有趣的數(shù)學(xué)悖論——無(wú)限的多少,高中

1、希爾伯特旅館悖論（希爾伯特旅館悖論（Hilberts paradox of Grand Hotel）希爾伯特旅館有無(wú)限個(gè)房間，并且每個(gè)房間都住了客人。一天來(lái)了一個(gè)新客人，旅館老板說(shuō)：“雖然我們已經(jīng)客滿(mǎn)，但你還是能住進(jìn)來(lái)的。我讓 1 號(hào)房間的客人搬到 2 號(hào)房間，2 號(hào)房間搬到 3 號(hào)房間 n 號(hào)房間搬到 n+1 號(hào)房間，你就可以住進(jìn) 1 號(hào)房間了?！庇忠惶?，來(lái)了無(wú)限個(gè)客人，老板又說(shuō)：“不用擔(dān)心，大家仍然都能住進(jìn)來(lái)。我讓 1 號(hào)房間的客人搬到 2 號(hào)房間，2 號(hào)搬到 4 號(hào)，3 號(hào)搬到 6 號(hào) n 號(hào)搬到 2n 號(hào)，然后你們排好隊(duì)，依次住進(jìn)奇數(shù)號(hào)的房間吧?！边@就是德國(guó)大數(shù)學(xué)家大衛(wèi)希爾伯特（Dav

2、id Hilbert）提出的著名悖論。每個(gè)學(xué)過(guò)集合論的學(xué)生，都應(yīng)該“拜訪(fǎng)”過(guò)這個(gè)奇妙的希爾伯特旅館。雖然人們把它叫做一個(gè)“悖論”，它在邏輯上卻是完全正確的，只不過(guò)大大出乎我們的意料罷了。托里拆利小號(hào)（托里拆利小號(hào)（Torricellis Horn）意大利數(shù)學(xué)家托里拆利（Evangelista Torricelli）將 y=1/x 中 x1 的部分繞著 x 軸旋轉(zhuǎn)了一圈，得到了上面的小號(hào)狀圖形（注意，上圖只顯示了這個(gè)圖形的一部分）。然后他算出了這個(gè)小號(hào)的一個(gè)十分牛 B 的性質(zhì)它的表面積無(wú)窮大，可它的體積卻是 。這明顯有悖于人的直覺(jué)：體積有限的物體，表面積卻可以是無(wú)限的！換句話(huà)說(shuō)，填滿(mǎn)整個(gè)托里拆利

3、小號(hào)只需要有限的油漆，但把托里拆利小號(hào)的表面刷一遍，卻需要無(wú)限多的油漆！類(lèi)似的二維幾何悖論中，最著名的要屬“科赫雪花”（Koch Snowflake）了?？坪昭┗ㄊ且环N經(jīng)過(guò)無(wú)窮多次迭代生成的分形圖形，下圖就是前三次迭代的過(guò)程，迭代過(guò)程的極限便是科赫雪花了。它也有一個(gè)類(lèi)似的性質(zhì)：它的面積有限，周長(zhǎng)卻是無(wú)限的。用無(wú)限的周長(zhǎng)包圍了一塊有限的面積，真是另類(lèi)的“無(wú)中生有”?。∵\(yùn)動(dòng)無(wú)力悖論阿基里斯與烏龜?shù)你Ｕ摚ˋchilles and the tortoise Paradox）：在跑步比賽中，如果跑得最慢的烏龜一開(kāi)始領(lǐng)先跑得最快的希臘勇士阿基里斯，那么烏龜永遠(yuǎn)也不會(huì)被阿基里斯追上。因?yàn)橐胱返綖觚?，阿基里斯必須先到達(dá)烏龜現(xiàn)在的位置；而等阿基里斯到了這個(gè)位置之后烏龜已經(jīng)又前進(jìn)了一段距離。如此下去，阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜。二分法悖論（Dichotomy Paradox）：運(yùn)動(dòng)是不可能的。你要到達(dá)終點(diǎn)，必須首先到達(dá)全程的 1/2 處；而要到達(dá) 1/2 處，必須要先到 1/4 處 每當(dāng)