空間解析幾何方法

1、(空間解析幾何)之內(nèi)容方法內(nèi)容：空間直角坐標(biāo)系；平面的點(diǎn)法式與一般式方程；空間直線的對(duì)稱式與一般式方程及它們間的平行與垂直等相關(guān)位置；曲面與空間曲線的方程等。它是以后學(xué)習(xí)二重積分和三重積分的基礎(chǔ)。本章的重點(diǎn)是：平面的點(diǎn)法式方程；直線的對(duì)稱式方程；球面方程；母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。難點(diǎn)是：母線平等于行坐標(biāo)軸的柱面方程的概念和空間曲線在坐標(biāo)軸上的投影曲線的概念。一空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系是平面直角坐標(biāo)系的推廣。每點(diǎn)由三個(gè)有序?qū)崝?shù)確定P（x, y, z）.兩點(diǎn)間的距離為：定比分點(diǎn)公式為：其中為P分線段P1P2的定比，即P1PPP2.二 方向余弦與方向數(shù)有向線段：以P1為始點(diǎn)，P2為終點(diǎn)的線段

2、，它與三個(gè)坐標(biāo)軸正向的夾角稱為方向角；方程角的余弦值稱為方程余弦。其計(jì)算公式為：且滿足直線的方向數(shù)A，B，C：其中，是直線上某個(gè)有向線段的方向角。若A，B，C是直線的方向數(shù)，則kA, kB, kC也是。這時(shí)直線的方向余弦為兩直線L1，L2的夾角為：其中和分別是L1，L2的方向數(shù)。平行于L2其中若分母為0，則相應(yīng)的分子也為0。三平面與空間直線1 平面的點(diǎn)法式方程：其中是平面上一點(diǎn)，A，B，C是平面的方向數(shù)。由于同時(shí)垂直于平面內(nèi)兩相交直線的直線即為平面的法線，所以一般都可以求平面的點(diǎn)法式方程。2 平面的一般式方程：（A，B，C不同時(shí)為0），A，B，C是平面法線的方向數(shù)。在平面的一般式方程中平面過原

3、點(diǎn)平面平行于x軸平面過x軸平面平行于xoy坐標(biāo)面為常數(shù)）其它類似，故從略。求平面的一般式方程時(shí)，可用待定系數(shù)法；也可先求其點(diǎn)法式方程，再化為一般式方程。3 直線的對(duì)稱式方程（或點(diǎn)向式）方程：其中為直線上一定點(diǎn)，為直線的方向數(shù)。由立體幾何知識(shí)，直線通常可求其對(duì)稱式方程；由于點(diǎn)、向的不唯一，所以直線的對(duì)稱式方程也不唯一。4 直線的一般方程：兩相交平面的交線。直線的對(duì)稱式中只有兩個(gè)獨(dú)立的等式（若某分母為0，則分子為0），聯(lián)立即得一般式方程；反之，由于直線與兩相交平面的法線垂直，故可從直線的一般式求得直線的方向數(shù)。另外，令直線的一般式中某變量為0，解出另兩個(gè)變量的值即得直線上一點(diǎn)，故可從直線的一般式方

4、程可求得其對(duì)稱式方程。5 兩平面平行的充要條件是其法線的方向數(shù)成比例。即兩平面垂直的條件是其法線垂直。即直線L與平面p平行的充要條件是直線與平面的法線垂直。即直線L與平面p垂直的充要條件是四曲面與空間曲線曲面的一般方程：球心在，半徑為的球面方程為：空間曲線的方程：。即它作為兩曲面的交線。表示：母線平行于軸，準(zhǔn)線為的柱面。同樣，分別表示母線平行軸和軸的柱面?？臻g曲線在坐標(biāo)面上的射影曲線求法：從空間曲線方程中消去變量得，再與聯(lián)立，即為所求。它就是空間曲線對(duì)面的射影柱面與面的交線。五 二次曲面橢球面：時(shí)為球面。單葉雙曲面：，。雙葉雙曲面：，。橢圓拋物面：，。注意：頂點(diǎn)坐標(biāo)的變化，如：表頂點(diǎn)在開口向下

5、的橢圓拋物面。雙曲拋物面：，等。錐面：，。以上均為各類曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)熟練準(zhǔn)確地畫出其大致圖形并觸類旁通。另外，上述各方程左端正項(xiàng)的兩系數(shù)相等時(shí)，表旋轉(zhuǎn)曲面。例7.1已知空間中兩點(diǎn)。求1P1P2；2.的方向余弦；3.直線的方向數(shù)。解：1. 2. . 3. 方向數(shù)為例7.2已知平面過，與平面垂直且與直線平行。求該平面的方程。解：方法一：先求法式方程設(shè)該平面的法線的方向數(shù)為，則由題意得，解得。所以所求平面的點(diǎn)法式方程為，化為一般式為：方法二：待定系數(shù)法設(shè)平面的一般方程為不全為0）。由平面過點(diǎn)得：（1）由另兩條件得：（2）（3）聯(lián)立（1），（2），（3）并解得。故所求平面的方程為：注：因平面的一般式方程中的系數(shù)為其法線的方向數(shù)，所以這兩種方法實(shí)質(zhì)上是一樣的。例7.3求過點(diǎn)且與直線平行的直線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：先從一般式方程中求已知直線的方向數(shù)。設(shè)其方向數(shù)為則，解得。故所求直線的對(duì)稱式方程為：注：在已知直線的一般式方程中，令得，解得從而求得直線上一點(diǎn)為故可化已知直線的一般式方程為標(biāo)準(zhǔn)方程為：例7.4已知球面的球心在且過點(diǎn)求1 該球面的方程；2 該球面與的交線對(duì)坐標(biāo)面的射影柱面的方程；3 該球面與的交線對(duì)坐標(biāo)面上的射影曲線的方程。解：1.