2020年中考數(shù)學(xué)壓軸題突破專題4-二次函數(shù)與特殊圖形的存在性問題

1、2020年中考數(shù)學(xué)大題狂練之壓軸大題突破培優(yōu)練專題04二次函數(shù)與特殊圖形的存在性問題1. (2019年鹽敏7題二次函數(shù)與特殊圖形的存在性問題蹌g4道葡組六4道【真題再現(xiàn)】1.(2019年鹽城27題)如圖所示，二次函數(shù)y=k (x-1) (2019年連云港26題)如圖，在平面直角坐標系 xOy中，拋物線L1 ： y=x2+bx+c過點C (0, - 3),與 拋物線L2：y=-Lx2-&x+2的一個交點為A,且點A的橫坐標為2,點P、Q分別是拋物線L1、L2上的動點.(1)求拋物線L1對應(yīng)的函數(shù)表達式；(2)若以點A、C、P、Q為頂點的四邊形恰為平行四邊形，求出點 P的坐標;(3)設(shè)點R

2、為拋物線L1上另一個動點，且 CA平分/ PCR若OQ/PR,求出點Q的坐標.+2的圖象與一次函數(shù) y= kx - k+2的圖象交于 A、B兩點，點B在點A的右側(cè)，直線AB分別與x、y軸交于C、D兩點，其中k< 0.(1)求A、B兩點的橫坐標；(2)若 OAB是以O(shè)A為腰的等腰三角形，求 k的值；(3)二次函數(shù)圖象的對稱軸與 x軸交于點E,是否存在實數(shù)k,使彳ODC= 2/BEC若存在,求出k 的值；若不存在，說明理由.箭用笛3. (2019年無錫27題)已知二次函數(shù) y = ax2 4ax+c (a<0)的圖象與它的對稱軸相交于點A,與y軸相交于點C (0, -2),其對稱軸與x

3、軸相交于點B(1)若直線BC與二次函數(shù)的圖象的另一個交點D在第一象BM內(nèi)，且 BD=|五,求這個二次函數(shù)的表達式;B, C三點，其中點 A的坐標為(-3, 0),點B的坐標為(4, 0),連接AC, BC.動點P從點A出發(fā),4.(同時，動點 Q從點O出發(fā)，在線段OB上在線段AC上以每秒1個單位長度的速度向點 C作勻速運動;以每秒1個單位長度的速度向點 B作勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，設(shè)運動時間為t秒.連接PQ.(1)填空：bc=(2)在點P, Q運動過程中， APQ可能是直角三角形嗎請說明理由;(3)在x軸下方，該二次函數(shù)的圖象上是否存在點M,使4PQM是以點P為直角頂

4、點的等腰直角三角形若存在，請求出運動時間 t;若不存在，請說明理由;(4)如圖，點N的坐標為(-,0),線段PQ的中點為H,連接NH,當點Q關(guān)于直線NH的對稱點Q'恰好落在線段BC上時，請直接寫出點 Q'的坐標.5. (2017年宿遷25題)如圖，在平面直角坐標系 xOy中，拋物線y=x2 - 2x - 3交x軸于A, B兩點(點A 在點B的左側(cè))，將該拋物線位于 x軸上方曲線記作 M,將該拋物線位于 x軸下方部分沿x軸翻折，翻 折后所得曲線記作 N,曲線N交y軸于點C,連接AC BC.(1)求曲線N所在拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達式；(2)求 ABC外接圓的半徑；(3)點P為曲線M或

5、曲線N上的一動點，點 Q為x軸上的一個動點，若以點 B, C, P, Q為頂點的四 邊形是平行四邊形，求點 Q的坐標.頂點為B,連接AB、B0.(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)若C是B0的中點，點Q在線段AB上，設(shè)點B關(guān)于直線CQ的對稱點為B',當 OCB為等邊三角 形時，求BQ的長度；(3)若點 D在線段B0上，0D= 2DB,點E、F在4OAB的邊上，且滿足 DOF與4DEF全等，求點 E 的坐標.【專項突破】【題組一】1.（2020?張家港市模擬）如圖，二次函效y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點，B點坐標為（4, 0）,(2)(3)2.（2020?寶應(yīng)縣一模）如圖 1,

6、矩形ABCD的一邊BC在直角坐標系中x軸上，折疊邊AD,使點D落在x軸上點F處，折痕為 AE,已知AB= 8, AD=10,并設(shè)點B坐標為（E0求點E、F的坐標（用含 m的式子表示）；(2)連接OA,若 OAF是等腰三角形,求 m的值;(3)如圖2,設(shè)拋物線y=a (x-m+6)2+h經(jīng)過A、E兩點，其頂點為 M,連接AM,若/ OAM=90° ,與y軸交于點C （0, 4）點D為拋物線上一點.求拋物線的解析式及 A點坐標;若 BCD是以BC為直角邊的直角三角形時，求點 D的坐標;若 BCD是銳角三角形，請寫出點 D的橫坐標m的取值范圍.求a、h、m的值.3. （2019秋？邛江區(qū)校

7、級期末）如圖拋物線y= ax2+bx+4 （a，0）與x軸，y軸分別交于點A （ 1, 0）,B （4, 0）,點C三點.(1)試求拋物線解析式；(2)點D (3, m)在第一象限的拋物線上，連接BC, BD.試問，在對稱軸左側(cè)的拋物線上是否存在一點P,滿足/ PBC= / DBC如果存在，請求出點 P的坐標；如果不存在，請說明理由；(3)點N在拋物線的對稱軸上， 點M在拋物線上，當以M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形時, 請直接寫出點M的坐標.4. (2019秋？亭湖區(qū)校級期末)如圖，拋物線 y=-x2+bx+3與x軸交于A, B兩點，與y軸交于點C,其中 點A( - 1, 0).過點

8、A作直線y = x+c與拋物線交于點 D,動點P在直線y=x+c上，從點A出發(fā)，以每 秒上個單位長度的速度向點 D運動，過點P作直線PQ/ y軸，與拋物線交于點 Q,設(shè)運動時間為t (s).(1)直接寫出b, c的值及點D的坐標；(2)點E是拋物線上一動點，且位于第四象限，當CBE的面積為6時，求出點E的坐標；(3)在線段PQ最長的條件下，點 M在直線PQ上運動，點N在x軸上運動，當以點 D、M、N為頂點 的三角形為等腰直角三角形時，請求出此時點N的坐標.【題組二】5. (2019秋？崇川區(qū)期末)如圖所示，在平面直角坐標系中，頂點為(4,1)的拋物線交y軸于A點,交x軸于B, C兩點(點B在點

9、C的左側(cè))，已知A點坐標為(0, 3).(1)求此拋物線的解析式；(2)過點B作線段AB的垂線交拋物線于點 D,如果以點C為圓心的圓與直線 BD相切，請判斷拋物線 的對稱軸與。C有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明.的正半軸交于點C.(1)求二次函數(shù)y = ax2+bx+3的表達式.(2)點Q (m, 0)是線段OB上一點，過點 Q作y軸的平行線，與 BC交于點M,與拋物線交于點 N, 連結(jié)CN,將 CMN沿CN翻折，M的對應(yīng)點為D.探究：是否存在點 Q,使得四邊形 MNDC是菱形若 存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.(3)若點E在二次函數(shù)圖象上，且以 E為圓心的圓與直線 BC相切與點F,

10、且EF=1,請直接寫出點 E 的坐標. (2019?亭湖區(qū)二模)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y= - jx2+bx+c的圖象與y軸交于點A (0,8),與x軸交于B、C兩點，其中點C的坐標為(4, 0).點P (m, n)為該二次函數(shù)在第二象限內(nèi)圖象上的動點，點 D的坐標為(0, 4),連接BD.(1)求該二次函數(shù)的表達式及點 B的坐標;(2)連接OP,過點P作PQ±x軸于點Q,當以O(shè)、P、Q為頂點的三角形與 OBD相似時，求m的值;(3)連接BP,以BD、BP為鄰邊作？BDEP直線PE交y軸于點T.當點E落在該二次函數(shù)圖象上時，求點 E的坐標；在點P從點A到點B運動過程中(點

11、P與點A不重合)，直接寫出點T運動的路徑長.DQ8. (2019秋？灌云縣期末)在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過(1)求拋物線的解析式;(2)若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標為m, AMB的面積為S,求S關(guān)于m的(3)若點P是拋物線上的動點，點 Q是直線y=-x上的動點,判斷有幾個位置能夠使得點P、Q、B、函數(shù)關(guān)系式，并求出 S的最大值.。為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點Q的坐標.【題組三】9. (2019?清江浦區(qū)一模)如圖，拋物線y=ax2+bx+4 (a，0)與x軸交于點B (-3, 0)和C (4, 0)與y軸交于點A.(1) a=, b =(2)點M從點A

12、出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿 AB向B運動，同時，點N從點B出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿 BC向C運動，當點M到達B點時，兩點停止運動.t為何值時，以B、M、N為頂點的三角形是等腰三角形(3)點P是第一象限拋物線上的一點，若BP恰好平分/ ABC,請直接寫出此時點 P的坐標.備用國1番用圉210. (2019?灌南縣二模)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+bx_的圖象經(jīng)過點A ( 1, 0)、C (2, 0),與y軸交于點B,其對稱軸與x軸交于點D(1)求二次函數(shù)的表達式及其頂點坐標；(2) M (s, t)為拋物線對稱軸上的一個動點，若平面內(nèi)存在點 N,使得A、B、M、N為頂

13、點的四邊形為矩形，直接寫出點M的坐標;連接MA、MB,若/ AMB不小于60° ,求t的取值范圍.11. (2019秋？沐陽縣期末)如圖，拋物線 y=ax2+bx 2的對稱軸是直線x=1,與x軸交于A, B兩點，與y軸交于點C,點A的坐標為(-2,0),點P為拋物線上的一個動點，過點P作PDx軸于點D,交直線BC于點E.(1)求拋物線解析式；(2)若點P在第一象BM內(nèi)，當 OD=4PE時：求點D、P、E的坐標；求四邊形POBE的面積.(3)在(2)的條件下，若點M為直線BC上一點，點N為平面直角坐標系內(nèi)一點，是否存在這樣的點M和點N,使得以點B, D, M, N為頂點的四邊形是菱形若

14、存在，直接寫出點N的坐標；若不存在,請說明理由.(4, 1).(1)求b、c的值；(2)如圖1,點C (10, m)在拋物線上，點 M是y軸上的一個動點，過點 M平行于x軸的直線l平分/ AMC,求點M的坐標；(3)如圖2,在(2)的條件下，點 P是拋物線上的一動點，以 P為圓心、PM為半徑的圓與x軸相交 于E、F兩點，若 PEF的面積為2屈,請直接寫出點P的坐標.J*偎1)僵2)【題組四】13. (2019?宿豫區(qū)模擬)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y= ax2+bx+c與x軸交于A ( 1, 0)、B (3,0)兩點，且拋物線經(jīng)過點 D (2, 3).(1)求這條拋物線的表達式；(2)將

15、該拋物線向下平移，使得新拋物線的頂點G在x軸上.原拋物線上一點 M平移后的對應(yīng)點為點N,如果 AMN是以MN為底邊的等腰三角形，求點 N的坐標；(3)若點P為拋物線上第一象限內(nèi)的動點，過點 B作BE, OP,垂足為E,點Q為y軸上的一個動點,連接QE、QD,試求QE+QD的最小值.11: y1 = ax2 - 2的頂點為P,交x軸于A、14. (2019?江西模擬)已知拋物線B兩點(A點在B點左側(cè))，且sin/ABP =1(1)求拋物線11的函數(shù)解析式;(2)過點A的直線交拋物線于點 C,交y軸于點D,若 ABC的面積被y軸分為1: 4兩個部分，求直線AC的解析式；(3)在(2)的情況下，將拋

16、物線1i繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線 E點M為拋物線l2上一點, 當點M的橫坐標為何值時， BDM為直角三角形/ I 215. (2019秋？錫山區(qū)期末)在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象與x軸交于A (-3, 0),B (1, 0)兩點，與y軸交于點C.(1)求這個二次函數(shù)的解析式，并直接寫出當x滿足什么值時y<0(2)點P是直線AC上方的拋物線上一動點，是否存在點P,使4ACP面積最大若存在，求出點 P的坐標；若不存在，請說明理由;(3)點M為拋物線上一動點，在 x軸上是否存在點 Q,使以A、G M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形若存在，直接寫出點

17、Q的坐標；若不存在，請說明理由.16.點B的坐標為(4, 3),拋物線y= - x2+bx+c與y軸交于點A,與直線AB交于點D,與x軸交于C, E兩點.15(1)求拋物線的表達式;(2)點P從點C出發(fā)，在線段 CB上以每秒1個單位長度的速度向點 B運動，與此同時，點 Q從點A出發(fā)，在線段 AC上以每秒個單位長度的速度向點 C運動，當其中一點到達終點時，另一點也停止運3動.連接DP、DQ、PQ,設(shè)運動時間為t (秒).當t為何值時， DPQ的面積最小是否存在某一時刻t,使 DPQ為直角三角形若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由.【題組五】17. (2019秋？江都區(qū)期末)在平面直角坐標

18、系中，已知拋物線 y= x2+4x.試求拋物線y= x2+4x(1)我們把一條拋物線上橫坐標與縱坐標相等的點叫做這條拋物線的“方點”的“方點”的坐標；(2)如圖，若將該拋物線向左平移1個單位長度，新拋物線與 x軸相交于A、B兩點(A在B左側(cè))，與y軸相交于點C,連接BC.若點P是直線BC上方拋物線上的一點，求 PBC的面積的最大值；(3)第(2)問中平移后的拋物線上是否存在點Q,使4QBC是以BC為直角邊的直角三角形若存在，直接寫出所有符合條件的點 Q的坐標；若不存在，說明理由.G/f18. (2019秋？興化市期末)如圖，RtFHG中，/ H= 90° , FH/ x軸，=二=,則

19、稱Rt FHG為準黃金直角三角形(G在F的右上方).已知二次函數(shù)y = ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點E (0, - 3),頂點為C (1, - 4),點D為二次函數(shù)y2 = a (x- 1m) 2+ 4 (m>0)圖象的頂點.(1)求二次函數(shù)y1的函數(shù)關(guān)系式；(2)若準黃金直角三角形的頂點F與點A重合、G落在二次函數(shù)y1的圖象上，求點 G的坐標及 FHG的面積；(3)設(shè)一次函數(shù)y=mx+m與函數(shù)y1、y2的圖象對稱軸右側(cè)曲線分別交于點P、Q.且P、Q兩點分別與準黃金直角三角形的頂點 F、G重合，求m的值，并判斷以C、D、Q、P為頂點的四邊形形狀，請說明理由.1

20、9. (2019秋？贛榆區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線(-1, 0), B (3, 0)兩點，與y軸交于點C,連接BC.y=ax2+bx+2 （a，0）與 x 軸交于 A(1)求該拋物線的函數(shù)表達式;(2)若點N為拋物線對稱軸上一點，拋物線上是否存在點M,使得以B, C, M, N為頂點的四邊形是平行四邊形若存在，請直接寫出所有滿足條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由;(3)點P是直線BC上方拋物線上的點，若/ PCB= / BCO,求出P點的到y(tǒng)軸的距離.20. (2019?海陵區(qū)校級三模)如圖拋物線y= x2+ (m 1) x+m與直線y=kx+k交于點 A、B,其中A點在

21、x軸上，它們與y軸交點分別為C和D, P為拋物線的頂點，且點 P縱坐標為4,拋物線的對稱軸交直線于點Q.(1)試用含k的代數(shù)式表示點 Q、點B的坐標.(2)連接PC,若四邊形CDQP的內(nèi)部(包括邊界和頂點)只有 4個橫坐標、縱坐標均為整數(shù)的點，求k的取值范圍.(3)如圖，四邊形 CDQP為平行四邊形時，求k的值；E、F為線段DB上的點(含端點)，橫坐標分別為a, a+n (n為正整數(shù))，EG/ y軸交拋物線于點 G.問是否存在正整數(shù)n,使?jié)M足tan/EGF=;的點E有兩個若存在，求出n；若不存在說明理由.4圖圉【題組六】21. (2019?泉山區(qū)校級二模)如圖，拋物線 y = x2+bx+c與

22、x軸交于A、B兩點，B點坐標為(3, 0),與y 軸交于點C (0, 3).(1)求拋物線對應(yīng)函數(shù)的關(guān)系式，及 A點坐標.(2)點D為拋物線對稱軸上一點.當 BCD是以BC為直角邊的直角三角形時，求點 D的坐標；若 BCD是銳角三角形，求點 D的縱坐標的取值范圍.V以773O備用園22. (2019?宿遷模擬)如圖，拋物線y =-1x2+bx+c與x軸交于A、B兩點,直線y= x+ -經(jīng)過點A,與拋物線的另一個交點為點C (3,m),線段PQ在線段AB上移動，PQ=1,分別過點P、Q作x軸的垂線,交拋物線于E、F,交直線于D、G.(1)求拋物線的解析式;(2)設(shè)四邊形DEFG的面積為S,求S的

23、最大值;(3)在線段PQ的移動過程中,以 D, E, F, G為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點 P的坐標.0P23. (2019?東臺市模擬)如圖，拋物線y = ax2+bx+3的圖象經(jīng)過點A (1, 0), B (3, 0),交 y 軸于點 A頂點是D.(1)求拋物線的表達式和頂點 D的坐標;(2)在x軸上取點F,在拋物線上取點E,使以點 A D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，求點E的坐標;(3)將此拋物線沿著過點(0,2)且垂直于y軸的直線翻折,E為所得新拋物線x軸上方一動點，過 E作x軸的垂線，交x軸于G,交直線l： y= - -x1于點F,以EF為直徑作圓在直線l上截得弦MN,求

24、弦MN長度的最大值.24. (2019?阜寧縣一模)如圖，已知拋物線y= - - x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C,4若已知A點的坐標為 A(- 2, 0).(1)求拋物線的解析式及它的對稱軸方程；(2)求點C的坐標，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；(3)證明：以AC為直徑的圓與拋物線的對稱軸相離；(4)在拋物線對稱軸上是否存在點Q,使4ACQ的外心恰好在一條邊上若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由.參考答案【真題再現(xiàn)】1. (2019年鹽城27題)如圖所示，二次函數(shù) y=k (x-1) 2+2的圖象與一次函數(shù) y= kx - k+2的圖象交于

25、A、B兩點，點B在點A的右側(cè)，直線 AB分別與x、y軸交于C D兩點，其中k<0.(1)求A、B兩點的橫坐標；(2)若 OAB是以O(shè)A為腰的等腰三角形，求 k的值；(3)二次函數(shù)圖象的對稱軸與 x軸交于點E,是否存在實數(shù)k,使彳ODC= 2/BEC若存在,求出k 的值；若不存在，說明理由.【分析】(1)將二次函數(shù)與一次函數(shù)聯(lián)立得：k (x 1)(2)分OA= AB、OA= OB兩種情況，求解即可；(3)求出 m= k2 k"-+j,在 AHM 中，BKBEC - " k+2,即可求解.【解析】(1)將二次函數(shù)與一次函數(shù)聯(lián)立得：k (x-1)解得：x= 1和2,故點A、

26、B的坐標橫坐標分別為1和2;(2)0A+ / -4號，當0A= AB時，即：1+k2= 5,解得：k= + 2 (舍去 2);當0A= 0B時，4+ (k+2) 2 = 5,解得：k= - 1 或-3;故k的值為：-1或-2或-3;(3)存在，理由：當點B在x軸上方時，過點B作BHLAE于點H,將 AHB的圖形放大見右側(cè)圖形，過點A作/ HAB的角平分線交 BH于點M,過點M作MN，AB于點N,過點B作B。x軸于點2+2 = kx k+2,即可求解;JIM m tan a, Ali -；2+2 = kx k+2tan /K,圖中：點 A (1, 2)、點 B (2, k+2),則 AH= k,

27、 HB= 1 ,設(shè)：HM = m=MN,貝U BM=1 m,貝UAN=AH= k, ABfM+L NB= AB AN,由勾股定理得：MB2=NB2+mn2,即：（1 m） 2 = m2+（ %F 十* + k） 2，解得：m= k2 k F ,.，在 AHM 中，tan a- k= tan / BEC- k+2,AHV££解得：k 土力,此時k+2>0,則-2<k<0,故：舍去正值，故k -忑；當點B在x軸下方時，=,一，口 ，H儲而,廠 跳 ,八、同理可得：tan a 一 = k 、+/二 tan / BEC =_ ( k+2),All 'EK4

28、 +解得：k =或此時k+2V 0, k< 2,故舍去故k的值為：一卡或2. (2019年連云港26題)如圖，在平面直角坐標系 xOy中，拋物線Li： y = x2+bx+c過點C (0, - 3),與拋物線匕：y= =42 = 4+2的一個交點為A,且點A的橫坐標為2,點P、Q分別是拋物線Li、L2上的動點.(1)求拋物線Li對應(yīng)的函數(shù)表達式；(2)若以點A、C、P、Q為頂點的四邊形恰為平行四邊形，求出點 P的坐標；(3)設(shè)點R為拋物線Li上另一個動點，且 CA平分/ PCR若OQ/PR,求出點Q的坐標.【分析】(1)先求出A點的坐標，再用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式便可;(2)設(shè)點P的坐

29、標為(x, x2 2x 3),分兩種情況討論：AC為平行四邊形的一條邊， AC為平行四邊形的一條對角線，用x表示出Q點坐標，再把Q點坐標代入拋物線L2： y=x+2中，列出方程求得解便可；(3)當點P在y軸左側(cè)時，拋物線L1不存在點R使得CA平分/ PCR當點P在y軸右側(cè)時，不妨設(shè)點P在CA的上方，點R在CA的下方，過點P、R分別作y軸的垂線，垂足分別為 S、T,過點P作PHLTR于點H,設(shè)點P坐標為(xi,點R坐標為(X2,J),證明 PSC- RTC 由相似比得到xi+x2 = 4,進而得tan/PRH的值，過點 Q作QK±x軸于點K,設(shè)點Q坐標為(m,7 ? 3，一，、小 一一

30、由tan / QOK= tan/PRH,移出m的方程，求得 m便可.一.，、 L 3 一 【解析】(1)將x=2代入y = - -x2_ ； x+2,得y= 3,故點A的坐標為(2, 3),7將 A (2,3), C (0,3)代入 y = x2+bx+c,得AT -。3 =。+ 0 + e,解得;拋物線 L1: y=x2 2x 3;(2)如圖，設(shè)點 P的坐標為(x, x2 2x 3),第一種情況：AC為平行四邊形的一條邊，當點Q在點P右側(cè)時，則點 Q的坐標為(x+2, x2 2x 3),/ I 3將 Q (x+2, x2 2x 3)代入 y = -：x2_ -x+2,得 JU Ix2 2x

31、3= _ . (x+2) 2 一 , (x+2) +2,解彳# x= 0或x= - 1,因為x=0時，點P與C重合，不符合題意，所以舍去，此時點P的坐標為(-1, 0);當點Q在點P左側(cè)時，則點 Q的坐標為(x 2, x2 2x 3),7| I將 Q (x 2, x2 2x 3)代入 y =-小2- Jx+2,得y =-邛-,x+2,得7 I 3 x2 2x 3 = - - (x- 2) 2 - - (x - 2) +2,4解得,x= 3,或 x =-二， j此時點P的坐標為(3, 0)或(_、，.，)；第二種情況：當AC為平行四邊形的一條對角線時，由AC的中點坐標為(1, - 3),得PQ的

32、中點坐標為(1, - 3),故點Q的坐標為(2 - x, - x2+2x 3), i 3將 Q (2 x, x2+2x 3)代入 y =-二x2-、x+2,得cc 3 , 一 、一x2+2x 3- r (2 x) 2- - (2-x) +2,解得，x= 0或x= - 3,因為x=0時，點P與點C重合，不符合題意，所以舍去,此時點P的坐標為（-3, 12）,綜上所述，點P的坐標為（-1, 0）或（3, 0）或（.g , f）或（-3, 12）;(3)當點P在y軸左側(cè)時，拋物線 L1不存在點R使得CA平分/ PCRP在y軸右側(cè)時，不妨設(shè)點 P在CA的上方，點R在CA的下方,過點P、R分別作y軸的垂

33、線，垂足分別為 S、T,過點P 作 PH，TR于點 H,貝U有/ PSG= Z RTG= 90° ,由 CA平分/ PCR 得/ PCA= / RCA 貝1J/ PCS= / RCTPSS RTC,CS C1"所以有設(shè)點P坐標為（x1,工/_工/_3）,點R坐標為（x2,p整理得，x什X2=4,-/ PH 耳A -刃在 RtPRH 中，tan/PRH _過點Q作QK, x軸于點K,設(shè)點Q坐標為（m ,若 OQ/ PR,則需/ QOK= / PRH,所以 tan / QOK= tan / PRH= 2,-nt - 2,所以2m =解得，m 所以點q坐標為q弋3. (2019年

34、無錫27題)已知二次函數(shù)y = ax2- 4ax+c (a<0)的圖象與它的對稱軸相交于點 A,與y軸相 交于點C (0, -2),其對稱軸與x軸相交于點B(1)若直線BC與二次函數(shù)的圖象的另一個交點D在第一象限內(nèi)，且 BD二、，求這個二次函數(shù)的表達式；(2)已知P在y軸上，且 POA為等腰三角形，若符合條件的點P恰好有2個，試直接寫出a的值.【分析】(1)先求得對稱軸方程，進而得 B點坐標，過D作DH，x軸于點H,由B, C的坐標得/ OBC = 45。，進而求得DH, BH,便可得D點坐標，再由待定系數(shù)法求得解析式；(2)先求出A點的坐標，再分兩種情況：A點在x軸上時， OPA為等腰

35、直角三角形，符合條件的點P恰好有2個；A點不在x軸上，/ AOB= 30° , OPA為等邊三角形或頂角為 120°的等腰三角形，符 合條件的點P恰好有2個.據(jù)此求得a.【解析】(1)過點D作DH，x軸于點H,如圖1,二二次函數(shù) y= ax2 - 4ax+c,:對稱軸為x - 二 32a：B (2, 0), C (0,2),OB= OC= 2,Z OBC= / DBH= 45° , BH ,BH= DH=1 ,OH= OB+BH= 2+1 = 3, D (3, 1),把 C (0,2) , D (3, 1)代入 y = ax2 4ax+c 中得，y 二，k=-;二

36、次函數(shù)的解析式為 y= x2+4x 2;(2)y = ax2 4ax+c過 C (0, - 2),:c= - 2,y=ax2 4ax+c= a(x-2) 2 4a 2,：A (2, 4a 2),. P在y軸上，且 POA為等腰三角形，若符合條件的點P恰好有2個，:當拋物線的頂點 A在x軸上時，/ POA= 90° ,則OP= OA,這本的P點只有2個，正、負半軸各一個，如圖2,：4a 2=0,解彳導(dǎo)a = - 一； 2當拋物線的頂點 A不在x軸上時，/AOB= 30°時，則4OPA為等邊三角形或/ AOP= 120°的等腰三角形，這樣的P點也只有兩個，如圖 3,4

37、. （2017年淮安28題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)V= x2+bx+c的圖象與坐標軸交于A,B, C三點，其中點A的坐標為（-3, 0）,點B的坐標為（4,0）,連接AC, BC.動點P從點A出發(fā),在線段AC上以每秒1個單位長度的速度向點 C作勻速運動；同時，動點 Q從點O出發(fā)，在線段OB上以每秒1個單位長度的速度向點 B作勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，設(shè)運動時間為t秒.連接PQ.(1)填空：b= , c= 4（2）在點P, Q運動過程中， APQ可能是直角三角形嗎請說明理由;(3)在x軸下方，該二次函數(shù)的圖象上是否存在點M,使4PQM是以點P為直角頂點的等腰

38、直角三角形若存在，請求出運動時間 t;若不存在，請說明理由；(4)如圖，點N的坐標為(.-，0),線段PQ的中點為H,連接NH,當點Q關(guān)于直線NH的對稱點Q'恰好落在線段BC上時，請直接寫出點 Q'的坐標.圖備用圖一 九、一, 【分析】(1)設(shè)拋物線的解析式為 y=a (x+3) (x-4).將a=-代入可得到拋物線的解析式，從而可確定出b、c的值；(2)連結(jié)QC.先求得點C的坐標，則PC= 5 t,依據(jù)勾股定理可求得 AC= 5, CCF=t . .b=' c = 4. (2)在點P、Q運動過程中， APQ不可能是直角三角形.理由如下：連結(jié)QC.+l6,接下來，依據(jù)C

39、Q2-CP = AQ2- AP2列方程求解即可；(3)過點P作DE/x軸，分別過點 M、Q作MDDE、QE± DE,垂足分別為 D、E, MD交x軸與點F,過點P作PG, x軸，垂足為點G,首先證明PAS ACO,依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得到PG=t,53I 42AG=；t,然后可求得PE DF的長，然后再證明 MDP/PEQ,從而彳1到PD= EQ=：t,MD = PE= 3- ；t,JI JJ然后可求得FM和OF的長，從而可得到點 M的坐標，然后將點 M的坐標代入拋物線的解析式求解即可；(4)連結(jié)：OP,取OP的中點R,連結(jié)RH, NR,延長NR交線段BC與點Q'.首先依據(jù)

40、三角形的中位/I ；|I /1線定理得到RH=；QO= .t, RH/ OQ, NR='AP - ；t,則RH= NR,接下來，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明 NH是/QNQ'的平分線，然后求得直線 NR和BC的解析式，最后求得直線 NR和BC的交點坐標即可./11【解析】(1)設(shè)拋物線的解析式為 y=a (x+3) (x-4).將2=-.代入得：y= - .x2-：x+4,jj3.寸 og國;在點P、Q運動過程中，/ PAQ /PQA始終為銳角，:當 APQ是直角三角形時，則/ APQ= 90° .將x= 0代入拋物線的解析式得：y=4,：C (0, 4).

41、AP= OQ= t,PO 5 t,在RtAOC中，依據(jù)勾股定理得： AC= 5,在RtCOQ中，依據(jù)勾股定理可知： CCF= t2+l6,在RtA CPQ中依據(jù)勾股定理可知：PQ2= CQ-CP2,在RtAPQ中，AQ2 AP2 = PQ2, .CQCP = AQ2AP2,即(3+t)2t2=t2+i6(5t)2,解得：t=.;由題意可知：00t< 4,：t =不合題意，即 APQ不可能是直角三角形.(3)如圖所示：Af G Q Sx4 圖 過點P作DE/ x軸，分別過點 M、Q作MDDE、QE± DE,垂足分別為 D、E, MD交x軸與點F,過點P作PG, x軸，垂足為點 G

42、,則PG/ y軸，/E=/D= 90° . PG/ y 軸，： PAG ACO,:=,即=,OC OA AC 435:PG 一二t, AG 一一t,5|5J 24PE= GQ= GO+OQ= AO AG+OQ= 3-；t+t = 3+；t, DF= GP= .t. Z MPQ = 90° , / D=90：/ DMP+/DPM=/EPQ+/ DPM = 90° ,Z DMP=/ EPQ又/ D= / E, PM = PQ, A MDPA PEQJ力PD= EQ=m，MD = PE= 3-卡FM= MD DF=m , j = 3 _ -t, OF= FG+GO= P

43、D+OA AG=3+ -t- -tM ( 3_ -t,35,點M在x軸下方的拋物線上,0< t< 4,(-3- -_t)(-3-4) +4,解得:(4)如圖所示：連結(jié) OP,取OP的中點R,連結(jié)RH, NR,延長NR交線段BC于點Q'.,點H為PQ的中點，點 R為OP的中點,RH=QO = 4, RH/ OQ.A ( 3, 0), N (-、，0),:點N為OA的中點.A又丁 R為OP的中點，RH= NR,Z RNH=/ RHN. RH/ OQ,Z RHN=/ HNO,:/ RNH=/ HNO,即 NH 是/QNQ'的平分線.設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n,把點A

44、 (-3, 0)、C (0, 4)代入得:解得:n = 4,;直線AC的表示為y = -x+4.同理可得直線BC的表達式為y= x+4.設(shè)直線NR的函數(shù)表達式為 1=-|x+s,將點N的坐標代入得：-X ( -1 ) +s= 0,解得：s= 2, 332, ;直線nr的表述表達式為y=#+2.I一. =不?622將直線NR和直線BC的表達式聯(lián)乂得：§,解得：x = -, y =，F(xiàn) =一工 + J:Q' ( _,二).I 75.(2017年宿遷25題)如圖，在平面直角坐標系 xOy中，拋物線y = x2 2x 3交x軸于A, B兩點(點A在點B的左側(cè))，將該拋物線位于x軸上方

45、曲線記作 M,將該拋物線位于x軸下方部分沿x軸翻折，翻折后所得曲線記作 N,曲線N交y軸于點C,連接AC BC.(1)求曲線N所在拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達式；(2)求 ABC外接圓的半徑；(3)點P為曲線M或曲線N上的一動點，點 Q為x軸上的一個動點，若以點 B, C, P, Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點 Q的坐標.【分析】(1)由已知拋物線可求得 A、B坐標及頂點坐標，利用對稱性可求得C的坐標，利用待定系數(shù)法可求得曲線N的解析式；(2)由外接圓的定義可知圓心即為線段BC與AB的垂直平分線的交點，即直線y=x與拋物線對稱軸的交點，可求得外接圓的圓心，再利用勾股定理可求得半徑的長；(3)設(shè)Q

46、(x, 0),當BC為平行四邊形的邊時，則有 BQ/ PC且BQ= PC,從而可用x表示出P點的坐標，代入拋物線解析式可得到 x的方程，可求得 Q點坐標，當BC為平行四邊形的對角線時，由B、CP點坐標，代入拋物線解析式可得到關(guān)于的坐標可求得平行四邊形的對稱中心的坐標，從而可表示出的方程，可求得P點坐標.【解析】(1)在 y = x2 2x 3 中，令 y=0 可得 x2 2x 3=0,解得 x= 1 或 x=3,'-AL 1, 0), B (3, 0),令x=0可得y= - 3,又拋物線位于x軸下方部分沿x軸翻折后得到曲線 N,：C (0, 3),設(shè)曲線N的解析式為y= ax2+bx+

47、c,上! - b + 白= 0p - - J把A、B、C的坐標代入可得1%.匕 八，解得,/；,曲線N所在拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達式為y= x2+2x+3;(2)設(shè) ABC外接圓的圓心為 M,則點M為線段BC線段AB垂直平分線的交點,1 . B (3, 0), C (0, 3),二線段BC的垂直平分線的解析式為 y = x,又線段AB的垂直平分線為曲線 N的對稱軸，即x=1,M (1, 1),MB 而=77不=/ ,即 ABC外接圓的半徑為 心;(3)設(shè) Q (t, 0),則 BQ=|t 3|當BC為平行四邊形的邊時，如圖 1,則有BQ/ PC,：P點縱坐標為3,即過C點與x軸平行的直線與曲線 M

48、和曲線N的交點即為點P, x軸上對應(yīng)的即為點 Q,當點P在曲線M上時，在y = x2 2x 3中，令y=3可解得x= 1+/或x=1 ,小，PC= 1 十/或 PC 、力-1,當x=1十1斤時，可知點Q在點B的右側(cè)，可得BQ= t 3,2 -t 3= 1 幣,解得 t = 4 + J,當x=1 _ 1廣時，可知點 Q在點B的左側(cè)，可得 BQ = 3-t,3 3 t =二1 ,解得 t = 4_%另，:Q點坐標為（4十/, 0）或（4 一10）;當點P在曲線N上時，在y=-x2+2x+3中，令y=3可求得x = 0 （舍去）或x = 2,PC= 2,止匕時Q點在B點的右側(cè)，則 BQ= t 3,.

49、t 3=2,解得 t = 5,4 .Q點坐標為（5, 0）;當BC為平行四邊形的對角線時，. B （3, 0）, C （0, 3）,二線段BC的中點為（二）,設(shè)P （x, y）,. x+t=3） y+0 = 3） 解得 x=3 1, y= 3,.二 P （3-t, 3）,當點P在曲線M上時，則有3= （3t） 22 （3 t） 3,解得t = 2十y二或t=2一 J二，：Q點坐標為（2十尸，0）或（2_110）;當點P在曲線N上時，則有3=（3-t） 2+2 （3-t） +3,解得t = 3 （Q、B重合，舍去）或t=1,：Q點坐標為（1, 0）；綜上可知Q點的坐標為（4十卜 0）或（4_目，

50、0）或（5, 0）或（2十 （另,0）或（2_ %氏 0） 或（1, 0）.6.1（2017年常州27題）如圖，在平面直角坐標系 xOy,已知二次函數(shù)y= =-.W+bx的圖象過點A （4, 0）, 2頂點為B,連接AB、B0.（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）若C是BO的中點，點Q在線段AB上，設(shè)點B關(guān)于直線CQ的對稱點為B',當 OCB為等邊三角 形時，求BQ的長度；（3）若點 D在線段BO上，OD= 2DB,點E、F在4OAB的邊上，且滿足 DOF與4DEF全等，求點 E【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式;(2)先求出OB和AB的長，根據(jù)勾股定理的逆定理證明/ ABO=

51、 90° ,由對稱計算/ QCB= 60° ,利 用特殊的三角函數(shù)列式可得 BQ的長；(3)因為D在OB上，所以F分兩種情況：i)當F在邊OA上時，ii)當點F在AB上時，當F在邊OA上時，分三種情況：如圖2,過D作DF，x軸，垂足為F,則E、F在OA上，如圖3,作輔助線，構(gòu)建 OF8 ED- FGE如圖4, WA DOF沿邊DF翻折，使得O恰好落在AB邊上，記為點E,當點F在OB上時，過 D作DF/ x軸，交AB于F,連接OF與DA,依次求出點 E的坐標即可.ii)當點F在AB上時，分兩種情況：畫出圖形可得結(jié)論. 匚L【解析】(1)將點A的坐標代入二次函數(shù)的解析式得：:

52、42+4b=0,解得b = 2,;二次函數(shù)的表達式為y= _ x2+2x.L /0(2) y = - ”x2+2x = - - (x-2) 2+2,B (2, 2),拋物線的對稱軸為 x=2.如圖1所示：由兩點間的距離公式得：OB 2： 2 22/j, BA E ”十曰-=2、口 .C是OB的中點，OC= BC = 區(qū) OB' C為等邊三角形，OCB =60 ° .又二點B與點B'關(guān)于CQ對稱，：/ B' CQ= / BCQ= 60° . - OA= 4, OB=2/f, AB= 2忑，OB2+AB2=OA2：/OBA= 90° .BC在

53、RtCBQ 中，/ CBQ= 90° , / BCQ= 60° , BC =也, :tan60°BQ - yjcb -'- 6-（3）分兩種情況:i）當F在邊OA上時，如圖2,過D作DF，x軸，垂足為F,由（2）得：OB=2、，.點D在線段BO上，OD=2DB,OD = -OB =, J 3,/BOA= 45° ,:cos45°=OD一，一一 8:點E的坐標為（一,0）;如圖3,過D作DF,x軸于F,過D作DE/ x軸，交AB于E,連接EF,過E作EG,x軸于G,BD DE 1=二二OB 0A 3OA= 4,DE= -， DE/ OA,：/ OFD= / FDE= 90° ,DE= OF= DF= DF,. .OF® EDF,同理可得： ED陷 A FGE. .OFg ED FGE一八 八八一J 4 J _ _。/OG= OF+FG= OF+DE=-+-, EG= DF= OD?sin45 =-,3 3 3J. E的坐標為（一，F(xiàn)）;3 |3如圖4,將ADOF沿邊DF翻折，使得O恰好落在AB邊上，記為點E,過B作BM，x軸于M ,過E作EN± BM于N,上4:在RtDBE中，由勾股定理得：BE = J門戶一方斤=三-ZL 心 LA G KE貝