二項(xiàng)式定理與多項(xiàng)式定理

1、高中數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)案例分組問(wèn)題二項(xiàng)式定理多項(xiàng)式定理1 .固定分組問(wèn)題例1將12本不同的書(shū)分給甲、乙、丙、丁4位學(xué)生，求分別滿(mǎn)足下列條件的分配方法各有多少種：(1) 4位學(xué)生每人3本；(2)甲、乙各得4本，丙、丁各得2本；(3)甲得5本，乙得4本，丙得2本，丁得1本.解(1)先從12本書(shū)中選取3本分給甲，有C；2種方法;當(dāng)甲分得3本書(shū)后，從剩下的9本書(shū)中選取3本分給乙，有C；種方法；類(lèi)似可得，丙、丁的分法分別有C；、C；種，由乘法原理得所求分法共有C；2C；C；C；=當(dāng)=369600種；(3!)4(2)與(1)的解法類(lèi)似可得所求分配方法種數(shù)為G：c；c：c2=/=207900;4!4!2!2!(

2、3)與(1)的解法類(lèi)似可得所求分配方法種數(shù)為Mc；c；c；=2=83160.5!4!2!1!在例1中是將不同的書(shū)分給不同的學(xué)生，并且指定了每人分得的本數(shù)，我們稱(chēng)之為固定分組問(wèn)題.我們將這個(gè)問(wèn)題總結(jié)成如下一般定理：定理1將n個(gè)不同的元素分成帶有編號(hào)從1,2,r的r個(gè)組：a,A2,，A，使得A有m個(gè)元素，A2有出個(gè)元素A有n個(gè)兀素，ni+"+n=n,則不同的分組方法共有種.n1!n2!;nr!n!證明先從n個(gè)不同的元素中選取1個(gè)分給a,這一步有C：1種方法；再?gòu)氖Ｏ碌膎-ni個(gè)元素中選取n2個(gè)分給A2,這一步有C：j種方法；如此繼續(xù)下去，最后剩下的nr個(gè)元素分給A,有C：；種方法，由乘法

3、原理得這樣的固定分組方法共有C：1cM，制=n種.證畢.我們將定理1的分配問(wèn)題簡(jiǎn)稱(chēng)為(n；電,，n,)固定分組問(wèn)題.2.不盡相異元素的全排列多項(xiàng)式定理固定分組數(shù)n7；有多種組合學(xué)意義，除了表示固定n1!n2!:nr!分組的方法數(shù)外，它還有以下兩種表示意義：n!(1)不盡相異元素的全排列種數(shù)-7,小我!n！有類(lèi)元素，其中第k類(lèi)元素有1個(gè)(k=1,2,r),同類(lèi)元素不加區(qū)分，不同類(lèi)元素互不相同，nJ%+n,=n。則這r類(lèi)n個(gè)不盡相異元素的全排列種數(shù)等于固定分組數(shù)n。.n1!n2!nr!例2(06年高考江蘇卷(理)今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列有種不同的方法(用

4、數(shù)字作答)解9個(gè)球排成一列要占9個(gè)位置，從9個(gè)位置中選取2個(gè)放紅球，有C；種方法；再?gòu)钠溆?個(gè)位置中選取3個(gè)放黃球，有C；種方法；最后在剩下的4個(gè)位置上全放白球，有C：種方法，由乘法原理得所求的排列方法共有c；c3c：=言=1260種，2!3!4!評(píng)注：對(duì)于固定分組數(shù)n，除了表示固定分組的由！血！n！方法數(shù)外，它還表示r類(lèi)共n個(gè)(不盡相異)元素的全排列數(shù)，其中第k類(lèi)元素有卜個(gè)(k=1,2,r),同類(lèi)元素不加區(qū)分，»+n2+n=n.n!(2)多項(xiàng)式定理的系數(shù)-7-n1!n2!nr!在(+X2+%)n的展開(kāi)式中，項(xiàng)X1nlX，X；的系數(shù)等于固定分組數(shù)!一-o例如在(a+b)n的展開(kāi)式中，

5、項(xiàng)n1!n2!nr!'amb的系數(shù)為一n=C;，這正是我們所熟悉的二項(xiàng)式系m!(n一m)!數(shù)。有如下的多項(xiàng)式定理：多項(xiàng)式定理設(shè)n是正整數(shù)，則對(duì)一切實(shí)數(shù)Xi,X2,Xr有/.、n_%.n!nin2nr/(X1X2Xr)一乙11-XiX2Xr(*、n2nr手n1!n2!nr!v其中求和是對(duì)滿(mǎn)足方程ni+n2+,nr=n的一切非負(fù)整數(shù)ni,n2,nt來(lái)求。因?yàn)閞元方程ni+n2+,nr=n的非負(fù)整數(shù)共有cng組，所以在(、72+-一+”廠的展開(kāi)式中共有C4個(gè)不同的項(xiàng)。多項(xiàng)式定理是對(duì)二項(xiàng)式定理的推廣，在多項(xiàng)式定理中令r=2就得到了二項(xiàng)式定理。432，一例3與出(x+y+z+w)的展開(kāi)式中項(xiàng)Xy

6、zw與項(xiàng)x3y3z2w2的系數(shù).解先求項(xiàng)x4y3z2w的系數(shù).(x+y+z+w)10是10個(gè)括號(hào)的連乘積，將這10個(gè)括號(hào)看成10個(gè)元素，從中先取由4個(gè)括號(hào)作為第一組，在每個(gè)括號(hào)中都取x;再?gòu)氖Ｏ碌?個(gè)括號(hào)中取由3個(gè)作為第二組，在每個(gè)括號(hào)中都取y;再?gòu)氖Ｏ碌?個(gè)括號(hào)中取由2個(gè)作為第三組，在每個(gè)括號(hào)中都取z;最后的剩下的1個(gè)括號(hào)作為第四組，從中取w.這樣取由的4個(gè)x,3個(gè)y,2個(gè)z,1個(gè)w的連乘積就是項(xiàng)x4y3z2w,由定理1知，上述取法就是(10;4,3,2,1)固定分組問(wèn)題，于是在展開(kāi)10個(gè)括號(hào)的連乘積時(shí)，項(xiàng)x4y3z2w有10!4!3!2!1!=12600個(gè)同類(lèi)項(xiàng),所以此項(xiàng)的系數(shù)是12600

7、.同理可得項(xiàng)x3y3z2w2的系數(shù)是U不=25200.3!3!2!2!例4（94年全國(guó)高考題）有甲、乙、丙三項(xiàng)不同的任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)，現(xiàn)從10人中選取4人擔(dān)任這三項(xiàng)工作，有多少種不同的分配方法？解：從10人中選取4人，有C140種方法，對(duì)于取定的4人，讓他們擔(dān)任這三項(xiàng)工作，為（4;2,1,1）固定分組問(wèn)題，故所求分配方法共有C40M4!=2520種.2!1!1!注：一般地，設(shè)有A、A2、，Ar共r項(xiàng)不同的工作，工作Ai需ni個(gè)人承擔(dān)（i=1,2，,r）,n+%+n.=n,現(xiàn)從m個(gè)人中選取n個(gè)人做這r項(xiàng)工作（mn）,則不同的分配工作方法共有cm一n一種.n1!n2!nr!例

8、5（07年全國(guó)高考理2（必修+選修n）從5位同學(xué)中選派4位同學(xué)在星期五、星期六星期日參加公益活動(dòng)，每人一天，要求星期五有2人參加，星期六、星期日各有1人參加，則不同的選派方法共有（A）40#（B）60不巾（C）100種（D）120種解從5人中選取4人，有C；種方法;對(duì)于選定的4人，讓他們參加這3天的公益活動(dòng)，為（4;2,1,1）固定分組問(wèn)題，由定理1及乘法原理得所求選派方法共有c；c：c2c1=60種.故選B.例6（06年高考天津卷（理）將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1和2的兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào)，則不同的放球方法有A.10種B.20種C.36種D.5

9、2種解放球方法即分組方法.滿(mǎn)足條件的放球方法可分成兩類(lèi)：（4;1,3）固定分組問(wèn)題；（4;2,2）固定分組問(wèn)題，它們分別有土，工種放球方法，故所求放球方法共1!3!2!2!有4!+4!=4+6=10種.故選A.1!3!2!2!評(píng)注：對(duì)于類(lèi)似例3這樣的不能直接按固定分組解決的問(wèn)題，如果能夠按各個(gè)組（盒子）允許放的元素（球數(shù)）將問(wèn)題分成互不相交的若干類(lèi)，使得每一類(lèi)都是固定分組問(wèn)題，則可按固定分組分別計(jì)算這些類(lèi)再相加即可.例7（07年全國(guó)高考1（文）甲、乙、丙3位同學(xué)選修課程，從4門(mén)課程中，甲選修2門(mén)，乙、丙各選修3門(mén)，則不同的選修方案共有（A）36種（B）48種（C）96種（D）192種解因每人都是從4門(mén)課程中選課，故甲、乙、丙3人的選課方法分別有C2、C：、C3種，由乘