空間解析幾何簡介ppt課件

1、第一講第一講 空間解析幾何簡介空間解析幾何簡介 內(nèi)容提要內(nèi)容提要 1.空間直角坐標系空間直角坐標系; 2. 空間兩點之間的距離空間兩點之間的距離; 3.空間曲面、空間曲線常見的二次曲面空間曲面、空間曲線常見的二次曲面; 4.空間曲線在坐標面上的投影?？臻g曲線在坐標面上的投影。 教學(xué)要求教學(xué)要求 1.初步建立空間的概念，理解空間直角坐初步建立空間的概念，理解空間直角坐標系；標系； 2. 理解曲面及其方程的概念；理解曲面及其方程的概念； 3. 掌握幾種特殊曲面的方程及其圖形；掌握幾種特殊曲面的方程及其圖形； 4. 理解空間直線及其方程概念；理解空間直線及其方程概念； 5. 掌握幾種空間直線方程的形

2、式特點；掌握幾種空間直線方程的形式特點； 6. 理解空間曲線及其方程概念；理解空間曲線及其方程概念； 7. 掌握幾種空間曲線及其方程形式特點。掌握幾種空間曲線及其方程形式特點。x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點定點o空間直角坐標系空間直角坐標系 三個坐標軸的正方向三個坐標軸的正方向符合右手系符合右手系.即以右手握住即以右手握住z軸，軸，當(dāng)右手的四個手指當(dāng)右手的四個手指從正向從正向x軸以軸以2 角角度轉(zhuǎn)向正向度轉(zhuǎn)向正向y軸軸時，大拇指的指向時，大拇指的指向就是就是z軸的正向軸的正向.一、空間點的直角坐標一、空間點的直角坐標xyozxoy面面yoz面面zox面面空間直角坐標系共有八個卦限空間直角

3、坐標系共有八個卦限空間的點空間的點有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11特殊點的表示特殊點的表示:)0 , 0 , 0(O),(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐標軸上的點坐標軸上的點,P,Q,R坐標面上的點坐標面上的點,A,B,C設(shè)設(shè)),(1111zyxM、),(2222zyxM為為空空間間兩兩點點xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,222212NMPNPMd 二、空間兩點間的距離二、空間兩點間的距離,121xx

4、PM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空間兩點間距離公式空間兩點間距離公式特殊地：若兩點分別為特殊地：若兩點分別為,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M解解 221MM,14)12()31()47(222 232MM, 6)23()12()75(222 213MM, 6)31()23()54(222 32MM,13MM 原結(jié)論成立原結(jié)論成立.例例 1 1 求證以求證以)1 , 3 , 4(1M、)2 , 1 , 7(2M、)3 , 2 , 5(3M三點為頂點的三角形是一個

5、等腰三角形三點為頂點的三角形是一個等腰三角形.例例 2 2 設(shè)設(shè)P在在x軸上，它到軸上，它到)3 , 2, 0(1P的距離為的距離為到點到點)1, 1 , 0(2 P的距離的兩倍，求點的距離的兩倍，求點P的坐標的坐標.解解設(shè)設(shè)P點坐標為點坐標為),0 , 0 ,(x因因為為P在在x軸軸上上， 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求點為所求點為).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 曲面方程的定義：曲面方程的定義：（1 1） 曲曲面面S上上任任一一點點的的坐坐標標都都滿滿足足方方程程；（2 2）不不在在

6、曲曲面面S上上的的點點的的坐坐標標都都不不滿滿足足方方程程；那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的圖圖形形曲面的實例：曲面的實例：三、空間曲面三、空間曲面水桶的表面、臺燈的罩子面等水桶的表面、臺燈的罩子面等曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡如如果果曲曲面面S與與三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述關(guān)關(guān)系系：曲面方程的概念曲面方程的概念以下給出幾例常見的曲面以下給出幾例常見的曲面.例例 1 1 建建立立球球心心在在點點),(0000zyxM、半半徑徑為為R的的球球面面方

7、方程程.解解設(shè)設(shè)),(zyxM是是球球面面上上任任一一點點，RMM |0根據(jù)題意有根據(jù)題意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程為所求方程為特殊地：球心在原點時方程為特殊地：球心在原點時方程為2222Rzyx 例例 2 2 求與原點求與原點O及及)4 , 3 , 2(0M的距離之比為的距離之比為2:1的的點的全體所組成的曲面方程點的全體所組成的曲面方程.解解設(shè)設(shè)),(zyxM是是曲曲面面上上任任一一點點，,21|0 MMMO根據(jù)題意有根據(jù)題意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程為所求方程為例例 3 3 已已知知

8、)3 , 2 , 1(A，)4 , 1, 2( B，求求線線段段AB的的垂垂直直平平分分面面的的方方程程.設(shè)設(shè)),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一點點，根據(jù)題意有根據(jù)題意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化簡得所求方程化簡得所求方程. 07262 zyx解解zxyo1)2()1(22 yxz根據(jù)題意有根據(jù)題意有1 z用用平平面面cz 去去截截圖圖形形得得圓圓：)1(1)2()1(22 ccyx 當(dāng)當(dāng)平平面面cz 上上下下移移動動時時，得得到到一一系系列列圓圓圓心在圓心在), 2 , 1(c，半徑為，半徑為c 1半徑隨半徑隨c的增大而增大的增大而增大.c圖形

9、上不封頂，下封底圖形上不封頂，下封底解解例例4 4 方程方程 的圖形是怎樣的？的圖形是怎樣的？以上幾例表明研究空間曲面有兩個基本問題：以上幾例表明研究空間曲面有兩個基本問題：（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論柱面、二次曲面）（討論柱面、二次曲面）（2 2已知坐標間的關(guān)系式，研究曲面形狀已知坐標間的關(guān)系式，研究曲面形狀（1 1已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程四、空間曲線四、空間曲線 0),(0),(zyxGzyxF空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 曲線上的點都滿足曲線上的點都滿足方程，滿足方程的點都在方程，滿足方程的點都在曲線上，不在曲線上的點曲線上，

10、不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程不能同時滿足兩個方程.xozy1S2SC空間曲線空間曲線C可看作空間兩曲面的交線可看作空間兩曲面的交線.特點：特點：例例1 1 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 6332122zyxyx解解122 yx表示圓柱面，表示圓柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交線為橢圓交線為橢圓.五、常見曲面五、常見曲面ozyx（一橢球面（一橢球面1222222 czbyax 橢球面與橢球面與三個坐標面三個坐標面的交線：的交線：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax橢圓截面的大小隨平面位置的變化

11、而變化橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.橢球面與平面橢球面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓1zz 同理與平面同理與平面 和和 的交線也是橢圓的交線也是橢圓.1xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |1（二拋物面（二拋物面zqypx 2222（ 與與 同號）同號）pq橢圓拋物面橢圓拋物面單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyax（三雙曲面（三雙曲面雙葉雙曲面雙葉雙曲面1222222 czbyaxxyo六、空間曲線在坐標平面上的投影六、空間曲線在坐標平面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF消去變量消去變量z后得：后得：曲線關(guān)于曲線關(guān)于 的投

12、影柱面的投影柱面xoy設(shè)空間曲線的一般方程：設(shè)空間曲線的一般方程：以此空間曲線為準線，垂直于所投影的坐標面以此空間曲線為準線，垂直于所投影的坐標面.投影柱面的特征：投影柱面的特征：0),( yxH如圖如圖:投影曲線的研究過程投影曲線的研究過程.空間曲線空間曲線投影曲線投影曲線投影柱面投影柱面類似地：可定義空間曲線在其他坐標面上的投影類似地：可定義空間曲線在其他坐標面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的投影曲線面上的投影曲線,yoz面上的投影曲線面上的投影曲線,xoz 00),(zyxH空間曲線在空間曲線在 面上的投影曲線面上的投影曲線xoy例例4 4 求曲線求曲線 在坐標面上的投影在坐標面上的投影. . 211222zzyx解解（1消去變量消去變量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影為面上的投影為xoy,04322 zyx所以在所以在 面上的投影為線段面上的投影為線段.xoz;23|,021 xyz（3同理在同理在 面上的投影也為線段面上的投影也為線段.yoz.23|,021 yxz（2因為曲線在