用放縮法證明數(shù)列中的不等式PPT學習教案

1、會計學1用放縮法證明數(shù)列中的不等式用放縮法證明數(shù)列中的不等式 放縮法放縮法靈活多變，技巧性要求較高，所謂靈活多變，技巧性要求較高，所謂“放大一點放大一點點就太大，縮小一點點又太小點就太大，縮小一點點又太小”，這就讓同學們找不到這就讓同學們找不到頭緒，摸不著規(guī)律，總覺得高不可攀！頭緒，摸不著規(guī)律，總覺得高不可攀！ 高考命題專家說：高考命題專家說：“放縮是一種能力放縮是一種能力. .” 如何把握如何把握放縮的放縮的“度度”，使得放縮，使得放縮“恰到好處恰到好處”，這正是放縮法，這正是放縮法的精髓和關(guān)鍵所在！的精髓和關(guān)鍵所在！ 其實，任何事物都有其內(nèi)在規(guī)律，其實，任何事物都有其內(nèi)在規(guī)律，放縮法也是放

2、縮法也是“有有法可依法可依”的的，本節(jié)課我們一起來研究數(shù)列問題中一些常，本節(jié)課我們一起來研究數(shù)列問題中一些常見見的放縮類型及方法，破解其思維過程，揭開其神秘的的放縮類型及方法，破解其思維過程，揭開其神秘的面紗，領(lǐng)略和感受放縮法的無限魅力！面紗，領(lǐng)略和感受放縮法的無限魅力！第1頁/共38頁放縮目標模型放縮目標模型可求和可求和可求積可求積等差模型等差模型等比模型等比模型錯位相減模型錯位相減模型裂項相消模型裂項相消模型第2頁/共38頁平方型：平方型：21n1(1)n n111nn1(1)n n11(2)1nnn21n211n111(2)211nnn21n244n2441n1122121nn21(21

3、)n14 (1)n n111(2)41nnn立立方型：方型：31n21(1)n n111(2)2 (1)(1)nnnn n第3頁/共38頁根式型：根式型：1n22 n21nn21nn 2(1)nn 2(1)nn1nnab2121221nnnn；2212121nnnn指數(shù)指數(shù)型：型：奇偶奇偶型：型：11(1)()nabaab；1nab11(1).()nabaab平方型、平方型、立方型、立方型、根式型根式型都都可放縮為可放縮為裂項相消裂項相消模型模型指數(shù)型指數(shù)型可放縮可放縮為為等比模型等比模型奇偶型奇偶型放縮為放縮為可求積可求積第4頁/共38頁一一. 放縮目標模型放縮目標模型可求和可求和23111

4、11 ()2222nnNL求證：例例1 1231232 ()2222nnnNL求證：變變式式1 12311111 ()2 1212121nnNL求證：變變式式2 2231232 ()2 122232nnnnNL求證：變變式式3 31(niiak k為常數(shù)）形形（一一）如如第5頁/共38頁不等式左邊可用等比數(shù)列前不等式左邊可用等比數(shù)列前n項和公式求和項和公式求和.分析分析左邊左邊11(1)22112n112n 12311111 ()2222nnNL求證：例例1 1表面是證數(shù)列不等式表面是證數(shù)列不等式，實質(zhì)是，實質(zhì)是數(shù)列求和數(shù)列求和第6頁/共38頁不等式左邊可用不等式左邊可用“錯位相減法錯位相減法

5、”求和求和.分析分析由錯位相減法得由錯位相減法得 222nn2231232 ()2222nnnNL求證：變變式式1 1表面是證數(shù)列不等式表面是證數(shù)列不等式，實質(zhì)是，實質(zhì)是數(shù)列求和數(shù)列求和231232222nnL第7頁/共38頁左邊不能直接求和，須先將其左邊不能直接求和，須先將其通項放縮通項放縮后后求和，如何放縮？求和，如何放縮？分析分析2311111 ()2 1212121nnNL求證：變變式式2 2將通項放縮為將通項放縮為等比數(shù)列等比數(shù)列注意到注意到11212nn左邊左邊11(1)22112n112n 12311112222nL第8頁/共38頁左邊不能直接求和，須先將其通項放縮后求左邊不能直

6、接求和，須先將其通項放縮后求和，如何放縮？和，如何放縮？分析分析注意到注意到222nn2231232 ()2 122232nnnnNL求證：變變式式3 3231232222nnL左邊22nnnnn將通項放縮為將通項放縮為 錯錯位相減位相減模型模型第9頁/共38頁【方法總結(jié)之一方法總結(jié)之一】第10頁/共38頁201319)11111()1 33 55 7(21)(21)2nnnNL(廣東文第(3)問求證：例例2 222211112 ()23nnNL求證：變變式式1 12221117(201319(3) )1()234nnNL廣東理第：問求證變變式式2 222211151()233nnNL求證：變

7、變式式3 3第11頁/共38頁左邊可用左邊可用裂項相消法裂項相消法求和，先求和再放縮求和，先求和再放縮.分析分析11(1)221n12201319)11111()1 33 55 7(21)(21)2nnnNL(廣東文第(3)問求證：例例2 2表面是證數(shù)列不等式表面是證數(shù)列不等式，實質(zhì)是，實質(zhì)是數(shù)列求和數(shù)列求和111111(1)()()23352121nnL左邊1111()(21)(21)2 2121nnnnQ第12頁/共38頁左邊不能求和，應先將通項放縮為左邊不能求和，應先將通項放縮為裂項相消裂項相消模型模型后求和后求和.分析分析11 1n 22 ()n保留第一項保留第一項，從，從第二項第二項

8、開始放縮開始放縮111111 (1)()()2231nn L左邊21nQ22211112 ()23nnNL求證：變變式式1 11(1)n n11()12nnn當當n = 1時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.第13頁/共38頁變式變式2 2的結(jié)論比變式的結(jié)論比變式1 1強，要達目的，須將強，要達目的，須將變式變式1 1放縮的放縮的“度度”進行修正，如何修正？進行修正，如何修正？分析分析2221117(201319(3) )1()234nnNL廣東理第：問求證變變式式2 2保留前兩項，從保留前兩項，從第三項第三項開始放縮開始放縮思路一思路一211(1)nn n左邊左邊111142n 714

9、n374()n211111111()()()223341nn L111nn(3)n 將變式將變式1 1的通項從第三項才開始放縮的通項從第三項才開始放縮. .當當n = 1, 2時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.第14頁/共38頁變式變式2 2的結(jié)論比變式的結(jié)論比變式1 1強，要達目的，須將變強，要達目的，須將變式式1 1放縮的放縮的“度度”進行修正，如何修正？進行修正，如何修正？分析分析2221117(201319(3) )1()234nnNL廣東理第：問求證變變式式2 2保留第一保留第一項，從項，從第第二項二項開始開始放縮放縮思路二思路二22111nn左邊左邊11111(1)221n

10、n 111(1)22 274()n1111111(1)()()232411nn L111()211nn(2)n 將通項放得比變式將通項放得比變式1 1更小一點更小一點.當當n = 1時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.第15頁/共38頁變式變式3 3的結(jié)論比變式的結(jié)論比變式2 2更強，要達目的，須將更強，要達目的，須將變式變式2 2放縮的放縮的“度度”進一步修正，如何修正？進一步修正，如何修正？分析分析保留前兩項保留前兩項，從，從第三項第三項開始放縮開始放縮思路一思路一左邊左邊11 11111()42 231nn 11 111()42 23 353()n2111111111()()()2

11、2243511nn L22211151()233nnNL求證：變變式式3 322111nn111()211nn(3)n 將變式將變式2 2思路二中通項從第三項才開始放縮思路二中通項從第三項才開始放縮.當當n = 1, 2時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.第16頁/共38頁變式變式3 3的結(jié)論比變式的結(jié)論比變式2 2更強，要達目的，須將更強，要達目的，須將變式變式2 2放縮的放縮的“度度”進一步修正，如何修正？進一步修正，如何修正？分析分析保保留留第第一一項項，從從第第二二項項開開始始放放縮縮思路二思路二22144nn左邊左邊1112()321n 1123 253()n11111112

12、()()()35572121nn L112()2121nn(2)n 將通項放得比變式將通項放得比變式2 2思路二更小一點思路二更小一點.22211151()233nnNL求證：變變式式3 32441n當當n = 1時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.第17頁/共38頁評注評注第18頁/共38頁【方法總結(jié)之二方法總結(jié)之二】 放縮法證明與數(shù)列求和有關(guān)的不等式的過程放縮法證明與數(shù)列求和有關(guān)的不等式的過程中，很多時候要中，很多時候要“留一手留一手”， 即采用即采用“有所保留有所保留”的方法，的方法，保留數(shù)列的第一項或前兩項，從數(shù)列的第保留數(shù)列的第一項或前兩項，從數(shù)列的第二項或第三項開始放縮二項或

13、第三項開始放縮，這樣才不致使結(jié)果放得過，這樣才不致使結(jié)果放得過大或縮得過小大或縮得過小. .第19頁/共38頁牛刀小試牛刀小試（變式練習（變式練習1 1）*22211151()35(21)4nnNL求證：證明證明21(21)nQ111(1)4n 114 254n1111111(1)()()42231nn L14 (1)n n(2)n 2144nn111()41nn左邊當當n = 1時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.第20頁/共38頁右邊保留右邊保留第一項第一項1111231001111231(2009200)0S L珠海二求模理第(2)的整.問例數(shù)部分3 3122nn21nn2(1)n

14、n21nn 2(1)nn 1 2( 100 1)19 182( 101 1)18S 的整數(shù)部分是思路思路為了確定為了確定S的整數(shù)部分，的整數(shù)部分，必須必須將將S的值放縮在相鄰的兩的值放縮在相鄰的兩個個整數(shù)之間整數(shù)之間. .第21頁/共38頁右邊保留右邊保留第一項第一項111123100L1111231(2009200)0S L珠海二求模理第(2)的整.問例數(shù)部分3 3122nn21nn2(1)nn21nn 2(1)nn Q1 2( 100 1)19 182( 101 1)18S 的整數(shù)部分是思路思路為了確定為了確定S的整數(shù)部分，必須將的整數(shù)部分，必須將S的值放縮在相鄰的兩的值放縮在相鄰的兩個個

15、整數(shù)之間整數(shù)之間. .第22頁/共38頁分析分析思路思路左邊32nn211111333n L22331(2011113()3232322193(3)22nnnNL求廣東理第：問證例例4 4利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性放縮為等比模型利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性放縮為等比模型23 1 ( ) 3nn123 1 ( ) 3n13n*111()323nnnnN11331213n第23頁/共38頁分析分析左邊左邊32n21111(1)733n L23111117()3232323214nnNL求證：例例4 4 變變式式2=3 (1)3nn223 (1)3n27 3n21117 3(2)nnan1311(1)143n (

16、2)n 保留第一項，從保留第一項，從第二項第二項開始放縮開始放縮左邊不能直接求和，能否仿照例左邊不能直接求和，能否仿照例4的方法將通項的方法將通項也放縮為也放縮為等比模型等比模型后求和？后求和？ 3171141(2)4n 當當n = 1時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.第24頁/共38頁【方法總結(jié)之三方法總結(jié)之三】第25頁/共38頁(1)(2)1 22(1985)3(1)()22n nn nn nnNL全國求：例證5 5(1)(2)1 22 3(1)22n nn nn n L思路思路nT nR123nnTbbbbL123nnRccccL1( )niiaf n二形形（）如如第26頁/共3

17、8頁證明證明(1)n nn (1)2nn12n1 22 3(1)n nL1nkk(1)2n n11()2nkk(2)2n n評注評注用分析法尋找證明思路顯得一氣呵成！用分析法尋找證明思路顯得一氣呵成！第27頁/共38頁【方法總結(jié)之四方法總結(jié)之四】第28頁/共38頁二二. 放縮目標模型放縮目標模型可求可求積積第29頁/共38頁135211()24(2060922121 (2) )nnnn NL求證東理：例廣第問6 6思路思路135211246221nnn LnB1 2 3nbbbb1( )niiaf n三（形形如如）第30頁/共38頁證明證明212nn22141nn21()21nnnN13521

18、35721nnL左邊121n第31頁/共38頁【方法總結(jié)之五方法總結(jié)之五】第32頁/共38頁牛刀小試牛刀小試（變式練習（變式練習2 2）(1998(1998全國理全國理2525第第(2)(2)問問) )*3111(1 1)(1)(1)(1)31 ()4732nnnNL求證：證明證明31(1)32nQ313113232nnn 333334710313114732nnnL23331132(32)(32)nnn 33113232nnn 左邊第33頁/共38頁放縮目標模型放縮目標模型可求和可求和可求積可求積等差模型等差模型等比模型等比模型錯位相減模型錯位相減模型裂項相消模型裂項相消模型第34頁/共38頁又如又如：我們可以這樣總結(jié)我們可以這樣總結(jié)本節(jié)課學到的放縮方法本節(jié)課學到的放縮方法：平方型：平方型：21n1(1)n n111nn1(1)n n11(2)1nnn21n211n111(2)211nnn21n244n2441n1122121nn21(21)n14 (1)n n111(2)41nnn立方型：立方型：31n21(1)n n111(2)2 (1)