高等代數(shù)與解析幾何第七章(1-3習題)線性變換與相似矩陣答案

1、第七章線性變換與相似矩陣習題7.1習題7.1.1判別下列變換是否線性變換?（1）設F是線性空間中的一個固定向量,（）0r（聞=6+吃¥匿eP,解：當F=0時，仃=&顯然是的線性變換；當時，有o（街+2）=;£+備+電，仃（9）2/+勺+.，則0（%+封=6跖4譏&）,即此時不是的線性變換。(n)解：當6=0時，?。ê?£ 二 °顯然是的線性變換;?。ㄈ?聞工電0+如次即此時f不是，的線性變換。（2）在史中,（I）貝島加硝=5通+扇苞丫解：G不是野的線性變換。因?qū)τ谖?。0。）爐，有ga）:4Q。，2項二口0。所以W將升以明解：是K的線性變

2、換。設則有=2（石+川卜（禹+加（&+為）+（0+ 為必為+M ）r=電+乂內(nèi)切再乜）=m+mI=沒餐一%,用+七¥，2±可)=上(2可-%伊勒+后2再在口區(qū)中,(I)夕爐您);曲1),解：。是網(wǎng)工的線性變換：設哪。溜建可例.，則方(/(力+80=/>+1)+式工+1)=蹴01+4劭，日密曰爐云+?！耙?，世邑尸。(n)葭雄)二/(鬲)，其中可是E中的固定數(shù)；解：仃是尸網(wǎng)的線性變換：設可切通口送電I則§Gw+gto)=加+唳)=咆附+M砌,cr(V)M項3Mkgf)肚EF。(4)把復數(shù)域C看作復數(shù)域上的線性空間，其中f盟的共軻復數(shù)；解：2不是線性變換

3、。因為取自，&=1時，有騎加3=1,kcr二版:i即貝加),觥<(5)在MG與中，設P與。是其中的兩個固定的矩陣，仃二時,XeM(F)O解：。是M0)的線性變換。對路,勺£此(?)，儂F,有貝陽=F媯Q=k(PXQ=E；O習題7.1.2在然中，取直角坐標系°刑，以“表示空間繞會軸由。軸向優(yōu)方向旋轉(zhuǎn)900的變換，以、表示空間繞7,軸由彷軸向°工方向旋轉(zhuǎn)900的變換）以&表示空間繞軸獨翅跑Oy方向旋轉(zhuǎn)900的變換。證明R：=R；=E=£（表示恒等變換）并說明（44）*=比岑是否成立。JV力d曾證明：在史中任取一個向量以=8凡z）,則根據(jù)

4、44改以的定義可o,所以4 *1所以o習題7.1.3在網(wǎng)x中,飛了（功=切，證明01-8二£ 。證明：在國工中任取一多項式/&）,有9T-動/（£）=（crr）/（x）-（TJ）f®:=應僅）-«動=/口）+爐（工）-wa）=/a）。所以習題7.1.4設瓢T是上的線性變換。若07-8=£，證明證明：用數(shù)學歸納法證明。當上二2時，有打一爐二戰(zhàn)一爐二cr（TCr+E）-加=-初cr+cr=第+c=j+ct=2a命題成立。假設等式對此成立，即興-拿/二鼠產(chǎn)。下面證明等式對上+1也成立。因有產(chǎn)ly二汀（/）-二m上廣1+田）-加”二七5+如-T

5、a）5從而對任意自然數(shù)都成立。h/+sJ二&+1/,即等式對上+1也成立,習題7.1.5證明（1）若是疝的再逆線性變換,則的逆變換唯一;是，上的可逆線性變換，則or也是可逆線性變換，且-1=rjo證明：（1）設IB都是0的逆變換，則有Ur1二 qc 二 e進而即。的逆變換唯（2）因。，工都是上的可逆線性變換，則有（廣1尸畫=丁1（小頊二r有定義知a,戌0，（，/窗）線性無關。由定義知比是可逆線性變換,有唯一性得習題7.1.6設。是上的線性變換，向量,j d I團都不是零向量，但"二"。證明a ,，""線性無關。a(a) (f(a)a(a) a2

6、(a)證明：設 廠一/5+軻+，/3)=/ = 0可得4* 0A =：) 故.；同理有:瓚）+/上產(chǎn)）產(chǎn)(0) = 0 .產(chǎn)=0即得；依次類推可得4d（=o,進而得習題7.1.7設。是上的線性變換，證明。是可逆線性變換的充要條件為仃既是單射線性變換又是滿射線性變換，即仃是一一變換。證明：（二）已知。是可逆線性變換，即存在/。若«4）二貝馬），則兩端用仃胃作用即得4二%,因此。是單射線性變換。若任取aeV,則存在b（助H,使得wr）=&,即是滿射線性變換。g已知既是單射線性變換又是滿射線性變換，即雙射?，F(xiàn)定義新的變換：料，定有妙/，且有噸"夕，規(guī)定K和a,有喇劭=58

7、）=£,同時有向就同二期，即有重=淚二£。由定義知。是可逆線性變換。習題7.1.8設0是P上的線性變換，證明（1）。是單射線性變換的充要條件為蚣叩=【0卜；（2）o是單射線性變換的充要條件為d把線性無關的向量組變?yōu)榫€性無關的向量組。證明：（1）仁已知u是單射線性變換，對Vaehra則有若（白）已知ker?XOJI 、1r * L門即:，則有外周一領）=0（2 ） 已知U是單射線性變換。設/y /y , /y，*線性無關,現(xiàn)證則淚救也線性無關。令W+W）+-+W=o理有砥咐刎+T忸）=0，而。是單射,有艇+3+T姐川已知出%，4線性無關，所以國二與二二七=。,故,吼。（的），

8、M4也線性無關。3已知。把線性無關的向量組變?yōu)榫€性無關的向量組。若一區(qū) a則有 定一并JUJUA則說明向量胃廠的線性無關，而叫為一%戶。表示。把線性無關的向量組變?yōu)榫€性相關的向量組，與條件矛盾。而由與一%二?？傻胵二%,即u是單射線性變換。習題7.1.9設G呢）是郎,丹中全體可逆線性變換所成的子集，證明關于線性變換的乘法構(gòu)成一個群。（超范圍略）習題7.1.10設%5是/上的線性變換，且嫁=卬成二，證明（1）若（可+。）噸也，則曬=。；（2）若碼嗎%則（用+日-，勾'二吁+通-現(xiàn)。證明：（1）因為七/旦=5,同+3=w。所以從而曬+曬=Q或哂二-卬 1。又因為（2）因為片二%可二，即產(chǎn)所

9、以習題7.1.11設廠與亞分別是數(shù)域F上的M維與道維線性空間,是廠的一個有序基,對于用中任意個向量證明存在唯一的線性映射伊:，即，使奴©=月,M。證明：先證明存在性。對任意的aeV,a有唯一的線性表達式a二土.陶小L我們定義:顯然有迪卜4,n”?，F(xiàn)驗證中為7到距的一個線性映射。（1）對任意的向量遇+丁洶，因為葉陽伍+九%+也+%）%+（%+.%以由定義得優(yōu)二耳國二山+；：2+超：2-+人+片工=（咽+M格對+州+加+盛）二施）+虱隊（2）對任意的LeF,因為切=（椅）q+（加洶T曲Jq,由定義得胴=依%+（國向+俎）祗=電4+噴+咽）=W）所以中為1到甲的一個線性映射。再證唯一性：若

10、另有廠到用的一個線性映射產(chǎn)，也使得羽=4i-,”則對任意向量廣1,一定有闡F闡）+和闖+玷包）=球+嘲,葉城=雨由d在7中的任意性，可得中N習題7.1.12設與甲分別是數(shù)域F上的力維與施維線性空間，獷是線性映射。證明&T管是廠的子空間，口/5是甲的子空間。又若dim廠有限，證明4皿品巾+揄燉0=dim'。這時稱dimkei呼為伊的零度，稱而3獷）為骨的秩。證明：（1）先證kerp與電分別為，與汗的子空間，對喙/小，,展k印，有同如+/加=幀a）+雙切如+/0=C所以品«.於蚓”故陽中為/的子空間；同理，對祗*E,樂淮），則%使網(wǎng)M）=a,弟=胃，所以te+i=旃

11、69;）+.必產(chǎn)）=咻a+/協(xié)e區(qū)冷所以雙1門為獷的子空間.再證dimker"d血郎卜dirM因血有限，不妨設如二月，dimker中二/，在場中中取一個基%用廣；4,再把它擴充為/的一個基4曲1%4亦網(wǎng),則代氟J血G）是像空間儀丹的一個基.事實上，對加©肥,存在稼£/，使得S二城比）。設二肥+棲+*+%4兒+”+44,則有&=尚）=（+訪西+i+44+1141+i十%©=+碰也計+稗姨）+-!）+1闞）=及福十葉茅他）即刈中的任意向量都可由黃山融）線性表示。現(xiàn)證向量組所以向量整理有又因勺線性表示，進而有屬/血4）線性無關）即屬J戰(zhàn)乜）為如0的一個

12、基）故7.1.12中所定義的線性映射的加法習題7.1.13證明U期凈關于定義與數(shù)量乘法構(gòu)成E上的一個線性空間證明：現(xiàn)證明定義7.1.12中所定義的線性映射的加法歹+F與數(shù)量乘法上行都是從廠到肥的線性映射。故為了到的線性映射。同理，對四產(chǎn)”，,有/1XJ»jM：、I?JBJ3TL?/J儂力Re)二kg伽=lkcs(a)-1/i*"fa->rw.jf酒，廣中/w-J-丫-r故芯*為到"的線性映射。另外線性映射的加法夕+W與數(shù)量乘法”朝顯然滿足:*54可由向量組線性無關，所以必有片=Q（法尸+LM,因此/+(獷+p)=(/+s+p；事實上，對w/eF.（1）結(jié)合律

13、:（2）交換律：。+W=W+（P;存在零線性映射心對耳”二億仍，有中+6=9；（4）對Wpe/。管，有負線性映射-夕w即7）,使得中+（7?）=6；（5）3九（6）物片蜘弧a+g=k”悔；（8）悔+6=蛇+上收。其中眼七E，寸隼京恥或黔所以£（左的關于定義7.1.12中所定義的線性映射的加法與數(shù)量乘法構(gòu)成F上的一個線性空間。習題7.1.14證明：（而1平陽=儂仍（由哂。證明：設歹為4維線性空間，解為用維線性空間，即如二為，.，以旌花取定，的一組基備飽乩和/的一組基乩屈ao令中為阻到MJF）的如下映射：旗1）二月其中a為u在基的%/14與基A禽滿I!下的矩陣。這樣定義的射。的同構(gòu)映事實

14、上，（1）蒙哥）二4,南）=4,且4=4，則有7%闖詼*居Q./J4。由于可二4,對每一個Q都有曲）G=12，故有午馬,即伊是單射。斤仇&yH閘則存在唯一的線性映射。使得W”"并且川=&獷心”低盤AM由此可見，夕是滿射。（3）對啊£“區(qū),甲）,俄Jee,有南”4,胸=4,其中AdeMJf）即有瞅叫q）=仇胤,凡吊，以%，=優(yōu)耳,廊4,所以（柄+應）（q&,聞二©）（%的G=%即闖+應（胤的，闖二跳44戊）4+貽忠廊4=K忠,4）（M+M）,故有岫+二如耳,所以卓是即就到此城伊）的同構(gòu)映射。進而有血必匕的二dim/"）二愀=（dim

15、F）（dirnf!O。習題7.2習題7.2.1求下列線性變換在所指定的一個基下的矩陣:（1）此的線性變換（tX）-AXA4片）=AT，其中為固定矩陣。求"1,烏在/，%禺1，”這個基下的矩陣；（2）設waAn/a+D-fa）是線性空間用乩的線性變換，求在基 fffj'下的矩陣;/產(chǎn)/ cosii &二/ sin 尻 Jj = xcosiip0=1自二工必二;HxT)(xr+D/=2（3）6個函數(shù):的所有實系數(shù)線性組合構(gòu)成實數(shù)域上一個6維線性空間。求微分變換在基（儲1下的矩陣。解：（1）由,1,內(nèi)的定義直接可得：(abwO閾be/=a1+l?bSn+acE2i+bcE=

16、以遇+dfd/+e密(aAY0OYa行式hIIbad)世4+/+a碼+鋁/=B竭+bdEu+c型+d2s第所以q在耳上%£i，%這個基下的矩陣為所以內(nèi)在場,%禺14這個基下的矩陣為Gobo'o4。&。0d0、0cU%O由成了COA婚+D-/%直接可得:如加砒二1-1二。(A)=o(i)=x+1-1=1=為，、一1,21以1.4.£12!?)?>M)-6式1-1)G-加+。)二a4O所以丁在基下的矩陣為:<01020、001>:<:0fc'口"X!口.。Q*110000.J(3)由微分運算性質(zhì)直接可得：-xebx)所以

17、微分變換在基U,L】下的矩陣為:sb1。00-ba窺1Q00Q0方1Q0。-8口010000ab-L00Q0-iaI習題7.2.2設，訥尸區(qū)是V的一個基，已知稀%，線性無關。證明：(1)存在唯一的線性變換T,使&)=，T2/；(2) (1)中的f在基丹曲?，4下的矩陣為£火;(3) (1)中的T在基與%行下的矩陣為砂。證明：(1)因為樂樂網(wǎng)線性無關，所以知%自也是7的一個基。故對的一個基及打個向量4，及以,定存在唯一的線性變換T,使*E2乩(2)由已知條件有(即即網(wǎng)"例懸，”德M-闌=&/禺)8其中？島"，4與4%"遇都是/的基，所以4可

18、逆，且有他，叫，”二(%的聞幺;進而有(同4、£=(烏,即)0'£。再由(1)得耳&%,二(&冉聞=(a即2rls所以工在基烏烏廣當下的矩陣為4陽73以T在基46'片下的矩陣為朋"習題7.2.3在？中，定義線性變換為其中111(1)求。在基號下的矩陣;flAA(2)求。在基曲你也下的矩陣解：(1)由定義知所以有(2)類似有下的則有故。在基琳加辦下的矩陣為:習題7.2.4在內(nèi)中，線性變換汀在基gl明加二/T 防總扁?即0在基下的矩陣為：B1 二仇加逅）矩陣是卜1 2 1J。求。在基-1 UII jf習題7.2.5設數(shù)域F上3維線性空間

19、，矩陣為“11儀12。13：知口囂與331032與二（1、會燈在具備刈湍下的拓隆.的線性變換8在基1的,電下的求ff在基%川修下的矩陣;22)(3)求在基?，馬患下的矩陣解：（1）由已知可得I=+典*4+”有%二的%+出3%+310%)=&)&儡+尻倜二+&外g+4今勒4，U122A,整"堂Hi-刀'上"L>仇4）二。】15+的肉+?備=%/+%周+的5117所以丁在基叫（2）由已知可得a匐叫曲+。哈+即國=的曲+上貼瑪+物生,q+土+k%1a：="&+電遇+ -%超+/強O如，所以在基下的矩陣為:(3)由已知可得0喝

20、+%)二*J+貝%)二(。11+年J禺+(藥I+。?)佐+(%1+&J%=（肉1+血+%）+（盯+ / 一 的肉!/V+(匈1+口心)周im >tdr Jil!，仇用）=用刈+%應+的用（5+&）+（。a烏）一遇+出電+幅%二命他+w）+（出廣的）+。礴。所以丁在基q+%下的矩陣為：儀口+白13®124$:%十%一鳥均知1%4b一%的1+陶知陽J。習題7.2.6在打維線性空間V中，設有線性變換。與向量蕾使爐”工0,但d（0=O。證明：在V中存在一個基，使在該基下的矩陣為0oo0：10，0001丁00»，呵.Ai100.1oj/o證明：由習題7.1.6知

21、：4維線性空間廠的向量組C,仇口），（0：,，廠（3線性無關，且有力個向量，即構(gòu)成/的一組基，而線性變換。作用此基有:cr（a）=改口）顯貝詡=/色?.產(chǎn)）=/（。）仇產(chǎn)（劭二丁二。O故。在基a,“附，.），"j'下的矩陣為:僅Qf0。、I0*,000100nfl：b）o10）。及匕分尸上4維線性空間廠的全體線性變換組成習題7.2.7設是數(shù)域的數(shù)域FdimZF），并找出必匕E）中的一個基。上的線性空間，試求求證：任.,力丹M網(wǎng)，物為郎M到此（F）的映射：取的一絹某.其中_,、,/甌用。由引理7.2.6及定理7.2.7知戶為同構(gòu)映射，即如E隊。所以它們的維數(shù)相同，而蒯取而力，故

22、皿此»=月二現(xiàn)取。心郎，使得力網(wǎng)叫工即H穌”即贈”4廣12廠吃已知4,八力洲是及的的-組基，故q,為呢的-組基。習題7.2.8證明：與R維線性空間V的全體線性變換都可交換的線性變換是數(shù)乘變換。證明：在某組確定的基下，數(shù)域F上的4維線性空間廠的線性變換與數(shù)域F上的總階方陣間建立了一個雙射，因為與一切片階方陣可交換熄的方陣為數(shù)量矩陣，所以與一切線性變換可交換的線性變換必是數(shù)乘變換。射習題7.2.9設打是“維線性空間的一個線性變換，如果0在/的任意一個基下的矩陣都相同，則是數(shù)乘變換。證明：設在基師以叫下的矩陣為M哧，只要證明力為數(shù)量矩陣即可。設?為任意可逆矩陣，令（4樂':恥,則瓦

23、耳，片也是的一組基，且0在這組基下的矩陣為,依題意有朋=也。特別地，當取時，計算可得0 1 0 0 0 1河I I 4 層 看JL jj | .=s 由0 0 0再取 U Q。0o1oj,由典二胡可得“二與二二% ,即A為數(shù)量矩陣，所以 。是數(shù)乘變換。習題7.2.10證明:相似，其中 證明：用基./H時是W"/的一個排歹【。依次表示這兩個矩陣，取一個4維線性空間/及其一組amb&,存在的線性變換,使得由此可得因為力與5是仃在不同基下的矩陣，所以上與B相似習題7.2.11如果/可逆，證明閨與84相似。證明：因為幺'(糊工二(kH)朋二班，所以就與E4相似。習題7.2.1

24、2如果乂與8相似，C與D相似，試判斷下列敘述是否正確?如果不正確，請舉反例，否則給出證明。伯o(BQ?(1)句與。口相似；(2)0c與附相似；(3)幺+C與b+力相似。答：(1)正確。證明：由于幺與5相似，。與。相似，因此存在可,C(2)不正確。反例：設,使故法f-i01與B相似；再取V°W,則。與。顯然相似。但2a,（-a一占'計算得2GP；Q；,即得a=h=c=所以與30不相似。（3）不正確。反例：取AS,cm同（2）,flo'f-ioWo.A+C=+*-k"5+D、D2）l0Oj版2j,兩矩陣秩不同。顯然，乂+C與B+D不相似習題7.3習題7.3.1設

25、了是數(shù)域f上線性空間，6是的特征值，則對任意多項式切可闈，了（的屬于A的特征向量也是力的屬于/（4）證明：設弓羊0為。的屬于4的特征向量，即1,Mwhra1imH_h_414tl.4Mdfo0、。，故1。dj不可逆。有（201f-1fl0、一1=1Uc。v1。o的線性變換。如果&是7&是/"）的特征值，且£T的特征向量。琬）二強，則對任意自然數(shù)加，有四同一陽事實上，當用工1時，顯然成立C成立。現(xiàn)證刖時也成立，即年尸）（昨憂*雨）=成七%故由數(shù)學歸納法得加二財4設/Q”/x+q?+,+%除/=+W+&=。0（彳。）+&（%）+"*=國

26、港+/看1+曲同。,假設然T時，有珈巧（的a=ka。）式對任意自然數(shù)用均成立。%,則有1汀號白清）3）十+*飆醐+/圖劭卜國借）+%W）h+&）閡即/(=/(%)%習題7.3.2對復數(shù)域上線性空間V上的下述線性變換&,求出它的特征值與特征向量，判斷0是否可以對角化，在汀可對角化時，求出過度矩陣F,并計算PAP o已知丁在，的一個基下的矩陣為解：(1)設6在基下的矩陣為矩陣幺的特征多項式為所以打的特征值為7,-2先求仃的屬于特征值1的特征向量。解齊次線性方程組。£一司4二0,求得基礎解系為QJ),所以CT的屬于特征值7的全部特征向量為上值+助巾樽；再求的屬于特征值-2的

27、特征向量。解齊次線性方程組(一壇工道二口，求得基礎解系為(4-寸，所以的屬于特征值-2的全部特征向量為0可以對角化。取 的兩個線性無關的特征向量（2）設在基片用下的矩陣為乩且當4二。時，有=。，于是矩陣工的特征多項式為|花-月卜 =矛,r2，所以的特征值為（求j的屬于特征值。的特征向量。解齊次線性方程組I。隊電廠“求得基礎解系。，（0,1），因M的屬于特征值0為的兩個線性無關的特征向量為，所以。以中任意非零向量為其特征向量當”0時，矩陣乂的特征多項式為,所以訂的特征值為風-公。先求。的屬于特征值求加的特征向量。解齊次線性方程組追一達/=。得基礎解系為（TJ）;所以£T的屬于特征值ai

28、的全部特征向量為再求J的屬于特征值-3（7祖一汆二°,求得基礎解系為的特征向量。解齊次線性方程組，所以7的屬于特征值一&i的全部特征向量為可以對角化。取 U的兩個線性無關的特征向量%訓十句即=為”，其中小班的過渡矩陣。且有/為由基爾】到基i t fai Q ： 1J I 0 - aij33）設。在基邑5與下的矩陣為火，矩陣乂的特征多項式為熱-441+10=艱-2)(4-1尸所以fl的特征值為112先求o的屬于特征值1.的特征向量。解齊次線性方程組(£-4)=0,求得基礎解系為0,-220)，所以仃的屬于特征值1的全部特征向量為1(&-2馬-工啕依0)；再求0

29、的屬于特征值2的特征向量。解齊次線性方程組(2£-用丫=0,求得基礎解系為(Q0J),所以。的屬于特征值2的全部特征向量為治&的。由于找不到6的三個線性無關的特征向量，故不可對角化(4)設在基邑樂F遇下的矩陣為人矩陣乂的特征多項式為4 1 1 1 1-1114-1所以U的特征值為222廠尢水 的屬于特征值，.用乃二。求得基礎解系為的特征向量。解齊次線性方程組, (LLQ® QQL0)r 。乩0,1)/所以的屬于特征值2的全部特征向量為再求的屬于特征值-2的特征向量。解齊次線性方程組=0,求得基礎解系為(LTTR,所以燈的屬于特征值的全部特征向量為可以對角化。取仃的四

30、個線性無關的特征向量小二片+弓，為二4+與，%=6+",冊二£遙遇-Q,即口111、100-1（九%,%乩）=3月母切門1nJUIU-1,001-t<1111、100-1P010-1其中1001-U為由基瓦瓦瓦4到基跖加的過渡矩陣。且勺111、100010-1I。01-1,習題7.3.3證明：”是矩陣曲特征值的充要條件是矩陣為4%3證明：設非零向量Y為矩陣力的屬于特征值7的特征向量，則有忒二忒，整理得您-再”0,因公0,所以齊次線性方程組儂1-耀二°有非零解，故系數(shù)行列式I犯一昨0。反之亦然。/1421A=0-34習題7.3.4設I。43人求/。解：矩陣工的

31、特征多項式為且_1-4-2|宓卜0又+3-4wa-1)(元一25)0T”3：所以討的特征值為4=L%=$4=4對4=L解齊次線性方程組p (橫-萬!Q口. 一.I10基礎解系跖=(lo，M ；對4 : -1,解齊次線性方程組得基礎解系對=(212/；(4-對&二5,解齊次線性方程組1 2 10 1 -2得基礎解系國二令10 21(TlAP)5 = PASP =而有p 2 1 Vi4二0 1 -2Io 2： 1 J, 、dF ?t.2 1Y11 -221 丁習題7.3.5設是4維線性空間廠的一個基，線性變換在這個基下的矩陣為7公 一 4-1 - 32 &2231153A=_”3U

32、io*TL(i)求o在一個基444溫下的矩陣，其中4三4+2,+%+%,弁二2醫(yī)+3的+%,向=3f3孑(2)因為線性變換I的特征多項式為注 qBr0V令1。0 D ,則線性變換在基月7患患肉id1- l!t"(3 2力1八一帕 3 11 -7J V(2)求。的特征值與特征向量;(3)求一可逆陣.?，使我為對角陣。<120230C4工角,信4)=(%/7/,)it1I11解：(1)由條件有Q°12002300下的矩陣為20,3001104O'1|哈力|二|械叫0-60：A005-4i3=激"加11)一24+O所以線性變換。的特征值為先求0的屬于特征值

33、.0的特征向量。解齊次線性方程組(-以，求得基礎解系為(WI，(期妒'，所以C的屬于特征值o的線性無關的特征向量為4=4叫+摘+q+q&=觸24+阿+碣。全部特征向量為3+2卻倚+陽+同心+義+幼國十姐(其中站不全為勒；1再求ff的屬于特征值2的特征向量。解齊次線性方程組%-驅(qū)二02,求得基礎解系為1(-8,6X2/ 5所以j的屬于特征值2的線性無關的特征向量為%二T胃+6,4+.+2月=-8(q+22+國+即+6(2珞+3%+矽+碣+24=44+2%_碣-6。全部特征向量為轉(zhuǎn)用+%舄f也尸6姐(t*0).最后求的屬于特征值1的特征向量。解齊次線性方程組0-臟=0,求得基礎解系

34、為卜7f郅y,所以a的屬于特征值1的線性無關的特征向量為5=-7#+54+34+5月=1(4+瑞+/+4)+5(2q+3%+3恁+5q二阿+的+q-2qO全部特征向量為3燦+燦+燦24«叫A.,111一力，所以所求的可逆矩（3）因為u og00?。000。0-0G61J習題7.3.6（1）設是線性變換。的兩個不同特征值，4M是分別屬于&4的特征向量。證明:5+的不是0的特征向量;（2）證明：如果線性變換 是數(shù)乘變換。取中每個非零向量作為它的特征向量，則證明：（1）因為仇仃0）=4,所以仇用+%）二仇©+成即二榜+為出。假設必+通是線性變換口的屬于特征值1的特征向量，即優(yōu)%十%）="佗+的），且有網(wǎng)佐珥+%?，整理可得-4）國+（4-0由于線性變換口的屬于不同特征值的特征向量線性