在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的途徑

1、 在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的途徑朱 天 升數(shù)學(xué)思想方法作為基礎(chǔ)知識的重要組成部分,但又有別于基礎(chǔ)知識。除基本的數(shù)學(xué)方法以外,其他思想方法都呈隱蔽形式,滲透在學(xué)習(xí)新知識和運用知識解決問題的過程之中。這就要求教師在教學(xué)過程中把握滲透的時機,選擇適當?shù)姆椒?使學(xué)生能夠領(lǐng)悟并逐步學(xué)會運用這些思想方法去解決問題。下面是筆者對在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法途徑的幾點認識。    一、在知識的形成過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法    數(shù)學(xué)知識的發(fā)生過程實際上也是數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)生過程。任何一個概念,都經(jīng)歷著由感性到理性的抽象概括過程;任何一個規(guī)律,都經(jīng)歷

2、著由特殊到一般的歸納過程。如果我們把這些認識過程返璞歸真,在教師的引導(dǎo)下,讓學(xué)生以探索者的姿態(tài)出現(xiàn),去參與概念的形成和規(guī)律的揭示過程,學(xué)生獲得的就不僅是數(shù)學(xué)概念、定理、法則,更重要的是發(fā)展了抽象概括的思維和歸納的思維,還可以養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)。因此,概念的形成過程、結(jié)論的推導(dǎo)過程、規(guī)律的被揭示過程都是滲透數(shù)學(xué)思想方法的極好機會和途徑。    1.展開概念不要簡單地給定義    概念是思維的細胞,是濃縮的知識點,是感性認識飛躍到理性認識的結(jié)果。而飛躍的實現(xiàn)要經(jīng)過分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工,依據(jù)數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)。因此概

3、念教學(xué)應(yīng)當完整地體現(xiàn)這一生動的過程,引導(dǎo)學(xué)生揭示隱藏于知識之中的思維內(nèi)核。心理學(xué)認為,人對事物的第一次接觸是最敏感的,教學(xué)成功與否,關(guān)鍵是喚起對舊知識的回憶,探尋新知識的清澈的源頭。并通過事物的發(fā)生和發(fā)展的教學(xué),掌握活的數(shù)學(xué)概念。    例如,函數(shù)的概念學(xué)生在初中階段就已經(jīng)接觸,但較完整的定義卻在高中出現(xiàn)。如何在函數(shù)概念的教學(xué)中滲透函數(shù)思想呢?筆者認為:中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)思想包括變數(shù)思想、集合的對應(yīng)(映射)思想、數(shù)形結(jié)合的思想、研究函數(shù)自變量、函數(shù)取值范圍以及變量之間關(guān)系的不等式控制思想等。其中變數(shù)思想是函數(shù)思想的基礎(chǔ),對應(yīng)思想是函數(shù)思想的實質(zhì),數(shù)形結(jié)合思想和控制思

4、想是函數(shù)思想的具體體現(xiàn)和應(yīng)用。在函數(shù)知識的形成與學(xué)習(xí)過程中,應(yīng)逐步滲透上述思想。為此,根據(jù)高一學(xué)生的認知水平,在函數(shù)概念教學(xué)時應(yīng)該抓住函數(shù)是兩個變量之間的一種特殊的對應(yīng)(映射)的思想進行滲透?？梢酝ㄟ^豐富的實例,讓學(xué)生體會函數(shù)是描述變量間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型。       2.激活推理不要呆板地找關(guān)聯(lián)    激活推理就是要使判斷上下貫通,前后遷移、左右逢源,盡可能從已有的判斷生出眾多的思維觸角,促成思維鏈條的高效運轉(zhuǎn),不斷在數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)下推出一個個新的判斷、新的思維結(jié)果。  &

5、#160; 如在立體幾何三垂線定理的教學(xué)中,為充分調(diào)動學(xué)生的思維活動,可以設(shè)計下列幾個問題:若直線l與平面垂直,則l垂直內(nèi)的任何直線,那么當l是平面的斜線時,l與內(nèi)的直線有幾種位置關(guān)系呢?當l是平面的斜線時,平面內(nèi)有沒有直線與l垂直,在什么情況下,l與內(nèi)的直線垂直?讓學(xué)生開展討論,并闡述理由。你覺得三垂線定理的本質(zhì)是什么?它有什么作用?    二、在解題探索過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法    教學(xué)大綱明確指出:“要加強對解題的正確指導(dǎo),引導(dǎo)學(xué)生從解題的思想方法上作必要的概括?！睌?shù)學(xué)中的化歸、數(shù)學(xué)模型、數(shù)形結(jié)合、類比、歸納猜想等思想方法,既是

6、解題思路分析中必不可少的思想方法,又是具有思維導(dǎo)向型的思想方法。如,學(xué)生一旦形成了化歸意識,就能化未知為已知、化繁為簡、化一般為特殊,優(yōu)化解題方法;數(shù)學(xué)思想方法在解題思路探索中的滲透,可以使學(xué)生的思維品質(zhì)更具合理性、條理性和敏捷性。如:    例1求f(x)=3sin(x+20°)+sin(x+80°)的最大值和最小值。    不少同學(xué)直接使用公式展開,結(jié)果相當繁瑣,造成思維混亂?；膺@一問題的方法是,將x+20°(或x+80°)看成一個整體,x+80°化為(x+20°)+6

7、0°。這里涉及了換元思想方法(整體思想方法)和化繁為簡的化歸思想方法。在具體教學(xué)中,可以告知學(xué)生從函數(shù)解析式的特點看本題,本題的焦點是角度不同(即自變量不同)。因此,關(guān)鍵在于如何利用三角恒等變換公式將函數(shù)中的角化成同一個角。     例2圓周上有2007個點,每兩點間連一條弦,如果其中任意三條弦在圓內(nèi)不共點,求以這些弦在圓內(nèi)的交點為頂點的三角形個數(shù)。    這是一個計數(shù)問題,如果直接計算有相當大的難度。為此,思考每一個圓內(nèi)三角形與圓上的點有什么關(guān)系?這種想法的實質(zhì)就是對應(yīng)思想(映射思想),是化歸思想方法中的一種。圓的三條弦恰

8、好在圓內(nèi)交出一個三角形,弦不同所得的三角形也不同?？梢?每一個圓內(nèi)三角形與圓上的6個不同的點構(gòu)成一個一一映射,即f:圓內(nèi)三角形圓上六點組。因此,符合條件的三角形有個。    三、在問題的解決過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法    問題解決,是以思考為內(nèi)涵,以問題目標為定向的心理活動,是在新情景下通過思考去實現(xiàn)學(xué)習(xí)目標的活動,“思考活動”和“探索過程”是問題解決的內(nèi)核。數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的問題解決,與其他科學(xué)領(lǐng)域用數(shù)學(xué)去解決問題不同。數(shù)學(xué)領(lǐng)域里的問題解決,不僅關(guān)心問題的結(jié)果,而且關(guān)心求得結(jié)果的過程,即問題解決的整個思考過程。數(shù)學(xué)問題解決,是按照一定的思維

9、對策進行的思維過程。在數(shù)學(xué)問題解決的過程中,既運用抽象、歸納、類比、演繹等邏輯思維形式,又運用直覺、靈感(頓悟)等非邏輯思維形式來探索問題的解決辦法。    問題是數(shù)學(xué)的心臟,數(shù)學(xué)問題的解決過程,實質(zhì)是命題的不斷變換和數(shù)學(xué)思想方法的反復(fù)運用過程。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)問題的解決觀念性成果,它存在于數(shù)學(xué)問題的解決之中。數(shù)學(xué)問題的步步轉(zhuǎn)化,無不遵循數(shù)學(xué)思想方法指示的方向。因此,通過問題解決,可以培養(yǎng)數(shù)學(xué)意識,構(gòu)造數(shù)學(xué)模型,提供數(shù)學(xué)想象;伴以實際操作,可以誘發(fā)創(chuàng)造動機,可以把數(shù)學(xué)嵌入活的思維活動之中,并不斷在學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的過程中,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)知識、掌握方法、形成思想,促進

10、思維能力的發(fā)展。      四、在復(fù)習(xí)與小結(jié)中提煉、概括數(shù)學(xué)思想方法    小結(jié)與復(fù)習(xí)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié),揭示知識之間的內(nèi)在聯(lián)系以及歸納、提煉知識中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法是小結(jié)與復(fù)習(xí)的功能之一。數(shù)學(xué)的小結(jié)與復(fù)習(xí),不能僅停留在把已學(xué)的知識溫習(xí)記憶一遍的要求上,而要去努力思考新知識是怎樣產(chǎn)生、展開和證明的,其實質(zhì)是什么?怎樣應(yīng)用它等。小結(jié)與復(fù)習(xí)是對知識進行深化、精煉和概括的過程,它需要通過手和腦積極主動地開展活動才能達到。因此,在這個過程中,提供了發(fā)展和提高能力的極好機會,也是滲透數(shù)學(xué)思想方法的極好機會與途徑。

11、60;   學(xué)生學(xué)完一個單元的內(nèi)容,應(yīng)該在整體上對該單元的內(nèi)容有一個清晰、全面的認識。因此,在小結(jié)與復(fù)習(xí)時應(yīng)該提煉、概括這一單元知識所涉及的數(shù)學(xué)思想方法;并從知識發(fā)展的過程來綜觀數(shù)學(xué)思想方法所起的作用,以新的更為全面的觀點分析所學(xué)過的知識;從數(shù)學(xué)思想方法的角度進行提高與精練。由于同一內(nèi)容可以體現(xiàn)不同的數(shù)學(xué)思想方法,而同一數(shù)學(xué)思想方法又常常蘊含在許多不同的知識點里,因此,在小結(jié)與復(fù)習(xí)時,還應(yīng)該從縱橫兩方面整理出數(shù)學(xué)思想方法及其系統(tǒng)。如在解析幾何章節(jié)復(fù)習(xí)時,可以通過具體所學(xué)的知識,再一次向?qū)W生強調(diào)解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì),它的基本思想,是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,用坐標表示點,用方程表示曲線等幾何圖形,將圖形的有關(guān)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)與方程,通過代數(shù)計算和變形的方法來解決。    五、引導(dǎo)學(xué)生進行反思,從中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法    著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出:“反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力?！币虼?教師應(yīng)該創(chuàng)設(shè)各種情境,為學(xué)生創(chuàng)造反思的機會,引導(dǎo)學(xué)生積極主動地提出問題,總結(jié)經(jīng)驗。如:解法