計(jì)算機(jī)視覺(jué)中的多視圖幾何第一章 2 D射影幾何和變換

1、平面幾何射影幾何點(diǎn) 齊次表示：直線 二次曲線 ax+bxy+cy+dx+ey+f=0平行線 平行直線無(wú)交點(diǎn) 點(diǎn) 齊次表示:直線 齊次表示:二次曲線 其中二次曲線系數(shù)矩陣c：平行線 平行直線交與理想點(diǎn)無(wú)窮遠(yuǎn)線 所有理想點(diǎn)的集合 0cxxTTxxx),(321xTcba),(lfedecbdba2/2/2/2/2/2/c),( yx0cbyax1.1 平面幾何與射影幾何的對(duì)比：1.2 2D射影平面Tyx)0 ,(lT) 1 , 0 , 0(0lxTllxxxl1.2.1 點(diǎn)與直線： 結(jié)論1.1：點(diǎn)X在直線L上的充要條件是：結(jié)論1.2：兩直線L和L的交點(diǎn)是點(diǎn)X：結(jié)論1.3：過(guò)兩點(diǎn)X和X的直線L是：1

2、.2.2 理想點(diǎn)與無(wú)窮直線理想點(diǎn)的齊次表示:無(wú)窮直線的齊次表示： =射影平面的模型：oxl理想點(diǎn)2x3x1x結(jié)論1.4：對(duì)偶原理 2維射影集合中的任何定理都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的對(duì)偶定理，它可以通過(guò)互換定理中的點(diǎn)和線的作用而導(dǎo)出。射影平面的模型。 IP的點(diǎn)和線分別表示為過(guò)IR中過(guò)原點(diǎn)的射線和平面 。X1X2-上的射線表示理想點(diǎn)，而 x1x2- 平面表示 l1.2.3 二次曲線與對(duì)偶二次曲線二次曲線的切線：cxl 結(jié)論1.5 過(guò)（非退化）二次曲線C上點(diǎn)X的切線L由對(duì)偶二次曲線：結(jié)論1.6：對(duì)偶二次曲線C的切線L由0*lclT非退化二次曲線非滿秩矩陣C所定義的二次曲線稱作退化二次曲線，退化的點(diǎn)二次曲線包含兩

3、條線（秩2）或一條重線（秩1）。1.3 射影變換定義1.7 射影映射射影映射是IP到它自身的一種滿足下列條件的可逆映射h：三點(diǎn)x1，x2和x3共線當(dāng)且僅當(dāng)h(x1),h(x2)和h(x3)也共線。 射影映射組成一個(gè)群群。定理1.8 映射h：IP IP是射影映射的充要條件是：存在一個(gè)3X3的非奇異矩陣H，使得IP的任何一個(gè)用矢量X表示的點(diǎn)都滿足h（X）=HX。定義1.9 射影變換就是X=HX1.3.1 直線與二次曲線的變換直線的變換：lHlT二次曲線的變換：在點(diǎn)變換X=HX下， 1HHTcc結(jié)論1.10 在點(diǎn)變換X=HX下，對(duì)偶二次曲線 變化為*CTHHCC*1.4 變換的層次等距變換相似變換仿

4、射變換射影變換射影變換的層次圖1.4.1 等距變換1100cossinsincos1yxttyxyx等距變換的矩陣表示：其中 1簡(jiǎn)潔的分塊形式寫為：xotRxHxTE1等距變換就是圖形進(jìn)行一個(gè)旋轉(zhuǎn)和位移得到另一個(gè)圖形的過(guò)程。等距變換失真情況1.4.2 相似變換相似變換的矩陣表示：1100cossinsincos1yxtsstssyxyx簡(jiǎn)潔的分塊形式寫成：xosRxHxTS1t其中s為縮放量，。等距變換的不變性質(zhì)不變性質(zhì)：長(zhǎng)度，面積相似變換就是在等距變換的基礎(chǔ)上進(jìn)行了一個(gè)S的縮放。相似變換失真情況相似變換的不變性質(zhì)不變性質(zhì)：長(zhǎng)度比，夾角，虛圓點(diǎn)。1.4.3 仿射變換仿射變換是一個(gè)非奇異線性變換

5、與一個(gè)平移變換的復(fù)合。它的矩陣表示為：1100122211211yxtaataayxyx它的分塊形式：x1tAxxT0AH可以把仿射變換中A看作兩個(gè)基本變換旋轉(zhuǎn)和非均勻縮放的復(fù)合。仿射變換的失真情況仿射變換的不變性質(zhì)不變性質(zhì)：平行，面積比，共線線段或平行線段的長(zhǎng)度比，矢量的線性組合1.4.4 射影變換射影變換的分塊形式：xvtAxHxTPv射影變換是在仿射變換的基礎(chǔ)上進(jìn)行的非線性的縮放。它的不變性質(zhì)不變性質(zhì)：共點(diǎn)，共線，接觸的階：相交；相切；拐點(diǎn)；切線不連續(xù)性和歧點(diǎn)。交比。1.5 1D射影幾何交比交比 交比是射影不變量。給定4個(gè)點(diǎn) ，交比定義為：ix42314321)(xxxxxxxxCros

6、s4321x,x,x,x在任何直線的射影變換下，交比的值不變：如 則：xHx2X2),(),(43214321xxxxCrossxxxxCross1.6 從圖像恢復(fù)仿射和度量性質(zhì)1.6.1 無(wú)窮遠(yuǎn)線l1001001AtoAlHlTTTTA結(jié)論1.11 由上式可知在射影變換H下，無(wú)窮遠(yuǎn)直線為不動(dòng)直線的充要條件是H是仿射變換。1.6.3 虛圓點(diǎn)及其對(duì)偶在相似變換下，無(wú)窮遠(yuǎn)直線上有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，它們是虛圓點(diǎn)I,J，其標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)是：oioi11JI結(jié)論1.12 在射影變換H下的，虛圓點(diǎn)I和J為不動(dòng)點(diǎn)的充要條件是H是相似變換。01100cossinsincositsstssyxIHIsI01isei與虛圓點(diǎn)

7、對(duì)偶的二次曲線 二次曲線TT*JIIJC與虛圓點(diǎn)對(duì)偶。這條曲線是由虛圓點(diǎn)構(gòu)成的退化的線二次曲線。*TS*S*CHCHCT*HHCC xHxS因?yàn)閷?duì)偶二次曲線變換遵循結(jié)論 ，可以驗(yàn)證在點(diǎn)相似變換 下：結(jié)論1.13 對(duì)偶二次曲線 在射影變換H下不變的充要條件是H是相似變換。*C1.6.4 射影平面上的夾角結(jié)論1.13 一旦二次曲線 在射影平面上被辨認(rèn)，那么歐氏角可以測(cè)量，公式為：*C)(cos*mCmICImCITTT結(jié)論1.14 如果 ，則直線I和m正交。0mCI*T1.6.5 由圖像恢復(fù)度量性質(zhì)結(jié)論1.15 在射影平面上，一旦 被辨認(rèn)，那么射影失真可以矯正到相差一個(gè)相似變換。 *C1.7 二次曲線的其他性質(zhì)1.7.1極點(diǎn)-極線關(guān)系點(diǎn)X和二次曲線C定義一條直線L=CX。L稱為X關(guān)于C