橢圓大題中的向量問題—基礎(chǔ)篇

1、同理，若點(diǎn) P(0,t),則 PAPB=t2222222abm-abki_2mtb2212.2akb2.2,2akb特殊情況：當(dāng)P為原點(diǎn) O 時(shí)，OAOB=a2b2m2-a2b2k21橢圓中的向量問題一、基礎(chǔ)知識部分：向量的數(shù)量積運(yùn)算、垂直關(guān)系&角度判斷、橢圓內(nèi)的平行四邊形問題.1.向量的數(shù)量積問題記點(diǎn) P(t,0 青x軸上的一點(diǎn)，A(Xi,yi卜 B(X2,y2)是直線l:y=kx+m(l 不經(jīng)過橢圓22的頂點(diǎn))和橢圓與+4=1(ab：0)的兩個(gè)交點(diǎn)，則 PAPB 計(jì)算過程可分為以下三步：abI.寫出向量的坐標(biāo)(末-初)，并將 lAPB 表示成 f(XiX2，Xi十 X2)的形式PA

2、PB=Xi-t,yiiX2-t,y2=Xi-t,kxim)1X2-t,kx2m=(k2+1=x+(km-tkx+x2)+(m2+t2)X1X2=fi(k,m),Xi+X2=f2(k,m);2/22、2am-b2kma二k1-kmTakbakb2.a2b2m2-a2b2k212kmta22.2.22.2.2akbakb其中 I、II 兩步可以互換順序基礎(chǔ)練習(xí)：請按照以下條件作答II.聯(lián)立直線 l 和橢圓，得出聯(lián)立y=kXm22222,2bxay-ab=0得(a2k2+b2)x2+2kma2x+a2(m2-b2)=0,22kma則Xi.長二一至2，akbXiX2222am-bIII .將 Xi+X

3、2,XiX2代入式中,得到 PA，PB=g(k,m),將 PAPB 轉(zhuǎn)化為含 k,m 的式子PAPBm2t22X21.已知斜率為 k 的直線 l 經(jīng)過點(diǎn)(1,0)與橢圓+y=1 交于 A、B 兩點(diǎn),(1)若點(diǎn) o 為原點(diǎn)，請寫出節(jié) AOB 關(guān)于斜率 k 的關(guān)系式；(2)已知點(diǎn) P(2,0)，請寫出PAEB 關(guān)于斜率 k 的關(guān)系式；22xy、2.若斜率為 k 的直線 l 經(jīng)過點(diǎn)(0,2)與橢圓-y+5=1 交于 A、B 兩點(diǎn)(注意 A0),(1)若點(diǎn) O 為原點(diǎn)，請寫出 OAOB 關(guān)于斜率 k 的關(guān)系式；(2)若點(diǎn) P(1,0)，請寫出 7AKB 關(guān)于斜率 k 的關(guān)系式；(3)若點(diǎn) P(2,0)

4、,請寫出 PA 彘關(guān)于斜率 k 的關(guān)系式；1.1 求向量數(shù)量積的問題(給出點(diǎn)P的坐標(biāo))22例 1:已知橢圓 C:七+上=1,直線 l 經(jīng)過 C 的右焦點(diǎn)F與橢圓交于43(2)若 pApB=22,求直線 l 的方程；(y=x1)7(3)若 OAOB=N,求貳 PB 的值；(k2=2,pA,PB9)11求 PAPB 的取值范圍；(PA，PBW,51)_4(5)若 AP+PB11,PAPBP%I)7，471(6)記 D、E 分別為橢圓 C 的左右頂點(diǎn)，-1TTI90ADEB+AE，DB=一，求直線 l 的萬程；(y=x1)7ADEB+AEDB 的取值范圍.(ADEB+羨 DBW 尺,16I)_2A、

5、B 兩點(diǎn)，點(diǎn) P(3,0(1)寫出PAPB 關(guān)于直線 l 的斜率 k 的關(guān)系式；(27k15、PA.PB=2)4k23D.練習(xí) 1.1x2231.已知橢圓 4+y=1 的離心率e e= =, ,右直線 l l: :y=kx+無與橢圓恒有兩個(gè)不同的父點(diǎn) A A、 B B 且 OAOB2,2,求 k k的取值范圍.222 .已知橢圓之+工=1的左焦點(diǎn)為F,設(shè) A A、B B 分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為 k k3 2的直線與橢圓交于 C C、D D 兩點(diǎn).，若品前+ADCB=8,求 k k 的值.1.2 動點(diǎn)分析問題(直線l過橢圓頂點(diǎn)的問題)22以 l 經(jīng)過橢圓x2+y2=l(ab0)的左

6、頂點(diǎn) A(-a,0)為例.ab設(shè) l:l:y=k(x+a)且 l 過點(diǎn)A與橢圓交于點(diǎn) B(x2,y2),聯(lián)立222222bxay-ab=0動點(diǎn)分析問題的過程如下：I .分析問題中涉及的動點(diǎn)；II .按難易程度，通過聯(lián)立的方法用直線斜率 k 表示出問題中所涉及的動點(diǎn)坐標(biāo);III .按照目標(biāo)向量所涉及的點(diǎn)，將向量坐標(biāo)運(yùn)用直線斜率 k 表示出來；IV .將向量的數(shù)量積運(yùn)用含 k 的式子表示出來.,得(a2k2+b2)x2+2k2a4x+a4k2-a2b2=0,xx2ax2-2a422ak-abk2b2、，ab2-a3k2、，2ab2kx2=-2.2.2，y2=2.2,.2，akbakbab即點(diǎn)B箕2

7、-a3k22ab2k例 2:如圖，橢圓 E:+y2=1,記 A、B 為橢圓的左右頂點(diǎn)，點(diǎn) C 為橢圓的上頂點(diǎn)，直4線 l 經(jīng)過點(diǎn) C 與橢圓交于另一點(diǎn)D,并與x軸交于點(diǎn)P,直線 AC 與BD相交于點(diǎn)Q.當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)B時(shí).(1)記 k 為直線 l 的斜率，用 k 表示點(diǎn) P、D 的坐標(biāo);OPOQ=4)練習(xí) 1.2:21.已知橢圓 C C:x-+y2=1,若 F 為橢圓 C C 的右焦點(diǎn)，經(jīng)過橢圓的上頂點(diǎn)B的直線 l 與橢圓2L 人、T另一個(gè)交點(diǎn)為 A,且滿足 BA-BF=2(1)用直線 l 的斜率 k 表示點(diǎn)A的坐標(biāo)；T-I(2)用含 k 的式子表示 BA 的坐標(biāo)，同時(shí)表示出 BF 的坐標(biāo)；(3

8、)用含 k 的式子表示 BABF,構(gòu)建方程 f(k)=2;(4)解出 k 的值，寫出直線 l 的方程.28k1-4k24k2+14k2+1(2)2k1用 k 表不出IBD的斜率；(kBD=)4k-2(3)用 k 表示出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；(Q(Sk,2k+1)用 k 表示出 OP、OQ的坐標(biāo)，并求OPOQ.1(OP=_4k,2k1,22.2.已知橢圓2+y2=1若 C C、D D 分別是橢圓長軸的左右端點(diǎn)，動點(diǎn)M滿足 MDJ_CDMDJ_CD, ,連接2CMCM 交橢圓于點(diǎn) P,P,證明：OM*OP 為定值.(1)記直線1CM的斜率為 k,用含 k 的式子表示出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；(2)用含 k 的式

9、子表示出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；(3)用含 k 的式子分別表示出 OP、OM 的坐標(biāo)；(4)證明 OMOP 為定值.2X23.已知橢圓一+y=1,點(diǎn)A-2,0,設(shè)直線 l l 過點(diǎn)A與橢圓交于另一點(diǎn) B,點(diǎn) Q(0,y0)在4線段AB的垂直平分線上，且 QAQB=4,求 y0的值.(1)設(shè)直線 l 的斜率為 k,用含 k 的式子表示點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)用含 k 的式子表示出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，并寫出AB的中垂線方程；(3)用含 k 的式子表示出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；e 人心一八一rT(4)用含 k 的式子分別表不出 QA,QB;(5)運(yùn)用QAQB=f(k)=4,求直線 l 的方程，并求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo).2.數(shù)量積

10、問題的延伸一一垂直問題和角度判斷問題2.1 直線的垂直問題，可以轉(zhuǎn)換為向量的數(shù)量積為零的問題.記點(diǎn) P(t,0 聲x軸上的一點(diǎn)，A(xi,yiB(x2,y2)是直線l:y=kx+m 和橢圓22xy二十嘉=1(ab0)的兩個(gè)交點(diǎn)，由之刖的討論可知，a2b2m2-a2b2k212kmta2OTTTT若PA1PB,則 PA7B=0.22例 3：如圖，記A為橢圓x2+與=1(ab0)的上頂點(diǎn)，F(xiàn)i、F2ab為橢圓的兩焦點(diǎn)，BPB2分別為 OF。OF2的中點(diǎn),(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率;(2)過點(diǎn) B,作直線 l l 與橢圓相交于 P、Q 兩點(diǎn)，若 PB2IQB2,求直線 l l 的方程.練習(xí) 2.

11、121.已知橢圓 C：x+y2 2= =1,FpF2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，若過點(diǎn) F2的直線 l l 與橢圓 C C2一_rT相父于 P、Q 兩點(diǎn)，且 FF_LFQ,求直線 l l 的萬程.2PAPB 二 tAB1B2是面積為4的直角三角形.22 .已知橢圓 G G：x-+y2=1,短軸上、下頂點(diǎn)分別為A、B,B,若 C、D 是橢圓 G G 上關(guān)于y軸2對稱的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線 BCBC 與 x 軸交于點(diǎn)M,判斷以線段MD為直徑的圓是否過點(diǎn)A,并說明理由.223.如圖，已知橢圓士+上=1，設(shè)點(diǎn) P、Q 分別是橢圓和圓 O O 上42位于y軸兩側(cè)的動點(diǎn)，若直線 PQ 與 x 軸平行，直線 APA

12、P、BPBP2.2 角度問題與y軸的交點(diǎn)記為M M、N N,試證明 ZMQN 為直角.點(diǎn)P在以AB為直徑的圓外點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上點(diǎn)P在以AB為直徑的圓內(nèi)判斷角度為鈍角、直角還是銳角，以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.若.APB：:90,貝 UcosZAPBUcosZAPB0,即PAPB=PA!PBcosAPB0.若.APB=90；,貝 Ucos/APBUcos/APB即PAPB-PA后cosAPB=0.若.APB90；,貝 Ucos.APBUcos.APB即PAPB-PA點(diǎn)cos/APB:二02.2.1角度判斷2X2例 4：記E、F2分別是橢圓了+y=1的左、右焦點(diǎn)，設(shè)過定點(diǎn)M(0,2)的直線 l

13、與橢圓交于同的兩點(diǎn) A A、B B, ,且/AOB/AOB 為銳角，求直線 l l 的斜率 k 的取值范圍.練習(xí) 2.2.1221.已知點(diǎn)F是橢圓人+L=1的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)F,斜率為k的直線l交43222橢圓于AB B 兩點(diǎn)，右 OA+OB,b0）的兩交點(diǎn),點(diǎn) P（x3,y3底橢圓上，且四邊形 OAPB 為平行四邊形，如下圖.114m2x3=1（X1+X2）,vfy）,進(jìn)而彳到久干二九,這也是一個(gè)很有用的結(jié)論橢圓Iy=kxm 聯(lián)立2222bxay=1子日22222222付(ak+b)x+2kmax+a(m-b)=1)c.22kma,xx=222akb,-2132m，yy2=k用長

14、2m=22，akb再由平行四邊形的性質(zhì)可得溫=OA+OB,1-X3=x+x2,y3=yi+丫2,則點(diǎn) P22kma22bm(1)(2)(3)將點(diǎn)P代入橢圓中可得在橢圓方程已知的情況下2244kma2222akb42工4bmb22222bakb4m22222=1,倚4m=ak+b.akb當(dāng)直線 l 過定點(diǎn)，或直線斜率確定，我們可以求出直線的方程；若直線 l 不過定點(diǎn)，也未知直線斜率，我們可以得到 k,m 的關(guān)系，結(jié)合 A0,我們可以求出 OP、AB、點(diǎn) O 到直線 l 的距離 d,4AOB 或平行四邊形 OAPB 的面積等幾何量的取值范圍.若點(diǎn)P在以 OA、OB 為鄰邊的平行四邊形的對角線上，則

15、KOP=OA+OB,可以得出BP例 6:6:已知橢圓 C:x_+=1,C:x_+=1,直線 l l 經(jīng)過點(diǎn) P P( (0,10,1) )交橢圓于 A A、 B B 兩點(diǎn)， 以 OAOA、 O OB B 為鄰邊做平行四邊形 OAPBOAPB, ,其中頂點(diǎn)P在橢圓上，O O 為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)驗(yàn)證當(dāng)直線 l 斜率 k 不存在時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn) P;(2)記直線 l 的斜率為 k,用含 k 的式子表示 x1+x2,y1+y2；(3)由 OA+OB=OP,將點(diǎn) P 的坐標(biāo)用含 k 的式子表示；(4)將點(diǎn) P 代入橢圓方程，得到方程 f(k 尸 1；(5)(5)解方程，求出直線方程.練習(xí) 3:221.1.已知橢圓 C C：/+/+ =1,=1,點(diǎn) F F 為橢圓的右焦點(diǎn)，則橢圓上是否存在點(diǎn) P P, ,使得當(dāng) l l 繞32點(diǎn)F轉(zhuǎn)動到某一位置時(shí)， 四邊形 OAPBOAPB 為平行四邊形？若存在， 求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和直線方程； 反之，請說明理由.2X2.已知橢圓 C C：一+y2=1,直線 l l 過點(diǎn)M2,0酌橢圓