2020高考理數(shù)總復(fù)習(xí)課后限時(shí)集訓(xùn)47橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)

1、1D 如圖,設(shè)線段 PF1的中點(diǎn)為 M ,所以 OM / PF2,可得 PF2丄 x 軸,|PF2|13 |PF2|_ 53 , |PF1|_ 13 ,故選 D.3.如圖，底面直徑為 12 cm 的圓柱被與底面成 30角的平面所截, 截口是一個(gè)橢圓，則這個(gè)橢圓的離心率為（）A.1B.課后限時(shí)集訓(xùn)（四十七）橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)（建議用時(shí)：60 分鐘）A 組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題2 21.已知方程產(chǎn);?彳=1 表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓，貝 U 實(shí)數(shù) k 的取值范圍是2 k 2k 1（）（）1A. 2,2B.（1,+x）C. （1,2）D. 2,12 k 0,C 由題意得 2k1 0,解得 1

2、vkv2.故選 C.2k1 2 k,線段 PF1的中點(diǎn)在 y 軸上，則|琵琵的值為（）B.52.2x（2018 惠州二模）設(shè) F1, F2為橢圓 9+1 的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若D因?yàn)?0 是 F1F2的中點(diǎn)，_ _5，PF1|_2a|PF2|122A 由題意得 2a= COS30 于 8 ,3（cm）,短軸長即 2b 為底面圓直徑 12 cm,：c= a2b2= 2 3 cm,： e=扌扌=2.故選A.4以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積的最大值為1,貝 U 橢圓長軸長的最小值為（)A. 1B. 2C. 2D. 2 21D 設(shè) a, b, c 分別為橢圓的長半軸長、短半軸長、半焦

3、距，依題意知 2cb=1? bc= 1,2a = 2 b2+ c? 2.2bc= 2 2,當(dāng)且僅當(dāng) b= c= 1 時(shí)，等號(hào)成立.故5.已知 A（ 1, 0）, B 是圓 F : x2 2x+y211= 0（F 為圓心）上一動(dòng)點(diǎn)，線段 AB的垂直平分線交 BF 于點(diǎn) P,則動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程為（）2 2A.|PB|+ |PF|= r= 2 3|AF 匸 2,：點(diǎn) P的軌跡是以 A, F 為焦點(diǎn)的橢圓,且 a= 3, c= 1,： b= 2,：動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡x y “+ =1xB 二12 11B362 22x- y-=1x D3 23由題意得|PA=|PB|,.|PA| + |PF|= |C

4、.D2 2仏=1352+牡11232 2方程為 3+y=1,故選D.二、填空題2 26. （2018 全國卷 I 改編）已知橢圓 C:令+七=1 的一個(gè)焦點(diǎn)為（2, 0）,貝 U C 的離a 4心率為_.2 由題意可知 a2 4=4,： a2= 8,即 a= 2 , 2. :C 的離心率 e= c= 2 = 2.a2227. 若直線 x 2y+ 2 = 0 經(jīng)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.42 2 25 + y2= 1 或:+；= 1令 x=0 得 y= 1,令 y= 0 得 x= 2,若橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為（一 2, 0）,則其一個(gè)焦點(diǎn)為（0,1）,2 2此時(shí)橢圓方程為 4

5、+魯=1.若橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為（0,1），則其焦點(diǎn)為（一 2, 0）,2此時(shí)橢圓方程為* + y2= 1. 8已知 F1, F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足 MF1MF2= 0 的點(diǎn) M 總在橢圓內(nèi)部,則橢圓離心率的取值范圍是_:滿足 MF1MF2= 0 的點(diǎn) M 的軌跡是以 F1F2為直徑的圓,若其總在橢圓內(nèi)部，則有 cvb,即 c2vb2,又 b2= a2 c2,所以 c2va2 c2,即 2c2va2,所 以 e2v,又因?yàn)?0vev1,所以 0vev-三、解答題9 分別求出滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2 2（1）與橢圓24 + 3 二 1 有相同的離心率且經(jīng)過點(diǎn)（2, 3）;（2）已知點(diǎn) P

6、 在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，且P 到兩焦點(diǎn)的距離分別為 5, 3,過 P 且與長軸垂直的直線恰過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).2 2 2 2解由題意，設(shè)所求橢圓的方程為+ 3 = t1或 + X=t2（t1, t20）,因?yàn)闄E廠22（一 V3 ）2（- V3 ）22225圓過點(diǎn)（2, 3）,所以乜=4 +3=2,或乜=4+3 = 12.2 2 2 2故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x+土=1 或 25+25=1.342 2 2由于焦點(diǎn)的位置不確定，所以設(shè)所求的橢圓方程為 X2+ b2 1（ab0）或+x22a = 5+ 3,b2= 1（a b 0）,由已知條件得222b2c = 5 3 , 解得 a = 4, c

7、= 2,所以 b2= 12.52 2 2 2故橢圓方程為磊+器=1 或卷+誇=1.2 2X y10.如圖，橢圓孑+卡=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi, F2,過 F2的直線交橢圓于 P, Q 兩點(diǎn)，且 PQ 丄 PFi.(1)若|PFi|= 2+ 2, |PF2匸2- 2,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若|PF1|=|PQ|,求橢圓的離心率 e.解(1)由橢圓的定義，2a= |PF1|+ |PF2|=(2+ 2)+ (2- .2)= 4,故 a = 2.設(shè)橢圓的半焦距為 c,由已知 PF1丄 PF2, 因此 2c= |F1F2|= |PF1|1 2 3 4+ |PF2|2=2+ 22+ 2- 22=

8、2 3, 即 c= 3,從而 b= a2-c2= 1.2故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 鄉(xiāng)+ y2= 1.(2)如圖，連接 F1Q,由橢圓的定義,|QF1|+ |QF2|= 2a.從而由 |PF1|= |PQ|= |PF2| + |QF2|,有|QF1|= 4a-2|PF1|.又由 PF1 PQ, |PF1|= |PQ|,知|QF1|= 2|PF1|,因此，4a-2|PF1|= 2|PF1|,得|PF1| = 2(2- 2)a, 從而 |PF2|= 2a- |PF1|= 2a- 2(2- 2)a=2( 2- 1)a.由 PFPF2, 知|PF1|2+ |PF2|2= |F1F2|2= (2c)2,=2

9、- 22+ 2- 12=9-6,2= 6 3.B 組能力提升4 (2019 湖北八校聯(lián)考) )如圖，已知橢圓 C 的中心為原點(diǎn)O, F(- 5, 0)為 C 的左焦點(diǎn)，P 為 C 上一點(diǎn)，滿足|OP|因此 e= a=a|PF1|2+ |PF2|22a6= |0F 且|PF 匸 6,則橢圓 C 的方程為()72 2x y “A 1A 36 十 1612 2C. 49 + 知 12 2D. 45+20=1C 由題意可得 c= 5,設(shè)右焦點(diǎn)為 F 連接 PF由|OP|= |OF| = |OF |知,/ PFF =ZFPO，/ OF P =ZOPF ,二/ PFF +ZOF P =ZFPO + / O

10、PF, / FPO + Z OPF = 90 即 PF 丄 PF .在 Rt PFF 中，由勾股 定理，得|PF |= jFF f|PF|2=；102 62= 8,2由橢圓的定義,得|PF|+ |PF |= 2a = 6 + 8= 14,從而 a = 7, a = 49,2 2于是 b2= a2 c2= 49 52= 24,二橢圓 C 的方程為蒼+訂=1,故選 C.2 22. (2019 南昌重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考) )設(shè)橢圓 C: 02+卷=1(a0, b0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1, F2,點(diǎn) E(0, t)(0vtvb).已知?jiǎng)狱c(diǎn) P 在橢圓上，且點(diǎn) P, E, F2不共線，若 PEF2的周長的最

11、小值為 4b,則橢圓 C 的離心率為( (A.A 如圖，連接 EF1, PF1,則 |EF1|=|EF2|,所以 PEF2的周長 l= |PE|+ |EF2汁 |PF2|= |PE|+ |EF1|+ |PF2|,因?yàn)?|PE|+|EF1|PF1|,所以 PEF2的周長 l |PF1| + |PF2|, 因?yàn)閨PF1|+|PF2|= 2a,所以 I2a,因?yàn)?PEF2的周長的最小值為 4b,所以 2a = 4b,即 a= 2b,所以 c2= a2 b2= 3b2,所以 c= , 3b, 所以橢圓 C 的離心率 e=C=2,故選 A.2 23 設(shè) P 是橢圓 X5+ 9 = 1 上一點(diǎn)，M , N

12、 分別是兩圓：(x+ 4)2+ y2= 1 和(x 4)2x2B. 40+2y_15B.8+卜1 上的點(diǎn)，貝 U |PM 汁|PN|的最小值、最大值分別為 _:8, 12 如圖所示，因?yàn)閮蓚€(gè)圓心恰好是橢圓的焦點(diǎn)，由橢圓的定義可知 | PFi| + | PF2| = 10 ,易知 | PM | + | PN | = (| PM | +| MFi|) + (| PN | + | NF2|) - 2 ,則其最小值為 | PFi| + | PF2| - 2=8,最大值為 |PFi| + |PF2| + 2 = 12.2 24已知橢圓 X2+寺=1(ab0), Fi, F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A 為橢圓的 上頂點(diǎn)，直線 AF2交橢圓于另一點(diǎn) B.(1)若/ FiAB = 90求橢圓的離心率；若 AF2= 2F2B, AFiAB=3，求橢圓的方程.解(1)若/ FiAB= 90則厶 AOF2為等腰直角三角形，所以有 0A= OF2,即 b= c.所以 a= 2c, e=:二孑.(2)由題知 A(0, b), F1( (- c, 0),F2( (C,0),其中 c= a2- b2,設(shè) B(x, y).由 AF2= 2F2B,得(