中考數(shù)學壓軸題專題旋轉(zhuǎn)的經(jīng)典綜合題及詳細答案

1、一、旋轉(zhuǎn)真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1. （1）發(fā)現(xiàn)：如圖1,點A為線段8c外一動點，且8C=q, AB=b.填空：當點A位于 時，線段4c的長取得最大值，且最大值為（用含a，b的式子表示）應(yīng)用：點A為線段8c外一動點，且8c=4, 48=1,如圖2所示，分別以A8, 4C為 邊，作等邊三角形48。和等邊三角形4CE連接CD, BE.請找出圖中與8E相等的線段，并說明理由；直接寫出線段8E長的最大值.拓展：如圖3,在平而直角坐標系中，點A的坐標為（2, 0）,點8的坐標為（6, 0）,點P 為線段A8外一動點，且 = 2, PM=P8, N BPM=90°,請直接寫出線段AM長

2、的最大值 及此時點P的坐標.（備用國）【答案】CB的延長線上，a+b： （2）CD=BE,理由見解析；8E長的最大值為5： 滿足條件的點P坐標（2-或）或（2-JJ,-&），4M的最大值為2 JI+4.【解析】【分析】（1）根據(jù)點八位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，即可得到結(jié)論：（2） 根據(jù)已知條件易證C4 a EA8,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得CD=8E：由于線段 8E長的最大值=線段CD的最大值，根據(jù)（1）中的結(jié)論即可得到結(jié)果：（3）連接8M, 將 4PM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90。得到 P8N,連接AM得到AP/V是等腰直角三角形， 根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN=% =

3、2, 8A/=AM,根據(jù)當N在線段M的延長線時，線段 8N取得最大值，即可得到最大值為2+4：如圖2,過P作P£_Lx軸于&根據(jù)等腰直角 三角形的性質(zhì)即可求得點P的坐標.如圖3中，根據(jù)對稱性可知當點P在第四象限時也滿 足條件，由此求得符合條件的點P另一個的坐標.【詳解】.點A為線段8c外一動點，且8c=a, AB = b,當點A位于C8的延長線上時，線段AC的長取得最大值，且最大值為8C+A8 = a+b, 故答案為C8的延長線上，a+b：CD=8E,理由：.A8D與aACE是等邊三角形，：.AD=AB, AC=AE, N 8AD=N C4E=60°,/. Z BA

4、D+4 8AC=N CAE+Z. BAC,即N C4D=N EAB,AD = AB在仆 CAD 與 EAB 中，, ZCAD = NEAB , AC = AE: & CAD EAB(SAS).：.CD=BE：;線段BE長的最大值=線段CD的最大值，由知，當線段C。的長取得最大值時，點。在C8的延長線上, /.最大值為 8D+8C=A8+8C=5；圖1 將 APM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90。得到 PBN,連接AN, 則4 4PN是等腰直角三角形，:.PN=PA = 2, BN=AM、 A的坐標為(2, 0),點8的坐標為(6, 0), 04 = 2, 08=6,，48=4,/.線段AM長的最

5、大值=線段BN長的最大值，.當N在線段8A的延長線時，線段8N取得最大值， 最大值=48+47,AN=yf2AP=2y/2最大值為2+4：過P作PEJ_x軸于E,APN是等腰直角三角形，PE=AE= 72，. OE=BO - AB - AE=6 - 4 -應(yīng)=2 -右,.P(2 - JJ,.根據(jù)對稱性可知當點P在第四象限時，P(2-應(yīng)，-J5)時，也滿足條件.綜上所述，滿足條件的點P坐標(2 - JI, & )或(2 -, - 0), AM的最大值為2&+4.【點睛】本題綜合考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，最大值問題，旋轉(zhuǎn)的 性質(zhì).正確的作出輔助線構(gòu)造全等三

6、角形是解題的關(guān)鍵.2.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點0,過點0作直線EF_LBD,交 AD于點E,交BC于點F,連接BE、DF,且BE平分N ABD.求證：四邊形BFDE是菱形：直接寫出NEBF的度數(shù)；把中菱形BFDE進行分離研究，如圖，點G、I分別在BF、BE邊上，且BG=BI,連 接GD, H為GD的中點，連接FH并延長，交ED于點J,連接IJ、IH、IF、IG.試探究線段 IH與FH之間滿足的關(guān)系，并說明理由：把中矩形ABCD進行特殊化探究，如圖，當矩形ABCD滿足AB=AD時，點E是對角 線AC上一點，連接DE、EF、DF,使 DEF是等腰直角三角形，DF交AC于點G

7、.請直接寫 出線段AG、GE、EC三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)詳見解析：60°. (2) IH=y/3FHr (3) EG2=AG2+CE2.【解析】【分析】(1)由 00E2 8OF,推出EO=OF, .08=。，推出四邊形EBFD是平行四邊形, 再證明EB = ED即可.先證明NA80 = 2N4?8,推出N 4)8=30。，延長即可解決問題.(2)舊=/田.只要證明是等邊三角形即可.(3)結(jié)論：EG2=AG2+CE2.如圖3中，將 AOG繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到 DCM,先證明 DE簽 DEM,再證明 ECM是直角三角形即可解決問題.【詳解】(1)證明：如圖1中，

8、/四邊形488是矩形，/./Wil 8C, 08 =。， Z EDO = N FBO,在。£和4 8OF中, * NEDO= /FBO< OD=OB , ZEOD=ZBOF：. DOEW BOF,：.EO=OF, OB=OD, 四邊形EBFD是平行四邊形， , EF工BD, OB=OD,：.EB=ED, ：.四邊形EBFD是菱形. 7 8E平分N ABD.N ABE=N EBD,; EB=ED,：.Z £8D = Z EDB,：.Z ABD=2A ADB9 N ABD+N ADB=90 NAD8=30°, NABD=60°,/. Z ABE=A E

9、BO=N O8F= 30°, . Z EBF= 60°.(2)結(jié)論：IH= y/3 FH.理由：如圖2中，延長8E到M,使得EM=日.連接ML,四邊形E8FD是菱形,Z 8=60%，EB=BF=ED, DEW BF,；JDH=4 FGH,在。山和 GF中, NDHG=NGHF<DH=GH , /JDH=/FGH：. DH足 GHF,：.DJ=FG. JH=HF,：.EJ=BG=EM=BI,：.BE=IM=BF, Z MEJ=Z 8 = 60°, MEJ是等邊三角形，/. MJ=EM=Nh Z M=Z 8=60°在4 8代和仆MJI中，BI=MJ&l

10、t; NB=NM , BF=IM B/a mji,：.U=IF, Z BFI=N MIJ, */ HJ=HF,：.IH1JF,Z Bf/+Z 8/F=120°,/. Z M+N BIF= 120 NF=60°, ./7是等邊三角形，在 RtZk/HF 中, N IHF=90°, N *”=60°,/. Z FIH=30°,/. IH= y/3 FH.(3)結(jié)論：EG2=AG2CE2.理由：如圖3中，將 ADG繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到 DCM,: Z FAD+N DEF=90°, 八生。四點共圓， Z £DF=Z D4E=4

11、5。，Z ADC=90 N ADF+N EOC=45°, N ADF=N CDM,：.Z CDM+Z CD£=45°=Z EDG,在aDEM和 DEG中，DE=DE NEDG= NEDM , DG=DM. DEG DEM,：.GE=EM,a：Z DCM=Z D4G=N ACD=45°, AG=CM,：.Z ECM=90Q：.EC2-CM2 = EM2. EG=EM, AG=CM,ge2=ag2ce2.【點睛】考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定 和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角

12、形，學會轉(zhuǎn) 化的思想思考問題.3.如圖 1, aABC 中，CA=CB, Z ACB=90 直線/經(jīng)過點 C, 4L/于點 F, 8EJJ 于點、E. (1)求證： 么CBE；(2)將直線旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置，點。是48的中點，連接D£.若48=4點， NC8E=30。，求 0E 的長.【解析】試題分析：(1)根據(jù)垂直的定義得到N8£C=/ACB=90。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到N EBC=N CAF,即可得到結(jié)論：(2)連接CD, DF,證得8CEWA4CF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到8E=CF, CE=AF,證得 OEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到EF=

13、JlDE，EF=CE+BE,進而得 到DE的長.試題解析：解：(1) : 8EJ_CE,N 8EC=N4CB=90°,；.N EBC+N BCE=N BCE+N ACF=900, Z EBC=Z CAF. TAFJJ 于點、F, ：. Z AFC=90°.ZAFC = NBEC = 90°在 BCE 與A ACF 中，； ZEBC = Z.ACF ，.二 ACF CBE (AAS): BC=AC(2)如圖 2,連接 CD, DF. / BE±CE.N 8EC=N AC8=90°,，EBC+N BCE=N BCE+N ACF=90°,N

14、 E8C=Z CAF,AFJJ 于點、F, ：. Z AFC=90ZAFC = ZBEC = 90°在a BCE 與4 C4F 中，:ZEBC = ZACF, /. A BCE空 CAF (AAS)；BC = AC：.BE=CF. .點。是 48 的中點，CD=BD, Z CDB=90 ?. Z CBD=Z ACD=45°9 而BE = CFZ EBC=N CAF, ：. Z EBD=N DCF.在仆 BDE 與a CDF 中，'/ ZEBD = ZFCD ,BD = CF:, & BDE CDF (SAS) , Z EDB=N FDC, DE=DF. ,/

15、 Z 8DE+N CDf=90°,NFDC+NCDE=90°,即N£DF=90。，,a EDF是等腰直角三角形，.訐=應(yīng)。£, EF=CE+CF=CE+BE.CA=CB, Z ACB=90 48二4 點,BC=4.又Y N CBE=300,：.CE=-BC=2, BE=y3 CE=2y/3 , ：. EF=CE+BE=2+2 73 » :. DE= = =顯+ 加.2V2 y/2點睛：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形 斜邊上的中線的性質(zhì)，證得 8cm ACF是解題的關(guān)鍵.4.在正方形ABCD中，連接BD.

16、（1）如圖1，AE_LBD于E.直接寫出N BAE的度數(shù).（2）如圖1,在（1）的條件下，將4AEB以A旋轉(zhuǎn)中心，沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)30。后得到 ABF, AB，與BD交于M, AE'的延長線與BD交于N.依題意補全圖1:用等式表示線段BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.（3）如圖2, E、F是邊BC、CD上的點， CEF周長是正方形ABCD周長的一半，AE、AF 分別與BD交于M、N,寫出判斷線段BM、DN、MN之間數(shù)量關(guān)系的思路.（不必寫出完【答案】（1）45。： （2）補圖見解析：BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系是BM2+MD2=MN2,證明見解析：（3）答案見解析.【解析】（1

17、）利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可；（2）依題意畫出如圖1所示的圖形，根據(jù)性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，判斷線段的關(guān)系，再利用 勾股定理得到FB2+BM2=FM2,再判斷出FM=MN即可；（3）利用4CEF周長是正方形ABCD周長的一半，判斷出EF=EG,再利用（2）證明即可.解:（1） 丁 BD是正方形ABCD的對角線，.N ABD=Z ADB=45。, / AE±BD, Z. Z ABE=Z BAE=45°,（2）依題意補全圖形，如圖1所示，BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系是BM2+MD2=MN2,將 AND繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到AAFB.，N ADBN FBA, N BAF=N

18、 DAN, DN=BF, AF=AN,;在正方形 ABCD 中，AE±BD,Z ADB=Z ABD=45°, , Z FBM=Z FBA+Z ABD=Z ADB+Z ABD=90%在R3 BFM中，根據(jù)勾股定理得，F(xiàn)B2+BM2=FM2,; 旋轉(zhuǎn) ANE 得至lj ABiEi，/. Z EiABi=45°, Z BABi+Z DAN=90° - 45°=45% NBAF=DAN, Z BABi+Z BAF=45% /. Z FAM=45% /. Z FAM=Z EiABn AM二AM, AF=AN, AFMW ANM, /. FM;MN,FB2

19、+BM2=FM2, DN2+BM2=MN2,您將 ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到 ABG,. DF=GB,b/正方形ABCD的周長為4AB, CEF周長為EF+EC+CF,a CEF 周長是正方形 ABCD 周長的一半，.4AB=2 （EF+EC+CF） ,2AB=EF+EC+CF EC=AB-BE, CF=AB-DF, /. 2AB=EF+AB - BE+AB - DF, /. EF=DF+BE, ,DF=GB, . EF=GB+BE=GE,由旋轉(zhuǎn)得到 AD=AG=AB, AM=AM, /. AEG" AEF, Z EAG=Z EAF=45°,和（2）的一樣,得到 DN

20、2+BM2=MN2."點睛”此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的全等，判 斷出（ AFN2 ANM,得到FM=MM）,是解題的關(guān)鍵.5.在 ABC中，AB二AC, Z A=30°,將線段BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段BD,再將線 段BD平移到EF,使點E在AB上，點F在AC上.（1）如圖1，直接寫出N ABD和NCFE的度數(shù)；（2）在圖1中證明:AE=CF：（3）如圖2,連接CE,判斷 CEF的形狀并加以證明.【答案】（1） 15。，45。： （2）證明見解析：（3） 4CEF是等腰直角三角形，證明見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)等腰三角

21、形的性質(zhì)得到N ABC的度數(shù)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到N DBC的度 數(shù)，從而得到NABD的度數(shù)；根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可求得NCFE的度數(shù).（2）連接CD、DF,證明ABCD是等邊三角形，得到CD=BD,由平移的性質(zhì)得到四邊形BDFE是平行四邊形，從而ABH FD,證明 AEF合口 FCD即可得AE=CF.(3)過點E作EGJ_CF于G,根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)，垂直平分線的判定和性質(zhì)即 可證明 CEF是等腰直角三角形.(1) :在 ABC 中,AB=AC, Z A=30% Z ABC=75°.,/將線段BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段BD,即N DBC=60°. AZ AB

22、D= 15°.Z CFE=Z A+Z ABD=45°.(2)如圖，連接CD、DF.線段BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60得到線段BD, A BD=BC, Z CBD=60°. BCD是等邊三角形./. CD=BD.線段 BD 平移到 EF,EFII BD, EF=BD.四邊形BDFE是平行四邊形，EF= CD.AB = AC, Z A=30°, /. Z ABC=Z ACB=75°. /. Z ABD=Z ACD=15°.四邊形BDFE是平行四邊形，ABH FD. /. Z A=Z CFD. AEF合 FCD (AAS)./. AE=CF.(3

23、) CEF是等腰直角三角形，證明如下: 如圖，過點E作EG_LCF于G,. Z CFE =45°, /. Z FEG=45°. /. EG=FG.EG = 5AEZ A=30°, NAGE=90°,21 1EG=-CF FG=-CFV AE=CF,2 . /.2.g為CF的中點.EG為CF的垂直平分線.EF=EC./. Z CEF=Z FEG=90°.a CEF是等腰直角三角形.犬3bL 2考點：1 .旋轉(zhuǎn)和平移問題：2.等腰三角形的性質(zhì)：3.三角形外角性質(zhì)；4.等邊三角形的 判定和性質(zhì)：5.平行四邊形的判定和性質(zhì)：6.全等三角形的判定和性質(zhì)；

24、7.含30度直角三 角形的性質(zhì)：8.垂直平分線的判定和性質(zhì)：9.等腰直角三角形的判定.6.思維啟迪：（1）如圖1, A, B兩點分別位于一個池塘的兩端，小亮想用繩子測量A, B 間的距離，但繩子不夠長，聰明的小亮想出一個辦法：先在地上取一個可以直接到達B點 的點C,連接BC,取BC的中點P （點P可以直接到達A點），利用工具過點C作CDII AB 交AP的延長線于點D,此時測得CD=200米，那么A, B間的距離是 米.圖1圖2圖3備用圖思、維探索：（2）在aABC 和4ADE 中，AC=BC，AE = DE,且 AEVAC, Z ACB = Z AED =90。，將 ADE繞點A順時針方向旋

25、轉(zhuǎn)，把點E在AC邊上時 ADE的位置作為起始位置 （此時點B和點D位于AC的兩側(cè)），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a,連接BD,點P是線段BD的中點，連接PC, PE.如圖2,當 ADE在起始位置時，猜想：PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是; 如圖3,當a=90。時，點D落在AB邊上，請判斷PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并 證明你的結(jié)論：當a=150。時，若BC = 3, DE = I,請直接寫出PC?的值.【答案】（1） 200： （2）PC=PE, PC_LPE：PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是PC = PE, PCJ_PE,見解析：PC2=-1（）+ 3-3 .2【解析】【分析】（1）由CDIIAB

26、,可得NC=NB,根據(jù)N APB=N DPC即可證明 ABP合 DCP,即可得AB =CD,即可解題.(2)延長EP交BC于F,易證 FBP合 EDP (SAS)可得 EFC是等腰直角三角形，即 可證明 PC = PE, PC±PE.作BFII DE,交EP延長線于點F,連接CE、CF,易證 FBP合口 EDP (SAS),結(jié)合已知 得BF = DE=AE,再證明FBC二 EAC (SAS),可得 EFC是等腰直角三角形，即可證明 PC=PE, PC±PE.作BFII DE,交EP延長線于點F,連接CE、CF,過E點作EH_LAC交CA延長線于H 點，由旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)可知，ZCA

27、E = 150°, DE與BC所成夾角的銳角為30。，得N FBC = N EAC, 同可證可得PC=PE, PCJ_PE,再由已知解三角形得J. ECCH2+HE2=10 + 3jT，即可 求出尸。2=1七。2=叱上也 22【詳解】(1)解：V CDII AB, /. Z C=Z B,在 ABP和 DCP中，BP = CP< ZAPB = ZDPC , /B = /C . a ABP合 DCP (SAS),：.DC=AB.AB = 200 米./. CD=200 米,故答案為：200.(2)PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是PC=PE, PC_LPE.理由如下：如解圖1，延

28、長EP交BC于F,同(1)理，可知: FBP合 EDP (SAS),/. PF = PE, BF = DE,又.,AC=BC. AE = DE, . FC=EC,又，Z ACB=90% . EFC是等腰直角三角形， / EP = FP,PC=PE, PC±PE.®PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是PC = PE, PC±PE.理由如下：如解圖2,作BFII DE,交EP延長線于點F,連接CE、CF, 同理，可知 FBP合 EDP (SAS), BF = DE, PE = PF=-EFt2; DE=AE, , BF=AE, 當 a=90°時，Z EAC=

29、90",ED II AC, EAII BCFBII AC, Z FBC = 90,/. Z CBF=Z CAE,在 FBC和 EAC中，BF = AE NCBE = ZCAE ,BC = AC/. a FBC合 a EAC (SAS),CF = CE, Z FCB = Z EC A, / Z ACB = 90", . Z FCE = 90°,FCE是等腰直角三角形， / EP = FP,CP±EP, CP = EP=-EF.2如解圖3,作BFII DE,交EP延長線于點F,連接CE、CF,過E點作EH_LAC交CA延長 線于H點，當a=150。時，由旋轉(zhuǎn)

30、旋轉(zhuǎn)可知，ZCAE = 150°, DE與BC所成夾角的銳角為30。， Z FBC=Z EAC=a=150°同可得4 FBP級& EDP (SAS),同 FCE是等腰直角三角形，CP_LEP, CP = EP=Y2fE，2在 R3AHE 中，NEAH = 30°, AE = DE = 1,HE=- , AH=昱, 22又 AC=AB=3,.ru q . C Lri 3+,2. EC2 = CH2+HE2=10 + 3>,PC2=kc2J0 + 3022E【點睛】本題考查幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角 形性質(zhì)、勾

31、股定理和30。直角三角形性質(zhì)等知識，解題的關(guān)犍是正確尋找全等三角形解決 問題，屬于壓軸題.7.如圖1,直線。E上有一點O,過點O在直線0E上方作射線OC, Z C0E= 140%將一直 角三角板4。8的直角頂點放在點。處，一條直角邊OA在射線。上，另一邊。8在直線 DE上方，將直角三角板繞著點O按每秒10°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒.（1）當直角三角板旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時，OA恰好平分NCOD,求此時N 80c的度數(shù):（2）若射線OC的位置保持不變，在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某個時刻，使得射線04OC、OD中的某一條射線是另兩條射線所成夾角的角平分線？若存在，請求出t的取值，

32、若 不存在，請說明理由：（3）若在三角板開始轉(zhuǎn)動的同時，射線OC也繞。點以每秒15。的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周， 從旋轉(zhuǎn)開始多長時間，射線OC平分N8OD.直接寫出t的值.（本題中的角均為大于0。且 小于180°的角）137【答案】（1）Z BOC= 70°； （2）存在，t=2, t=8 或 32： （3） 一或一.22【解析】【分析】（1）由圖可知N8OC=NAO8-NAOC, N 4OC可利用角平分線及平角的定義求出.（2）分04平分NC。，OC平分N40D, OD平分N 40C三種情況分別進行討論，建立關(guān) 于t的方程，解方程即可.（3）分別用含t的代數(shù)式表示出N COD和

33、N8OD,再根據(jù)OC平分N 8OD建立方程解方程 即可，注意分情況討論.【詳解】(1)解：.- Z C0£= 140°,Z COD=1800 - Z COf=40°,文:OA平分N COD,/. Z AOC= i Z COD=20°, 2,/ Z >408=90%Z BOC=900 - Z AOC=70(2)存在當 04 平分N CO。時，N400=N40C, RP 10°t=20% 解得：t=2；當 OC 平分NAOD 時，N40C=ND0C,即 10°t - 40°=40。，解得:t=8；當 0。平分 NA9c 時，Z AOD=Z COD9 BP 3600 - 10°t=40°,解得：t=32： 綜上所述：t=2, t=8或32：1 37(3)大或二r，理由如下：2 2設(shè)運動時間為t,則有當 90+10t=2 ( 40+151)時，t=；當 270 - 10t=2 (320 - 15t)時，t=22【點睛】