第2章 信號和頻譜

1、簡明通信原理簡明通信原理Concise Principles of Communications武漢理工大學計算機學院武漢理工大學計算機學院第第2章章 信號和頻譜信號和頻譜u 學學 習習 目目 標標 l信號的分類與特性。l傅里葉級數和傅里葉變換。l能量（或功率）譜與相關函數。l平穩(wěn)、高斯、窄帶隨機過程的統計特性。l高斯白噪聲和低通（或帶通）白噪聲。l帶寬的概念與定義。 2.1 信號分類信號分類 l信號信號（signal）是指表示消息的某種電（物理）量，如電壓、電流或電磁波等。 為方便研究不同問題，可將信號進行如下分類：v模擬信號與數字信號（詳見第1章）v基帶信號與已調信號（詳見第1章）v確知信

2、號和隨機信號v周期信號和非周期信號v能量信號和功率信號u2.1.1 確知信號和隨機信號確知信號和隨機信號l確知信號是可以預先確知其變化規(guī)律的信號。例如， 。l隨機信號（不確知信號），其在定義域內的任意時刻都沒有確定的函數值。例如，通信系統中的接收信號、熱噪聲等。u2.1.2 周期信號和非周期信號周期信號和非周期信號 l周期信號是定義在（ ）區(qū)間上，且每隔固定的時間按同樣規(guī)律重復變化的信號，即滿足： T0為信號的周期。l提問：沖激函數、正弦信號、Sa(x)函數、矩形脈沖序列、語音信號，哪些是周期信號？ ( )5sin10s tt,0( )(),s ts tTt u2.1.3 能量信號和功率信號能

3、量信號和功率信號l電壓v(t)或電流i(t)在電阻R上所產生的瞬時功率為 或 l“歸一化歸一化”瞬時功率（取R=1歐姆）： s(t)代表v(t)或i(t)ls(t)的（歸一化）總能量為 （歸一化）平均功率為： 若E有限 ，而P0，則稱為能量（有限）信號。如單個矩形脈沖。 若P有限，而E，則稱為功率（有限）信號。如周期信號和隨機信號。 2( )( )vtp tR2( )( )p ti t R/222/2lim( )d( )dTTTEs tts tt/ 22/ 21lim( )dTTTPsttT2( )( )p tstl確知信號的分析方法是信號分析的基礎。l信號的特性可從時域和頻域來描述。v時域特

4、性時域特性反映信號隨時間變化的特性，可借助示波 器觀察信號的波形。v頻率特性頻率特性反映信號各個頻率分量的分布情況，可借助頻譜儀觀察信號的頻譜。l在數學上，周期信號的頻譜可用傅里葉（Fourier）級數來分析；非周期信號的頻譜可用傅里葉變換來分析。 2.2 確確 知知 信信 號號 u2.2.1 傅里葉級數傅里葉級數l 周期信號s(t)可展成（指數型）傅里葉級數： 其中，傅氏系數Cn為 式中，f0 = 1/T0為信號的基頻，nf0為 n次諧波頻率。l 由于Cn反映了信號中各次諧波的幅度值和相位值，故稱Cn為信號的頻譜頻譜?？捎洖?v 幅度 隨頻率（nf0）變化的特性稱為信號的幅度譜，v 相位 n

5、 隨頻率（nf0）變化的特性稱為信號的相位譜。 0j2/=( ) =entTnns tC000/ 2j2/ 201( )edTn f tnTCs ttTjennCCnnC【例2-1】 一個周期矩形脈沖信號的時域波形與幅度譜如圖2-2所示，簡述周期信號頻譜的特點，并確定該信號需要占用的頻帶寬度（即信號帶寬）。 解解：周期信號的頻譜具有“離散性（譜線）、諧波性和收斂性”的特點。 幅度譜的主瓣寬度（指第一個零點頻率范圍）定義為信號帶寬(零點帶寬)： 可見，脈寬脈寬 越窄，越窄，B 越寬越寬。 1Bu2.2.2 傅里葉變換傅里葉變換 一個非周期確知信號s(t)的傅里葉（Fourier）變換： （2-2

6、-5）稱為該信號的頻譜密度頻譜密度，簡稱頻譜頻譜。 的傅里葉反變換就是原信號： （2-2-6） 這對傅里葉變換關系可簡記為 當引入沖激函數之后，傅里葉變換對周期信號和非周期信號都適用。當引入沖激函數之后，傅里葉變換對周期信號和非周期信號都適用。 j( )( )edtSs ttj1( )( )ed2ts tS( )S( )( )s tS 【例2-2】試求幅為A，寬為 的單個矩形脈沖（門函數）的頻譜。 解：對該信號進行傅里葉變換可得其頻譜為 式中， 稱為抽樣函數，且有 。譜的第1個零點頻率為 。 圖2-3 矩形脈沖信號及其頻譜函數 jj222( )ededsinSa22ttASs ttAtAsin

7、Sa( )xxxSa(0)11/f第一零點f=1/評注： （1）非周期矩形脈沖信號的頻譜是連續(xù)頻譜，其形狀與圖2-2所示的周期矩形脈沖信號的離散頻譜的包絡線相似。 （2）信號帶寬與脈沖持續(xù)時間（脈寬 ）成反比，即 。這意味著，若要壓縮信號的持續(xù)時間則以展寬頻帶為代價。 l 【例2-3】 已知 ，求 的頻譜（密度）。 解：利用歐拉公式可得 根據傅里葉變換的頻移特性可得 另一解法：利用傅里葉變換的頻域卷積性質求解。 評注：上式通常稱為調制定理，它在通信系統中的調制與解調過程中經常用到。 s tS0( ) coss tt00jj01( )cos( )ee2tts tts t0( )coss tt00

8、12SS1/Bu2.2.3 沖激函數和沖激序列沖激函數和沖激序列l(wèi)1、單位沖激函數、單位沖激函數 (t) (t)是一個幅值無限大、寬度無窮小、面積為1的脈沖，可表示為v（1）篩選特性（采樣特性） 或 v（2）搬移特性 v（3）傅里葉變換和反變換 l2、單位沖激序列、單位沖激序列 00( )( )d10ttttt且000( )()( )()f tttf ttt00( )()d( )f ttttf t00( ) ()()f tttf tt00( ) ()()FF ( )1t12 ( ) T0( )()nttnTT0011( )nffnTTu2.2.4 能量譜密度和功率譜密度能量譜密度和功率譜密度

9、意義意義：。l1能量譜密度（能量譜密度（ESD） ESD是指信號的能量在頻域上的分布情況。表示為 或 式中的S()為能量信號 s(t) 的傅里葉變換。 信號能量為 上式稱為Parseval（帕塞瓦爾）能量守恒定理。 2( )( )ES2( )( )E fS f21( )d( )d( )d2Es t tEE ff l2功率譜密度（功率譜密度（PSD） PSD是指信號的功率在頻域上的分布情況。設 是功率信號s(t)的截短信號， 是 的傅里葉變換，則s(t)的功率譜密度為 或 信號功率為 對于周期性功率信號來說，其平均功率由下式給出： 式中， =1/ f0為信號周期； |Cn|2是第n次諧波的功率。

10、|Cn|2隨nf0分布的特性稱為周期信號的（離散）功率譜密度，可表示為 或 2T1()lim()TPST2T1( )lim( )TP fSfT Ts tT( )S Tst/22/211lim( )d( )d( )d2TTTPs t tPP ffT 00/222/201( )dTnTnPs ttCT0T20( )()nnP ffnfC20( )2()nnPCnl3.能量（功率）帶寬能量（功率）帶寬v 對于能量信號，可利用能量譜E(f)，由下式求出帶寬B ： 式中， 為百分比，可取90%、95%或99%等。v 對于功率信號，則可利用功率譜P(f)，由下式求出帶寬B ： u2.2.5 波形的互相關和

11、自相關波形的互相關和自相關 相關函數用于研究信號波形之間的關聯程度或相似程度。02()dBE ffE02()dBP ffPl 1相關函數相關函數 表2-3 不同類型信號相關函數的表達式 其中， 為時間差；T0為周期。l2互相關函數的性質互相關函數的性質v ，表示兩個信號互不相關;v 越大，說明無時差時的兩個信號越相似;v l3自相關函數的性質自相關函數的性質v v v能量信號的R(0)=E(能量)；功率信號的R(0)=P(功率)。 12( )0R12(0)R1221( )()RR( )(0)RR( )()RRu2.2.6 相關函數與譜密度相關函數與譜密度 l能量信號的自相關函數和其能量譜密度是

12、一對傅里葉變換，即 l功率信號的自相關函數和其功率譜密度是一對傅里葉變換，即 以上關系稱為維納維納-辛欽定理辛欽定理。該定理為譜密度的求解提供了另一條途徑，即通過自相關函數來求得信號的譜密度。 【例2-5】 求余弦信號 的PSD和平均功率。 解：余弦（或正弦）信號都是周期性功率信號，它的自相關函數為2( )( )RS f ( )RP f0( )cos()s tAt0000/2/2200/2/20011( )( ) ()dcos()cos()dTTTTRs t s ttAtttTT 利用積化和差三角函數公式，可得 利用維納-辛欽定理 ，可得信號的PSD： 信號的平均功率為 或 v正弦信號與余弦信

13、號具有相同的PSD、自相關函數和平均功率。 v習慣把 和 統稱為正弦信號。000022/2/2000/2/20011( )cosdcos(22 )d22TTTTAARtttTT20cos2A200( ) 2AP2(0)2APR21( )d( )d22APP ffP0sin()At0cos()At2.3 隨隨 機機 過過 程程 u本節(jié)內容是本課程的數學基礎，因為通信中的信號與噪聲都具有一定的隨機性，需要用隨機過程的理論來描述。l隨機過程的基本概念和數字特征；l平穩(wěn)、高斯、窄帶過程的統計特性；l隨機過程通過線性系統；l高斯白噪聲的統計特性。u2.3.1 何謂隨機過程？何謂隨機過程？ 隨機過程可定義

14、為所有樣本函數的集合。其在任意時刻上的取值是一個隨機變量，因此又可定義為在時間進程中處于不同時刻的隨機變量的集合。 圖2-4 隨機過程的樣本u2.3.2 數字特征數字特征v分布函數或概率密度函數可充分地描述隨機過程的統計特性。v數字特征可描述隨機過程的基本特性。常用的數字特征有均值、方差和相關函數。 l1均值或數學期望均值或數學期望 含義：均值 表示隨機過程n個樣本曲線的擺動中心（見圖2-4中虛線）。l2方差方差 含義：方差反映了隨機過程在任意時刻的取值偏離均值的程度。l3自相關函數自相關函數 若 并令 ，則相關函數 可寫成 含義：描述隨機過程在不同時刻的取值之間的關聯程度。 1( )( )(

15、 , )da tEtxf x tx( )a t22( ) ( )( )tEta t22( )Eta (t)1212122121212( , ) ( ) ( )( ,; , )d dR t tEttx x fx x t tx x 1111( ,) ( ) ()R t tEtt21,tt21tt12( ,)R t t2.4 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程 u2.4.1 平穩(wěn)性平穩(wěn)性 l嚴（狹義）平穩(wěn)嚴（狹義）平穩(wěn)：隨機過程的統計特性不隨時間的推移而改變。l寬（廣義）平穩(wěn)寬（廣義）平穩(wěn)：隨機過程的數字特性不隨時間的推移而改變： 均值與 t 無關 自相關函數僅與時間間隔有關 v 嚴平穩(wěn)必然寬平穩(wěn)，反之不一定

16、（高斯過程例外）。v 通信系統中的信號與噪聲大多可視為寬平穩(wěn)過程。 ( )Eta常數11( ,)( )R t tRu2.4.2 各態(tài)歷經性各態(tài)歷經性l如果平穩(wěn)過程 的統計平均等于它的任意一個樣本 的時間平均，即 則稱該平穩(wěn)隨機過程 具有各態(tài)歷經性。l各態(tài)歷經性的意義：各態(tài)歷經性的意義： 可用一個樣本的“時間平均”替代隨機過程的“統計平均（需要對隨機過程的所有樣本求平均）”，使得測量和計算的問題大大簡化。 ( ) t( )x t( )( )aaRR( ) tu2.4.3 自相關函數的性質自相關函數的性質 平穩(wěn)隨機過程 的自相關函數只是時間差 的函數，即 l它具有如下性質：v（1） 的平均功率 v

17、（2） 的直流功率 v（3） （方差） 的交流功率 當均值為0時，有 v（4） 的偶函數 v（5） 時有最大值 ( ) t21tt( )( ( ) ()REtt2(0)( )REt( ) t22( ) ( )REta2(0)( )RR2(0)R( )()RR( )(0)RR0u2.4.4 功率譜密度功率譜密度 平穩(wěn)過程的功率譜密度與自相關函數是一對傅里葉變換關系，即 簡記為 稱為維納維納-辛欽定理辛欽定理。它建立了平穩(wěn)過程頻域和時域的聯系。v （1）當 時，有 即功率譜密度（PSD）的積分面積等于歸一化平均功率。v （2）功率譜密度（PSD）具有非負性和實偶性，即 jj( )( )ed1( )

18、( )ed2PRRP( )( )RP01(0)( )d( )d2RPP ff2( )Et( )0P f ()( )PfP f2.5 高斯隨機過程高斯隨機過程 u2.5.1 定義與特性定義與特性 l高斯過程的n維（n=1，2，）分布都服從正態(tài)分布。l高斯過程的統計特性完全由它的數字特征決定。 它的一維分布完全可由均值和方差來描述。v（1）若高斯過程是寬平穩(wěn)的，則也是嚴平穩(wěn)的。v（2）若高斯過程在不同時刻的取值是不相關的， 則它們也是統計獨立的。v（3）高斯過程經過線性系統后的過程仍是高斯過程。 以上幾個性質在對高斯過程進行數學處理時十分有用。 u2.5.2 一維高斯（或正態(tài)）分布一維高斯（或正態(tài)

19、）分布 高斯過程在任意時刻上的取值都是一個高斯隨機變量，其一維概率密度函數為 具有如下特性：v 曲線對稱于 這條直線。v v 的圖形將隨 的減小 而變得尖銳，說明隨機變量X 落在a點附近的概率越大。221()( )exp22xafx( )f xxa1( )d( )d2aafxxfxx( )f x 在分析數字通信系統的抗噪聲性能時，往往需要計算高斯隨機變量X小于或等于某一取值 的概率 ，記為 式中， 稱為分布函數，是概率密度函數 的積分，即 （2-5-3） 為了便于計算上式積分的結果，常引用一些在數學手冊上可查函數值的特殊函數特殊函數來表示F(x)。例如，誤差函數和互補誤差函數，其公式與性質如表

20、2-4所示。 x()P Xx( )()F xP Xx( )F x( )f x221()( )()expd22xzaF xP Xxz表2-4誤差函數和互補誤差函數誤 差 函 數互補誤差函數公式， （2-5-4）， （2-5-5）性質自變量的遞增函數 ，且 自變量的遞減函數 ，且關系式 （2-5-6）近似式 ， （2-5-7）202erf( )edxtxt0 x22rfc( )edtxext0 xerf(0)0erf()1erf()erf( )xx erfc(0)1erfc()0erfc()2erfc( )xxerfc( )1erf( )xx 21erfc( )exxx1x 若對式（2-5-3）的

21、積分區(qū)間進行處理（如 ），然后進行變量代換，令 ，并與式（2-5-4）或式（2-5-5）聯系，則有 （2-5-8） 利用函數 或函數 表示F(x)的好處是，其簡明的特性有助于今后分析通信系統的抗噪聲性能。 xaxaxa時，()/2tza11erf222( )11erfc22x axaF xx axa，erf( ) xerfc( )x2.6 隨機過程通過線性系統隨機過程通過線性系統 對于線性時不變系統，其輸出過程 是輸入過程 與系統單位沖激響應 的卷積，即 根據上式，若給定 的統計特性，則可求得 的統計特性，結果如表2-5所示。 表2-5平穩(wěn)隨機過程通過線性系統 表2-5中， 為線性系統的頻率響

22、應，且 ；H(0)是線性系統在 處的頻率響應，即直流增益； 是線性系統的功率增益。 o( ) ti( ) t( )h toii( )( )( )( ) ()dtth tht i( ) to( ) t( )H f( )( )H fh t0f 2( )H f2.7 窄帶隨機過程窄帶隨機過程 窄帶隨機過程概念。例子：調頻（FM）信號、數字調相（2PSK）信號、白噪聲通過帶通濾波器后的噪聲等。 l譜特征： 頻帶寬度 （中心頻率），且 0。l樣本波形：包絡 隨機緩變的正弦波。l表達式： l等價式： 式中， ， 分別稱為 的同相和正交分量。 fcfcf( )a tt及相位 （ ）c( )( )cos2(

23、),( )0ta tf tta tccsc( )( )cos2( )sin2ttf ttf tc( )( )cos( )ta tts( )( )sin( )ta tt( ) tl 兩個重要結論：v 結論結論1：對于均值為零、方差為 的平穩(wěn)高斯窄帶過程 ，它的同相分量 和正交分量 同樣是平穩(wěn)高斯過程，且均值皆為零，方差都等于 （相當于平均功率相等）。v 結論結論2：對于均值為0、方差為 的平穩(wěn)高斯窄帶過程 ，它的包絡 的一維分布是瑞利分布，相位 的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言， 與 是統計獨立的。 以上兩個結論在帶通傳輸系統（如調制系統）的抗噪聲性能分析中將會用到。 2( ) tc( ) ts( ) t22( ) t( )a t() t()a t() t2.8 2.8 通信系統中的噪聲通信系統中的噪聲 例子：電子設備中的電阻性器件所產生的熱噪聲，它是一種零均值的高斯白噪聲白噪聲。常被用作信道中的噪聲模型。u2.8.1 白噪聲白噪聲 白噪聲是一種帶寬無限的平穩(wěn)過程，它具有恒定的功率譜密度： 式中， 是一個常數，表示單邊功率譜密度，單位是瓦/赫。 0n( )2nPf()f 0n() ()2nR0n白噪聲僅在 （同一時刻）時的取值才相關。若白噪聲的取