垂直平分線的性質(zhì)和判定

1、線段的垂直平分線線段的垂直平分線一、復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí) 1.角的平分線角的平分線交的平分線交的平分線定理定理1：在角的平分線上的點(diǎn)在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等到這個(gè)角的兩邊的距離相等. .定理定理2：到一個(gè)角的兩邊的距到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上上. . 角的平分線是到角的兩邊角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合距離相等的所有點(diǎn)的集合.OABCDEP2.2.線段的垂直平分線線段的垂直平分線 如圖，如圖，AC=CB，MN過(guò)過(guò)C垂直于垂直于AB ，觀察觀察:線段垂直平分線上的點(diǎn)有什么性質(zhì)？線段垂直平分線上的點(diǎn)有什么性質(zhì)？BAMNC P

2、P則則MN 是是AB 的垂直平分線的垂直平分線已知：如圖，直線已知：如圖，直線 MNAB，垂足，垂足是是C，且，且 AC = CB.點(diǎn)點(diǎn) P 在在 MN 上上求證：求證：PA = PB. 證明：證明： MNAB，PCA = PCB ( (垂直定義垂直定義) ) 在在PCA和和PCB中，中， AC = BC （已知）（已知）PCA = PCB （ 已證）已證）PC = PC (公共邊公共邊) PCA PCB （SAS) ) PA = PB (全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).二、新課ANCPMB線段垂直平分線定理：ANCPMB 線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條

3、線段兩個(gè)段兩個(gè)端點(diǎn)端點(diǎn)的的距離距離相等相等.如圖，如果如圖，如果 MN垂直平分垂直平分AB ，且且 P 是是 MN 上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn).那么那么 PA = PB. 反過(guò)來(lái)，如果交換定理中的題設(shè)和反過(guò)來(lái)，如果交換定理中的題設(shè)和結(jié)論，則得到新命題：結(jié)論，則得到新命題： 到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上在這條線段的垂直平分線上.已知：如圖，已知：如圖，PA = PB.求證：點(diǎn)求證：點(diǎn) P 在在 AB 的垂直平分線上的垂直平分線上.證明：過(guò)證明：過(guò) P 作作 PC AB, ,垂足為垂足為C . PA = PB. (已知已知） PC AB, ,

4、AC = BC (等腰三角形底邊上等腰三角形底邊上的高和底邊上的中線互相重合）的高和底邊上的中線互相重合） PC 是線段是線段 AB 的垂直平分線的垂直平分線.ACPB逆定理：逆定理： 和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上在這條線段的垂直平分線上.ACPB如圖，若如圖，若PA = PB.則點(diǎn)則點(diǎn) P 在在 AB 的垂直平分線上的垂直平分線上.線段垂直平分線定理：定理：逆定理：逆定理：ANCPMB如圖，如果如圖，如果 MN 垂直平分垂直平分AB，且且 P 是是 MN 上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn).那么那么 PA = PB.如圖，如果如圖，如果PA =

5、PB.那么點(diǎn)那么點(diǎn) P 在在 AB 的垂直平分線上的垂直平分線上.AB P P3 3 P P4 4 P P5 5 線段的垂直平分線可線段的垂直平分線可以看作和線段兩個(gè)端點(diǎn)以看作和線段兩個(gè)端點(diǎn)距距離離相等的相等的所有點(diǎn)所有點(diǎn)的集合的集合. P P2 2 P P6 6MNP P1 1例例1.已知：如圖，已知：如圖， ABC 中，邊中，邊 AB、BC 的垂直平分線相交于點(diǎn)的垂直平分線相交于點(diǎn) P.求證求證：（：（1）PA=PB=PC；（；（2）P 在邊在邊 AC 的垂直平分線上的垂直平分線上.證明：證明：(1)(1)點(diǎn)點(diǎn)P在線段在線段AB的垂直的垂直平分線上，平分線上， PA=PB （線段垂直平分線

6、上的（線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等）點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等）同理同理 PB=PC PA=PB=PC（2） PA=PC （已證）（已證）點(diǎn)點(diǎn)P P在邊在邊AC的垂直平分線上的垂直平分線上 ( (和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.)ANMBCPMN練習(xí)練習(xí)1如圖，在直線如圖，在直線 l 上求作一點(diǎn)上求作一點(diǎn)P,使使PA=PB.作法：作法：1.連結(jié)連結(jié)AB.2.作線段作線段AB的垂直平分的垂直平分 線線MN，交直線，交直線l于點(diǎn)于點(diǎn)P 點(diǎn)點(diǎn)P P 就是所求作的點(diǎn)就是所求作的點(diǎn) A BlPMNlMN

7、 BA A PANMBCPMNMADENBC練習(xí)練習(xí)2已知：如圖，已知：如圖， ABC 中，中，AB=AC=8cm，AB的垂的垂直平分線直平分線 MN 交交 AB 于于 D，交，交 AC于于 E，BC=3cm，求求BEC的周長(zhǎng)的周長(zhǎng).MN 是是 AB 的垂直平分線，的垂直平分線，AE = BE ( (線段垂直平分線上的線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）等）= BC + AC = 3+8=11 (cm)= 3+8=11 (cm)解解：設(shè)：設(shè)BEC 的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為L(zhǎng)， L= BC + BE + CE= BC + AE + CE答：答： BEC的周長(zhǎng)為的

8、周長(zhǎng)為11cm.MADENBCE是是MN上一點(diǎn)，上一點(diǎn)， （1 1）若）若PA=PB，則則OP垂直平分垂直平分AB. ( )如圖，判斷下列各結(jié)論的正誤如圖，判斷下列各結(jié)論的正誤:練習(xí)練習(xí)3AB（2 2）若）若PA=PB，則點(diǎn)則點(diǎn)P在線段在線段AB的的垂直平分線上垂直平分線上. （ ） （3）若若PA=PB，OA=OB,則則OP垂直垂直平分平分AB . （ ） （1 1）若若PA=PB，則則OP垂直平分垂直平分AB . ( ) （1 1）若）若PA=PB，則則OP垂直平分垂直平分AB. ( )如圖，判斷下列各結(jié)論的正誤如圖，判斷下列各結(jié)論的正誤:練習(xí)練習(xí)3AB（2 2）若）若PA=PB，則點(diǎn)則點(diǎn)

9、P在線段在線段AB的的垂直平分線上垂直平分線上. （ ） （3）若若PA=PB，OA=OB,則則OP垂直垂直平分平分AB . （ ） ANM BCPMN求一點(diǎn)求一點(diǎn)P，使它和，使它和ABC 三個(gè)頂點(diǎn)三個(gè)頂點(diǎn)距離相等距離相等. .練習(xí)練習(xí)4作法：作法：1.1.作邊作邊BC的垂直平的垂直平分線分線MN.2.作邊作邊AB的垂直平分線的垂直平分線MN.3.MN與與MN相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)P.點(diǎn)點(diǎn)P就是所求作的點(diǎn)就是所求作的點(diǎn).分析：分析：“P和三個(gè)頂點(diǎn)的距離相和三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等等” 就是就是PA=PB=PC四、小結(jié)四、小結(jié)1.定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離