中考數(shù)學(xué)壓軸題專題初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)的經(jīng)典綜合題及詳細(xì)答案

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題專題初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)的經(jīng)典綜合題及詳細(xì)答案一、旋轉(zhuǎn)1.操作與證明：如圖1,把一個(gè)含45°角的直角三角板ECF和一個(gè)正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)C重合，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊CBCD上,連接AF.取AF中點(diǎn)M,EF的中點(diǎn)N,連接MD、MN.（1）連接AE,求證：4AEF是等腰三角形；猜想與發(fā)現(xiàn)：（2）在（1）的條件下，請判斷MD、MN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，得出結(jié)論.結(jié)論1：DM、MN的數(shù)量關(guān)系是結(jié)論2:DM、MN的位置關(guān)系是一；拓展與探究：（3）如圖2,將圖1中的直角三角板ECF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°,其他條件不變，則（2）中的兩個(gè)

2、結(jié)論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由.【答案】（1）證明參見解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由參見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的知識證明出CE=CF繼而證明出ABE0ADF,得到AE=AF從而證明出4AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的數(shù)量關(guān)系是相等，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半和三角形中位線定理即可得出結(jié)論.位置關(guān)系是垂直，利用三角形外角性質(zhì)和等腰三角形兩個(gè)底角相等性質(zhì)，及全等三角形對應(yīng)角相等即可得出結(jié)論；（3）成立，連接AE,交MD于點(diǎn)G,標(biāo)記出各個(gè)角，首先證明出11MN/AE,MN='aE,利用三角形全等證出AE

3、=AF,而DM=AF,從而得到DM,MN數(shù)量相等的結(jié)論，再利用三角形外角性質(zhì)和三角形全等，等腰三角形性質(zhì)以及角角之間的數(shù)量關(guān)系得到/DMN=/DGE=90,從而得到DM、MN的位置關(guān)系是垂直.試題解析：（1）二.四邊形ABCD是正方形，AB=AD=BC=CD/B=/ADF=90,=CEF是等腰直角三角形，/C=90,，CE=CF.BC-CE=C>CF,即BE=DF.ABEAADF,AE=AFAAEF是等腰三角形；（2）DM、MN的數(shù)量關(guān)系是相等，DM、MN的位置關(guān)系是垂直；二,在RtADF中DM是斜邊AF的中線，AF=2DM,/MN是4AEF的中位線，AE=2MN,-.AE=AF,.DM

4、=MN;-/DMF=/DAF+/ADM,AM=MD,/FMN=ZFAE/DAF=ZBAE,/ADM=/DAF=ZBAE, ./DMN=/FMN+/DMF=/DAF+/BAE+ZFAEBAD=90.DM，MN;(3)(2)中的兩個(gè)結(jié)論還成立，連接AE,交MD于點(diǎn)G,二點(diǎn)M為AF的中點(diǎn)，點(diǎn)N為EF的中點(diǎn)，1 .MN/AE,MN=?AE,由已知得，AB=AD=BC=CD/B=/ADF,CE=CF又.BC+CE=CD+CF即BE=DF/.AABEAADF,，AE=AF,在RtADF中，點(diǎn)M為AF的巴中點(diǎn)，DM=2AF,DM=MN,AABEAADF,，/1=/2,-.AB/DF,，/1=/3,同理可證：

5、Z2=Z4,.l.Z3=Z4,1DM=AM,，/MAD=/5,ZDGE=Z5+Z4=ZMAD+Z3=90,°/MN/AE,./DMN=/DGE=90.DM，MN.所以(2)中的兩個(gè)結(jié)論還成立.考點(diǎn)：1.正方形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.三角形中位線定理；4.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).2.（操作發(fā)現(xiàn)）（1）如圖1,4ABC為等邊三角形，先將三角板中的60°角與/ACB重合，再將三角板繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角大于0。且小于30。），旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與AB交于點(diǎn)D,在三角板斜邊上取一點(diǎn)F,使CF=CD線段AB上取點(diǎn)E,使/DCE=30,連接AF,EF.求/EAF的度數(shù)；

6、DE與EF相等嗎？請說明理由；（類比探究）（2）如圖2,4ABC為等腰直角三角形，/ACB=90,先將三角板的90°角與/ACB重合，再將三角板繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角大于0。且小于45。），旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與AB交于點(diǎn)D,在三角板另一直角邊上取一點(diǎn)F,使CF=CD線段AB上取點(diǎn)E,使/DCE=45,°連接AF,EF.請直接寫出探究結(jié)果：/EAF的度數(shù)；線段AE,ED,DB之間的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)120°DE=EF;(2)90°AE2+DB2=DE2【解析】試題分析：(1)由等邊三角形的性質(zhì)得出AC=BC,ZBAC=ZB=60。，求出Z

7、ACF=ZBCD,證明AC陣BCD得出/CAF=ZB=60:求出ZEAF=ZBAC+ZCAF=120:證出/DC&/FCE由SAS證明DCEFCE得出DE=EF即可；(2)由等腰直角三角形的性質(zhì)得出AC=BC,/BAO/B=45°,證出ZACF=ZBCD,由SAS證明ACFBCD,得出/CAF=/B=45°,AF=DB,求出ZEAF=ZBAC+ZCAF=90°；證出/DC&/FCE由SAS證明DCEFCE得出DE=EF;在RtAEF中，由勾股定理得出AE2+AF2=E戶，即可得出結(jié)論.試題解析：解：(1).一ABC是等邊三角形，AC=BC,/BAC

8、=ZB=60:/DCF=60；./ACF=ZBCD.在4ACF和4BCD中，/AC=BC,ZACF=ZBCD,CF=CD,AACFABCD(SA§,/CAF=ZB=60:/EAF=ZBAG/CAF=120DE=EF.理由如下：/DCF=60；DDCE=30；./FCE=60-30=30；./DCE=ZFCE在DCE和FCE中，CD=CF,/DCE=/FCECE=CE,，DC®FCE(SAS,，DE=EF；(2).一ABC是等腰直角三角形，/ACB=90°,.AC=BC,/BAC=/B=45：./DCF=90；/ACF=/BCD.在ACF和ABCD中，/AC=BC,

9、ZACF=ZBCD,CF=CD,AACFABCD(SAS,，/CAF=/B=45；AF=DB,/EAF=ZBAG/CAF=90;AE2+DB2=DE2,理由如下：/DCF=90；DDCE=45；./FCE=90-45=45；./DCE=ZFCE在DCE和FCE中，CD=CF/DCE=/FCECE=CE,DCEFCE(SA§,，DE=EF.在RRAEF中，AE2+aF2=eF?,又AF=DB,AE2+DB2=DE2.3.(12分)如圖1,在等邊ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上，AD=AE連接BE,CD,點(diǎn)M、N、P分別是BECDBC的中點(diǎn).(1)觀察猜想：圖1中，4PMN的形狀是

10、；(2)探究證明：把4ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，PMN的形狀是否發(fā)生改變？并說明理由；（3）拓展延伸：把4ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=1,AB=3,請直接寫出4PMN的周長的最大值.圖1圖2【答案】（1）等邊三角形；（2）4PMN的形狀不發(fā)生改變，仍然為等邊三角形，理由見解析；（3）6【解析】分析：（1）如圖1,先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC,ZABC=ZACB=60°,則BD=CE,再根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得PM/CE,PM=-CE,PN/AD,PN=-BD,從而得到22PM=PN,/MPN=60°,從而可判斷4PMN為等邊三角形；（2）連接C

11、EBD,如圖2,先利用旋轉(zhuǎn)的定義，把4ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°可得到CAE,貝UBD=CE,/ABD=/ACE與（1）一樣可得PM=PN,/BPM=/BCE,/CPN=/CBD,則計(jì)算出/BPM+/CPN=120從而得至ij/MPN=60；于是可判斷PMN為等邊三角形.（3）利用AB-AD由D系B+AD（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B、A、D共線時(shí)取等號）得到BD的最大值為4,則PN的最大值為2,然后可確定4PMN的周長的最大值.詳解：（1）如圖1.4ABC為等邊三角形，AB=AC,ZABC=ZACB=60°. AD=AE,.1.BD=CE 點(diǎn)M、N、P分別是BE、CDBC的中點(diǎn)， .P

12、M/CE,PM=1CE）PN/AD,PN=1BD,22 .PM=PN,/BPM=/BCA=60；ZCPN=ZCBA=60；/MPN=60；APMN為等邊三角形；故答案為等邊三角形；（2）APMN的形狀不發(fā)生改變，仍然為等邊三角形.理由如下：連接CEBD,如圖2.AB=AC,AE=AD,ZBAC=ZDAE=60°,.把ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60可得到ACAE,.BD=CE,/ABD=/ACE與（1）一樣可得PM/CE,PM=1CE）PN/AD,PN=1BD,22.PM=PN,/BPM=/BCE,ZCPN=ZCBD,/BPM+ZCPN=ZCBC+ZCBD=ZABC-/ABD+ZACBZA

13、CE=60+60=120,°/MPN=60；PMN為等邊三角形.（3）-.PN=1bD,.當(dāng)BD的值最大時(shí)，PN的值最大.2,AB-AD<BDqB+AD（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B、A、D共線時(shí)取等號）BD的最大值為1+3=4,，PN的最大值為2,.PMN的周長的最大值為6.點(diǎn)睛：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和三角形中位線性質(zhì).4.如圖,在等腰4ABC和4ADE中，AB=AC,AD=AE,且/BAC=/DAE=120°.（1）求證：AB44ACE;（2）把ADE繞點(diǎn)A

14、逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖的位置，連接CD,點(diǎn)M、P、N分別為DEDC、BC的中點(diǎn)，連接MN、PN、PM,判斷4PMN的形狀，并說明理由；（3）在（2）中，把4ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4,AB=6,請分別求出【答案】（1）證明見解析；（2）4PMN是等邊三角形.理由見解析；（3）4PMN周長的最小值為3,最大值為15.【解析】分析：（1）由/BAC=ZDAE=120,可得/BAD=/CAE,再由AB=AC,AD=AE,利用SAS即可判定AB44ADE;（2）PMN是等邊三角形，利用三角形的中位線定理可得PMuCE,PM/CE,PN=；BD,PN/BD,同（1）的方法可得BD=CE即可得P

15、M=PN,所以4PMN是等腰三角形；再由PM/CE,PN/BD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得ZDPM=ZDCE,/PNC=ZDBC,因?yàn)?DPN=ZDCB+ZPNC=ZDCB+/DBC,所以/MPN=ZDPM+ZDPN=ZDCE+ZDCB+/DBC=ZBCE+ZDBC=ZACB+ZACE-+ZDBC=ZACB+/ABD+>DBC=ZACB叱ABC,再由/BAC=120可得/ACB+ZABC=60,°即可得/MPN=60°,所以4PMN是等邊三角形；（3）由（2）知，APMN是等邊三角形，PM=PN=1BD,所以當(dāng)PM最大時(shí)，4PMN周長最大，當(dāng)點(diǎn)D在AB上時(shí)，BD最小，PM2

16、最小，求得此時(shí)BD的長，即可得4PMN周長的最小值；當(dāng)點(diǎn)D在BA延長線上時(shí)，BD最大，PM的值最大，此時(shí)求得4PMN周長的最大值即可.詳解：（1）因?yàn)?BAC=/DAE=120,所以/BAD=ZCAE,又AB=AC,AD=AE,所以AB44ADE;（2） 4PMN是等邊三角形.理由：二.點(diǎn)P,M分別是CD,DE的中點(diǎn)，PM=1CE,PM/CE2 點(diǎn)N,M分別是BC,DE的中點(diǎn)，.PN=1BD,PN/BD,2同（1）的方法可得BD=CE.PM=PN, .PMN是等腰三角形， .PM/CE,ZDPM=ZDCE,.PN/BD,/PNC=ZDBC,/DPN=ZDCB+ZPNC=ZDCB+ZDBC,/M

17、PN=ZDPM+/DPN=/DCE+ZDCB+/DBC之BCE叱DBC=/ACB+ZACE叱DBC=ZACB+/ABD+ZDBC=ZACB+/ABC,/BAC=120,°ZACB+ZABC=60,°/MPN=60；.PMN是等邊三角形.1（3）由（2）知，4PMN是等邊二角形，PM=PN=BD2PM最大時(shí)，4PMN周長最大，.點(diǎn)D在AB上時(shí)，BD最小，PM最小，.BD=AB-AD=2,PMN周長的最小值為3；點(diǎn)D在BA延長線上時(shí)，BD最大，PM最大，BD=AB+AD=10,PMN周長的最大值為15.故答案為PMN周長的最小值為3,最大值為15點(diǎn)睛：本題主要考查了全等三角形的

18、判定及性質(zhì)、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定，解決第（3）問，要明確點(diǎn)D在AB上時(shí)，BD最小，PM最小，4PMN周長的最小；點(diǎn)D在BA延長線上時(shí)，BD最大，PM最大，4PMN周長的最大值為15.5.已知4ABC是邊長為4的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA=6,點(diǎn)D是射線OM上的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合時(shí)，將4ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得至iJBCE連接DE.(1)如圖1,猜想：4CDE的形狀是三角形.(2)請證明(1)中的猜想(3)設(shè)OD=m,當(dāng)6vmv10時(shí)，4BDE的周長是否存在最小值？若存在，求出4BDE周長的最小值;若不存在，請說明理由.是否存在m的值，使4D

19、EB是直角三角形，若存在，請直接寫出m的值；若不存在,請說明理由.2J3+4;當(dāng)m=2或14時(shí)，以D、E、B即可得到結(jié)論；BE=AD,于是得到CCV【答案】(1)等邊；(2)詳見解析；(3)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.【解析】【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)猜想結(jié)論；(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到/DCE=60°,DC=EC,(3)當(dāng)6vmv10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到Cadbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到DE=CD,由垂線段最短得到當(dāng)CD±AB時(shí)，4BDE的周長最小，于是得到結(jié)論；存在，分四種情況討論：a)當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，D,B,E不能構(gòu)成三角形；

20、b)當(dāng)0用<6時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到ZABE=60°,/BDEv60°,求得/BED=90°,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到/DEB=60°,求得/CEB=30°,求得OD=OA-DA=6-4=2=m；c)當(dāng)6<m<10時(shí)，此時(shí)不存在；d)當(dāng)m>10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到ZDBE=60°,求得/BDE>60°,于是得到m=14.【詳解】(1)等邊；(2)二將4ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到4BCE/DCE=60°,DC=EC,.CDE是等邊三角形.(3)存在，當(dāng)6vt<10

21、時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：BE=AD,/.Cadbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由（1）知，4CDE是等邊三角形，.DE=CD,.Cadbe=CC+4,由垂線段最短可知，當(dāng)CD±AB時(shí)，4BDE的周長最小，此時(shí)，CD=2J3,.BDE的最/、周長=CD+4=273+4;存在，分四種情況討論：a)二.當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，D,B,E不能構(gòu)成三角形，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，不符合題意；b）當(dāng)0用<6時(shí)，由旋轉(zhuǎn)可知，ZABE=60°,/BDEv60°,，/BED=90°,由（1）可知,CDE是等邊三角形，./DEB=60°,/CEB=30&#

22、176;./CEB=ZCDA,/CDA=30:/CAB=60；ZACD=ZADC=30；.DA=CA=4,.OD=OADA=6-4=2,c）當(dāng)6vmv10時(shí)，由ZDBE=120°>90°,此時(shí)不存在;m=2;d）當(dāng)m>10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，ZDBE=60°,又由（1）知/CDE=60°,ZBDE=ZCDEfZBDC=60+ZBDC,而/BDC>0°,./BDE>60°,.只能/BDE=90；從而/BCD=30°,.BD=BC=4,.,.OD=14,，m=14.綜上所述：當(dāng)m=2或14時(shí)，以D、E、

23、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形周長的計(jì)算，直角三角形的判定，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.6.如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA,PB,PC.將PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到P'CB的位置.(1)設(shè)AB的長為a,PB的長為b(b<a),求PAB旋轉(zhuǎn)到P'CB的過程中邊PA所掃過區(qū)域(圖中陰影部分)的面積；(2)若PA=2,PB=4,/APB=135：求PC的長.【答案】(1)S陰影=4(a2-b2)；(2)PC=6.【解析】試題分析：(1)依題意，將WCB時(shí)針旋轉(zhuǎn)90?？膳c4PAB重合，此時(shí)陰影部分

24、面積二扇形BAC的面積-扇形BPP的面積，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，兩個(gè)扇形的中心角都是90。，可據(jù)此求出陰影部分的面積.(2)連接PP；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：BP=BP；旋轉(zhuǎn)角ZPBP'=90°,則4PBP是等腰直角三角形,/BP'C=ZBPA=135,/PP'C=/BP'C-ZBP'P=135-45=90°,可推出PP'C是直角三角形，進(jìn)而可根據(jù)勾股定理求出PC的長.試題解析：(1)二.將4PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到AP'C的位置，.PABAP'CB,Sapae=Sxp'cej,nS陰影=S扇形bac-

25、S扇形bpp=4(a2-b2)；(2)連接PP,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：APBCPB.BP=BP',=P'C=PA=2PBP'=90°PBP是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32;又/BPC=BPA=135,./PP'CBP'-aBP'P=1345°=90；即PP'是直角三角形.伊”+pHPC=X=6.考點(diǎn)：1.扇形面積的計(jì)算；2.正方形的性質(zhì)；3.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).7.如圖1,在4ABC中，/ACB=90°,點(diǎn)P為4ABC內(nèi)一點(diǎn).(1)連接PRPC,將ABCP沿射線CA方向平移，得到ADA

26、E,點(diǎn)B、CP的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D、AE,連接CE. 依題意，請?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形；(2)如圖3,以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將4ABP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60彳導(dǎo)至iJAMN,連接PAPRPC,當(dāng)AC=4,AB=8時(shí)，根據(jù)此圖求PA+P叫PC的最小值. 如果BP±CE,AB+BP9,CE=373,求AB的長.【答案】見解析，AB=6；4".【解析】分析：(1)根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；CD=連接BD、CD.根據(jù)平移的性質(zhì)和ZACB=90°,得到四邊形BCAD是矩形，從而有AB,設(shè)CD=AB=X,則PB=DE=9X,由勾股定理求解即可；(2)當(dāng)CP、M、N四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC最小.由

27、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理求解即可.詳解：(1)補(bǔ)全圖形如圖所示；如圖：連接BD、CD.BCP沿射線CA方向平移，得到ADAE,2 .BC/AD且BC=AD,PB=DE.3 ZACB=90°，四邊形BCAD是矩形，.-.CD=AB,設(shè)CD=AB=X,貝UPB=9X,DE=BP=9X,.BPXCEBP/DE,DE±CE,222CE2DE2CD2,3V39xx,1-X6,即AB=6;(2)如圖，當(dāng)C、P、M、N四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC最小.B由旋轉(zhuǎn)可得：AMN0APB,PB=MN.易得APM、ABN都是等邊三角形，PA=PM,PA+PB+PC=PM+MN+PC=CN,-.BN=A

28、B=8,/BNA=60°,/PAM=60；/CAN=/CAB+/BAN=60+60=120:/CBN=90:在RtABC中，易得：B0=VaB2AC248424出，在RtBCN中，CNJbC2BN28644折.點(diǎn)睛：本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造等邊三角形和全等三角形，依據(jù)圖形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解.8.如圖，點(diǎn)A是x軸非負(fù)半軸上的動點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)M繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)C,軸的垂線與直線CF相交于點(diǎn)E,連接AC,(I)當(dāng)t=2時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(n)設(shè)ABCE的面積為S,當(dāng)點(diǎn)

29、C在線段自變量t的取值范圍；B坐標(biāo)為(0,4),M是線段AB的中點(diǎn)，將過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為F,過點(diǎn)B作yBC,設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為t.EF上時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出3.一一【答案】(1)(1,2);(2)S=t+8(0Wt&8;(3)當(dāng)t=0時(shí)，BC+ACW最小值2【解析】試題分析：(I)過M作MGLOF于G,分另1J求OG和MG的長即可；(II)如圖1,同理可求得AG和OG的長，證明AMGCAF,得：AG=CF=-t2，AF=MG=2,分別表示EC和BE的長，代入面積公式可求得S與t的關(guān)系式；并求其t的取值范圍；(III)證明ABOsCAF,根據(jù)勾股定理表示AC和BC的

30、長，計(jì)算其和，根據(jù)二次根式的意義得出當(dāng)t=0時(shí)，值最小.試題解析：解：(I)如圖1,過M作MGLOF于G,，MG/OB,當(dāng)t=2時(shí)，OA=2.M是AB的中點(diǎn)，G是AO的中點(diǎn)，.OG=-OA=1MG是4AOB的中位線,2.MGOB=1X4=2M(1,2);22(II)如圖1,同理得：OG=AG=1t./BAC=90°,2/BAO+ZCAF=90:/CAF+ZACF=90；=/BAO=ZACF,/MGA=ZAFC=90；MA=AC,AAMGACAF7,.1.AG=CF=-t,AF=MG=2,EC=4-t,BE=OF=t+2,22SaBCE=1EC?BE=1(41t)(t+2)=-1t2+

31、1+4；2224211y12123SaabC=-?AB?AC=-?J16t2?。16t=t2+4,S=Sabec+Saabc=-t+8.22242當(dāng)A與O重合，C與F重合，如圖2,此時(shí)t=0,當(dāng)C與E重合時(shí)，如圖3,AG=EF,即1t=4,t=8,，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=3t+8(0&W&；22(III)如圖1,易得AB84CAF,，2巴=2=2a=2.AF=2,CF=1t,由勾股定理ACAFFC2得:ac=Jaf2CF2，/2(2t)2=41t2.BC+AC=(V5+1)BC=VbE2_EC'=3t2)2(4It)2=55(；t24),gt24，當(dāng)t=0時(shí)，B

32、C+AC有最小值.點(diǎn)睛：本題考查了幾何變換綜合題，知識點(diǎn)包括相似三角形、全等三角形、點(diǎn)的坐標(biāo)、幾何變換(旋轉(zhuǎn))、三角形的中位線等，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題.9.在ABC中，AB=AC,/A=30°,將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)600得到線段BD,再將線段BD平移到EF,使點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在AC上.(1)如圖1,直接寫出/ABD和/CFE的度數(shù)；(2)在圖1中證明：AE,CF(3)如圖2,連接CE,判斷4CEF的形狀并加以證明.【答案】(1)15。，45。；(2)證明見解析；(3)4CEF是等腰直角三角形，證明見解析.【解

33、析】試題分析：(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/ABC的度數(shù)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到/DBC的度數(shù)，從而得到/ABD的度數(shù)；根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可求得/CFE的度數(shù).(2)連接CDDF,證明4BCD是等邊三角形，得到CD=BD,由平移的性質(zhì)得到四邊形BDFE是平行四邊形，從而AB/FD,證明4AE圖4FCD即可得AE=CF(3)過點(diǎn)E作EGJ±CF于G,根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)，垂直平分線的判定和性質(zhì)即可證明4CEF是等腰直角三角形.(1).在4ABC中，AB=AC,ZA=300,./ABC=75將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)600得到線段BD,即/DBC=60</ABD=15./CF

34、E4A+ZABD=45.°(2)如圖，連接CD、DF.線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段BD,，BD=BCZCBD=603.BCD是等邊三角形.CD=BD.線段BD平移至UEF,EF/BD,EF=BD四邊形BDFE是平行四邊形，EF=CD1 .AB=AC,/A=300,ZABC=ZACB=75<./ABD=/ACD=15.,四邊形BDFE是平行四邊形，.AB/FD,/A=/CFD.2 .AEFAFCD(AAS.AE=CF(3)4CEF是等腰直角三角形，證明如下:如圖，過點(diǎn)E作EG，CF于G, /CFE=45,ZFEG=45.°EG=FG ./A=300,/AGE=9

35、0,EG=；CFFG=-CF .AE=CF2上.，G為CF的中點(diǎn).EG為CF的垂直平分線.EF=EC/CEF=/FEG=90.°.CEF是等腰直角三角形.考點(diǎn)：1.旋轉(zhuǎn)和平移問題；2.等腰三角形的性質(zhì)；3.三角形外角性質(zhì)；4.等邊三角形的判定和性質(zhì)；5.平行四邊形的判定和性質(zhì)；6.全等三角形的判定和性質(zhì)；7.含30度直角三角形的性質(zhì)；8.垂直平分線的判定和性質(zhì)；9.等腰直角三角形的判定.10. (1)觀察猜想如圖，在4ABC中，/BAC=90,AB=AC點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作正方形DEFG,使點(diǎn)A,C分別在DG和DE上，連接AE,BG,則線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系是(2)拓展

36、探究將正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后(旋轉(zhuǎn)角度大于0°,小于或等于360。)，如圖2,則(1)中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由.解決問題若BC=DE=2在(2)的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AE為最大值時(shí)，直接寫出AF的值.連接AD.ABC是等腰三直角角形，ZBAC=90。，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)./ADB=90；且BD=AD./BDG=/ADB-/ADG=90-/ADG=/ADEDG=DE.,.BDGAADE,.BG=AE.分7(3)由(2)知，BG=AE,故當(dāng)BG最大時(shí)，AE也最大.正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)270°時(shí)，BG最大，如圖

37、.若BC=DE=2,貝UAD=1,EF=2.在RtMEF中,AF2=AE2+EF2=(AD+DE)2+EF2=(1+2)2+22=13.AF=-【解析】解：(1)BG=AE.(2)成立.如圖，連接AD.ABC是等腰三直角角形，ZBAC=90。，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)./ADB=90；且BD=AD./BDG=/ADB-/ADG=90-/ADG=/ADE,DG=DE.,.BDGAADE,.BG=AE.(3)由(2)知，BG=AE,故當(dāng)BG最大時(shí)，AE也最大.Z+X+X+K因?yàn)檎叫蜠EFG在繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，G點(diǎn)運(yùn)動的圖形是以點(diǎn)D為圓心，DG為半徑的圓，故當(dāng)正方形DEFG旋轉(zhuǎn)到G點(diǎn)位于BC的延長線上(

38、即正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)270°)時(shí)，BG最大，如圖.若BC=DE=2,貝UAD=1,EF=2.在RtAEF中，AF2=AE2+EF2=(AD+DE)2+EF2=(1+2)2+22=13.AF=.即在正方形DEFG旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AE為最大值時(shí)，AF=Jfj.11.如圖，在RtABC中，ZACB=90°,/A=30°,點(diǎn)。為AB中點(diǎn)，點(diǎn)P為直線BC上的動點(diǎn)(不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合)，連接OCOP,將線段OP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段PQ,連接BQ.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，請直接寫出線段BQ與CP的數(shù)量關(guān)系.(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在CB延長線上

39、時(shí)，(1)中結(jié)論是否成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由；(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在BC延長線上時(shí)，若/BPO=15°,BP=4,請求出BQ的長.【答案】(1)BQ=CP;(2)成立：PC=BQ;(3)4褥4.【解析】試題分析：(1)結(jié)論：BQ=CP.如圖1中，作PH/AB交CO于H,可得PCH是等邊三角形，只要證明POHQPB即可；(2)成立：PC=BQ.作PH/AB交CO的延長線于H.證明方法類似(1);(3)如圖3中，作CE，OP于E,在PE上取一點(diǎn)F,使得FP=FG連接CF.設(shè)CE=CO=a,則FC=FP=2a,EF=3a,在RtPCE中，表示出PC,根據(jù)PC+CB=4

40、,可得方程(J6J2)a近a4,求出a即可解決問題；試題解析：解：(1)結(jié)論：BQ=CP.理由：如圖1中，作PH/AB交CO于H.在RtABC中，./ACB=90°,/A=30°,點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，.CO=AO=BO,ZCBO=60°,CBO是等邊三角形，/CHP=ZCOB=60；/CPH=ZCBO=60:./CHP=ZCPH=60;CPH是等邊三角形,PC=PH=CH,.1.OH=PB,/OPB=ZOPQ+ZQPB=ZOCBZCOPZOPQ=ZOCP=60；./POH=ZQPB,PO=PQ,APOHAQPB,.PH=QB,.PUBQ.(2)成立：PC=BQ.理由：

41、作PH/AB交CO的延長線于H.在RtABC中，ZACB=90°,/A=30°,點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，.CO=AO=BO,ZCBO=60°,CBO是等邊三角形，/CHP=ZCOB=60；/CPH=ZCBO=60；./CHP=ZCPH=60； .CPH是等邊三角形，PC=PH=CH,.1.OH=PB,/ZPOH=60+ZCPO,/QPO=60+/CPQZPOH=ZQPB,/PO=PQ,POHAQPB,.PH=QB,.PC=BQ.(3)如圖3中，作CE±OP于E,在PE上取一點(diǎn)F,使得FP=FC,連接CF. /OPC=15；ZOCB=ZOCR/POQ./POC=4

42、5；.CE=EO,設(shè)CE=CO=a,貝UFC=FP=2a,EF=V3a,在RtPCE中，PC=7PE2CE2="(2a底)a2=(而揚(yáng)a,.POCB=4,.(76揚(yáng)a啦a4,解得a=472276, .PC=4/34,由(2)可知BQ=PC,.BQ=4«4.點(diǎn)睛：此題考查幾何變換綜合題、旋轉(zhuǎn)變換、等邊三角形的判定和性質(zhì)全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題.12.正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AD、AB的中點(diǎn)，連接EF.(1)如圖1,若點(diǎn)G是邊BC的中點(diǎn)，連接FG,則EF與FG關(guān)系為：

43、；(2)如圖2,若點(diǎn)P為BC延長線上一動點(diǎn)，連接FP,將線段FP以點(diǎn)F為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段FQ,連接EQ,請彳#想BF、EQ、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(3)若點(diǎn)P為CB延長線上一動點(diǎn)，按照(2)中的作法，在圖3中補(bǔ)全圖形，并直接寫出BF、EQBP三者之間的數(shù)量關(guān)系：【答案】(1)證明見解析(2)BF+EQ=BP(3)BF+BP=EQ試題分析：(1)EF與FG關(guān)系為垂直且相等(EF=FG且EF±FG).證明如下:點(diǎn)E、F、G分別是正方形邊AD、AB、BC的中點(diǎn)，AEF和BGD是兩個(gè)全等的等腰直角三角形.，EF=FG/AFE=/BFG=45/EFG=90,°即EF±FG.(2)取BC的中點(diǎn)G,連接FG,則由SAS易證FQSFPG,從而EQ=GP因此EF72BPEQ.(3)同(2)可證FQEFPG(SAS,得EQ=GP因此，EFGF拒BG72GPBP亞EQBP.13 .如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，A(1,7)、B(5,5)、C(7,5)、D(5,1).(1)將線段AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到對應(yīng)線段BE.當(dāng)BE與CD第一次平行時(shí)，畫出點(diǎn)A運(yùn)動的路徑，并直接寫出點(diǎn)A運(yùn)動的路徑長；(2)線段AB與線段CD