2020學(xué)而思教材講義高二數(shù)學(xué)秋季秋季高二文科第10講定點(diǎn)定值問題教師版

1、金氣!第I1講定點(diǎn)、定值問X旦百滿分晉級(jí)教師備案本講是圓錐曲線的綜合問題,難度較大,例題的重點(diǎn)和難點(diǎn)都在第二問，主要還是讓學(xué)生 了解碰到定點(diǎn)定值問題時(shí)一般的處理方法.雖然本質(zhì)上還是直線與圓錐曲線、韋達(dá)定理的 應(yīng)用，但是在處理的技巧上需要細(xì)細(xì)琢磨.選擇合適的參數(shù)，并利用參數(shù)得到有關(guān)的曲線 方程或函數(shù)關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵，盡量讓計(jì)算量在可控的范圍內(nèi).常用的處理方法有兩種：從特殊入手，先求出定點(diǎn)或定值等，再證明這個(gè)點(diǎn)或值與參數(shù)無關(guān)；直接推理，計(jì)算，并在計(jì)算過程中消去參數(shù)，從而得到定點(diǎn)或定值.定點(diǎn)問題考點(diǎn)1:直線過定點(diǎn)的問題知識(shí)點(diǎn)睛如果滿足一定條件的曲線系恒過某一點(diǎn)，就是定點(diǎn)問題.直線過定點(diǎn)問題的求

2、解方法一般是先求 出直線的方程（含參數(shù)），再由直線恒過定點(diǎn)的證明方法來求解.經(jīng)典精講【例1】 設(shè)直線/的方程為（a + l）x + y + （2-a） = 0（4eR）,證明直線/過定點(diǎn) 22二在雙曲線三一二 = 1的一支上有不同的兩點(diǎn)y）、B（x2 , y2）,且為+%=12, 12 13（達(dá)工為），證明線段4?的垂直平分線經(jīng)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).Y- I - 0V - 1【解析】直線/的方程可化為（x l）"x + y + 2 = 0（aeR），令:.，得:二3無論。為任何實(shí)數(shù)，直線/總經(jīng)過定點(diǎn)（1，-3）（2）設(shè)他的中點(diǎn)為M（x°，光）,鉆的垂直平分線為/ ,由分

3、析可知，/的斜率k存在，則有=6，/的方程為6 ,13）7-12=12x13,13-12x=12x13,為 + % = 12,x, + x2 =2x0 ,AZA = -1,N -x2 k一，得13（才一只）12*；石）=0 ,即以兇一為）（乂 +%）-12（為一巧）（芭+巧）=。； 13x12（h、2）-12乂2（為一電）入。=0 . ）?1 - >2 _2/ - 13 一 N %）-x2132x（）的垂直平分線方程為、，=-;x + ?.2%2若使上式對(duì)一切實(shí)數(shù)左恒成立，則X = 0 , >' = y ,即直線/過定點(diǎn);0, yj .【備選】已知拋物線y2=6x上的兩個(gè)動(dòng)

4、點(diǎn)A（X1,yJ和8（4,刈），其中x產(chǎn)&且+=4 .證明線段 的垂直平分線經(jīng)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).第11講尖子目標(biāo)教師版【解析】設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M"。），則=*. = 2=互譽(yù)， 乙乙領(lǐng)先高看培優(yōu)混程k J二一« _ 6 , 3“AB 22 一 . 一"X 21工+ y y066線段AB的垂直平分線的方程是>'->o=-y(2) 易知X = 5 , y =。是的一個(gè)解，所以線段AB的垂直平分線與X軸的交點(diǎn)C為定點(diǎn)，且點(diǎn)C坐 標(biāo)為(5,0).【例2】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3,最小

5、 值為1.求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：山若直線/：»，=丘+，與橢圓C相交于A, 3兩點(diǎn)(A, 3不是左右頂點(diǎn))，且以鉆為直 徑的圓過橢圓。的右頂點(diǎn)，求證：直線/過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【思路探究】這是一道關(guān)于橢圓的綜合題，第問主要考查待定系數(shù)法、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓的幾 何性質(zhì)等知識(shí).只要設(shè)出橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后運(yùn)用待定系數(shù)法即可解決；第問是證 直線/過定點(diǎn)，這就暗示我們，直線/的方程中斜率&是變化的，而參數(shù)/不能自由變化, 即它應(yīng)與k有關(guān)，所以首先應(yīng)由條件求出，與k的關(guān)系.只要將直線/的方程與橢圓C的 方程聯(lián)立并消去.V得到關(guān)于x的一元二次方程，然后利用判別式、根與系數(shù)的關(guān)

6、系，再結(jié) 合Q4_L 08等即可使問題得到解決.【解析】如圖，由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為£ + £ = 1(“>/，>0), cr lr由題設(shè)知，得,所以橢圓c的標(biāo)助程為%I解得方法1 :設(shè)A6 , ») , B(x2，y2) ty = kx + m ,x2 v2 消去y,得+ = 143(3 + 4k2)x2 + Smkx + 4(m2 -3) = 0 ,A = 64m22 -16(3 + 4k2m2 - 3) > 0 ,即 3 + 4二一 />0 .由根與系數(shù)的關(guān)系,得8mk二一許4(m2 -3)所以.=(處+M3 +，* +M +%)+

7、/=黑浮. 以相為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)。(2, 0),所以,即， 所以> ” =-1，化簡(jiǎn)得yj,+玉心一2（七+占）+ 4 =。,N 一 2 x2 -2將代入上式，得3（加一 46）+ 4Q W + 4 = 0 ,3 + 4H3 + 4K 3 +4k'7Zr整理彳導(dǎo) 7?一 +16次+4K =0 ,解彳導(dǎo)，= 2k ,=二,且;兩足 3 + 4K 廠 > 0 . -7當(dāng)/ 二 一2攵時(shí)，直線/：y = k（x-2）,過定點(diǎn)（2, 0）.（2, 0）是橢圓的右頂點(diǎn)，且/不過橢圓的右頂點(diǎn)一.定點(diǎn)（2, 0）舍當(dāng)?=若時(shí)，直線/：）,=女卜_某，過定點(diǎn),0）,綜上可知，直線/

8、過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為00方法2 ： 設(shè)4須，M）, B（x?，為），因?yàn)闄E圓的右頂點(diǎn)為。（2, 0） r則可設(shè)直線方程為 > =用（尤-2）.將_y = k、（x- 2）代入橢圓方程，并整理得（3 + % ）x2-l6k；x + 16-12 = 0 ,顯然2與玉是方程的兩個(gè)根，所以二磊即'所以（i） =瑞 因?yàn)?且3。也過右頂點(diǎn)。（2, 0）所以，用-替換上式中的K,即得小=¥第，/=三 k- 4 + 3- 4 +3k；設(shè)直線4?與工軸交于點(diǎn)M（a, 0）,并設(shè)=后麻，即海-63 + %=A(866r 一 4 , 14 + 3k：第II講尖子-目標(biāo)教師版先高音悟沆膘程12

9、kl _ . 12K所以3 + % 一44 + 36，8k：-6 18-6好U -T = / ；3 + % 4 + 367 消去力 ,得“（3 + 4%；）一（8“； -6） = 8-6女：一（4 + 3k；） z 解得.所以，直線/過定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為僑0）,【反思與啟迪】解答這類問題主要方法是聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消去一個(gè)字母（比如y ）,得到 關(guān)于另一個(gè)字母的一元二次方程，進(jìn)而利用根與系數(shù)的關(guān)系得到$ +看與為與用參數(shù)（這里 是加，k ）表示的關(guān)系式,再結(jié)合其他條件（D4_LO8）,即可得到這些參數(shù)的關(guān)系式，使問 題得以順利解決.本題除考查橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等鄲出知識(shí)外

10、，還考 查分類討論的思想、解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.問題的本質(zhì)是當(dāng)橢圓的弦對(duì)其某一頂點(diǎn)張角為直角時(shí)必過定點(diǎn).若設(shè)直線包的褥勺為參數(shù)，則較容易地得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用對(duì)稱性就能得到點(diǎn)3的坐標(biāo)，再由對(duì)稱性可猜想， 該定點(diǎn)應(yīng)該在這個(gè)頂點(diǎn)所在的對(duì)稱軸上.設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)M（a, 0）,由A、M、8共 線可知。是與參數(shù)勺無關(guān)的定值，從而證明直線AB過定點(diǎn).換個(gè)角度后，解題思路就簡(jiǎn)捷、 明了了 .解決這類問題的核心就是“直角的幾種等價(jià)形式，如：40_13。"35=00|而+/=|。/ 。到。以4?為直徑的圓過點(diǎn)。等.另外，如果 能夠恰當(dāng)?shù)乩脠A錐曲線相關(guān)的性質(zhì),更能棋高一籌.通過解答

11、本題第問，我們發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線的一個(gè)幾何性質(zhì)：22命題1若直線/與曲線C:二+=1（4>0, >0）交于M、N兩點(diǎn)，P（x0,光）為曲線。上 a" b"一點(diǎn)一旦PM上PN，則直線/必過定點(diǎn)二-二二J.+irer + lr J其中當(dāng)時(shí)，曲線。為焦點(diǎn)在X軸上的橢圓；當(dāng)代時(shí)，曲線。為焦點(diǎn)在），軸上的橢圓； 當(dāng)“=時(shí)，曲線。為圓心在原點(diǎn)的圓，直線/即直徑必過圓心.此命題可以看作是圓的直徑 的一個(gè)性質(zhì)在橢圓上的拓展，這從一個(gè)側(cè)面揭示了橢圓和圓的辯證統(tǒng)一關(guān)系.特別地，當(dāng)。點(diǎn)位于橢圓的頂點(diǎn)（“，0）時(shí)，直線/必過定點(diǎn)（“：一：?"，o' .I，廠+-）22命題

12、2若直線/與雙曲線C:二-三=1（>0, >0）交于M、N兩點(diǎn)，P（%, %）為雙曲線C a" d上一點(diǎn)，且PM_L/W ,則直線/必過定點(diǎn) 匕口.%，-空盤）'/ .cr -lr cr J特別地，當(dāng)P點(diǎn)位于雙曲線實(shí)軸頂點(diǎn)（“，0）時(shí)，直線/必過定點(diǎn)0、.，廣-b- J命題3若直線/與拋物線C：y2=2px交于M、N兩點(diǎn)，P（x0,北）為拋物線C上一點(diǎn)，且 PMtPN ,則直線/必過定點(diǎn)（2p + x0, -y0）.特別地，當(dāng)。點(diǎn)位于拋物線頂點(diǎn)（0, 0）時(shí)，直線/必過定點(diǎn)（2p, 0） .提高班學(xué)案1【拓1】在平面直角坐標(biāo)系xQv中，直線/與拋物線V=4x相交于

13、不同的A,8兩點(diǎn).如果直線/過拋物線的焦點(diǎn)，求）.麗的值：（2）如果）.切=7,證明直線/必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn).【解析】由題意：拋物線焦點(diǎn)為（1，0）設(shè)/：x = + l代入拋物線V=4x ,消去工得y2 -4b-4 = 0 ,設(shè)，y） , B（x2，y2）則 X + ）'2 =4，yy2 =7，。兒。8 =52 +=（* + +1）+ >V?2 =產(chǎn)一 一 + f（> + %）+1 + 一力= -4r +4 / +14 = -3（2）設(shè)/：x = /），+ 代入拋物線V=4x消去工，得）,2 一4 - 4。= 0，設(shè) A（x，y） , 8（占，%）,則x+ >&

14、#39;2 =4，, yy2 =-4/?.: OA OB = x,x2 + >v?2 =（% + 與（% + ）+ .V>>2 =+ 初（X +%）+ / + .V>>2M鄲理科到第而囿；= -4bt2 +4bt2 +b2 -4b = b2 -4b .令24 = -4 一.-4 + 4 = 0 f ：.b = 2 ，./過定點(diǎn)(2,0).尖子班學(xué)案I【拓2】(2010江蘇18)2，在平而直角坐標(biāo)系xOv中，如圖，已知橢圓三+二=1的左、右頂點(diǎn)為A、B ,右焦點(diǎn)為人 設(shè)95過點(diǎn)T(f, M的直線力、73與橢圓分別交于點(diǎn)M(x，,)、 N(x2 d ,其中2>0

15、, y, >0» y2 <0.設(shè)動(dòng)點(diǎn)。滿足P尸-所2 =4,求點(diǎn)尸的軌跡：設(shè)凡=2, 9=；,求點(diǎn)丁的坐標(biāo)； 設(shè)，=9,求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo) 與加無關(guān)).【解析】設(shè)點(diǎn) P(x，y) 則：尸(2, 0)、8(3, 0)、4一3, 0).由尸一尸夕=4,得。一2尸+./-*-3)2+曰=4,化簡(jiǎn)得.=：. 2故所求點(diǎn)尸的軌跡為直線.、小，一竺U 9i5 將玉=2g=:分別代入橢圓方程，以及x >0,k v0得：M 2> -直線他4方程為：二二亡，即y = L + l , 二一o 2+33直線N8方程為：20V聯(lián)立方程組，解得：二0 1-33x

16、= 710，y = T,即y =，一£ o 2所以點(diǎn)7'的坐標(biāo)為b，學(xué);.點(diǎn)7'的坐標(biāo)為(9, ?)直線M4方程為：2二2=止"】-0 9 + 3直線N8方程為：匚2 =二？一0 9-3,即 y = /(x + 3), r 即 y = ；(x-3).6領(lǐng)先高看培優(yōu)例程第11講尖子目標(biāo)教師版3(/ 20)20？、20 + m220 + J ,分別與橢圓方+ g = l聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到工產(chǎn)-3 , ”3 ,3(80-/)40m z-，r 、 N 80 + nf 80 + ?f20m3(M -20)y +7-x -3方法一：當(dāng)N工工時(shí)，直線MN方程為. 20

17、+ 府=20 +而40, 1 26 - 3(80 -/)3(小 一 20) 80 + "/ 20+ /80 +J - 20 + /令y =。，解得：x = l.此時(shí)必過點(diǎn)。(1, 0)；當(dāng) =工時(shí)，直線MN方程為：x = l ,與x軸交點(diǎn)為£)(1, 0).所以直線MN必過軸上的一定點(diǎn)D(l, 0).方法二：若內(nèi)=%,則由世二世二如Y 及o ,得小=2加， 80 + 廠 20 +nr此時(shí)直線MN的方程為x = l ,過點(diǎn)0(1, 0).40m若為工X,，則/"2加，直線MO的斜率"="?：=平;，240 - 3廣 _ 1 40 - nr80 +

18、 病一-20m直線ND的斜率女陋=、4° +累二=*二,得UM ,所以直線MN過。點(diǎn).3廠 - 60 _ 1 40 - nr20 + 川一因此，直線MN必過x軸上的點(diǎn)(1, 0).目標(biāo)班學(xué)案1 【拓3】(2009江西理21)已知點(diǎn)R5,先)為雙曲線看* = 1(為正常數(shù))上任 /一點(diǎn)，F(xiàn)2為雙曲線的右焦點(diǎn)，過4作直線x = 土的垂線，Ja/垂足為A,連接巴A并延長(zhǎng)交)，軸于4 .丁 XA求線段R4的相點(diǎn)P的軌跡E的方詢：").y 二 設(shè)軌跡E與x軸交于3、。兩點(diǎn)，在七上任取一點(diǎn) /。(%, %)(x工0),直線。8,。分別交y軸于M, N兩/點(diǎn).求證：以MN為直徑的圓過兩定

19、點(diǎn).【思路探究】從動(dòng)點(diǎn)。的成因來看，點(diǎn)R是主動(dòng)點(diǎn)，通過點(diǎn)A，傳遞到g , 為從動(dòng)點(diǎn)，首先用R的 坐標(biāo)來表示P2的坐標(biāo),點(diǎn)尸(x, y)用、P2來表示，再歸結(jié)為用R來表示,然后，反過來用 P的坐標(biāo)來表示的坐標(biāo),代入雙曲線方程，進(jìn)而得到P的軌跡E的方程.第問，欲證以MN為直徑的圓過兩定點(diǎn),需要先將以MN為直徑的圓的方程寫出來，于是 需要先求出點(diǎn)3、。的坐標(biāo)，然后是Q8 , QQ的方程，接看求M , N的坐標(biāo)，最后是以M/V 為直徑的圓的方程，當(dāng)圓的方程出來之后，通過觀察方程的特點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo).【解析】設(shè)爪玉)，光)，由已知得口3，0)J ,則直線F”的方程為：y = -*x-如， 令X = O得

20、y = 9% ,即 g(0, 9y0),M鄲理科到第而囿；.士設(shè) PG, y),則 2 n3'。+9yo 4卜= = 5%X。= 2x 22，即 V代入點(diǎn)一% = 1 ,%=j8Zrb-得葛一M = 1即。的軌跡七的方程為-焉=在東-高=1中令y = 0得V=2Z/則不妨設(shè)8（-e, 0）,隊(duì)同,0）,于是直線沙的方程為：），=。+四），X + y/2b直線8的方程為：y = （x->/2/7）,X -八7可得用0, 34 ,郊0, 一嗎：.內(nèi)+加 %-回）則以MN為直徑的圓的方程為：/+），-烏1 1y +9%| = 0 ,M+岳人X同）2/?、2V* V22令、,=0得，而。

21、5,、p在呆一急=1上，貝城，& - ZZ?Zf?ZD/?Zj于是x = ±5/，,即以MN為直徑的圓過兩定點(diǎn)（-5。，0） , （5，0）.【反思與啟迪】求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.其中，由某一曲線上的動(dòng)點(diǎn)，利用 直線與直線，直線與曲線的位置關(guān)系，構(gòu)造另一動(dòng)點(diǎn)，求后者的軌跡問題，是近幾年高考 的熱點(diǎn)，需要引起足夠的重視.對(duì)于第問，可以將其推廣到一般的情形：設(shè)雙曲線£-* = 1的頂點(diǎn)為A，4 ,夕為雙曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，尸4、尸也分別與，軸 相交于M、N兩點(diǎn)，則以MN為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)（-，0）和（，0）,且圓的半徑大于人【備選】已知拋物線丫2=2工

22、及定點(diǎn)41,1）,5（-1,0）,"是拋物線上的點(diǎn)，設(shè)直線4W，83與拋物線 的另一交點(diǎn)分別為求證：當(dāng)點(diǎn)M在拋物線上變動(dòng)時(shí)（只要存在且M與 是不同兩點(diǎn)），直線MM：恒過一定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)【解析】設(shè)以學(xué)i），A/J米,yj , mJ爭(zhēng)L），因?yàn)锳,M，M三點(diǎn)共線，3M =1 所以三二4 二*1 ,即1- =$二,即3 +、,。）“。_）= >：_2 ,2L_A 21_1>i+>o 匯-2222求出X 二在二，同理可求出力二三，兒一1%設(shè)直線也團(tuán)過定點(diǎn)U（x, y） t則點(diǎn)U , M , M,共線，= ku 即士二上二=4 x-1222即一- = 7；,即（為+力

23、）（>'一為）=2入一）；,即兇近州+%） + 2人=0 ,y+為 2x-y；所以由y=九二|，力=2。一1 %消去 V）,得（2x- y）Vo +2（1-A）yo + 2y-4 = 02x = y上式對(duì)任意v0恒成立，所以得到, X = 1 ,所以所求的直線恒過定點(diǎn)（1，2） .1=2團(tuán)史定值問題考點(diǎn)2 :圓錐曲線中的定值問題jgT知識(shí)點(diǎn)睛在幾何問題中，有些幾何量與參數(shù)無關(guān)，這就構(gòu)成定值問題.求解這類問題的基本策略是“大處著 眼、小處著手“，從整體上把握問題給出的綜合信息和處理問題的函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、 分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等，并恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用待定系數(shù)法、相關(guān)點(diǎn)

24、法、定義法等基本數(shù)學(xué) 方法.若題設(shè)中未告知定值，可考慮用特殊化方法探求定值的可能值，再證明之.若已告知，可 設(shè)參數(shù)（有時(shí)甚至要設(shè)兩個(gè)參數(shù)），運(yùn)算推理到最后，參數(shù)必須消去.教師備案三種圓錐曲線對(duì)同一個(gè)定值問題經(jīng)常有相似的結(jié)論，這部分內(nèi)容不僅要求會(huì)根據(jù)法則、公式定理、定律正確地進(jìn)行運(yùn)算，而且要做到舉一反三.經(jīng)典精講【例3】（2009遼寧理20文22）已知，橢圓。過點(diǎn)兩個(gè)焦點(diǎn)為（-1, 0）, （1，0）.求橢圓。的方程； E,尸是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與A/的斜率互為相反數(shù)，證明直線 £F的斜率為定值，并求出這個(gè)定值.【追問】反過來，E,尸是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果

25、63;/：的斜率為1，那么隹與從廠的斜 2率互為相反數(shù)嗎？【思路探究】欲證明的斜率為定值，實(shí)際上是證明隨著£，尸兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，它們的坐標(biāo)可以表示 為某一參數(shù)，比如AE的斜率k的函數(shù)，而EF的斜率的取值與k無關(guān).基于這個(gè)想法，不 妨從M的斜率入手，逐步推出E . F兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到EF的斜率表達(dá)式，化簡(jiǎn) 后必與無關(guān).【解析】由題意，。=1 ,可設(shè)橢圓方程為一J + I = i.1 + /T b-至學(xué)誕周到學(xué)際'周生三因?yàn)锳在橢圓上，所以一U +匚=1 ,解得=3 , /?=-（舍去）. 1 + Zr 4/r4所以橢圓方程為1 + 1 = 1.43設(shè)直線AE方程：得），= %（

26、工-1） +,，代入三+二=1得7 243（3 + 4k2）x2+4k（3-2k）x + 4-12 = 0設(shè)yt:） , F（xf., yF）.因?yàn)辄c(diǎn)d1, g |在橢圓上,所以又直線4：的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以i代k ,可得所以直線EF的斜率上二莊=M（。+ "）+ 24=：. xF -xE xF2即直線石戶的斜率為定值，其值為1.2【追問】L+&-=0是成立的.設(shè)直線方方程為y = Lr +機(jī)，代入橢圓工+t=1中，化簡(jiǎn)得/+如+3 = 0. 243由 A = ?2-4（?2-3）>0，可彳導(dǎo)一2v，<2 .于是,x. + 工7 = 一'

27、;，= m2 - 3 .l- f c r£, r933當(dāng)/，/wl時(shí)，%=- > kAF =-xE -1 xF -1y£- -1 ,'f| (：.+ 6一+？ 一!)(%£1)nr - 3 + (in - 2)( 一。- 2m + 3 = 0+ =: . 1 xr - 1(4-1兒立-1)上式的分子為XEXF + ("L 2)(x£ + x尸)- 2 所以攵花+心/=。當(dāng)或即為1時(shí)，不妨設(shè)/ = 1 ,代入M + nix + in2 -3 = 0 ,名言合-2 < m < 2，可彳導(dǎo)？ = 1 ,1a于是以=34+ 1

28、=5 ,從而E點(diǎn)與A點(diǎn)重合,AE的斜率等于橢圓在A點(diǎn)的切線的斜率.x 1x而橢圓在A點(diǎn)的切線為?+k=1 ,即工+ 2），-4 = 0 ,斜率金=-；.另外，由? = 1可以算出方程X2 + inx + m2 -3 = 0的另一根與=-2 ,貝!I力=；與+1 = 0 ,于是易算出k" = /因此攵壯+心/=。-綜上，4；與AF的斜率互為相反數(shù).【反思與啟迪】對(duì)于第二問，可以有一股性結(jié)論：對(duì)于橢圓方程£ +1=1 , A（x0 ,右）是橢圓上一點(diǎn)，過A的兩條斜率相反的直線與橢圓交于除A外的£、/兩弓示點(diǎn)，則 電=£”.橢圓在a點(diǎn)的切線方程為-Z3二+斗=

29、1 ,斜率為4 ,所以。與A點(diǎn)處的切線E“b-小斜率互為相反數(shù).設(shè)A關(guān)于x或y軸的對(duì)稱點(diǎn)為3 ,顯然3在橢圓上,且橢圓在B點(diǎn)的切線斜率為空，因此£尸與4點(diǎn)處的切線平行. 4 ' . 反過來,如果橢圓上的點(diǎn)A . E,F ,且£7；的斜率等于橢圓在A點(diǎn)的切線斜率的相 反數(shù)，則 他和心的斜率互為相反數(shù).對(duì)于拋物線和雙曲線，也有類似結(jié)論.提高班學(xué)案2【拓1】如圖，過拋物線V = 2px（p>0）上一定點(diǎn)P（x。，腎）（，。>0）,作兩條直線分別交拋物線于A（X，yj，B（x2, y2）.求該拋物線上縱坐標(biāo)為2的點(diǎn)到其焦點(diǎn)小的距離:當(dāng)力與心的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)

30、時(shí)，求止包的值，并證明直A線AB的斜率是非零常數(shù).【解析】方法一：（1）當(dāng) 丁 =，時(shí)，x = L . 28又拋物線y2 = 2Px的準(zhǔn)線方程為x = -g . 乙由拋物線定義得，所求距離為.8 I 2J 8設(shè)直線24的斜率為,直線總的斜率為,由父=2/叫，yi = 2px0 .相減得（M -%）（M+%） = 2p（x -）,故勺，/衛(wèi)二星 =上（產(chǎn)/）.內(nèi)一% >i + Vo同理可得kPR =.（、H為）.>2 + >0由如，反傾斜角互補(bǔ)知% =一心8 ,即椀二 ，y+% 力十%所以 y + y, = -2yo ,故-!= -2 .%設(shè)直線他的斜率為38 ,由 y； =2

31、px2 , .V； = 2/9X（,相減得（%f ）（丫2 + X） = 2P（七一司），所以g=& = /（寸天），3?|+>2將.V. + >,2 = -2yo（.Vo > 0）代入得上，所以是非零常數(shù).方法二：顯然該點(diǎn)的坐標(biāo)為|，,又0）,由兩點(diǎn)間距離公式得所求距離為 居方+）號(hào)- 設(shè)直線處的斜率為，則直線總的斜率為-k，且kwO .所以直線處的方程為)一'0=女(工-工。)由 '"',消去 x 整理得 ky2 - 2py + 2py2P左 = 0 ,yf=k(x7o)y。是方程的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得X+y0=學(xué)，k用-火

32、替換式中的k得為+%=-* ,C2)+:彳導(dǎo),+ % +%+%=° .又方0 ,所以214 = 2 .50一彳導(dǎo))1一為=孚，而,招=三， k2 P2所以x.r，T-產(chǎn)+")-2 2P2故直線他的斜率為之二& = -二=0 .即直線相的斜率是非零常數(shù).為一9 比【反思與啟迪】本題以拋物線為載體全面考查解決解析幾何問題的思想方法.第問的基本解法應(yīng)用拋物線定義靈活簡(jiǎn)潔，而解法2是運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式求解，給人返樸歸真、回歸基礎(chǔ)之感；第問的基本解法1和解法2都是解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的通法， 體現(xiàn)了方程思想、設(shè)而不求、對(duì)稱思想的靈活運(yùn)用.直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題是

33、多年來高考重點(diǎn)考查的熱點(diǎn)內(nèi)容.本題推理與計(jì)算有機(jī)結(jié)合，分步設(shè)問，層次清晰,且分層遞進(jìn).基本思路是：“代點(diǎn)作差'或'聯(lián)立方程組 T消元-韋達(dá)定理，其中設(shè)計(jì)合理的推理運(yùn)算途徑尤為重要.尖子班學(xué)案2【拓2】如圖，過圓錐曲線 ?/+尸=（30）上一點(diǎn)p®, %）（）/（）,作兩條直線分別交圓錐曲 線于A（z，yj、B（x2 , y2）.直線P4與總的斜率存在且傾斜角互為補(bǔ)角，證明直線他的 斜率是非零常數(shù).9""丁,，消去v整理得【解析】設(shè)直線叢的斜率為k，則直線抬的方程為（m + nk2x2 +2欣（% 左。）工 +欣葭：-2依）乂-1 = 0 /顯然，%

34、 ,占是方程的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得小+m=3竺三±1,因?yàn)橹本€抬與心的傾斜角互為補(bǔ)角，所以直線心的斜率為i ,用替換中的k ,得2成低+ %)m + nk2上（為一工0）+女（乙一不）&（為+工一2%）VG玉r+得2i+內(nèi)+為=土注， - m + nk所以-2.% =冷-為m + nk' m + nk-得N-x,=型也.-m + nk所以，即直線他的斜率是三日常數(shù).顯然，當(dāng)， =>0時(shí),"認(rèn)=1表示圓;當(dāng)"7>0 , ：>0且？工時(shí),"以' +? =1表示橢圓；當(dāng)"? < 0時(shí)，nix2 +

35、 ny2 = 1表示雙曲線.這就是說，上述性質(zhì)是圓錐曲線的一條統(tǒng)一性質(zhì).它不僅揭示了問題的條件和結(jié)論之間的必 然聯(lián)系，還體現(xiàn)了三種圓錐曲線的和諧統(tǒng)一，給人以美的感受.目標(biāo)班學(xué)案2AC【拓3】（2010西城二模19）如圖，橢圓C:F+二=1短軸的左右兩個(gè)端點(diǎn)分別為A,3,直線 4"+ 1與x軸、丁軸分別交于兩點(diǎn)E,尸，與橢圓交于兩點(diǎn)C,若在二 F）,求直線/的方程：（2）設(shè)直線AO,C5的斜率分別為K ,人，若"=2:1,求k的值.【解析】設(shè)C（x , y） , D（x2 , y2）,生耶理科后7驪而，思4 v- + v = 4由.'得（4 + 公）/+26-3 =

36、0 ,y = kx + A = 4公+12（4 + 公）=16尸+48 ,一2k一3%+士=石由已知上卜；，0： , ”）,1）, 1又 cE = fD，所以一展一玉，一 x =（x2 , y2 -1） k>所以一:一為=%，即&+芭=一:,所以當(dāng)=一：，解得女=±2 , 4 + k-k符合題意，所以，所求直線/的方程為2x-y + l=0或2x + y-l = 0 .(2) k., 4：太=2:1 ,x2+ a-1所以%(內(nèi)1) = 2)式&+1) 1平方得舒一又片+千=1 ,所以凹2=4（17；）,同理£=4（17；）,代入上式， 計(jì)算得（）一,即

37、3%占+5區(qū)+M）+ 3 = 0 ,所以缺2-10k + 3 = 0，解得=3或女=1 , 3因?yàn)闆_玉二）二,x.,x,e（-M），所以yy,異號(hào)，故舍去,7）（2 +1）1.3所以*=3 .教師備案圓錐曲線與向量結(jié)合也是很重要的題型，向量在處理長(zhǎng)度、角度、平行、垂直時(shí)有其獨(dú)到之處，注意向量共線的充要條件的應(yīng)用.f >【例4】如圖，已知點(diǎn)尸（1, 0）,直線/以=1，。為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。作/。一宣的垂線，垂足為點(diǎn)°,且0A爐=麗而.I |（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡。的方程：門過點(diǎn)小的直線交軌跡C于A、4兩點(diǎn)，交直線/于點(diǎn)M,且兩=4"，"4 = 48尸, 求4

38、+4的值.【思路探究】欲求點(diǎn)P的軌跡C的方程，只需將向量條件QP QF = FP FQ轉(zhuǎn)化為關(guān)于點(diǎn)P的坐標(biāo) （X,3，）的代數(shù)關(guān)系式即可.對(duì)于第問，由于A、8、M點(diǎn)的坐標(biāo)都由過點(diǎn)F的直線鉆 確定.所以引入刻畫直線心的參數(shù)，即寫出直線心的方程，再與拋物線方程聯(lián)立，用這個(gè)參數(shù)表示A、4、M三點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合向量條件加=4府和何總=4麻，得到用 該參數(shù)表示的4,4,進(jìn)而即可求出4 + 4的值.【解析】方法一：設(shè)點(diǎn)尸(x, y),則。(-1, y) , &QP QF = FP FQ ,得(x + 1, 0).(2, -丁) =。一 1, y)(2, y)，化簡(jiǎn)得曲線C的方程為/ =4x.方法二：

39、由行歷=而質(zhì)，得而(+而)=0 , (PQ-W) (PQ + PF) = 0 ,即市一獷=0 ,所以I P0l=l戶戶I .所以點(diǎn)P的軌跡。是拋物線，由題意,軌跡。的方程為V =飄.方法一：由于直線4?不能垂直于)，軸，且又過x軸上的定點(diǎn)，故可設(shè)直線的方程為 x = "r + l(？W0),貝- 1, 一二.設(shè)A(X , V) , B(x, , >) x.聯(lián)立方程組、廠=4一消去無得x = my +1,)F-4"v - 4 = 0 r A = (-4"i)2+16>0 ,故'X + 先=4，川丹=7m22A=-i-，%=T-二，2 11所以4+

40、4=-2-二-+±八方 y2_2，.A1A = _2二色=0 .m y,y2 m -4由M/i = 4/，MB = A2BF t 得(為 + i, 乂+5)=4(1-&，一片)，卜+1,力+，"(If, -y2),7?利用對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)相等，得y+二=-4H，x+二=-4尢，整理得方法二：由已知=，"片=48戶，得4/<0 .則孫尸ma aaJ afBF過點(diǎn)A、B分別作準(zhǔn)線/的垂線，垂足分別為A、B一則有 T =卜3 - L MB BB由、得4 AFBF【反思與啟迪】本小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識(shí)，軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方

41、法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力.對(duì)于第問，可推廣出系列命題：三每誕到百際,思生三命題1過定點(diǎn)E（m, 0）的直線/與拋物線y2 = 2px交于A , B兩點(diǎn)，與直線x = n交于M 點(diǎn)，若m4 = 4aE .=,貝口4+4= .m 22命題2過定點(diǎn)七（加，0）的直線/與橢圓二+二=1（。>>0, “工。交于A , 4兩點(diǎn)，與 cr b-直線工=交于M點(diǎn)，若加=4立，則4+4的值恒等于也二山. cr - nr推論2.1直線/過橢圓二+二=13>八0）的焦點(diǎn)/，交），軸于M點(diǎn)，交橢圓于A ,3兩 cr lr點(diǎn)，mA = af，"片=48廣，則4+4的值恒等于-弓匚. 2

42、2命題3過定點(diǎn)E（m, 0）的直線/與雙曲線二一二= 1（“ >0, >0, 工刈交于A , B兩 cr lr點(diǎn)，與線x = 交于M點(diǎn)，若M/，= 4A后，=,則4+4=竺匕掣.er - m推論3.1直線/過雙曲線士-1 = 1（心0, >0）的一個(gè)焦點(diǎn)F ,交.V軸于M點(diǎn)，交雙曲 cc lr線于a , B兩點(diǎn)、,若m/ = 4aE , mG = %b巨,則.尖子班學(xué)案3【拓2】已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)廠的直線交橢圓于A、8兩點(diǎn)，。4 +。分與1 = （3,-1）共線.求橢圓的離心率：（2）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，ROM =AOA + p

43、OB （/l,wR）,證明無+2為定值. 22【解析】設(shè)橢圓方程為1+% = 1（4>>0）/（。，0）, cr b"則直線AB的方程為>，=人-。，代入二+ 1 = 1 ,化簡(jiǎn)得 cr lr（a2 + h2 ）x2 - 2a2cx + a2c2 - a2b2 = 0 .、八“、 nz 、 mil ,242ca2c2 -a2b2以 A（N，y） , B（x.，y.）,貝!）玉 + 4=；d+Zrd+Zr由 OA + OB = （Xj + . , y + %），。= （3,-1） , OA + OB 與a 共線,得 3（.+.2）+（為+8）=0又.力=王一。，/=&

44、amp;-。/.33( + x2 - 2c) + (x+x2) = 0 , /. X! +x2 = c,所以=3/，c = -Ja2 -b' =工 ,故離心率e = £ = W . a 322 由知42=3/，所以橢圓二 + 二 = lm>>0),F(c0)可化為V+3y2=32.cr lr設(shè)y) f 由已知得(x, y) = %(x，' >2)， 9 .r = 2Xj + f.ix2 ： M(x, y)在橢圓上 f，(秋 + f + 3(2y, + juy2)2 = 3b2 .即 A2 (%： + 3y；) + J (x； + 3E)+ 22/z(

45、x,a-2 + 3y y2) = 3Z?2 由(1 知 A+占，/ = jc?，, x、X = " I =R，222a©39-+3g =. +3(xc)("c) = 4N"3a +s)c + 3c?=尸-產(chǎn) +女。=0 ,又x；+3y； =3/- , x； +3y； =3Z>2 ,代入得/J +?=1.故萬+”為定值，定值為1.目標(biāo)班學(xué)案3 【拓3】（2010宣武一模19）已知橢圓二十1=1（ > > 0）的離心率為*. cr b-3（1）若原點(diǎn)到直線x + y- = 0的距離為應(yīng)，求橢圓的方程：設(shè)過橢圓的右焦點(diǎn)且傾斜角為45°

46、;的直線I和橢圓交于A.8兩點(diǎn).i）當(dāng)I A31=5 求的值；ii）對(duì)于橢圓上任一點(diǎn)M，若麗=%函+ "而，求實(shí)數(shù)聯(lián)滿足的關(guān)系式. 【解析】，/ = t =, ：.b = 2 . c >/6. c1 2 e = = / r, = a3 a2 391J,，一4 =二42 ,解得力=12,從=4 .橢圓的方程為三+E=1.12 4i ）£ =必， 1 = 3hc2=a2= 2b：橢圓的方程可化為 a 33x2 + 3y2 = 3b2易知右焦點(diǎn)F（,0）,據(jù)題意有鉆:y = x-gb.由，有：4丁-6抒求+3b2 =0設(shè)4苔，凹）,8（%2，%），X 81= J*2N1+（

47、力一?。? =+=孚= ®）= E：,h = ii）顯然 函與O豆可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對(duì)于這一平面內(nèi)的 向量。有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)九，使得等式0杯=/1。>4 + 0分成立.設(shè)M（x,y）,v（X, y） = A（xx, Ji） +, y2） f A x = Axx +px2,y = Ayl +/y2生耶理科后7驪而，思又點(diǎn)M在橢圓上，(/%+)2 + 3(科+ 刈)2 = 3b2rb有后,3及b3b2由 3有 - X + ±=-,XjX2 4 則x1x2 + 3yy2 = xx2 + 3(% - y/2b)(x2 - >/2b) = 4七

48、七 - 3y/2b(x + %) + 6必=3b2 -9b2 + 6b2 = 0又A . 8在橢圓上,故有X； + 3y： = 3必,£ + 3£ = 3b2 將，代入可得：萬+2 = 1.教師備案圓錐曲線中包含直線與圓的內(nèi)容時(shí)，仍然遵循盡量結(jié)合平面幾何的知識(shí),而不是盲目的用 直線與圓錐曲線來解.例5主要是碰到要求長(zhǎng)度相關(guān)問題時(shí)的一種處理方法，圓的切線的應(yīng)用和切點(diǎn) 弦方程是解決此類問題的關(guān)鍵.已知橢圓二【例5】（2010崇文二模理19）亍+卷=1（“>>0）和圓O： X2+y-=b2,過橢圓上一點(diǎn)夕引圓。的兩條切線，切點(diǎn)分別為A.5.（1）* （i）若圓。過橢圓

49、的兩個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓的離心率八 （ii）若橢圓上存在點(diǎn)P，使得N*8 = 900,求橢圓 離心率e的取值范圍.心設(shè)直線的與X軸、），軸分別交于點(diǎn)M, N, 求證：二_ +二_為定值. ON |。町【解析】（i ） .圓O過橢圓的焦點(diǎn)，圓O ： x2+y2=b2 , : b = c , lr =a2 -c2 =c2 , 工 £ = 2/ , . 夜 .e =.2（ii ）由Z4PB = 90°及圓的性質(zhì)，可得|"| =）, ：.|OP|2 = 2b2 Wa2 2（a2-c2）a2 t 即a2 W2c2 r 2 , W e < 1 . 22設(shè)尸伍，兒）,人（王,方

50、）,3（天辦），由小，。4 ,則義整理彳導(dǎo)%內(nèi)+ )£* = X； + V,2 呼+靖=/，A x1x0 + yly0=/?2 f 同理工小+力為二尸.x.xQ + yyQ = x2x0 + y2yQ f y2 f _d , >"N Joh2M直線AB方程為y-y令工=0 ,得|ON| = Lv| = J ，令y = 0 ,得似叫=兇= 1><>1cr lr dy；+“匯a-0N" |。叫 b4 1/ b2,而+品為定值'定值是去提高班學(xué)案3【拓1】 已知拋物線/=2武>0),過定點(diǎn)M(p,O)作一弦P。，則一 + =MP Q

51、【解析】4p- 設(shè)p(n，y)，。(占，y2)，直線PQ的斜率不存在時(shí)，方程為x = p ,解得|m戶卜|m4 =應(yīng)，u B 111 , 11從HUrr = r + *rt = -r -mp mq 2p- 2p- p-直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)PQ的方程為y =心- p),代入y2 = 2/中，消去y得: k2x2 -2p（k2 +）x + k2p2 =0 ,11_ x；+x；+2/X； + P2 X2 + P2 （X； + /尸）（父 + P2）1 1 1 1r +r =； +；-mp|2 阿（N - P）2 + X（W -，尸+£，故X； +£ +2/72（x； + 2）

52、（x； + p2）x； +4+2/G； + 2；+¥）+“A； + 石 +2/（x；+x；） + 2p4綜上知，-X+-U=-l MP MQ P【備選】已知：O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F、7, M、滿足。聲= (1,0),。7 = (-13)，F(xiàn)M=MT . fM ±Ff , PJ / OF .當(dāng)，變化時(shí)，求點(diǎn) q 的軌跡方程； 若A是軌跡上不同于R的另一點(diǎn)，且存在非零實(shí)數(shù)幾，使得珂=2項(xiàng)，【解析】法一：代入消參法設(shè)R(x，y)，則由尸”=加得M是線段FT的中點(diǎn),得M(0,，, W = 'x,；-y),yv Ft = OT-OF = (-2, z) , P；r = (-x,t

53、-y) t- 77 ± FT A 2x + t i-y | = 0 12）,r PJ /OF .（Tx）.0 a 3，）J=0 化簡(jiǎn)彳導(dǎo)：f = y 由、得：'2 = 4x ；法二：定義法如圖，可分析得，點(diǎn)R到廠的距離等于到直線x = -l的距離, 即P點(diǎn)軌跡為以尸（1，。）為焦點(diǎn)，直線x = -1為準(zhǔn)線的拋物線, 由定義可知：y2=4x .易知F（1,0）是拋物線y2 =4x的焦點(diǎn)，由FI=AH ,得F、R、P2三點(diǎn)共線，即直線 P2為過焦點(diǎn)F的弦， 設(shè)45，乂）、鳥（毛，），直線利的方程為： 1） 代入y2=4x得:k2x2-2（k2+2）x + k2=Q，則%占=1 ,

54、 X. +X,=與巨，由拋物線的定義知：1 _ 11 _占+4+2_|f| R演+i 巧 +xR+a+xl + L 經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)斜率不存在時(shí)，結(jié)論也成立.華山論劍（2008安徽理22） 22設(shè)橢圓C：二+/=1（"。）過點(diǎn)M（ 1），且左焦點(diǎn)為四（-0，0） 求橢圓。的方程：（2）當(dāng)過點(diǎn)尸（4, 1）的動(dòng)直線/與橢圓。相交于兩不同點(diǎn)A, 8時(shí)，在線段4r上取點(diǎn)。，滿足 ap|-|0b|=|A2|-|pb|,證明：點(diǎn)q總在某定直線上.【思路探究】因?yàn)闄E圓方程中有兩個(gè)未知量，所以欲求其方程只需建立關(guān)于它們的兩個(gè)獨(dú)立方程即可, 這由已知不難做到：曲線上的點(diǎn)必適合曲線的方程，即已得到一個(gè)方程,另外，由橢圓中 a，b, c的關(guān)系，可知I-y=2 .解方程組就得到橢圓。的方程.第問探求點(diǎn)Q的性質(zhì)，而。是線段相上滿足卜斗|。 =卜41用的點(diǎn).換個(gè)角度看AP AQAP AQ卜戶口以卜卜耳.,阿，可得到就慟，即動(dòng)點(diǎn)。受制于比值慟=慟.若記這個(gè)比值為4.以此為參數(shù)，則利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算便將幾何條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，經(jīng)過恰當(dāng)運(yùn)算與 推理即可使問題獲得解決.【解析】利用待定系數(shù)法可求得橢圓。的方程為千+ 1 = 1 .方法一：設(shè)點(diǎn)Q、A、8的坐標(biāo)分別為（x, y）、（N，X）、（七，月），APPB則4（）且力=1.又A、P、B、。四點(diǎn)共線，從