隨機(jī)信號(hào)分析

1、主要內(nèi)容v1 隨機(jī)信號(hào)的概念v2 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)描述v3 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程v4 高斯（正態(tài)）隨機(jī)過(guò)程 周期與非周期信號(hào) 周期信號(hào)：滿(mǎn)足條件 非周期信號(hào)：有限持續(xù)時(shí)間的特定時(shí)間波形 確知和隨機(jī)信號(hào) 確知信號(hào):在任何時(shí)刻，取值是唯一確定的 隨機(jī)信號(hào)：信號(hào)的某個(gè)或更多參量的取值是不確定，不可預(yù)測(cè)的 能量與功率信號(hào) 能量信號(hào)：能量有限的信號(hào) 功率信號(hào)：平均功率有限的信號(hào) 通常，周期信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)是功率信號(hào)；非周期信號(hào)是能量信號(hào), 2 , 1),()(nnTtftf 基帶與頻帶信號(hào) 基帶信號(hào)：未經(jīng)調(diào)制的信號(hào)，又稱(chēng)低頻信號(hào) 頻帶信號(hào)：對(duì)基帶信號(hào)進(jìn)行調(diào)制后的信號(hào)，又稱(chēng)帶通信號(hào) 模擬與數(shù)字信號(hào) 模擬信號(hào)：參量的取

2、值無(wú)限 數(shù)字信號(hào)：參量的取值有限 隨機(jī)變量的含義 在某個(gè)時(shí)刻，信號(hào)的取值是隨機(jī)的。 隨機(jī)過(guò)程的定義 定義一：隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)樣本函數(shù)的集合，表示為 ，其中樣本函數(shù) 稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程的一次實(shí)現(xiàn)。 定義二：隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)變量在時(shí)間軸上的擴(kuò)展，表示為 ，或常用 。由此可見(jiàn)，隨機(jī)過(guò)程可以看作是不同時(shí)刻的多維隨機(jī)變量 , 2 , 1,)()(itxtXi)(txi),(txX)(tX 舉例：隨機(jī)過(guò)程以N臺(tái)性能完全相同，而且工作條件也完全一致的接收機(jī)輸出端的噪聲電壓波形為例，隨機(jī)過(guò)程 表示為)(tX, 2 , 1,),(,),(),()(21itXtXtXtXi或, 2 , 1,),(,),(),()(21it

3、xtxtxtXi 隨機(jī)過(guò)程的一維分布函數(shù)、一維概率密度 隨機(jī)過(guò)程 在任意一個(gè)時(shí)刻t1的取值是隨機(jī)變量 ，則隨機(jī)變量小于或等于某一數(shù)值x1的概率稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程的一維分布函數(shù)。 如果存在則稱(chēng) 為 的一維概率密度函數(shù)。)(tX)(1tX11111)(),(xtXPtxF),(),(1111111txpxtxF),(111txp)(tX 隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)、概率密度 隨機(jī)過(guò)程 的維分布函數(shù)被定義為 隨機(jī)過(guò)程 的N維概率密度被定義為)(tX)(tXNtttNNXxXxXxXPtttxxxFN,),;,(21212121),;,(),;,(2121212121NNxnnnntttxxxpxxxtttxxxF

4、 隨機(jī)過(guò)程的一維統(tǒng)計(jì)特性（對(duì)應(yīng)一維隨機(jī)變量） 均值函數(shù)（數(shù)學(xué)期望或統(tǒng)計(jì)平均）均值表示隨機(jī)過(guò)程的擺動(dòng)中心 方差函數(shù)其中， 稱(chēng)為均方值函數(shù)。w 可見(jiàn)方差等于均方值與數(shù)學(xué)期望平方之差。它表示隨機(jī)過(guò)程在某時(shí)刻對(duì)于其均值的偏離程度w 當(dāng)均值 =0時(shí)，方差為 均方值函數(shù)w 物理含義為瞬時(shí)平均功率等于瞬時(shí)交流功率與直流功率和)(),()(tmdxtxxptXEX2)(tXE)(tmX22)()(tXEtX)()()(222tmttXEXX)()()()()()(2222ttmtXEtmtXEtXDXXX 隨機(jī)過(guò)程的二維統(tǒng)計(jì)特性（對(duì)應(yīng)二維隨機(jī)變量） 相關(guān)函數(shù) 協(xié)方差函數(shù) 相關(guān)系數(shù)（歸一化協(xié)方差函數(shù)）w 相關(guān)函

5、數(shù)、協(xié)方差函數(shù)、相關(guān)系數(shù)均是衡量隨機(jī)過(guò)程任意兩個(gè)時(shí)刻上獲得的隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)程度的。若是針對(duì)一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，則分別稱(chēng)為自相關(guān)函數(shù)、自協(xié)方差函數(shù)、自相關(guān)系數(shù)；若是對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程，則分別稱(chēng)為互相關(guān)函數(shù)、互協(xié)方差函數(shù)、互相關(guān)系數(shù)。)()(),;,()()(),(212121212121 tXtXEdxdxttxxpxxtXtXEttRX 2121212211221121),;,()()()()()()(),(dxdxttxxptmxtmxtmtXtmtXEttCXXXXX11)()(),(),(212121ttttCttXXXX)()(),(2121tmtmttRXXX 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義 狹義平

6、穩(wěn)：指隨機(jī)過(guò)程 的n維分布函數(shù)或n維概率密度函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。即對(duì)于任意n和 ， 的n維概率密度函數(shù)滿(mǎn)足 廣義平穩(wěn)：若隨機(jī)過(guò)程能滿(mǎn)足一維、二維平穩(wěn)條件，即 判斷是否為廣義平穩(wěn)的條件 若隨機(jī)過(guò)程 的數(shù)學(xué)期望及方差與時(shí)間無(wú)關(guān)，而其自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔 有關(guān)，即)(tX)(tX),;,(2121nntttxxxp),;,(2121nntttxxxp),(txp);(txp),;,(2121ttxxp),;,(2121ttxxp)(tX)(),()()(1122XXXXRttRtatm 遍歷性（各態(tài)歷經(jīng)性）平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義 若一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，其任何一個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均等于其統(tǒng)計(jì)平均或集平均，

7、即 判斷是否為遍歷平穩(wěn)的條件 若滿(mǎn)足下列條件，即 遍歷性說(shuō)明：只有平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程才可能具有各態(tài)歷經(jīng)性，在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號(hào)和噪聲，一般均能滿(mǎn)足歷經(jīng)條件dtTETTT221lim2222)()()(lim1)()()()(1lim)(TTxTXTTxTXRdttxtxTtXtXERmdttxTmtXE 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 ，其自相關(guān)函數(shù)具有下列性質(zhì)w 平均功率：其物理含義：隨機(jī)信號(hào)的總平均功率等于最大自相關(guān)值 ，它等于交流功率與直流功率之和w 是偶函數(shù)：w 的上界： 維納辛欽定理：平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 的功率譜密度與其自相關(guān)函數(shù)是一對(duì)付里葉變換關(guān)系，即 當(dāng) =0時(shí)，有 ，它

8、表示隨機(jī)過(guò)程的平均功率 )(tX2220)()0()(XXXXmPtXERR)()( RR)(R)0()(RR)0(R)(R)(tXdeSRdeRSjXXjXX)(21)()()()()(PRdSRXX)(21)0( 高斯隨機(jī)過(guò)程 定義：任意n維分布都服從正態(tài)分布的隨機(jī)過(guò)程 特點(diǎn)：w 高斯過(guò)程若是廣義平穩(wěn)的，則也是狹義平穩(wěn)的；w 若高斯過(guò)程中的隨機(jī)變量?jī)蓛芍g互不相關(guān)，則它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的；w 若干個(gè)高斯過(guò)程之和組成的隨機(jī)過(guò)程仍是高斯型；w 高斯過(guò)程經(jīng)過(guò)線(xiàn)性變換（或線(xiàn)性系統(tǒng)）后的過(guò)程仍是高斯型 圖 高斯分布概率密度函數(shù) (一維) 概率分布函數(shù)(一維) 高斯隨機(jī)過(guò)程（此處考慮一維分布） 概率密度函數(shù)為： 分布函數(shù)為：此積分不易計(jì)算，常引入誤差函數(shù)