高等數(shù)學(xué)A(二)試題答案濟(jì)南大學(xué)

1、濟(jì)南大學(xué)1112高等數(shù)學(xué)A(二)參考解答一、填空題（每小題一、填空題（每小題2分，共分，共10分）分）( , )(0,0)sin()lim_.x yxyy 解:( , )(0,0)( , )(0,0)sin()limlimx yx yxyxyyy1.0lim0.xx2微分方程微分方程的通解為_.0yy 12cossinCxCxL03, 02xxy2d_.Ls 3. 設(shè)設(shè)為為,則則解解: 積分曲線. 30,2y0:,xxLyy2dLs 3202dy3.一代二換三定限注意注意: :定積分的下限一定要小于上限對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的幾何意義ds2201 d yd y2224()xyzdSdS222()_.

2、xyzdS 4. 設(shè) 為球面 2224xyz,則曲面積分的幾何意義. 464 .dS 解解:24SR .5.( )f x則 分析分析. 為周期的周期函數(shù),設(shè)函數(shù) 是以 2 在區(qū)間 , ) 上的表達(dá)式為 00( ),10 xf xxx的傅里葉級(jí)數(shù)在 ( )f x0 x 處收斂于 . 1 (0 )(0 )2ff間斷點(diǎn)處收斂于1(0 1)21.2二選擇題(每小題2分,共10分)1. ( , )f x y充分條件是( )C(A)函數(shù)(D) 00(,)xy在點(diǎn)處的全微分存在的(B)( , )f x y00(,)xy在點(diǎn)處的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都存在. (C)處連續(xù).( , )f x y00(,)xy在點(diǎn)處的兩

3、個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù) .( , )f x y00(,)xy在點(diǎn)處連續(xù)并且兩個(gè)一階. ( , )f x y00(,)xy在點(diǎn)一階偏導(dǎo)數(shù)都存在. 全微分的定義全微分的定義 定義定義: 如果函數(shù) z = f ( x, y )在定義域 D 的內(nèi)點(diǎn)( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成, )(oyBxAz其中 A , B 不依賴于 x , y , 僅與 x , y 有關(guān)，稱為函數(shù)),(yxf在點(diǎn) (x, y) 的全微分全微分, 記作yBxAfz dd若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點(diǎn)都可微,22)()(yx則稱函數(shù) f ( x, y ) 在點(diǎn)( x, y) 可微可微，處全增量則稱此函數(shù)在在D 內(nèi)可微內(nèi)

4、可微.AxBy)(oyBxAzyBxAfz dd(2) 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面兩個(gè)定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1) 函數(shù)可微函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn) (x, y) 可微),(lim00yyxxfyx當(dāng)函數(shù)可微時(shí) :得zyx00lim0),(yxf函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在 函數(shù)可微 即23zxy(0,0)2. 設(shè),則它在點(diǎn)(A) 取得極大值. (B) 無(wú)極值.處(C) 取得極小值.(D) 無(wú)法判定是否有極值.22030fxxfyy(0,0),得駐點(diǎn)解解: B在點(diǎn)無(wú)法判斷是否為為極值.ABC求二階偏導(dǎo)數(shù)( , )2,xxfx y (

5、, )0,xyfx y ( , )6yyfx yy2,A0,B 0,C 20,ACB(0,0)f解：(0,0)處23zxy(0,0)2. 設(shè),則它在點(diǎn)(A) 取得極大值. (B) 無(wú)極值.處(C) 取得極小值.(D) 無(wú)法判定是否有極值.x=0,y 0時(shí), ( , )0.f x y Dxyd_. 3.若區(qū)域 D:221xy, 原式A. 0 0B.1C.1D.2解：解：利用對(duì)稱性,原積分為0A則 “你對(duì)稱，你對(duì)稱， 我奇偶我奇偶”10cossindrrr r20dyx1r OD201sin dsin42201sin804. 微分方程244xyyy e的特解形式應(yīng)設(shè)為 222222. ().xxx

6、xAAx eBAxB eCAx eDAe;.;.特征方程為：特征方程為：2440 ,rr解得：解得：122,2 ,rr 本題本題2 , 2 是是2 2重重特特征征根根，*2 2.xyAx e 解：解：特解形式應(yīng)設(shè)為 1113111113111112102.().().().()( )nnnnnnnnnnABCDnnn;.;.5. B分析分析111( 1)( 1) nnnnnnuu 或或(0)nu 其其中中如果 滿足條件: 1(1)(1,2,3,),nnuun(2) lim0,nnu則級(jí)數(shù)收斂. C的一般項(xiàng)不趨于零，級(jí)數(shù)發(fā)散重要參考級(jí)數(shù): 幾何級(jí)數(shù), p -級(jí)數(shù), 調(diào)和級(jí)數(shù). B 條件收斂,A,

7、 D絕對(duì)收斂01,11,pnpnp 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 收收斂斂當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 發(fā)發(fā)散散01,nn 發(fā)發(fā)散散10( 1),nnn 收收斂斂01 ,1 ,nnqaqq 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)收收斂斂當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散下列級(jí)數(shù)中,條件收斂的是( )知識(shí)點(diǎn):條件收斂,絕對(duì)收斂,交錯(cuò)級(jí)數(shù)三、計(jì)算題（每小題三、計(jì)算題（每小題10分，共分，共40分）分）2sin,zxy 222,.zzzzxyyx y 1. 設(shè)設(shè)求求解解 :2 sin,zxyx222sin,zxyy 2coszxyy2 coszxyx y 2. .求函數(shù)解解: 第一步第一步 求駐點(diǎn)求駐點(diǎn). .得駐點(diǎn): 第二步第二步 判別判別.在點(diǎn)為極小值;解方程組ABC),(yxfx2

8、2(2241)0 xexyy),(yxfy2(22)0 xey 的極值.22( , )(4484),xxxfx yexyy2( , )(44),xxyfx yey2( , )2xyyfx ye2e,A ,0B2e,C 22e2e0,ACB1(, 1)22ef ,0A22( , )(2 )xf x yexyy1(, 1).21(, 1)2處3. 求微分方程 滿足初始條件 的特解. lnln0yxdxxydy1|exylnlnxydxdyxyln(ln )ln(ln )xdxydy22(ln )(ln )22yxC 分離變量積分即1|xye將代入上式，12C 特解為22(ln )(ln )1yx

9、解解:得得4. 求冪級(jí)數(shù)0(1)nnnx的收斂域及和函數(shù).11limlim1,2nnnnanan解解: :( 1,1),( ),S x在內(nèi)設(shè)級(jí)數(shù)的和函數(shù)為( 1,1)x ，11 ,( 1).xx 且和時(shí) 原級(jí)數(shù)發(fā)散 所以收斂域?yàn)椋?000( )d(1) dxxnnS ttnt t1112A0(1)2nnn并求的值.1,10.1nnxxx 11x 201( )( )().1(1)xdxS xS t dtdxxx對(duì)上式兩邊求導(dǎo)，得11(1)( )22nnnnnn001221|4.(1)xx從而所以收斂半徑為 0(1)(1)nnnx求級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù).1(1)(1)limlim|1|,nnnnu

10、nxxun由解解: :|1| 1,2.xx所以當(dāng)即0時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂5.00 ,( 1) (1),nnxn當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)為時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散 故收斂半徑為 1.R |1| 1,x當(dāng)發(fā)散;(0,2).收斂域?yàn)?2 ,(1),nxn當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)為發(fā)散.|1| 1,x當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂三、計(jì)算題（每小題8分，共40分）1112B0(1)(1)nnnx求級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù).解解: : 0,2x 對(duì)對(duì)，110( )1 (1)xxnns t dtntdt101(1).2nnxxx0(1)(1)( ),nnnxs x02x2111( )( )().2(2)xdxs xs t dtdxxx對(duì)上式兩邊求導(dǎo)，得5.11(1)( )22n

11、nnnnn0012121|4.(2)xx 從而0(1)2nnn并求的值.四、計(jì)算下列積分（每小題10分，共30分）1. 計(jì)算(6 )d,DIxy 其中D 是直線 yx, y5x, 及x1 所圍的閉區(qū)域. 解法解法1. 將D看作X - 型區(qū)域, 則:DI10dx (6 )dxyy 10 d x 12076dxx 76.3 253xxyyx 解法解法2. 將D看作Y - 型區(qū)域, 則I15(6 )dyyxyx 10d y4425 x5x5xyx01x115(6 )dyxyx 51d y76.3 62248(272)755太難算了3222(2cos )(12 sin3)Lxyyx dxyxx ydy

12、 L22xy (0,0)(,1)2 ，其中是拋物線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧.解解:2. 設(shè)則262 cos.PQxyyxyx所以曲線積分與路徑無(wú)關(guān).2( ,0) )0 , 0(2( ,1) (,1)32222(0,0)(2cos )(12 sin3)xyyx dxyxx ydy取折線積分路徑OBA,其中B,則2( ,0) 102232( )y yy21.43222,2cos12 sin3,xyyxyxPxyQ200dx122012 sin3()22yy dy原式229,xy03z,其中是圓柱體：的整個(gè)表面的外側(cè). 解解: :2332000d(31) ddrr rz記所圍區(qū)域?yàn)?,利用高斯 公式, 得

13、原式 =22(331)d ddxyxyz在柱面坐標(biāo)系下:030203zzvdddd783.23306(3)drrr4230116 (3)|42rr 3. x3z3yO33ddd dd dxyzyzxz xy( , )f u v( , )( , )uvf u vf u vuv2( )( , )xy xef x x五、（10分）設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足. 求所滿足的一階微分方程，并求其通解.2( )( , )xy xef xxx對(duì)兩邊關(guān)于 求導(dǎo)，解:22( )2( , )( , )( , )xxxxy xef x xefx xfx x ( , )( , ),uvf u vf u vuv由2( ,

14、)( , )xxfx xfx xx得222( )2( , ).xxy xef x xx e 222xyyx e即( )2,P x 22( ),xQ xx e)()()(xxQCyxxPxxPdee dd 一階線性微分方程1112Afvuxx2d222d eed xxxCx exdee d222d2xexCyxxx d22xxCex 332xCex 221Dxy dxdy求， 3.解解:其中D為圓221xy在極坐標(biāo)系下1201:,0rD原式D 1201dr r r132201(1)3r21d dr r r20d20d201(2 21)3d(2 21).6所圍在第一象限中的區(qū)域 xOy221xyu

15、xyyzzx(2,1,3)(5,5,15)(2,1,3)(2,1,3)(coscoscos )|xyzuuuul4. 求函數(shù)在點(diǎn)沿著從該點(diǎn)到點(diǎn)的方向?qū)?shù). 解解:34 12(,)13 13 13其單位向量為)cos,cos,(cos(2,1,3)4,(2,1,3)5,(2,1,3)3xyzuuu(3,4,12),l 0l 34126845313131313 2(1)()12(1)xxxx x 0(2)x,1xx故函數(shù)單調(diào)遞減1,nnuulimlim1nnnnun又0.原級(jí)數(shù)收斂.2. 判別級(jí)數(shù)判別級(jí)數(shù)2( 1)1nnnn的收斂性的收斂性, ,解解: : 若收斂若收斂,是條件收斂還是絕對(duì)收斂是條

16、件收斂還是絕對(duì)收斂?11limnnnn21,nn且發(fā)散lim1,1nnn21nnn發(fā)散.故原級(jí)數(shù)條件收斂.試求曲線20zxy 1z 所圍成的立體的體積.3.繞z軸 旋轉(zhuǎn)所得曲面與平面解解:曲線20zxy 繞z軸 旋轉(zhuǎn)所得曲面22zxy1z 所圍的立體在xoy面上的投影：與22( , ):1 .Dx yxy1yxzo221 ()DVxydxdyD22zxy ( , ):01,02. 其極坐標(biāo)表示2(1)Dd d 21200(1)dd .24 1110242 四解答題(每小題11分，共33分)試求曲線20zxy 1z 所圍成的立體的體積.3.繞z軸 旋轉(zhuǎn)所得曲面與平面解解:1yxzo120Vx d

17、zD22zxy .210zdz用定積分計(jì)算旋轉(zhuǎn)體(繞z軸)的體積22( , )(0,0)( , )0( , )(0,0)xyx yf x yxyx y(0,0)五、證明題（7分）在點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微.證明( ,0)(0, )0,f xfy因00(0,0)(0,0)(0,0)limlim00.xxxfxffx 00(0,0)(0,0)(0,0)limlim 00.yyyfyffy (0,0)所以在點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在.而(0,0)f,00時(shí)，當(dāng)yx22(0,0)(0,0)(0,0)()()xyffxfyxy 22()()xyxy 所以 f 在點(diǎn)(0,0)不可微 !1222()() xyxy 設(shè) 沿直

18、線 y = x 趨于點(diǎn) (0, 0) ,(,)Pxy220lim()()xyxxyxy 2220()lim()()xxxx 12這表示當(dāng) 時(shí),(0,0) (0,0)(0,0)( )xyffxfyo 說(shuō)明它不能隨著0而趨于0,0則有22()()0 xy 濟(jì)南大學(xué)1112高等數(shù)學(xué)B(二)參考解答一、填空題（每小題一、填空題（每小題2分，共分，共10分）分）2(1,1)zx ydz 在在處處的的11xydz dz 22,xydxx dy2.dxdy解:zxzy2,xy2,x1.22( , )22f x yxaxxyy(1, 1)2.設(shè)函數(shù)在在處取得極值，試求常數(shù)處取得極值，試求常數(shù)a=_.分析 這是

19、二元函數(shù)求極值的反問(wèn)題， 即已知( , )f x y取得極值，只需要根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件和充分條件即可求解本題解：(1, 1)因?yàn)? , )f x y可微, 故必為駐點(diǎn)， 則有 2(1, 1)(1, 1)(1, 1)(1, 1)40220fxayxfxyy410a 5.a 因此有，即 22( , )22f x yxaxxyy(1, 1)補(bǔ)充補(bǔ)充.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在在處取得極值，試求常數(shù)處取得極值，試求常數(shù)a，并確定極值的類型，并確定極值的類型在點(diǎn)為極小值.ABC求二階偏導(dǎo)數(shù)( , )4,xxfx y ( , )2 ,xyfx yy( , )2yyfx yx4,A2,B 2,C 240,A

20、CB(1, 1)f,0A解：(1, 1)處3. 已知級(jí)數(shù)解:limlim21nnnnSSn1.21nnu11.2nnu則則的部分和的部分和,21nnSn1_.nnu4.100( , )xdxf x y dy交換積分次序?yàn)?二次積分二次積分_.解解. 積分域如圖. 01x0yx:D表示為Y形區(qū)域 1yx01y:D(1,1)110( , )ydyf x y dx將OxyD11x xy 原式110( , )ydyf x y dx1tx令，3x 當(dāng)時(shí),2.t 2t 時(shí),| | 2,t 不滿足條件0.nnna t發(fā)散1x 當(dāng)時(shí),2.t 01(1).nnnnnnaxa t轉(zhuǎn)化為0(1)3,1nnna xxx若級(jí)數(shù)在處發(fā)散 則此級(jí)數(shù)在處().A