極限的概念和數(shù)列的極限

1、2022年年4月月13日日3時時17分分極限概念與數(shù)列的極限極限概念與數(shù)列的極限2022年年4月月13日日3時時17分分2022年年4月月13日日3時時17分分 三國時的劉徽提出的三國時的劉徽提出的 的方法的方法.他把圓周分他把圓周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、 這樣繼續(xù)這樣繼續(xù)分割下去分割下去,所得多邊形的周長就無限接近于圓的周長所得多邊形的周長就無限接近于圓的周長. 割之彌細，割之彌細，所失彌少，割所失彌少，割之又割，以至之又割，以至于不可割，則于不可割，則與圓合體而無與圓合體而無所失矣所失矣. .2022年年4月月13日日3時時17分分

2、2022年年4月月13日日3時時17分分項號項號項項這一項與這一項與0的差的絕對值的差的絕對值123456782 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 128 1 256 1 5.0|021| 25.0|041| 125.0|081| 0625.0|0161| 03125.0|0321| 015625.0|0641| 0078125.0|01281| 00390625.0|02561| 2022年年4月月13日日3時時17分分12345678項號項號 邊數(shù)邊數(shù)內(nèi)接多邊形周長內(nèi)接多邊形周長241263 2.5980762113533.000000000000 3.1058285412

3、30 3.13262861328148 3.13935020304796 3.141031950891192 3.141452472285384 3.141557607912 nnc0180sin 2022年年4月月13日日3時時17分分1x221344356 一般地，對于數(shù)列一般地，對于數(shù)列 an，如果存在，如果存在一個常數(shù)一個常數(shù)A，無論預(yù)先指定多么小的正，無論預(yù)先指定多么小的正數(shù)數(shù)，都能在數(shù)列中找到一項，都能在數(shù)列中找到一項 a N ，使，使得這一項后面的所有項與得這一項后面的所有項與A的差的絕對的差的絕對值都小于值都小于（ 即當(dāng)即當(dāng) nN 時，時，|an-A|N時，不等式時，不等式|a

4、n-A| 恒成立，才能表明數(shù)恒成立，才能表明數(shù)列列an無限趨近于無限趨近于A. （2）就極限的全過程的某一）就極限的全過程的某一瞬間來說，瞬間來說，又是具體給定的又是具體給定的.隨著隨著取值的越來越小，表明數(shù)列取值的越來越小，表明數(shù)列an不斷趨近于不斷趨近于A的無限過程的無限過程.（3）數(shù)列）數(shù)列an的極限是的極限是A. an可能比可能比A小，無限趨近于小，無限趨近于A；無限趨近于無限趨近于A； an也可能時而小于也可能時而小于A時而大于時而大于A，無限趨近于，無限趨近于A；.an也可能比也可能比A大，大，2022年年4月月13日日3時時17分分(1)對于數(shù)列對于數(shù)列an,如果存在常數(shù)如果存在

5、常數(shù)A,當(dāng)正數(shù)當(dāng)正數(shù)等于等于0.1,0.01,0.001時，都能時，都能在數(shù)列中找到一項在數(shù)列中找到一項 a N ，使得這一項后面的所有項與，使得這一項后面的所有項與A的差的絕對值的差的絕對值都小于都小于 ，則，則A是是數(shù)列數(shù)列an的極限的極限.( )(2)對于數(shù)列對于數(shù)列an,如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)A,無論預(yù)先給定多么小的正數(shù)無論預(yù)先給定多么小的正數(shù)，都，都能在數(shù)列中找到一項能在數(shù)列中找到一項 a N ，使得這一項后面的所有項都屬于開，使得這一項后面的所有項都屬于開區(qū)間區(qū)間（A-，A+）,則則A是是數(shù)列數(shù)列an的極限的極限.( )(3) 如果如果數(shù)列數(shù)列 an的每一項都是的每一項都是A,那

6、么那么數(shù)列數(shù)列an的極限是的極限是A.( )(4)在數(shù)列極限的在數(shù)列極限的“ N”定義中，定義中，N的取值由的取值由來決定，即一旦來決定，即一旦取定取定，N就只能是某一固定的自然數(shù)就只能是某一固定的自然數(shù).( )(6)若數(shù)列的極限是若數(shù)列的極限是A，則任意去掉或改變其中的有限項后，新數(shù)列，則任意去掉或改變其中的有限項后，新數(shù)列的極限仍為的極限仍為A.( )(5) 如果如果數(shù)列數(shù)列 an的極限是的極限是A,那么對于預(yù)先給定的小正數(shù)那么對于預(yù)先給定的小正數(shù)，在區(qū)間（，在區(qū)間（A-，A+）內(nèi)一定有該數(shù)列的無窮多項）內(nèi)一定有該數(shù)列的無窮多項.( )2022年年4月月13日日3時時17分分(1)對于數(shù)列

7、對于數(shù)列an,如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)A,當(dāng)正數(shù)當(dāng)正數(shù)等于等于0.1,0.01,0.001時，都能時，都能在數(shù)列中找到一項在數(shù)列中找到一項 a N ，使得這一項后面的所有項與，使得這一項后面的所有項與A的差的絕對值的差的絕對值都小于都小于 ，則，則A是是數(shù)列數(shù)列an的極限的極限.( )(2)對于數(shù)列對于數(shù)列an,如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)A,無論預(yù)先給定多么小的正數(shù)無論預(yù)先給定多么小的正數(shù)，都，都能在數(shù)列中找到一項能在數(shù)列中找到一項 a N ，使得這一項后面的所有項都屬于開，使得這一項后面的所有項都屬于開區(qū)間區(qū)間（A-，A+）,則則A是是數(shù)列數(shù)列an的極限的極限.( )(3) 如果如果數(shù)列數(shù)列

8、an的每一項都是的每一項都是A,那么那么數(shù)列數(shù)列an的極限是的極限是A.( )(4)在數(shù)列極限的在數(shù)列極限的“ N”定義中，定義中，N的取值由的取值由來決定，即一旦來決定，即一旦取定取定，N就只能是某一固定的自然數(shù)就只能是某一固定的自然數(shù).( )(6)若數(shù)列的極限是若數(shù)列的極限是A，則任意去掉或改變其中的有限項后，新數(shù)列，則任意去掉或改變其中的有限項后，新數(shù)列的極限仍為的極限仍為A.( )(5) 如果如果數(shù)列數(shù)列 an的極限是的極限是A,那么對于預(yù)先給定的小正數(shù)那么對于預(yù)先給定的小正數(shù)，在區(qū)間（，在區(qū)間（A-，A+）內(nèi)一定有該數(shù)列的無窮多項）內(nèi)一定有該數(shù)列的無窮多項.( )2022年年4月月1

9、3日日3時時17分分(1)對于數(shù)列對于數(shù)列an,如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)A,當(dāng)正數(shù)當(dāng)正數(shù)等于等于0.1,0.01,0.001時，都能時，都能在數(shù)列中找到一項在數(shù)列中找到一項 a N ，使得這一項后面的所有項與，使得這一項后面的所有項與A的差的絕對值的差的絕對值都小于都小于 ，則，則A是是數(shù)列數(shù)列an的極限的極限.( )(2)對于數(shù)列對于數(shù)列an,如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)A,無論預(yù)先給定多么小的正數(shù)無論預(yù)先給定多么小的正數(shù)，都，都能在數(shù)列中找到一項能在數(shù)列中找到一項 a N ，使得這一項后面的所有項都屬于開，使得這一項后面的所有項都屬于開區(qū)間區(qū)間（A-，A+）,則則A是是數(shù)列數(shù)列an的極限的極限

10、.( )(3) 如果如果數(shù)列數(shù)列 an的每一項都是的每一項都是A,那么那么數(shù)列數(shù)列an的極限是的極限是A.( )(4)在數(shù)列極限的在數(shù)列極限的“ N”定義中，定義中，N的取值由的取值由來決定，即一旦來決定，即一旦取定取定，N就只能是某一固定的自然數(shù)就只能是某一固定的自然數(shù).( )(6)若數(shù)列的極限是若數(shù)列的極限是A，則任意去掉或改變其中的有限項后，新數(shù)列，則任意去掉或改變其中的有限項后，新數(shù)列的極限仍為的極限仍為A.( )(5) 如果如果數(shù)列數(shù)列 an的極限是的極限是A,那么對于預(yù)先給定的小正數(shù)那么對于預(yù)先給定的小正數(shù)，在區(qū)間（，在區(qū)間（A-，A+）內(nèi)一定有該數(shù)列的無窮多項）內(nèi)一定有該數(shù)列的無

11、窮多項.( )2022年年4月月13日日3時時17分分(1)對于數(shù)列對于數(shù)列an,如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)A,當(dāng)正數(shù)當(dāng)正數(shù)等于等于0.1,0.01,0.001時，都能時，都能在數(shù)列中找到一項在數(shù)列中找到一項 a N ，使得這一項后面的所有項與，使得這一項后面的所有項與A的差的絕對值的差的絕對值都小于都小于 ，則，則A是是數(shù)列數(shù)列an的極限的極限.( )(2)對于數(shù)列對于數(shù)列an,如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)A,無論預(yù)先給定多么小的正數(shù)無論預(yù)先給定多么小的正數(shù)，都，都能在數(shù)列中找到一項能在數(shù)列中找到一項 a N ，使得這一項后面的所有項都屬于開，使得這一項后面的所有項都屬于開區(qū)間區(qū)間（A-，A+）,

12、則則A是是數(shù)列數(shù)列an的極限的極限.( )(3) 如果如果數(shù)列數(shù)列 an的每一項都是的每一項都是A,那么那么數(shù)列數(shù)列an的極限是的極限是A.( )(4)在數(shù)列極限的在數(shù)列極限的“ N”定義中，定義中，N的取值由的取值由來決定，即一旦來決定，即一旦取定取定，N就只能是某一固定的自然數(shù)就只能是某一固定的自然數(shù).( )(6)若數(shù)列的極限是若數(shù)列的極限是A，則任意去掉或改變其中的有限項后，新數(shù)列，則任意去掉或改變其中的有限項后，新數(shù)列的極限仍為的極限仍為A.( )(5) 如果如果數(shù)列數(shù)列 an的極限是的極限是A,那么對于預(yù)先給定的小正數(shù)那么對于預(yù)先給定的小正數(shù)，在區(qū)間（，在區(qū)間（A-，A+）內(nèi)一定有該

13、數(shù)列的無窮多項）內(nèi)一定有該數(shù)列的無窮多項.( )2022年年4月月13日日3時時17分分(1)對于數(shù)列對于數(shù)列an,如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)A,當(dāng)正數(shù)當(dāng)正數(shù)等于等于0.1,0.01,0.001時，都能時，都能在數(shù)列中找到一項在數(shù)列中找到一項 a N ，使得這一項后面的所有項與，使得這一項后面的所有項與A的差的絕對值的差的絕對值都小于都小于 ，則，則A是是數(shù)列數(shù)列an的極限的極限.( )(2)對于數(shù)列對于數(shù)列an,如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)A,無論預(yù)先給定多么小的正數(shù)無論預(yù)先給定多么小的正數(shù)，都，都能在數(shù)列中找到一項能在數(shù)列中找到一項 a N ，使得這一項后面的所有項都屬于開，使得這一項后面的所有

14、項都屬于開區(qū)間區(qū)間（A-，A+）,則則A是是數(shù)列數(shù)列an的極限的極限.( )(3) 如果如果數(shù)列數(shù)列 an的每一項都是的每一項都是A,那么那么數(shù)列數(shù)列an的極限是的極限是A.( )(4)在數(shù)列極限的在數(shù)列極限的“ N”定義中，定義中，N的取值由的取值由來決定，即一旦來決定，即一旦取定取定，N就只能是某一固定的自然數(shù)就只能是某一固定的自然數(shù).( )(6)若數(shù)列的極限是若數(shù)列的極限是A，則任意去掉或改變其中的有限項后，新數(shù)列，則任意去掉或改變其中的有限項后，新數(shù)列的極限仍為的極限仍為A.( )(5) 如果如果數(shù)列數(shù)列 an的極限是的極限是A,那么對于預(yù)先給定的小正數(shù)那么對于預(yù)先給定的小正數(shù)，在區(qū)間

15、（，在區(qū)間（A-，A+）內(nèi)一定有該數(shù)列的無窮多項）內(nèi)一定有該數(shù)列的無窮多項.( )2022年年4月月13日日3時時17分分(1)對于數(shù)列對于數(shù)列an,如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)A,當(dāng)正數(shù)當(dāng)正數(shù)等于等于0.1,0.01,0.001時，都能時，都能在數(shù)列中找到一項在數(shù)列中找到一項 a N ，使得這一項后面的所有項與，使得這一項后面的所有項與A的差的絕對值的差的絕對值都小于都小于 ，則，則A是是數(shù)列數(shù)列an的極限的極限.( )(2)對于數(shù)列對于數(shù)列an,如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)A,無論預(yù)先給定多么小的正數(shù)無論預(yù)先給定多么小的正數(shù)，都，都能在數(shù)列中找到一項能在數(shù)列中找到一項 a N ，使得這一項后面的所

16、有項都屬于開，使得這一項后面的所有項都屬于開區(qū)間區(qū)間（A-，A+）,則則A是是數(shù)列數(shù)列an的極限的極限.( )(3) 如果如果數(shù)列數(shù)列 an的每一項都是的每一項都是A,那么那么數(shù)列數(shù)列an的極限是的極限是A.( )(4)在數(shù)列極限的在數(shù)列極限的“ N”定義中，定義中，N的取值由的取值由來決定，即一旦來決定，即一旦取定取定，N就只能是某一固定的自然數(shù)就只能是某一固定的自然數(shù).( )(6)若數(shù)列的極限是若數(shù)列的極限是A，則任意去掉或改變其中的有限項后，新數(shù)列，則任意去掉或改變其中的有限項后，新數(shù)列的極限仍為的極限仍為A.( )(5) 如果如果數(shù)列數(shù)列 an的極限是的極限是A,那么對于預(yù)先給定的小正

17、數(shù)那么對于預(yù)先給定的小正數(shù)，在區(qū)間（，在區(qū)間（A-，A+）內(nèi)一定有該數(shù)列的無窮多項）內(nèi)一定有該數(shù)列的無窮多項.( )2022年年4月月13日日3時時17分分(1)對于數(shù)列對于數(shù)列an,如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)A,當(dāng)正數(shù)當(dāng)正數(shù)等于等于0.1,0.01,0.001時，都能時，都能在數(shù)列中找到一項在數(shù)列中找到一項 a N ，使得這一項后面的所有項與，使得這一項后面的所有項與A的差的絕對值的差的絕對值都小于都小于 ，則，則A是是數(shù)列數(shù)列an的極限的極限.( )(2)對于數(shù)列對于數(shù)列an,如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)A,無論預(yù)先給定多么小的正數(shù)無論預(yù)先給定多么小的正數(shù)，都，都能在數(shù)列中找到一項能在數(shù)列中找到

18、一項 a N ，使得這一項后面的所有項都屬于開，使得這一項后面的所有項都屬于開區(qū)間區(qū)間（A-，A+）,則則A是是數(shù)列數(shù)列an的極限的極限.( )(3) 如果如果數(shù)列數(shù)列 an的每一項都是的每一項都是A,那么那么數(shù)列數(shù)列an的極限是的極限是A.( )(4)在數(shù)列極限的在數(shù)列極限的“ N”定義中，定義中，N的取值由的取值由來決定，即一旦來決定，即一旦取定取定，N就只能是某一固定的自然數(shù)就只能是某一固定的自然數(shù).( )(6)若數(shù)列的極限是若數(shù)列的極限是A，則任意去掉或改變其中的有限項后，新數(shù)列，則任意去掉或改變其中的有限項后，新數(shù)列的極限仍為的極限仍為A.( )(5) 如果如果數(shù)列數(shù)列 an的極限是的極限是A,那么對于預(yù)先給定的小正數(shù)那么對于預(yù)先給定的小正數(shù)，在區(qū)間（，在區(qū)間（A-，A+）內(nèi)一定有該數(shù)列的