電腦與數(shù)學(xué)教學(xué)網(wǎng)頁內(nèi)容

1、電腦與數(shù)學(xué)教學(xué)網(wǎng)頁內(nèi)容教學(xué)單元：圓錐曲線國立苑裡高中：張浴民老師指導(dǎo)教授：陳創(chuàng)義教授主題內(nèi)容三：雙曲線能掌握雙曲線的定義與基本架構(gòu) 認(rèn)識雙曲線的要素名稱雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)式與定義式雙曲線的參數(shù)式雙曲線的軌跡方程式定義：在平面上，到兩定點F1與F2的距離差為2a ( )的所有點P所成的圖形為一雙曲線，即 。 (1) 2a 為雙曲線之貫軸長 (2) 與 為通過P點的兩個焦半徑。 (3) F1與F2為雙曲線的焦點。 (4) 中心： 的中點稱為雙曲線的中心，雙 曲線的中心為雙曲線圖形的幾何對稱中 心。雙曲線的定義_112 2PFPFa122aFF1PF2PF12FF雙曲線的定義_2設(shè)F1與F2為二定點， P

2、(x,y) 為一動點，滿足 。 (1) ，則P點之圖形為一雙曲線。 (2) ，則P點之圖形為以F、F 為兩 端點的兩射線 。 (3) ，則P點之圖形為一空集合。12 2PFPFa122aFF122aFF122aFF雙曲線的定義構(gòu)圖(同心圓)GSP構(gòu)圖F2F1雙曲線的要素名稱：12 2PFPFaF2F1兩定點F1與F2稱為雙曲線焦點 的中點，稱為雙曲線的中心12FFABOxy 與雙曲線的交點A、B稱為頂點(貫軸端點)12F F 兩頂點所連直線稱為貫軸 ，如 ；而 稱為貫軸長ABAB CD過中心與貫軸垂直之直線稱為共軛軸，如 ，而C、D 稱為共軛軸端點。CD 共軛軸端點連線段稱為共軛軸長如 CD兩

3、焦點F1、F2之距離稱為焦距，如12F FPQ弦：雙曲線上任兩點之連線段稱為弦焦半徑：雙曲線上任一點與焦點之連線段焦弦：雙曲線上過焦點之弦MN正焦弦：雙曲線上過焦點與貫軸垂直之弦漸近線：在無窮遠(yuǎn)處與雙曲線可以任意靠近但不相交的兩直線如L1與L2，漸近線的交點必為中心L1L2xy雙曲線方程式之標(biāo)準(zhǔn)式(一)方程式中心O貫軸端點共軛軸端點焦點貫軸長共軛軸長焦點距離正焦弦長漸近線2222(0)(0)1 xyab(,0)a(0,)b(,0)c2a2b(0,0)222()cab2c22baOA(a,0)B(-a,0)C(0,b)D(0,-b)F1(c,0)F2(-c,0)2 ( ,)bP ca2 ( ,)

4、bQ ca0bxay0bxay0bxayxy雙曲線方程式之標(biāo)準(zhǔn)式(二)方程式中心O貫軸端點共軛軸端點焦點貫軸長共軛軸長焦點距離正焦弦長漸近線2222(0)(0)1 xyab(0,)b(,0)a(0,)c2b2a(0,0)222()cab2c22abOA(0,b)B(0,-b)C(a,0)D(-a,0)F1(0,c)F2(0,-c)2 (, )aPcb2 (, )aQcb0bxay0bxay0bxayxy雙曲線方程式之標(biāo)準(zhǔn)式(三)方程式中心O貫軸端點共軛軸端點焦點貫軸長共軛軸長焦點距離正焦弦長漸近線2222()()1 xhykab(, )ha k( ,)h kb(, )hc k2a2b( , )

5、h k222()cab2c22ba(h,k)A(h+a,k)B(h-a,k)C(h,k+b)D(h,k-b)F1(h+c,k)F2(h-c,k)2 (,)bP hc ka2 (,)bQ hc ka()()0b xha yk()()0b xha yk()()0b xha ykOxy雙曲線方程式之標(biāo)準(zhǔn)式(四)方程式中心O貫軸端點共軛軸端點焦點貫軸長共軛軸長焦點距離正焦弦長漸近線2222()()1 xhykab( ,)h kb(, )ha k( ,)h kc2b2a( , )h k222()cab2c22abOA(h,k+b)B(h,k-b)C(h+a,k)D(h-a,k)F1(h,k+c)F2(h

6、,k-c)2 (,)aP hkcb2 (,)aQ hkcb()()0b xha yk()()0b xha yk()()0b xha yk(h,k)雙曲線之特例_1：等軸雙曲線1. 若一雙曲線的貫軸長與共軛軸長相等，則稱為等軸雙曲線 例如： 特性：(1)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直。 (2)正焦弦長=貫軸長=共軛軸長 (3)離心率 (課外)。222222()()1 , (0) , ()()(0)xhykxyt taaxhykP P2e 雙曲線之特例_2：共軛雙曲線_11. 若一雙曲線的貫軸與共軛軸分別是另一雙曲線的共軛軸與貫軸，則稱為此二雙曲線為共軛雙曲線。 例如： 22222222111222

7、111222()()()()(1) 1 1 (2) ()() ()() xhykxhykababa xb yca xb ycka xb yca xb yck與互為共軛雙曲線與互為共軛雙曲線雙曲線之特例_2：共軛雙曲線_21. 共軛雙曲線之特性： (1)若1與2互為共軛雙 曲線，則1與2有共 同之中心與漸近線，但 有相同的兩條漸近線之 兩雙曲線並不一定互為 共軛雙曲線。 (2)若1與2互為共軛雙 曲線，則其四個焦點共圓。yOABCDF1F2F1F2x12雙曲線方程式之參數(shù)式(一)GSP構(gòu)圖yOxPbtan1. 解題時機(jī)：距離、面積、極值之類型的題目。2. 並非 與x軸正向之夾角。OP3. 雙曲線

8、 上的點P，可設(shè)為：22221 xyabsec,02tanxaybbMasecRQSaN雙曲線方程式之參數(shù)式(二)GSP構(gòu)圖Pbtan1. 解題時機(jī)：距離、面積、極值之類型的題目。2. 並非 與x軸正向之夾角。OP3. 雙曲線 上的點P，可設(shè)為：2222()()1 xhykabsec,02tanxhaykbbMasecRQSaNyOxx=hy=k範(fàn)例(一)標(biāo)準(zhǔn)式1. 雙曲線： 上任一點P，則： (1)中心 (2)頂點 (3)共軛軸端點 (4)焦點 (5)貫軸長 (6)共軛軸長 (7)焦點距離 (8)正焦弦長 (9)漸近線 (10)共軛雙曲線 (11)貫軸所在直線方程式 (12)共軛軸所在直線方

9、程式 (13)P點到兩焦點之距離差為2248440 xyxy範(fàn)例(一)標(biāo)準(zhǔn)式【解】_1先將雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)式：2222(1)(2)4(1)(2)4114xyxy 1,25abc( 1,2)O中心:()( 1,2)( 1,4), ( 1,0)bAB貫軸端點 頂點 ：( 1,2)(0,2),( 2, 2)aCD 共軛軸端點：24ABb貫軸長22CDa共軛軸長12(1, 2)(15, 2),(15, 2)cFF焦點：OABF1F21F2FCDPQ範(fàn)例(一)標(biāo)準(zhǔn)式【解】_222(1)(2):114xy 22 5c焦點距離22 2 2 112aPQb正焦弦長2 (1) 1 (2)0 xy 漸近線：22(1

10、)(2)114xy共軛雙曲線：20y共軛軸所在直線方程式：12 24PPFPFb點到兩焦點距離差10 x 貫軸所在直線方程式：20240 xyxy或OABF1F21F2FCDPQ範(fàn)例(二)定義式1. 求方程式： 之 (1)圖形為 (2)二焦點坐標(biāo) (3)貫軸長 (4)共軸長 (5)正焦弦長 (6)中心 (7)貫軸所在直線方程式 (8)共軛軸所在直線方程式 (9)貫軸端點 (10)共軛軸端點2222(4)(1)(2)(3)6xyxy範(fàn)例(二)定義式【解】_12222(4)(1)(2)(3)6xyxy1212( , ),( 4,1),(2,3)2P x y FFPFPFa令1226 , 22 10

11、acFF12 ( 4,1),(2,3)FF焦點： 26a 貫軸長：22222 1092bca共軛軸長2222 12 3 3 bPQa正焦弦長121()( 1,2) 2 AFF 中心22ca圖形為雙曲線ADBF2F11F2FEFPQ範(fàn)例(二)定義式【解】_22222(4)(1)(2)(3)6xyxy1 23 112( 4) 3 F Fm 12 370FFxy 貫軸所在直線方程式：113(1,2)( 3, 1) 10ABaaABAFxyccAF 9393(1,2)(,)( , )( 1,2)10101010 xyB x y 93 2( 1,2) 21010B CADA BBD 、 兩點為貫軸端點

12、: 310EFxy 共軛軸所在直線方程式：ADBF2F11F2FEFPQ範(fàn)例(二)定義式【解】_32222(4)(1)(2)(3)6xyxy1b 11 ( 3, 1)/(3,1) AFAEAF 又 1010 3 10103 10(,)( 1,2) 10 10 10 10 10 tADD 10103 10103 10(,)( 1,2) 10 10 10 10 10 tAEE EF、 兩點為共軛軸端點10(,3 ) 1 10 110AEttAEtt 令A(yù)DBF2F11F2FEFPQ範(fàn)例(三)定義式21. 設(shè)F1， F2 為平面上二定點，且P為一動點， ，則： (1) 時，P點之軌跡為 。 (2)

13、時，P點之軌跡為 。 (3) 時，P點之軌跡為 。 (4) 時，P點之軌跡為 。 (5) 時，P點之軌跡為 。125FF 124PFPF12 3PFPF125PFPF12 5PFPF12 7PFPF範(fàn)例(三)定義式2【解】1225cFF12(1) 4222PFPFaac圖形為雙曲線之一支12(2) 3222PFPFaac圖形為雙曲線12(3) 5222PFPFaac圖形為兩射線12(4) 5222PFPFaac圖形為一射線12(5) 7222PFPFaac圖形不存在範(fàn)例(四)共焦點1. 已知一雙曲線兩焦點與橢圓 之兩焦 點相同，且共軛軸長為 ，則此雙曲線方程式為 。22 1636xy2 3範(fàn)例

14、(四)共焦點【解】 keyc：共焦點共中心， 相同2222 1xyab 令雙曲線 :22 33aa22223663303 3abcbb22 1327xy 雙曲線 ：22 1636xy橢圓：F1F2範(fàn)例(五)參數(shù)式1. 點(3,0)與雙曲線 上之點最小距離為 。2244xy範(fàn)例(五)參數(shù)式【解】2222 :44141xyxy(2sec ,tan )P令2222(2sec3)(tan0)(2sec3)(sec1)PA226425sec12sec85(sec) 5 5 5622 5sec, 5 55PA當(dāng)最小F1F2(2sec ,tan )P(3,0)A範(fàn)例(五)參數(shù)式21. 證明雙曲線上任一點到兩

15、漸近線距離之積為一常數(shù)。221222:0 :1:0 LbxayxyLbxayab 漸近線：【證明】：( sec , tan )P ab令122222(sectan)(sectan)( ,)( ,)ababd P Ld P Labab2222a bab為一固定常數(shù)範(fàn)例(五)參數(shù)式31. 自雙曲線 上任一點引二漸 近線之平行線，則所圍平行四邊行面積為 。2222 :1 ( ,0) xya bab範(fàn)例(五)參數(shù)式3【解】2222 :1 ( ,0)xya bab( sec , tan )P ab令:tan(sec ) bPQ ybxaa (sectan )(sectan )0(,)22abbxayQ與

16、交點坐標(biāo)得2()OPQ平行四邊形面積=面積(sectan)0sec0122(sectan) 2 0tan02aabb(sectan )(sectan )22abab( sec , tan )P abQO0bxay0bxay範(fàn)例(六)圖形之探討1. 方程式 ，則： (1) 圖形為橢圓時，則t的範(fàn)圍為。 (2) 圖形為雙曲線時，則t的範(fàn)圍為 。 (3) 圖形為圓時，則t的範(fàn)圍為。 (4) 圖形不存在時，則t的範(fàn)圍為。222 :1 1 24 xytt範(fàn)例(六)圖形之探討【解】222 :1 1 24 xytt22141411 0141(1) 2402224124tttttttttt 橢圓 或 但2(2

17、) (1)(24)0212tttt 雙曲線或2210141(3) 2404124ttttt 圓211 0(4) 2124022ttttt 圖形不存在範(fàn)例(七)軌跡的應(yīng)用1. 中點軌跡。2. 到二線(漸近線)乘積為定值。3. 跟兩圓相切(不論內(nèi)外切)之圓心軌跡。 已知兩圓內(nèi)離(大圓包小圓)：橢圓。 已知兩圓外離(大圓不包小圓)：雙曲線。4. 過定點與圓相切之圓心軌跡。 定點在圓內(nèi)：橢圓。 定點在圓外：雙曲線。1. 過原點之一直線與 交於P、Q兩點，則所有 中點所成圖形方程式為 。2 , 2xyxy範(fàn)例(七)軌跡的應(yīng)用_1PQ範(fàn)例(七)軌跡的應(yīng)用_1【解】:L ymx令過原點之直線22(,)211

18、ymxmPPxymm22(,)211ymxmQPxymm1( , )() 2 M x yPQ222 1 1 2(1)21mmxm (1) yymxmx但代入GSP構(gòu)圖PQM2222 221 () yxxxxxy22222(1)2xyxxyx為所求ymxxOy2xy2xy1. 到二直線 之距離乘積為4之所有點所成之圖形方程式為 。2 , 20yxyx範(fàn)例(七)軌跡的應(yīng)用_212:220:20LyxyxLyx【解】：22455yxyx12( ,)( ,)4d P Ld P L222222420420420yxyxyx 或2yx20yx22420yx22420yx PP範(fàn)例(七)軌跡的應(yīng)用_31. 若圓C與二定圓 ， 均相切，則：則圓C之圓心軌跡方程式為 。222:(10)9Cxy221:1Cxy範(fàn)例(七)軌跡的應(yīng)用_3【解】2211:1(0,0) , 1CxyAr 圓心2222:(10)9(0,10) , 9CxyBr圓心( , ) , P x yr令動圓圓心半徑為 1+ 3 2PArPBrPAPB 1(0,0) , (0,10) ()(0,5) 2 ABAB為雙曲線的兩焦點 ,中心2222224210bacbcABGSP構(gòu)圖A22 (5)1241xyP點軌跡：(1)外切： 1+ 3 2PArPBrPAPB(2)內(nèi)切：(1)(2) 2PAPB由