貝努利(Bernoulli)致牛頓的信中第一次提出微分方程

1、 1676年，貝努利(Bernoulli）致牛頓的信中第一次提出微分方程，直到十八世紀(jì)中期，微分方程才成為一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科.微分方程建立后，立即成為探索現(xiàn)實(shí)世界的重要工具背背 景景 4.1 微分方程的概念 一、案例 二、概念和公式的引出 三、進(jìn)一步的練習(xí) 四、實(shí)訓(xùn) 一、案例一、案例 我們已知曲線過(guò)點(diǎn)(1, 2)，且曲線上任一點(diǎn)M(x, y)處切線的斜率是該點(diǎn)橫坐標(biāo)的倒數(shù)，求此曲線方程案例 1 曲線方程 對(duì)式（1）兩邊積分，得解設(shè)曲線方程為y=y(x),于是曲線在點(diǎn)M(x,y)處（1）d1dyxx又曲線過(guò)點(diǎn)（,），故有 12xy（2）ddyx切線的斜率為 根據(jù)題意有1dlnyxxCx將式（2）代入

2、上式，得 2ln 1C，即C=2.故所求曲線方程為2lnxy 一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn),在重力作用下自由下落,求其運(yùn)動(dòng)方程. 案例2 自由落體運(yùn)動(dòng) 解 建立坐標(biāo)系如上圖所示，坐標(biāo)原點(diǎn)取在質(zhì)點(diǎn)開(kāi)始下落點(diǎn),y軸鉛直向下.設(shè)在時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)的位置為y(t),由于質(zhì)點(diǎn)只受重力mg作用,且力的方向與y軸正向相同，故由牛頓第二定律，得質(zhì)點(diǎn)滿足的方程為 即: gdtyd22mgtymma22dd方程兩邊同時(shí)積分，得: 上式兩邊再同時(shí)積分，得 :21221CtCgty其中 是兩個(gè)獨(dú)立變化的任意常數(shù) 21C,C1ddygt Ct一般地，凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間關(guān)系的方程，稱為微分方程微分方程中未知函數(shù)的最

3、高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為微分方程的階xxy1dd例如，案例1中的微分方程是一階微分方程；gty22dd案例2中的微分方程是二階微分方程 二、二、 概念和公式的引出概念和公式的引出 中，函數(shù) 是微分方程 的解。 lnyx Cd1dyxx通解例如，在案例1中， 是微分方程 的lnyx Cd1dyxx 任何滿足微分方程的函數(shù)都稱為微分方程的解求微分方程的解的過(guò)程，稱為解微分方程例如，在案例1 如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解稱為微分方程的21212ygtC tC22ddygt通解在案例2中， 是微分方程 的通解.為 ，滿足初始條件的特解為 21xy2ln x

4、y 在通解中，利用附加條件確定任意常數(shù)的取值，所得的解稱為該微分方程的特解，這種附加條件稱為d1dyxx初始條件在案例中，方程 的初始條件利用微分方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟如下：第一步 建立反映實(shí)際問(wèn)題的微分方程；第二步 按實(shí)際問(wèn)題寫(xiě)出初始條件；第三步 求出微分方程的通解；第四步 由初始條件確定所求的特解 練習(xí)1列車(chē)制動(dòng) 三、進(jìn)一步的練習(xí)三、進(jìn)一步的練習(xí) 列車(chē)在直線軌道上以20m/s的速度行駛，制動(dòng)列車(chē)獲得負(fù)加速度-0.4m/s2，問(wèn)開(kāi)始制動(dòng)后要經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間才能把列車(chē)剎??？在這段時(shí)間內(nèi)列車(chē)行駛了多少路程？解 記列車(chē)制動(dòng)的時(shí)刻為t=0，設(shè)制動(dòng)后ts列車(chē)行駛了s m.由題意知,制動(dòng)后列車(chē)行駛的加速

5、度等于-0. 422d0.4dst（1） 二階微分方程初始條件為當(dāng)t=0時(shí)，s=0，d20dsvtm/ s2 ，即將方程（1）兩端同時(shí)對(duì)t積分，得 1d0.4,dsv ttCt (2)式(2)兩端對(duì)t再積分一次，得,2 . 0212CtCts (3)其中C1，C2都是任意常數(shù)，把條件當(dāng)t=0時(shí)，d20dst , (4）20.220stt 速度方程為（5）d0.420dsvtt 代入式（2），得C120把t=0時(shí)，s=0代入式（3），得C2 0于是，列車(chē)制動(dòng)后的運(yùn)動(dòng)方程為因?yàn)榱熊?chē)剎住時(shí)速度為零，在式（5）中，令v=0, 解0=-0.4t+20 ,得列車(chē)從開(kāi)始制動(dòng)到完全剎住的時(shí)間為再把t=50代入式（4）,得列車(chē)在制動(dòng)后所行駛的路程為 st505.02020.2502050500(m)s 1曲線方程 已知曲線上任意點(diǎn)M(x,y)處的切線斜率為cos