖與面積

1、 才子教育 小學奧數(shù)系列第13講 巧解“弦圖”與面積巧點睛方法和技巧三國時期，吳國數(shù)學家趙爽在為數(shù)學巨著周髀算經(jīng)注釋時，就得用“弦圖”對勾股定理作出了嚴格而簡捷的證明?！跋覉D”是由八個完全一樣的直角三角形拼成四個相同的長方形圍成的，中間空出一個小下方形，如圖所示?！跋覉D”的特點：（1）小長方形長寬之各=大正方形邊長；（2）小長方形長寬之差=小正方形邊長。根據(jù)“弦圖”中大、小正方形與長方形的關系，我們可以得到一些面積問題的解題思路。巧指導例題精講A級 沖刺名?；A點睛【例1】 如右圖，正方形與陰影長方形的邊分別平行，正方形邊長為10，陰影長方形的面積為6，那么圖中四邊形ABCD的面積是 。解 由

2、題給條件“正方形與陰影長方形的邊分別平行”（或直觀上觀察）知，正方形四角處的四個四邊形都為長方形，而四邊形ABCD的各邊都分別平分這四個長方形，所以，四邊形ABCD的面積=四角處四個長方形面積和的一半+6=（1010-6）2+6=47+6=53。做一做1 四個一樣的長方形和一個小正方形拼成了一個大正方形（如右圖），大正方形的面積是49平方米，小正方形的面積是4平方米。問：長方形的短邊是幾米？【例2】如圖1，有一大一小兩個正方形，對應邊之間的距離都是1厘米。如果夾在兩正方形之間的面積是12平方厘米，那么大正方形的面積是多少？分析 要求出大正方形的面積，只要先求出大正方形或小正方形的邊長即可。圖1

3、下面設法求這兩個量中的某個量。圖2與圖1有類似之處，添輔助線將圖1變成圖2，就成了一人“弦圖”。圖2中小正方形外圍的四個長方形的形狀和面積都一樣，這樣其中一個的面積為124=3（厘米2）。又因為這個長方形的寬為1厘米，所以長方形的長為31=3（厘米）。大正方形的邊長為4厘米，這樣就可以求出面積了。解法1 一個長方形的面積：124=3（厘米2），長方形的長：31=3（厘米），圖2大下正方形的邊長：3+1=4（厘米），大正方形的面積：44=16（厘米2）。采用與解法1類似的想法還可以找到下面的一此解法。解法2 添輔助線，將圖2變成圖3，先求出圖3中長方形A的面積。因為大正方形四角都是邊長為1厘米的

4、正方形，而剩下的四個長方形的形狀和面積都一樣，所以A的面積為AA圖3（12-14）4=2（厘米2）又因為長方形A的寬為1厘米，它的長為21=2（厘米），所以大正方形的為12+22=16（厘米2）解法3 添輔助線，將圖2變?yōu)閳D4。圖4中4個梯形的形狀和面積都一樣，所以每個梯形的面積為124=3（厘米2）。圖4梯形面積等于上、下底之和乘以高再除以2，每個梯形上、下底（即大、小正方形的兩個邊長）之和為321=6（厘米），而大、小正方形的邊長差為2厘米，所以大正方形的邊長為4厘米。大正方形的面積為44=16（厘米2）。解法4 適當移動小正方形后，再添輔助線，將圖2變?yōu)閳D5。因圖5中兩個梯形的面積與形狀

5、都一樣，所以一個梯形的面積為122=6（厘米2）。和解法3類似，可求出梯形上、圖5下底之和與差分別為6厘米和2厘米。故梯形的上底（即大正方形的邊長）為4厘米，大正文武有的面積為44=16（厘米2）。答：大正方形的面積是16平方厘米。小結 以上解法各有千秋，你還有其他的解法嗎？做一做2 計劃修一個正方形的花壇，并在花壇的周圍鋪上寬2米的草坪，草坪的面積是40平方米，問：修建花壇需占地多少平方米？【例3】 2002年在北京如開了國際數(shù)學家大會，大會會標如圖所示，它是由四個相同的直角三角形拼成的（直角邊長為2和3）。問：大正方形的面積是多少？解 一個直角三角形的面積為32=3。中間空出來的一塊恰好是

6、正方形，它的邊長為3-2=1。所以，大正方形的面積為34+11=13。小結 利用此圖可以作出極具中國特色的勾股定理證明。設直角三角形的兩條直角邊分別為a和b（ab，勾和股），斜邊為c（弦），則4個直角三角形的面積等于4ab=2 ab，中間小正方形的邊長為a-b，從而有c2=2ab+（a-b）2，c2=a2+b2。這就是著名的勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。做一做3 如圖，如果長方形ABCD的面積是56平方厘米，那么四邊形MNPQ的面積是多少平方厘米？【例4】同樣大小的22個小紙片擺成如圖所示的圖形，已知小紙片的長是18厘米，求圖中陰影部分的面積之和。分析與解 仔細觀察圖形，

7、可發(fā)現(xiàn)中間三個圖形的形狀一樣，且小長方形的長與寬之和愉好是大正方形的邊長。由于5個小紙片的長等于3個小紙片的長加上3個小紙片的寬，所以3個小紙片的寬等于2個小紙片的長。每個小紙片的長為18厘米，所以3個小紙片的寬為36厘米，每個小紙片的寬為12厘米。一個陰影小正方形的邊長等于箍方形長與寬的差，即小正方形的邊長為18-12=6（厘米）。因此，一個陰影小正方形的面積為66=36（厘米2），3個陰影部分的面積之和為363=108（厘米2）答：圖中陰影部分的面積之和為108平方厘米。做一做4 38個長為4厘米的小紙片擺成如右圖的所示的圖形。求圖中陰影部分面積的和。B級 培優(yōu)競賽更上層樓【例5】從一個正

8、方形的木板上鋸下寬0.5米的一個長方形木條后，剩下的長方形的面積為5平方米。問：鋸下的長方形的面積等于多少？分析與解 先瘵題目中的已知條件畫成圖1同，我們先看圖1中下面剩下的那個長方形已知它的面積等于5平方，它的長與寬的差為0.5米。根據(jù)“弦圖”的啟示，我們可以將這樣形狀的四個長方形拼成一個如圖2那樣的“弦圖”。圖2是一個正方形，它的邊長等于長方形的長與寬之和。中間那個小正方形的這長等于長方形長與寬之差，即等于0.5米。這樣，小正方形的面積為0.50.5=0.25（米2）那么，大正方形的面積為（54+0.25）=20.25（米2）所以，大正方形的邊為為4.5米，即長與寬的和為4.5米。而長與寬

9、的差為0.5米，又已知公式：（和+差）2=大數(shù)，根據(jù)這兩個公式中的任一個，可求出長方形的長。原正方形的邊長為（4.5+0.5）2=2.5（米）鋸下的小長方形木條的面積為2.50.5=1.25（米2）答：鋸下的小長方形木條的面積為1.25平方米。做一做5 做一塊正方形玻璃上裁下寬為16分米的一個長方形條后，剩下的那塊長方形面積為336平方分米。求：原正方形的面積是多少平方分米？【例6】 在下圖的長方形內，有四對正方形（符號相同的兩個正方形為一對），每一對都是相同的正方形，那么中間正方形的面積是多少？分析與解 觀察圖形知：大長方形的寬是兩個正方形一、二的邊長之和國；大長方形的長是正方形地、二、三的

10、三邊之和。長-寬=15-11=4是正方形三的邊長，寬是兩個正方形三與中間小正方形的邊之和，可以求出中間小正方形的邊長為11-42=3，最后求出面積。長-寬=15-11=4，中間正方形的邊長為11-42=3，中間正方形的面積為33=9。答：中間正方形的面積為9。做一做6 如右圖，一個長方形的紙盒內，放著9張正方形的紙片，其中正方形A和B的邊長分別為4和7，那么長方形（紙盒）的面積是多少？C級（選學）決勝總決賽勇奪冠軍【例7】 用尺寸為99的正方形紙片一張，剪成34和25的兩種長方形。為使余料最少，那么，應剪成多少個34的長方形？分析與解 列表枚舉，可得 剪法編號34長方形的個數(shù)25長方形的個數(shù)余

11、 料160925213433434552576169從上表中知第2種剪法的余料為1（最少）。借助弦圖的知識，剪法如右上圖所示。做一做7 一張長14厘米、寬11的長方形紙片，最多能剪出多少個長4厘米、寬1厘米的紙條？怎樣剪？請畫圖說明。巧練習溫故知新（十三）A級 沖刺名?；A點睛123456789101112131415161718192021222324251.一張55的方絡紙，每個方格都編了號碼（如右圖）。挖去一個方格后，可以剪成8個13的長方形，那么應挖去的方格是編號是幾？2.用同樣的長方形條磚，在一叢花的周圍鑲成一個正方形邊框（見右圖）。邊框的外周長為264厘米，里面小正方形的面積為90

12、0平方厘米。問：每塊長方形條磚的長與寬各是多少厘米？3.大、小兩個長方形擺成如右圖所示的形狀，小長方形的長是寬的2倍。如果大、小兩個長方形對應邊之間的距離是1厘米，夾在大、小兩個長方形之間那部分圖形的面積是40厘米，那么大、小長方形的面積各是多少平方厘米？4.一個直角三角形斜邊長為9，兩直角邊之差為1，求這個直角三角形的面積。5.如右圖，正方形與陰影長方形的邊分別平行，正方形邊長為10，陰影長方形的面積為6，那么圖中四邊形ABCD的面積是多少？B級 培優(yōu)競賽更上層樓6.已知右圖所示的長方形是由若干個相同的長方形拼成的，它的長比寬多30厘米。求陰影小正方形的總周長。7.用6張大小不同的小正方形紙

13、片拼成如右圖所示的圖形。已知最小的正方形面積是1，問：圖中紅色正方形的面積是多少？8.如右圖，四邊形ABCD與四邊形DEFG是邊長分別為3和5的下文形，且G在BA的延長線上。求 CDE的面積是多少？9.如圖，一張邊長為20厘米的正方形紙片，從頂點起5厘米處，沿45O角剪開，中間形成一個小正方形。問：小正方形的面積是多少平方厘米？A10.如圖，P是正方形ABCD外面一點，PB=12厘米， APB的面積是90平方厘米， CPB的面積是48平方厘米。請問：正方形ABCD的面積是多少平方厘米？BBCPC級 （選學）決勝總決賽勇奪冠軍8厘米A11.如右圖，一個直角三角形的周長為18厘米，斜邊長為8厘米，求它的面積。CB12