第6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)C

1、第第6 6章章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 6.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念6.2 模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器的設(shè)計(jì)6.3 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器6.4 用雙線性變換法設(shè)計(jì)用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器6.5 數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)切比雪夫型濾波器設(shè)計(jì)步驟： (1) 確定技術(shù)指標(biāo)參數(shù) p、p、 s和s。 (2) 求濾波器階數(shù)N和參數(shù)。 (3) 求歸一化系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)。 (4) 將Ga(p)去歸一化，得到實(shí)際的Ha(s) 6.2.5

2、 五種類型模擬濾波器的比較五種類型模擬濾波器的比較 當(dāng)階數(shù)相同時(shí)，對(duì)相同的通帶最大衰減當(dāng)階數(shù)相同時(shí)，對(duì)相同的通帶最大衰減 p和阻帶最小衰和阻帶最小衰減減 s：l巴特沃思濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性，過渡帶最寬。巴特沃思濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性，過渡帶最寬。l兩種類型的兩種類型的切比雪夫?yàn)V波器切比雪夫?yàn)V波器的過渡帶寬度相等，比巴特沃思的過渡帶寬度相等，比巴特沃思濾波器的過渡帶窄，但比橢圓濾波器的過渡帶寬。濾波器的過渡帶窄，但比橢圓濾波器的過渡帶寬。 切比雪夫切比雪夫型型濾波器在濾波器在通帶具有等波紋幅頻特性通帶具有等波紋幅頻特性，過渡帶和，過渡帶和阻帶是單調(diào)下降的幅頻特性阻帶是單調(diào)下降的幅頻

3、特性。 切比雪夫切比雪夫型型濾波器的通帶幅頻響應(yīng)幾乎與巴特沃思濾波器濾波器的通帶幅頻響應(yīng)幾乎與巴特沃思濾波器相同，相同，阻帶是等波紋幅頻特性阻帶是等波紋幅頻特性。l橢圓濾波器的過渡帶最窄橢圓濾波器的過渡帶最窄，通帶和阻帶均是等波紋幅頻特性。，通帶和阻帶均是等波紋幅頻特性。6 6章章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)相位逼近情況相位逼近情況: 巴特沃思和切比雪夫?yàn)V波器在大約3/4的通帶上非常接近線性相位特性，而橢圓濾波器僅在大約半個(gè)通帶上非常接近線性相位特性。貝塞爾濾波器在整個(gè)通帶逼近線性相位特性，而其幅頻特性的過渡帶比其他四種濾波器寬得多。復(fù)雜性復(fù)雜性: 在滿足相同的濾

4、波器幅頻響應(yīng)指標(biāo)條件下，巴特沃思濾波器階數(shù)最高，橢圓濾波器的階數(shù)最低，而且階數(shù)差別較大。所以，就滿足濾波器幅頻響應(yīng)指標(biāo)而言，橢圓濾波器的性能價(jià)格比最高，應(yīng)用較廣泛。6 6章章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)高通、帶通和帶阻濾波器的一般過程是設(shè)計(jì)高通、帶通和帶阻濾波器的一般過程是:l(1) 通過頻率變換公式，先將希望設(shè)計(jì)的濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的低通濾通過頻率變換公式，先將希望設(shè)計(jì)的濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的低通濾波器指標(biāo)；波器指標(biāo)； l(2) 設(shè)計(jì)相應(yīng)的低通系統(tǒng)函數(shù)設(shè)計(jì)相應(yīng)的低通系統(tǒng)函數(shù)Q(p)；l(3) 對(duì)對(duì)Q(p)進(jìn)行頻率變換，得到希望設(shè)計(jì)的濾波器系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行頻率變

5、換，得到希望設(shè)計(jì)的濾波器系統(tǒng)函數(shù)Hd(s)。 1 模擬高通濾波器設(shè)計(jì)模擬高通濾波器設(shè)計(jì) (1） 將希望設(shè)計(jì)的高通濾波器的指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的低通濾波器Q(p)的指標(biāo)。6 6章章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)pph （2） 設(shè)計(jì)相應(yīng)的歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)Q(p)。（3） 將Q(p)轉(zhuǎn)換成希望設(shè)計(jì)的高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)HHP(s)。pphps （6.2.50）2 帶通帶通濾波器設(shè)計(jì)濾波器設(shè)計(jì) 將希望設(shè)計(jì)的帶通濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的低通原型濾波器Q(p)的指標(biāo)。220pwB （6.2.54） 設(shè)計(jì)相應(yīng)的歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)Q(p)。設(shè)計(jì)過程與例6.2.1完全相同。 將Q(p)轉(zhuǎn)換

6、成所希望設(shè)計(jì)的帶通濾波器系統(tǒng)函數(shù)HBP(s)。220pwspB s（6.2.53）3 帶阻帶阻濾波器設(shè)計(jì)濾波器設(shè)計(jì) 將希望設(shè)計(jì)的帶阻濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的低通原型濾波器Q(p)的指標(biāo)。 設(shè)計(jì)相應(yīng)的歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)Q(p)。設(shè)計(jì)過程與例6.2.1完全相同。 將Q(p)轉(zhuǎn)換成所希望設(shè)計(jì)的帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)HBs(s)。wp220B sps（6.2.58）wp220B （6.2.59）6.3 6.3 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIRIIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器 為了保證轉(zhuǎn)換后的為了保證轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，對(duì)轉(zhuǎn)換關(guān)系穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，對(duì)轉(zhuǎn)換關(guān)系提出提出兩兩點(diǎn)要求

7、：點(diǎn)要求： (1) 因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果因果穩(wěn)定的穩(wěn)定的。 (2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響頻響，s平面平面的的虛軸虛軸映射映射z平面的平面的單位圓單位圓，相應(yīng)的頻率之間成，相應(yīng)的頻率之間成線性線性關(guān)系。關(guān)系。6 6章章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)1.H1.Ha a(s)(s)轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換成H(z)H(z)穩(wěn)定條件穩(wěn)定條件 設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),其單位沖激響應(yīng)是ha(t)( )( )aaHsLT h t 設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極

8、點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次，將Ha(s)用部分分式表示： 1( )NiaiiAHsss(6.3.1) 將Ha(s)進(jìn)行逆拉氏變換得到ha(t)：1( )( )iNs ntaiih tAeu t(6.3.2) 6 6章章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)2. 2. 脈沖響應(yīng)不變法原理脈沖響應(yīng)不變法原理對(duì)ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到： 1( )()()iNs nTaiih nh nTAeu nT(6.3.3)對(duì)上式進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)： 11( )1iNisTiAH ze z (6.3.4)6 6章章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字

9、濾波器的設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)1( )NiaiiAHsss幾點(diǎn)結(jié)論幾點(diǎn)結(jié)論: :kSSTsKez 1 1）2 2）系數(shù)）系數(shù)相同相同3 3）模擬濾波器是）模擬濾波器是穩(wěn)定穩(wěn)定的，數(shù)字濾波器也是的，數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定穩(wěn)定的。的。4 4）S S平面平面的極點(diǎn)與的極點(diǎn)與Z Z平面平面的極點(diǎn)的極點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)，但兩平面零，但兩平面零點(diǎn)并不一一對(duì)應(yīng)點(diǎn)并不一一對(duì)應(yīng)。6 6章章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 式中ha(nT)是ha(t)在采樣點(diǎn)t=nT時(shí)的幅度值，它與序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此，得到：( )( )( )( )sTsTsn

10、Tnaz ez ennHsh n eh n zH z(6.3.5) 6 6章章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)表明理想采樣信號(hào)的拉氏變換與相應(yīng)的采樣序列h(n)的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示：)(ath3. s3. s平面和平面和z z平面之間的映射關(guān)系平面之間的映射關(guān)系( )( ) ()aanhth ttnT設(shè)ha(t)的采樣信號(hào)用 表示，( )aht nsnTsnTstnastaaenThdtenThdtenTthdtethsH)()()()()(sTez (6.3.6) 設(shè)s=+j, z=rej， 由上式可 得：rej=eTejTTrTe(6.3.7)010

11、101rrr，s平面的虛軸(=0) z平面的單位圓(r=1)s平面左半平面(0) z平面單位圓內(nèi)(r1)6 6章章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)即：說明：說明：H Ha a(s)(s)因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換后得到的因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換后得到的H(z)H(z)是因果穩(wěn)定。是因果穩(wěn)定。上式就是脈沖響應(yīng)不變法對(duì)應(yīng)的s平面到z平面的映射關(guān)系。TMTTTTsT2jjeeeee另外，注意到z=esT是一個(gè)周期函數(shù)，可寫成當(dāng)不變，模擬頻率變化2/T的整數(shù)倍時(shí)，映射值不變?；蛘哒f，將s平面沿著j軸分割成一條條寬為2/T的水平帶，每條水平面都按照前面分析的映射關(guān)系對(duì)應(yīng)著整個(gè)z平面。此時(shí)s平面與z平

12、面的映射關(guān)系如圖所示。6 6章章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)圖6.3.1 z=esT,s平面與z平面之間的映射關(guān)系6 6章章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的頻響特性與模擬濾波器的頻響特性之間的關(guān)系：j a12(e)(jj)TkHHkTTja12(e )(j)kkHHTT表明：H(ejT)是是Ha(j)以以2/T為周期的為周期的周期延拓函數(shù)周期延拓函數(shù)（對(duì)數(shù)（對(duì)數(shù)字頻率，則是以字頻率，則是以2為周期）為周期）6 6章章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)4.4.數(shù)字濾波器的頻響特性數(shù)字濾波器的頻響特性圖6.

13、3.2 脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象6 6章章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)5 5 脈沖響應(yīng)不變法優(yōu)缺點(diǎn)脈沖響應(yīng)不變法優(yōu)缺點(diǎn)缺點(diǎn)缺點(diǎn) 會(huì)產(chǎn)生會(huì)產(chǎn)生頻率混疊頻率混疊，適合，適合低通、帶通低通、帶通濾波器的設(shè)計(jì)，濾波器的設(shè)計(jì)，不不適合適合高通、帶阻高通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。濾波器的設(shè)計(jì)。T優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：l頻率坐標(biāo)變換是頻率坐標(biāo)變換是線性線性的，即的，即l數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，單位沖激響應(yīng)，時(shí)域特性逼近好時(shí)域特性逼近好。6 6章章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 假設(shè) 沒

14、有頻率混疊現(xiàn)象，即滿足()aHj()0,/aHjT 1()(),jaH eHjTT11( )()( )1iaNisTih nTh nTTAH zez則：但是，H(ej)的幅度與采樣間隔成反比，當(dāng)T很小時(shí)，|H(ej)|就會(huì)太高。為避免這一現(xiàn)象，令|j)e (aj ，THH6 6章章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6. 6. 修正公式修正公式 一般Ha(s)的極點(diǎn)si是一個(gè)復(fù)數(shù)，且以共軛成對(duì)的形式出現(xiàn)，一對(duì)復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)形成一個(gè)二階基本節(jié)。如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為1112211()sjs 極點(diǎn)為 (6.3.11) 對(duì)應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)(只有實(shí)數(shù)乘法)的形式

15、為 1111121211cos12cosTTTz eTz eTz e (6.3.12) 6 6章章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)7.7.數(shù)字濾波器二階基本節(jié)數(shù)字濾波器二階基本節(jié) 如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為 1112211,() js極點(diǎn)為 (6.3.13)6 6章章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)(6.3.14) 111112121sin1 2cosTTTz eTz eTz e數(shù)字： Bz, Az=impinvar(B, A) 實(shí)現(xiàn)用脈沖響應(yīng)不變法將分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量為B和A的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函

16、數(shù)H(z)，H(z)的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量為Bz和Az。8. matlab8. matlab中脈沖響應(yīng)不變法的轉(zhuǎn)換函數(shù)中脈沖響應(yīng)不變法的轉(zhuǎn)換函數(shù)6 6章章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 例6.3.1 已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為 用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 解 首先將Ha(s)寫成部分分式：20.5012( )0.64490.7079aHsss0.32240.3224( )0.32240.77720.32240.7772ajjHssjsj極點(diǎn)為12(0.32240.772),(0.32240.7772)sjsj 那么

17、H(z)的極點(diǎn)為6 6章章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)那么H(z)的極點(diǎn)為按照(6.3.4)式，并經(jīng)過整理，得到： 式中, T是采樣間隔，若T選取過大，則會(huì)使=附近頻譜混疊現(xiàn)象嚴(yán)重。 TsTszz21ee21，26449. 03224. 0113224. 0e)7772. 0cos(e21)7772. 0sin3224. 0e2)(zTzzTzHTT6 6章章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)11( )1iNisTiAH ze z1( )NiaiiAHsss111112121sin1 2cosTTTz eTz eTz e數(shù)字：1112121

18、20.3276( )1 1.03280.2470.0485( )1 1.93070.9375zH zzzzHzzz6 6章章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)這里選取T=1 s和T=0.1 s兩種情況，以便進(jìn)行比較。設(shè)T=1 s時(shí)用H1(z)表示，T=0.1 s時(shí)用H2(z)表示，則比較T=1和T=0.1的誤差，確定T值。112222111110.5012( )0.6449()()aHsss再按照(6.3.14)式，H(z)為111112121sin( )0.644912cosTTTz eTH zz eTz e 轉(zhuǎn)換時(shí)，也可以直接按照(6.3.13),(6.3.14)式

19、進(jìn)行轉(zhuǎn)換。先求出Ha(s) 極點(diǎn)：s1,2=1j1則：6 6章章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)圖6.3.3 例6.3.1的幅度特性6 6章章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)【例例6.3.2】 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器，要求通帶和阻帶具有單調(diào)下降特性，指標(biāo)參數(shù)如下: p=0.2 rad， p=1 dB, s=0.35 rad, s=10 dB。解解 （1） 將數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的模擬濾波器指標(biāo)。設(shè)采樣周期為T，則： ppp0.2rad/s,1 dBTTsss0.35rad/s,40 dBTT6 6章章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) (2） 設(shè)計(jì)相應(yīng)的模擬濾波器，得到模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。根據(jù)單調(diào)下降要求，選擇巴特沃斯濾波器。設(shè)計(jì)過程與例6.2.1完全相同，求出階數(shù)N=4。（3） 將模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)： 如上求解計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜。本例調(diào)用MATLAB信號(hào)處理工具箱函數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)程序ep632.m如下。4a1( ),kkkAHsss411( )1ekks TkAH zz6 6章章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 例6.3.2 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器程序: ep632.mT=1； T