第三章_非線性回歸分析

1、第三章 非線性計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型一、非線性模型的線性化一、非線性模型的線性化二、非線性模型的參數(shù)估計(jì)二、非線性模型的參數(shù)估計(jì)三、一個例子三、一個例子一、非線性模型的線性化一、非線性模型的線性化 指數(shù)函數(shù)模型 yt = ttubxae (3.1) b0 和b 0) 圖3.2 yt =ttubxae, (b 0 和 b 0) 圖 3.4 yt = a + b Lnxt + ut , (b 0 情形的圖形見圖 3.7。xt和 yt的關(guān)系是非線性的。令 yt* = 1/yt, xt* = 1/xt，得 yt* = a + b xt* + ut 已變換為線性回歸模型。其中 ut表示隨機(jī)誤差項(xiàng)。 圖 3.7 y

2、t = 1/ (a + b/xt ), (b 0) 圖 3.8 yt = a + b/xt , (b 0) 多項(xiàng)式方程模型 一種多項(xiàng)式方程的表達(dá)形式是 yt = b0 +b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut (3.12) 其中b10, b20, b30和b10, b30, b20和b10, b2 0 情形的圖形分別見圖 3.13 和 3.14。美國人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家Pearl 和 Reed 廣泛研究了有機(jī)體的生長，得到了上述數(shù)學(xué)模型。生長模型（或邏輯斯諦曲線，Pearl-Reed 曲線）常用于描述有機(jī)體生長發(fā)育過程。其中 k 和 0 分別為 yt的生長上限和下限。ttLimy=

3、k, ttLimy= 0。a, b 為待估參數(shù)。曲線有拐點(diǎn)，坐標(biāo)為（aLnb,2k） ，曲線的上下兩部分對稱于拐點(diǎn)。 圖 3.13 yt = k / (1 +tuatbe) 圖 3.14 yt = k / (1 +tuatbe) 為能運(yùn)用最小二乘法估計(jì)參數(shù) a, b，必須事先估計(jì)出生長上極限值 k。線性化過程如下。當(dāng) k 給出時，作如下變換， k/yt = 1 + tuatbe 移項(xiàng)， k/yt - 1 = tuatbe 取自然對數(shù)，Ln ( k/yt - 1) = Lnb - a t + ut (3.18) 令 yt* = Ln ( k/yt - 1), b* = Lnb, 則 yt* =

4、b* - a t + ut (3.19) 此時可用最小二乘法估計(jì) b*和 a。 龔伯斯（Gompertz）曲線 英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家和數(shù)學(xué)家最初提出把該曲線作為控制人口增長的一種數(shù)學(xué)模型，此模型可用來描述一項(xiàng)新技術(shù)，一種新產(chǎn)品的發(fā)展過程。曲線的數(shù)學(xué)形式是，yt =atbeke 曲線的上限和下限分別為 k 和 0，ttLimy= k, ttLimy= 0。 a, b 為待估參數(shù)。曲線有拐點(diǎn)，坐標(biāo)為（aLnb,ek） ，但曲線不對稱于拐點(diǎn)。一般情形，上限值 k 可事先估計(jì)，有了 k 值，龔伯斯曲線才可以用最小二乘法估計(jì)參數(shù)。線性化過程如下：當(dāng) k 給定時， yt / k = atbee， k/yt = a

5、tbee Ln (k/yt) = atbe， LnLn(k/yt) = Lnb - a t 令 y*= LnLn(k/yt), b* = Lnb，則 y* = b* - a t 上式可用最小二乘法估計(jì) b* 和 a。 圖 3.15 yt =atbeke Cobb-Douglas 生產(chǎn)函數(shù) 下面介紹柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas）生產(chǎn)函數(shù)。其形式是 Q = k L C 1- (3.24) 其中 Q 表示產(chǎn)量；L 表示勞動力投入量；C 表示資本投入量；k 是常數(shù)；0 1，稱模型為規(guī)模報酬遞增型； 1 + 2 1，稱模型為規(guī)模報酬遞減型。 對于對數(shù)線性模型， Lny = Ln0 + 1 L

6、nxt1 + 2 Lnxt2 + ut ，1和2稱作彈性系數(shù)。以1為例， 1 = 1ttLnxLny= 1111ttttxxyy= 11/ttttxxyy= 11ttttxyyx (3.28) 可見彈性系數(shù)是兩個變量的變化率的比。 注意， 彈性系數(shù)是一個無量綱參數(shù)，所以便于在不同變量之間比較相應(yīng)彈性系數(shù)的大小。 對于線性模型，yt = 0 + 1 xt1 + 2 xt2 + ut ，1和 2稱作邊際系數(shù)。以1為例， 1 =1ttxy (3.29) 通過比較(3.28)和(3.29)式，可知線性模型中的回歸系數(shù)（邊際系數(shù)）是對數(shù)線性回歸模型中彈性系數(shù)的一個分量。 例 1：此模型用來評價臺灣農(nóng)業(yè)生

7、產(chǎn)效率。用臺灣 1958-1972 年農(nóng)業(yè)生產(chǎn)總值（yt） ，勞動力（xt1） ，資本投入（xt2）數(shù)據(jù)為樣本得估計(jì)模型， tLny= -3.4 + 1.50 Lnxt1 + 0.49 Lnxt2 (3.30) (2.78) (4.80) R2 = 0.89, F = 48.45 還原后得， ty = 0.713 xt11.50 xt20.49 (3.31) 因?yàn)?1.50 + 0.49 = 1.99，所以，此生產(chǎn)函數(shù)屬規(guī)模報酬遞增函數(shù)。當(dāng)勞動力和資本投入都增加 1%時，產(chǎn)出增加近 2%。 例 2：用天津市工業(yè)生產(chǎn)總值（Yt） ，職工人數(shù)（Lt） ，固定資產(chǎn)凈值與流動資產(chǎn)平均余額（Kt）數(shù)據(jù)

8、(1949-1997) 為樣本得估計(jì)模型如下： Ln Yt = 0.7272 + 0.2587Ln Lt + 0.6986 LnKt (3.12) (3.08) (18.75) R2 = 0.98, s.e. = 0.17, DW = 0.42, F = 1381.4 因?yàn)?0.2587 + 0.6986 = 0.9573， 所以此生產(chǎn)函數(shù)基本屬于規(guī)模報酬不變函數(shù)。 例 3：硫酸透明度與鐵雜質(zhì)含量的關(guān)系（摘自數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理1988.4, p.16） 某硫酸廠生產(chǎn)的硫酸的透明度一直達(dá)不到優(yōu)質(zhì)指標(biāo)。經(jīng)分析透明度低與硫酸中金屬雜質(zhì)的含量太高有關(guān)。影響透明度的主要金屬雜質(zhì)是鐵、鈣、鉛、鎂等。通過正交試

9、驗(yàn)的方法發(fā)現(xiàn)鐵是影響硫酸透明度的最主要原因。測量了 47 個樣本，得硫酸透明度（y）與鐵雜質(zhì)含量（x）的散點(diǎn)圖如下 050100150200050100150200250XY 0.000.020.040.060.080.000.010.020.030.041/X1/Y （1） y = 121.59 - 0.91 x (10.1) (-5.7) R2 = 0.42, s.e. = 36.6, F= 32 （2） 1/y = 0.069 - 2.37 (1/x) (18.6) (-11.9) R2 = 0.76, s.e. = 0.009, F= 142 0501001502000.000.010

10、.020.030.041/XY 234560.000.010.020.030.041/XLOG(Y) （3）y = -54.40 + 6524.83 (1/x) (-7.2) (16.3) R2 = 0.86, s.e. = 18.2, F= 266 （4）Lny = 1.99 + 104.5 (1/x) (22.0) (21.6) R2 = 0.91, s.e. = 0.22, F= 468 還原，Lny = Ln(7.33) + 104.5 (1/x) y = 7.33 )1(5 .104xe （5）非線性估計(jì)結(jié)果是 y = 8.2965 )1( 1 .100 xe R2 = 0.96,

11、EViews 命令 Y=C(1)*EXP(C(2)*(1/X) 例 4 中國鉛筆需求預(yù)測模型 中國從上個世紀(jì) 30 年代開始生產(chǎn)鉛筆。1985 年全國有 22 個廠家生產(chǎn)鉛筆。產(chǎn)量居世界首位（33.9 億支） ，占世界總產(chǎn)量的 1/3。改革開放以后，鉛筆生產(chǎn)增長極為迅速。1979-1983 年平均年增長率為 8.5%。鉛筆銷售量時間序列見圖 4.21。1961-1964 年的銷售量平穩(wěn)狀態(tài)是受到了經(jīng)濟(jì)收縮的影響。文革期間銷售量出現(xiàn)兩次下降，是受到了當(dāng)時政治因素的影響。1969-1972 年的增長是由于一度中斷了的中小學(xué)教育逐步恢復(fù)的結(jié)果。1977-1978 年的增長是由于高考正式恢復(fù)的結(jié)果。

12、1981 年中國開始生產(chǎn)自動鉛筆，對傳統(tǒng)鉛筆市場沖擊很大。1979-1985 年的緩慢增長是受到了自動鉛筆上市的影響。 50100150200250300350626466687072747678808284Y 鉛筆銷售量時間序列（1961-1985） 初始確定的影響鉛筆銷量的因素有全國人口、各類在校人數(shù)、設(shè)計(jì)人員數(shù)、居民消費(fèi)水平、社會總產(chǎn)值、自動鉛筆產(chǎn)量、價格因素、原材料供給量、政策因素等。經(jīng)過多次篩選、組合和逐步回歸分析，最后確定的被解釋變量是 yt（鉛筆年銷售量，千萬支） ；解釋變量分別是 xt1（自動鉛筆年產(chǎn)量， 百萬支） ； xt2（全國人口數(shù)， 百萬人） ；xt3（居民年均消費(fèi)水平

13、，元） ；xt4（政策變量） 。因政策因素影響鉛筆銷量出現(xiàn)大幅下降時，政策變量取負(fù)值。例如 1967、1968 年的 xt4值取-2，1966、1969-1971、1974-1977 年的 xt4值取-1） 。 0100200300400010203040YX1Y, X1散點(diǎn)圖 下圖表示中國自生產(chǎn)自動鉛筆起，自動鉛筆產(chǎn)量與鉛筆銷量存在線性關(guān)系 010020030040060070080090010001100YX2 Y, X2散點(diǎn)圖 下圖表示全國人口與鉛筆銷量存在線性關(guān)系。說明人口越多，對鉛筆的需求就越大 0100200300400100200300400500YX3Y, X3散點(diǎn)圖 下圖表示

14、居民年均消費(fèi)水平與鉛筆銷量存在近似對數(shù)的關(guān)系。散點(diǎn)圖說明居民年均消費(fèi)水平越高，則鉛筆銷量就越大。但這種增加隨著居民消費(fèi)水平的增加變得越來越緩慢。 0100200300400-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.5YX4下圖表示政策變量與鉛筆銷量也呈線性關(guān)系。 Y, X4散點(diǎn)圖 基于上述分析建立的模型形式是 yt = 0 + 1 xt 1 + 2 xt 2 + 3 Ln (xt 3) + 4 xt 4 + ut yt與 xt 3呈非線性關(guān)系。估計(jì)結(jié)果如下。 ty = -907.94 - 2.95 xt 1 + 0.31 xt 2 + 170.19 Ln xt 3 + 45.51 xt

15、 4 (-6.4) (-3.7) (4.8) (4.4) (12.6) R 2 = 0.9885, DW = 2.09, F = 429, s.e. = 10.34 上式說明，在上述期間自動鉛筆年產(chǎn)量每增加 1 百萬支，平均使鉛筆的年銷售量減少 2950 萬支。全國人口數(shù)每增加 1 百萬人，平均使鉛筆的年銷售量增加 310 萬支。對數(shù)的居民年均消費(fèi)水平每增加 1 個單位，平均使鉛筆的年銷售量增加 17 億支。一般性政策負(fù)面變動使鉛筆的年銷售量減少 4.551 億支。當(dāng)政策出現(xiàn)大的負(fù)面變動時，鉛筆的年銷量會減少 9.102 億支。 當(dāng)yt 對所有變量都進(jìn)行線性回歸時（見下式） ，顯然估計(jì)結(jié)果不如

16、上式好。 ty = -254.26 - 3.29 x t 1 + 0.42 x t 2 + 0.66 x t 3 + 40.74 x t 4 (-12.0) (-3.0) (8.6) (3.5) (11.7) R 2 = 0.9857, DW = 1.77, F = 346, s.e. = 11.5 二、非線性模型的參數(shù)估計(jì)二、非線性模型的參數(shù)估計(jì)1. 1.非線性最小二乘原理非線性最小二乘原理現(xiàn)在的問題在于如何求解非線性方程(2.1.4)。 對于多參數(shù)非線性模型，用矩陣形式表示(2.1.1)為 Y=f(X,)+ (2.1.5)其中各個符號的意義與線性模型相同。向量的普通最小平方估計(jì)值應(yīng)該使得殘差平方和2.高斯高斯-牛頓牛頓(Gauss-Newton)迭代法迭代