幾何畫(huà)板與分形欣賞

1、校校本本課課程程高中數(shù)學(xué)校本選修課程：高中數(shù)學(xué)校本選修課程：運(yùn)用幾何畫(huà)板探究數(shù)學(xué)問(wèn)題運(yùn)用幾何畫(huà)板探究數(shù)學(xué)問(wèn)題第四章第四章 幾何畫(huà)板與分形幾何畫(huà)板與分形校本課程校本課程動(dòng)手實(shí)踐動(dòng)手實(shí)踐 例例1.數(shù)學(xué)之美數(shù)學(xué)之美 例例2.搖曳的搖曳的Pythagorean Tree 例例3.Mandelbrot 集合集合 分形欣賞分形欣賞 分形簡(jiǎn)介分形簡(jiǎn)介 8個(gè)作品個(gè)作品目目錄錄課堂引入課堂引入第第1717講講 幾何畫(huà)板與分形欣賞幾何畫(huà)板與分形欣賞課后作業(yè)課后作業(yè) 2個(gè)作業(yè)個(gè)作業(yè) 生活中的分形生活中的分形 例例4.牛頓迭代法牛頓迭代法校校本本課課程程 分形理論是當(dāng)今世界十分風(fēng)分形理論是當(dāng)今世界十分風(fēng)靡和活躍的新理

2、論、新學(xué)科靡和活躍的新理論、新學(xué)科. 分形的概念是美籍?dāng)?shù)學(xué)家曼分形的概念是美籍?dāng)?shù)學(xué)家曼德布羅特德布羅特(B.B.Mandelbort)首先提首先提出的出的. 分形是大自然復(fù)雜表面下的分形是大自然復(fù)雜表面下的內(nèi)在數(shù)學(xué)秩序內(nèi)在數(shù)學(xué)秩序.分形簡(jiǎn)介分形簡(jiǎn)介校校本本課課程程 分形有幾種類型，可以分別依據(jù)表現(xiàn)出分形有幾種類型，可以分別依據(jù)表現(xiàn)出的精確自相似性、半自相似性和統(tǒng)計(jì)自相似的精確自相似性、半自相似性和統(tǒng)計(jì)自相似性來(lái)定義性來(lái)定義. 簡(jiǎn)單的說(shuō)，分形就是研究無(wú)限復(fù)雜具備簡(jiǎn)單的說(shuō)，分形就是研究無(wú)限復(fù)雜具備自相似結(jié)構(gòu)的幾何學(xué)自相似結(jié)構(gòu)的幾何學(xué). 分形是指部分與整體以某種方式相似的分形是指部分與整體以某種方式

3、相似的形體稱為形體稱為分形分形.分形簡(jiǎn)介分形簡(jiǎn)介分形就在我們身邊分形就在我們身邊參天大樹(shù)參天大樹(shù)連綿的山脈連綿的山脈漂浮的云朵漂浮的云朵雪花雪花小腸絨毛小腸絨毛血液循環(huán)管道系統(tǒng)血液循環(huán)管道系統(tǒng)海岸線海岸線大腦皮層大腦皮層分形就在我們身邊分形就在我們身邊校校本本課課程程例例1. 數(shù)學(xué)之美數(shù)學(xué)之美 在正方形內(nèi)作一個(gè)內(nèi)接正方形，再以相同的縮放比在正方形內(nèi)作一個(gè)內(nèi)接正方形，再以相同的縮放比再作一個(gè)內(nèi)接正方形，如此下去，當(dāng)動(dòng)畫(huà)點(diǎn)再作一個(gè)內(nèi)接正方形，如此下去，當(dāng)動(dòng)畫(huà)點(diǎn)E時(shí)，產(chǎn)生時(shí)，產(chǎn)生夢(mèng)幻般的效果夢(mèng)幻般的效果.校校本本課課程程例例1. 數(shù)學(xué)之美數(shù)學(xué)之美【制作步驟制作步驟】1.任取兩點(diǎn)任取兩點(diǎn)A、B，并作正

4、方形，并作正方形 ABCD；2.在在AB上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)E，連接，連接BE，度量線段，度量線段BE的長(zhǎng)度并計(jì)算的長(zhǎng)度并計(jì)算 BE/AB ；3.雙擊雙擊A點(diǎn)作為縮放中心，選擇點(diǎn)作為縮放中心，選擇D點(diǎn)，單擊點(diǎn)，單擊“變換變換”“”“縮放縮放”，以，以 計(jì)算結(jié)果計(jì)算結(jié)果“AE/AB ”為比例縮放，得到點(diǎn)為比例縮放，得到點(diǎn)F；同理以；同理以D點(diǎn)為中心，點(diǎn)為中心， 縮放縮放C點(diǎn)得到點(diǎn)點(diǎn)得到點(diǎn)G；以；以C點(diǎn)為縮放中心，縮放點(diǎn)為縮放中心，縮放B點(diǎn)得到點(diǎn)點(diǎn)得到點(diǎn)H，連接，連接 得正方形得正方形EFGH ；4.新建參數(shù)新建參數(shù)n5，順次選擇，順次選擇A、B 兩點(diǎn)和參數(shù)兩點(diǎn)和參數(shù)n，按下，按下shift 鍵不

5、放，鍵不放， 作深度迭代，作深度迭代，(A,B)(F,E) ；5.選擇選擇E點(diǎn)，點(diǎn)擊點(diǎn)，點(diǎn)擊“編輯編輯”“”“操作類按鈕操作類按鈕”“”“動(dòng)畫(huà)動(dòng)畫(huà)”，E點(diǎn)變動(dòng)，產(chǎn)點(diǎn)變動(dòng)，產(chǎn) 生夢(mèng)幻般的效果生夢(mèng)幻般的效果.幾何畫(huà)板演示幾何畫(huà)板演示校校本本課課程程例例2.搖曳的搖曳的Pythagorean Tree(畢達(dá)哥拉斯樹(shù)畢達(dá)哥拉斯樹(shù)) 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)勾股定理（西方叫做畢達(dá)哥拉畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)勾股定理（西方叫做畢達(dá)哥拉斯定理）聞名于世，又由此導(dǎo)致不可通約量的發(fā)現(xiàn)斯定理）聞名于世，又由此導(dǎo)致不可通約量的發(fā)現(xiàn). 1988 年，勞威爾通過(guò)數(shù)值研究發(fā)現(xiàn)畢達(dá)哥拉斯樹(shù)花是年，勞威爾通過(guò)數(shù)值研究發(fā)現(xiàn)畢達(dá)哥拉斯樹(shù)花是

6、一迭代函數(shù)系的一迭代函數(shù)系的J 集集.校校本本課課程程【制作步驟制作步驟】1.在屏幕上任取兩點(diǎn)在屏幕上任取兩點(diǎn)A和和B，作正方形，作正方形ABCD，以，以CD為直徑作圓為直徑作圓O， 取半圓弧取半圓弧OCD，在該弧上任取一點(diǎn)，在該弧上任取一點(diǎn)E，連接，連接CE，DE，隱藏不必要，隱藏不必要 的對(duì)象；的對(duì)象；2.填充四邊形填充四邊形ABCD，度量，度量ABCD的面積，選擇四邊形和度量結(jié)果，的面積，選擇四邊形和度量結(jié)果， 單擊單擊“顯示顯示”，“顏色顏色”，“參數(shù)參數(shù)”，則四邊形的顏色會(huì)隨它，則四邊形的顏色會(huì)隨它 的面積變化而變化；的面積變化而變化；3.新建參數(shù)新建參數(shù)n4，選擇，選擇A、B和和n

7、，作深度迭，作深度迭(A,B) (D,E)，(E,C)；4.選擇選擇E點(diǎn)，單擊點(diǎn)，單擊“編輯編輯”，“操作類按鈕操作類按鈕”，“動(dòng)畫(huà)動(dòng)畫(huà)”，E點(diǎn)變點(diǎn)變 動(dòng)，產(chǎn)生很漂亮的效果動(dòng)，產(chǎn)生很漂亮的效果.例例2.搖曳的搖曳的Pythagorean Tree(畢達(dá)哥拉斯樹(shù)畢達(dá)哥拉斯樹(shù))幾何畫(huà)板演示幾何畫(huà)板演示校校本本課課程程例例3. Mandelbrot 集合集合 Mandelbrot發(fā)現(xiàn)，小矩形部分的放大就是大矩形，發(fā)現(xiàn)，小矩形部分的放大就是大矩形，后來(lái)人們稱之為后來(lái)人們稱之為Mandelbrot 集合，又如一根樹(shù)枝，宛如集合，又如一根樹(shù)枝，宛如一棵大樹(shù)的縮小，呈現(xiàn)出明顯的自相似性一棵大樹(shù)的縮小，呈現(xiàn)出

8、明顯的自相似性.校校本本課課程程【制作步驟制作步驟】 1. 在平面上以原點(diǎn)為中心，建立一個(gè)矩形在平面上以原點(diǎn)為中心，建立一個(gè)矩形ABCD作為觀察區(qū)域；作為觀察區(qū)域； 2. 在線段在線段AD上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)E，點(diǎn)擊，點(diǎn)擊“編輯編輯”“”“操作類按鈕操作類按鈕”“”“動(dòng)畫(huà)動(dòng)畫(huà)”，使得，使得E點(diǎn)能夠點(diǎn)能夠 在在AD上運(yùn)動(dòng)；上運(yùn)動(dòng)； 3. 作作E點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)軸的對(duì)稱點(diǎn)E，然后連接，然后連接EE，在，在EE上取一點(diǎn)上取一點(diǎn) G，度量，度量 xG ，yG； 4. 在平面上取一點(diǎn)在平面上取一點(diǎn)F，度量，度量 xF ，yF，計(jì)算計(jì)算 和和 ，順次選，順次選 擇這兩個(gè)度量結(jié)果，單擊擇這兩個(gè)度量結(jié)果，

9、單擊“圖表圖表”“”“繪制點(diǎn)繪制點(diǎn)”，得到點(diǎn)，得到點(diǎn) H；5. 新建參數(shù)新建參數(shù) n100，選擇點(diǎn)，選擇點(diǎn) F 和參數(shù)和參數(shù) n，作深度迭代，作深度迭代，F(xiàn)H； 6. 選擇迭代像，單擊選擇迭代像，單擊“變換變換”“”“終點(diǎn)終點(diǎn)”，得到迭代終點(diǎn)，得到迭代終點(diǎn) I，度量，度量 I 的橫、縱坐標(biāo)，的橫、縱坐標(biāo)， 并計(jì)算并計(jì)算xI/yI ，選擇這三個(gè)結(jié)果和點(diǎn)，選擇這三個(gè)結(jié)果和點(diǎn) G，單擊，單擊“顯示顯示”，“顏色顏色”，“參數(shù)參數(shù)”， 得到得到 G； 7. 選中選中G，單擊，單擊“作圖作圖”“”“軌跡軌跡”，隱藏線段，隱藏線段 EE，選擇剛才的軌跡，按右鍵，選擇剛才的軌跡，按右鍵， 單擊單擊“追蹤軌跡

10、追蹤軌跡”； 8. 把把 F 點(diǎn)移至原點(diǎn)，點(diǎn)擊動(dòng)畫(huà)按鈕，則可以得到點(diǎn)移至原點(diǎn)，點(diǎn)擊動(dòng)畫(huà)按鈕，則可以得到 Mandelbrot集集.例例3. Mandelbrot 集合集合 幾何畫(huà)板演示幾何畫(huà)板演示22FFGxyx2FFGx yy校校本本課課程程例例4.牛頓迭代法牛頓迭代法 一個(gè)數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個(gè)不斷迭一個(gè)數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個(gè)不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng).校校本本課課程程【制作步驟制作步驟】 1.在平面上以原點(diǎn)為中心，建立一個(gè)矩形在平面上以原點(diǎn)為中心，建立一個(gè)矩形ABCD作為觀察區(qū)域；作為觀察區(qū)域；2.在線段在線段AD上取一

11、點(diǎn)上取一點(diǎn)E，點(diǎn)擊，點(diǎn)擊“編輯編輯”，“操作類按鈕操作類按鈕”，“動(dòng)畫(huà)動(dòng)畫(huà)”，使得，使得E點(diǎn)點(diǎn) 能夠在能夠在AD上運(yùn)動(dòng)；上運(yùn)動(dòng)；3.作作E點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)軸的對(duì)稱點(diǎn)E，然后連接，然后連接EE，在，在EE上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)G，度量，度量 xG，yG； 4.在平面上取一點(diǎn)在平面上取一點(diǎn)F，度量，度量 xF，yF，計(jì)算，計(jì)算 ， ， 順次選擇這兩個(gè)度量結(jié)果，單擊順次選擇這兩個(gè)度量結(jié)果，單擊“繪圖繪圖”，“繪制點(diǎn)繪制點(diǎn)”，得到點(diǎn)，得到點(diǎn)H； 5.新建參數(shù)新建參數(shù)n=100，選擇點(diǎn)，選擇點(diǎn)F和參數(shù)和參數(shù)n，作深度迭代，作深度迭代，F(xiàn)H； 6.選擇迭代像，單擊選擇迭代像，單擊“變換變換”，“終點(diǎn)終點(diǎn)

12、”，得到迭代終點(diǎn)，得到迭代終點(diǎn)I，度量，度量I的橫、縱坐標(biāo)，的橫、縱坐標(biāo)， 并計(jì)算并計(jì)算xI/yI ，選擇這三個(gè)結(jié)果和點(diǎn)，選擇這三個(gè)結(jié)果和點(diǎn)G，單擊，單擊“顯示顯示”，“顏色顏色”，“參數(shù)參數(shù)”， 得到得到 G； 7.選中選中G，單擊，單擊“作圖作圖”，“軌跡軌跡”，隱藏線段，隱藏線段EE，選擇剛才的軌跡，按右鍵，選擇剛才的軌跡，按右鍵 追蹤軌跡，把追蹤軌跡，把 F點(diǎn)移至原點(diǎn)，點(diǎn)擊動(dòng)畫(huà)按鈕點(diǎn)移至原點(diǎn)，點(diǎn)擊動(dòng)畫(huà)按鈕.例例4.牛頓迭代法牛頓迭代法22222233()GGFGGxyxxy2222233()GGFGGx yyxy幾何畫(huà)板演示幾何畫(huà)板演示校校本本課課程程分形欣賞分形欣賞u 搖曳的蕨葉搖曳的蕨葉u 花籃簇花籃簇u 蝴蝶蝴蝶u 烏龜與