高等數(shù)學(xué)D81向量及運(yùn)算ppt課件

1、數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系 第八章第一部分第一部分 向量代數(shù)向量代數(shù)第二部分第二部分 空間解析幾何空間解析幾何 在三維空間中:空間形式空間形式 點(diǎn)點(diǎn), , 線線, , 面面基本方法基本方法 坐標(biāo)法坐標(biāo)法; 向量法向量法坐標(biāo)坐標(biāo), , 方程組）方程組）空間解析幾何與向量代數(shù) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 第一節(jié)一、向量的概念一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算二、向量的線性運(yùn)算 三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 向量及其線性運(yùn)算 第八章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 表示法:向量的模 : 向量的大

2、小,21MM記作一、向量的概念一、向量的概念向量:(又稱矢量). 1M2M既有大小, 又有方向的量稱為向量自由向量:與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量.單位向量: 模為 1 的向量,零向量: 模為 0 的向量,有向線段 M1 M2 ,或 a ,a或.a或記作 e 或e .或 a .00或，記作目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 規(guī)定: 零向量與任何向量平行 ;若向量 a 與 b大小相等, 方向相同, 則稱 a 與 b 相等,記作 ab ;若向量 a 與 b 方向相同或相反, 則稱 a 與 b 平行, ab ;與 a 的模相同, 但方向相反的向量稱為 a 的負(fù)向量,記作因平行向量可平移到同一直線上, 故兩向量平行又稱

3、兩向量共線 .假設(shè) k (3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上 , 則稱此 k 個(gè)向量共面 .記作a ;目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、向量的線性運(yùn)算二、向量的線性運(yùn)算1. 向量的加法向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律 : 交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加 .bbabbacba )()(cbacbaabcba cb)(cbacba )(aaba ba cba目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 s3a4a5a2a1a54321aaaaas目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 向量的減法向量的減法三角不等式ab)( ab有時(shí)特別當(dāng),ab aa)( aababaabababa0baba目

4、錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 可見(jiàn)aa 1;1aa3. 向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法 是一個(gè)數(shù) ,規(guī)定 :時(shí)，0,0時(shí),0時(shí)總之:運(yùn)算律 : 結(jié)合律分配律因而，同向與aa 與 a 的乘積是一個(gè)新向量, 記作.a;aa，反向與aa;aa.0aaa)(aa)(aa)( aaba)(ba, 0a若ae則有單位向量.1aaaeaa 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理1. 設(shè) a 為非零向量 , 那么( 為唯一實(shí)數(shù))證證: “ ”., 取 且再證數(shù) 的唯一性 .那么,0故.即abab設(shè) abba反向時(shí)取負(fù)號(hào), a , b 同向時(shí)取正號(hào)那么 b 與 a 同向,設(shè)又有 b a ,0)(aaa baab.a

5、b故,0a而目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 “ ”那么,0 時(shí)當(dāng)例例1. 設(shè)設(shè) M 為為MBACD解解:ABCD 對(duì)角線的交點(diǎn),0 時(shí)當(dāng)ba,0 時(shí)當(dāng),aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2知 b a ,b0a , b 同向a , b 反向ab .,MDMCMBMAba表示與試用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyz三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系. 坐標(biāo)原點(diǎn) 坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸(豎軸)過(guò)空間一定點(diǎn) O , 坐標(biāo)面 卦限(八個(gè))1. 空間直角坐

6、標(biāo)系的基本概念空間直角坐標(biāo)系的基本概念O面xOy面yOzzOx面目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 在直角坐標(biāo)系下xyz向徑 11坐標(biāo)軸上的點(diǎn) P, Q , R ;坐標(biāo)面上的點(diǎn) A , B , C點(diǎn)點(diǎn) M特殊點(diǎn)的坐標(biāo) :有序數(shù)組),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR), 0(zyB(稱為點(diǎn) M 的坐標(biāo))原點(diǎn) O(0,0,0) ;rOr)0 ,(yxAM), 0 ,(zxC目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 坐標(biāo)軸 : 軸x00zy00 xz軸y軸z00yx坐標(biāo)面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 向量的坐標(biāo)表示

7、向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點(diǎn) M , ),(zyxM那么沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量,),(zyxxOyzMNBCA,軸上的單位向量分別表示以zyxkji的坐標(biāo)為此式稱為向量 r 的坐標(biāo)分解式 ,任意向量 r 可用向徑 OM 表示.NMONOMOCOBOA記記 , ixOA , jyOB rkzjyix稱為向量,kzOC kzjyixrikjr.,的坐標(biāo)稱為向量 rzyx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算那么),(zzyyxxbababa),(zyxaaaxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例:，為實(shí)數(shù)設(shè)

8、),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb baa,0 時(shí)當(dāng)aab ab目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 求解以向量為未知元的線性方程組解解: 2 3 , 得)10, 1,7(代入得)16,2,11(ayx35byx23.211,212），（），（其中babax32)3(21bxy目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3. 已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn)在AB所在直線上求一點(diǎn) M , 使解解: 設(shè)設(shè) M 的坐標(biāo)的坐標(biāo)為為, ),(zyx如下圖ABMo11AB, ),(111zyxA),(222zyxB及實(shí)數(shù), 1得),(zyx11),(212121zzyyxx即.MBAMAMMBAMOAOM MBOM

9、OBAOOM )(OMOBOMOBOA(M目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明: 由由得定比分點(diǎn)公式:,121xx,121yy121zz,1時(shí)當(dāng)點(diǎn) M 為 AB 的中點(diǎn) , 于是得x,221xx y,221yy z221zz ),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中點(diǎn)公式中點(diǎn)公式:ABMoABM目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式222zyx則有222OROQOPxOyzMNQRP由勾股定理得),(111zyxA因AB得兩點(diǎn)間的距離公式:),(121212zzyyxx212

10、212212)()()(zzyyxx對(duì)兩點(diǎn)與, ),(222zyxB, rOM作NMON BABAOAOBBA),(zyxr 設(shè)OMr OMr OROQOP目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 求證以求證以)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321MMM證證:1M2M3M21MM 2)47( 2)31 ( 2) 12( 1432MM 2)75( 2) 12( 2)23( 631MM 2)45( 2)32( 2) 13( 63132MMMM即321MMM為等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 為頂點(diǎn)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. 在在 z 軸上求與兩點(diǎn)軸上求與兩

11、點(diǎn))7, 1 ,4(A等距解解: 設(shè)該點(diǎn)為設(shè)該點(diǎn)為, ),0,0(zM,BMAM因?yàn)?2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求點(diǎn)為及)2,5,3(B. ),0,0(914M考慮考慮:(1) 如何求在 xOy 面上與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡方程?(2) 如何求在空間與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡方程 ?離的點(diǎn) . 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (1) 如何求在 xOy 面上與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡方程?(2) 如何求在空間與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡方程 ?)7, 1 ,4(A)2,5,3(B提示提示:(1) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)為, )0,(yxM利用,BMAM得,0288

12、14 yx(2) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)為, ),(zyxM利用,BMAM得014947zyx且0z例例6. 已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn)),3, 1 ,7()5,0,4(BA和解解:141)2,1,3(142,141,143BABA求AB的單位向量 e .e目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 Oyzx2. 方向角與方向余弦方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量 任取空間一點(diǎn) O ,OAB稱 =AOB (0 ) 為向量 的夾角. 類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 . 與三坐標(biāo)軸的夾角 , , 為其方向角.cos222zyxx方向角的余弦稱為其方向余弦. ,aOA 作, bOB ,baba,0),(zyxr給定r稱),(ba記作),(

13、ab或rxr目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 Oyzxrcos222zyxxcos222zyxycos222zyxz1coscoscos222方向余弦的性質(zhì):)cos,cos,(cosrxryrzrrer:的單位向量向量 r目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例7. 已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn))2,2,2(1M和, )0,3, 1(2M的模 、方向余弦和方向角 . 解解:,21,23)20計(jì)算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MM目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例8. 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) A 位于第一卦限位于第一卦限,解解: 知知角依次為,

14、43求點(diǎn) A 的坐標(biāo) . ,4,3那么222coscos1cos41因點(diǎn) A 在第一卦限 ,故,21cos于是6,cos,coscos)3,23,3(故點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 . )3,23,3(向徑 OA 與 x 軸 y 軸的夾 ,6AO且OA第二節(jié) OAeAO6,21,2221目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 uOuuaa)(Prj或記作M3. 向量在軸上的投影向量在軸上的投影第二節(jié) Oua那么 a 在軸 u 上的投影為 例如, ),(zyxaaaa 在坐標(biāo)軸上的投影分別為 設(shè) a 與 u 軸正向的夾角為 ,M, 即 cos)(aaucosazyxaaa,投影的性質(zhì)投影的性質(zhì)2) uuaa)()(1) uuubaba)()()(為實(shí)數(shù)) MM目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例9.第二節(jié) 設(shè)立方體的一條對(duì)角線為OM, 一條棱為 OA, 且 , aOA 求OA 在 OM 方向上的投影. 解解: 如下圖如下圖, 記記 MOA = , cosAOMOMOA313a作業(yè)作業(yè) P12 3 , 5, 13, 14, 15, 18, 19acosPrjOAOAOM目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題備用題解解: 因因1. 設(shè)設(shè)求向量在 x 軸上的投影及在 y 軸