指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)圖像與性質(zhì).doc

1、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、哥函數(shù)的圖像與性質(zhì)(一)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1.根式(1)根式的概念根式的概念付方表力、備注如果xn a ,那么x叫做a的n次方根一n 1且 n N當(dāng)n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是l個正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個負(fù)數(shù)右零的n次方根是零當(dāng)n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，它們互為相反數(shù)癡a 0)負(fù)數(shù)沒有偶次方根n為奇數(shù)n為偶數(shù)(2) .兩個重要公式a n；ana(a 0)lai , 小a(a 0)(Va)n a (注意a必須使n;a有意義)。2.有理數(shù)指數(shù)哥(1)哥的有關(guān)概念正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)募m:ann ma (a0, m、n N，且n 1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)哥1man1(a 0,m&

2、gt; n N，且n 1)n ma0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)哥等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)哥沒有意義注：分?jǐn)?shù)指數(shù)哥與根式可以互化，通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)哥進(jìn)行根式的運算。(2)有理數(shù)指數(shù)哥的性質(zhì)aras=ar+s(a>0,r、sCQ;(ar)s=ars(a>0,r、s C Q;(ab)r=arbs(a>0,b>0,r £ Q);.3 .指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=axa>10<a<1圖象同v-i 4ZU” 11定義域R值域(0, +)性質(zhì)(1)過定點(0, 1)(2)當(dāng) x>0 時，y>1;x<0 時,0<y<1(2)當(dāng) x>0 時，

3、0<y<1;x<0 時，y>1(3)在(-,+)上是增函數(shù)(3)在(-,+)上是減函數(shù)注：如圖所示，是指數(shù)函數(shù)(1) y=ax, (2) y=bx, (3) ,y=cx (4) ,y=dx的圖象，如何確定底數(shù)a,b,c,d與1之間的大小關(guān)系？提示：在圖中作直線x=1 ,與它們圖象交點的縱坐標(biāo)即為它們各自底數(shù)的值，即c1>d1>1>a1>b1,. c>d>1>a>b。即無論在軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時針方向變大。(二)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1、對數(shù)的概念(1)對數(shù)的定義如果ax N(a 0且a 1),那么數(shù)x叫做以a為底，N的對數(shù)

4、，記作x logaN ,其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。(2)幾種常見對數(shù)對數(shù)形式特點記法一般對數(shù)底數(shù)為a a 0,且a 1logaN常用對數(shù)底數(shù)為10lg N自然對數(shù)底數(shù)為eln N2、對數(shù)的性質(zhì)與運算法則NN(1)對數(shù)的性質(zhì)(a 0,且 a 1)： loga10, logaa 1, agaN, logaaN。15 / 9(2)對數(shù)的重要公式:換底公式：10gbN10ga10gab(a,b均為大于零且不等于1,N0)； 10gab1logba(3)對數(shù)的運算法則:如果 a 0,且a 1, M 0,N0那么 10ga(MN ) 10g a M 10g a N ;和0ga110gaM 10ga

5、N； 1oga M n n10ga M (n R)； 10gam bnn , 10ga bo m0<c<d<1<a<b.3、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖 象a 10 a 1aJK =廠1口備1 Gl 二 (L0)內(nèi)w川r¥ Ihi i性 質(zhì)(1)定義域：(0,+)(2)值域：R(3)當(dāng)x=1時，y=0即過定點(1,0)(4)當(dāng) 0 x 1 時，y (,0)；當(dāng) x 1 時，y (0,)(4)當(dāng)x 1時，當(dāng)0 x 1時，yy (,0)；(0,)(5)在(0,+)上為增函數(shù)(5)在(0,+)上為減函數(shù)注：確定圖中各函數(shù)的底數(shù) a, b, c, d與1的大小關(guān)系提示

6、：作一直線y=1,該直線與四個函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)即為它們相應(yīng)的底數(shù)。4、反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線 y=x對稱。(三)哥函數(shù)1、哥函數(shù)的定義形如y=x" (aCR)的函數(shù)稱為哥函數(shù)，其中 x是自變量，a為常數(shù)注：哥函數(shù)與指數(shù)函數(shù)有本質(zhì)區(qū)別在于自變量的位置不同，哥函數(shù)的自變量在底數(shù)位置，而指數(shù)函數(shù)的自變量在指數(shù)位置。2、哥函數(shù)的圖象1注：在上圖第一象限中如何確定y=x3, y=x2, y=x , y x_2 , y=x-1方法：可畫出x=x0；1當(dāng)xo>1時，按交點的高低，從高到低依次為y=x3, y=x2, y=x, y x2

7、 , y=x-1；1當(dāng)0<xo<1時，按交點的高低，從高到低依次為y=x-1, y x2 , y=x, y=x2, y=x3。(1)計算:234 05(33) 3(54)0.589(0.008) 3 (0.02) 2 (0.32)2 0.06250.253、哥函數(shù)的性質(zhì)致y=xy=x2y=x31y x2y=x-1定義域RRR0,)x| x RHx 0值域R0,)R0,)y|y RL y 0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增xC 0,)時，增；xC (,0時，減增增x e (0,+ )時，減；xC (- ,0)時，減定點(1,1)三：例題詮釋，舉一反三知識點1 :指數(shù)哥的化簡與求值例1.

8、(2007育才A)41a3 8a3b22 化簡：4b3 2Vab a32(a 323 b) a變式：（2007執(zhí)信A）化簡下列各式（其中各字母均為正數(shù)）2111(a3 b 1) 2 a2 b36/Tb5;c 1121 5a3 b2 ( 3ab) (4a" b3J.127 611.5 3 ( 7)0 80.25 4 2 (3 2 J3)6 6知識點2:指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2.（2009廣附A）已知實數(shù)a、la1b ，人”生一 b滿足等式（）（2）,下列五個關(guān)系式：Ovbva;avb23<0;0V av b;bv av 0;a=b.其中不可能成立的關(guān)系式有（）A.1個B.2 個C

9、.3個D.4個變式：（2010華附A）若直線y 2a與函數(shù)y | ax 11 （a 0且a 1）的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍是.知識點3：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)例3. （2010省實B）已知定義域為 R的函數(shù)f （x）2x2x 1一是奇函數(shù)。2（I）求b的值;（n）判斷函數(shù) f x的單調(diào)性；（出）若對任意的t R,不等式f（t2 2t） f（2t2 k） 0恒成立，求k的取值范圍.x e a 變式：（2010東莞B）設(shè)a>0,f（x）= - 1是R上的偶函數(shù). a e（1）求a的值；（2）求證：f（x）在（0, +8）上是增函數(shù).知識點4:對數(shù)式的化簡與求值例 4. (2010 云浮 A)

10、計算：(1) log2、3(2 J3)(2) 2(lg 22 ) 2+lg 收 lg5+ J(lg J2)2 lg2 1 ；(3)變式:11g 箓/.245.(1)log 2 7 +log 212- 1 log 242-1;48(2)(3)(lg2) 2+lg2 lg50+lg25;(log 32+log 92) (log 43+log 83).知識點5:對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)例5. (2011深圳A)對于0小1 loga(1 a) log a (a -) aa 1,給出下列四個不等式：_1 loga(1 a) loga(1 一)； aaa1 a;與(B)與(C)- a 1 1 a a a;與(D)與

11、其中成立的是()變式:(2011韶關(guān) A 已知.1 . 一 1 ,0< a< 1,b >1,ab >1,則 log a ,logab,logb一的大小關(guān)系是 bbA.loglogablog1B. logab loga - b110gbbC. logab1 logb -blog例6. (2010廣州bB)已知函數(shù)f(x)=logD.logb loga- b bax(a > 0,a w 1),如果對于任意 x £lOgab3,+8)都有 |f(x)|(2010惠州A)化簡求值.>1成立，試求a的取值范圍.變式：(2010廣雅B)已知函數(shù)f (x)=lo

12、g 2(x 2-ax-a) 在區(qū)間(-0°1- V3 上是單調(diào)遞減函數(shù).求實數(shù)a的取值范圍.知識點6:募函數(shù)的圖象及應(yīng)用例7.(2009佛山B)已知點(衣2)在哥函數(shù)f(x)的圖象上，點2,1 ,在哥函數(shù)g(x)的圖4象上.問當(dāng) x 為何值時有：(1) f(x) g(x); (2) f (x) g(x); (3) f (x) g(x).2 cc變式：(2009揭陽B)已知哥函數(shù)f(x)=x m 2m 3 (me Z)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0, +oo)上是單調(diào)減函數(shù).(1)求函數(shù)f(x);(2)討論F (x) =ajf (x)二的奇偶性.xf (x)四：方向預(yù)測、勝利在望.一 1 x1

13、 . (A)函數(shù) f (x) lg 的7E乂域為()x 4A. (1, 4) B. 1, 4)C. ( 8, 1)U(4, +8) D.(巴 1U(4, +0o )2. (A)以下四個數(shù)中的最大者是()(A) (ln2) 2(B) ln(ln2)(C) ln ' 2(D) ln21，、3 (B)設(shè)a>1,函數(shù)f(x)=log ax在區(qū)間a,2a上的取大值與取小值之差為一，則a=()2(A)弋2(B) 2(C) 22(D) 44.(A)已知f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0x 1 時，f (x) lg x.設(shè)5.6.a f(5), b f(2),e(A) a b ec x 12e ,

14、x(B)設(shè) f(x)=, 210g3(xf(-),則(2(B)2,1),x(C) c b a (D) c則不等式f(x)>2的解集為(2,(A)(C)(A)設(shè)(1, (1, P2)2) log23,(3,+ oo)(J10 ,+ oo)A. R Q P B.Q 10g 3 2, RP R Q C.(B) (J10 , +8)(D) (1, 2)log2(log3 2),則(P d. R7.(A)已知 log 1b log 1a 10gle，貝U (8.22b a cA. 222 B.(B)下列函數(shù)中既是奇函數(shù),(A) f (x) sin x22a2b又是區(qū)間2c1,1C. 2c2b2a上

15、單調(diào)遞減的是(D.)2c2a 2b9.(B) f(x)一、1 / x x、(C) f(x) -(a a )2(D) f(x)2In 2(A)函數(shù)yA 1,10.(A)已知函數(shù)1A. 一411. (B)若函數(shù) 有()A. 0 aC. 0 a12. (B)若函數(shù)1 ()、2A. 一4log2(3x 2)B(3,log1 x與 y41的定義域是：()c K,1D (11kx的圖象有公共點 A,且點A的橫坐標(biāo)為2,則 k ()B.f(x)1且b 1JLb f(x)B.C.1(a1D.一21)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則一定00log aB.D. x(01JLb1且b1)在區(qū)間a, 2a上的最大值是最

16、小值的 3倍，則a=13.(A)已知 0<x<y< a<1,(A) loga(xy) 0(C) 1 loga(xy)14. (A)已知 f(x6)4(A) 一 315. ( B)函數(shù) y= lg|x|A .是偶函數(shù)，在區(qū)間C.是奇函數(shù)，在區(qū)間log 2(B)一， lg( 416. (A)函數(shù)y *二 x 31C.一4則有(B) 0(D)x,那么1 D.2)loga(xy)loga(xy) 2 f(8)等于(C)181(D)一2()一,0)上單調(diào)遞增(0, +8止單調(diào)遞增 x)1的定義域是.B.D.是偶函數(shù)，在區(qū)間(°°, 0)上單調(diào)遞減 是奇函數(shù)，在

17、區(qū)間(0, + 00止單調(diào)遞減1136b3 (a3b2)例3.解：(I) b 1(n)減函數(shù)。(山)k17. (B)函數(shù)y a1 x(a 0, a 1)的圖象恒過定點 A,若點A在直線 ,11 , 一，一mx ny 1 0(mn 0)上，則一一的取小值為m nex,x 0.118. (A)設(shè) g(x)則 g(g(一) lnx,x 0.219. (B)若函數(shù)f(x) = J2x2 2ax a 1的定義域為R,則a的取值范圍為 20. (B)若函數(shù) f(x) loga (x Jx 2a2)是奇函數(shù)，則 a=.11 x21. (B)已知函數(shù)f(x) log2，求函數(shù)f(x)的定乂域，并討論它的奇偶性

18、和單倜x1 x性.參考答案：三：例題詮釋，舉一反三22例 1.解：(1)(2) a295 2 .3515加產(chǎn):b： (1)41, ab?)TOb.110例2.解：B1、變式：解：(0, 一)；變式：解：(1) a=1. (2)略例 4.解：(1) -1.(2) 1.(3) 1.27 1210g2變比：<0g：22(21) 3. 2.(3) 54842 22 224例5.解：選D。變式：解：C1例 6.解：(1 , 3 U 1, 1)變式：解:a|2-2 J3<a<2例 7.解：(1)當(dāng) x 1 或 x 1 時，f (x) g(x)；(2)當(dāng) x 1 時，f (x) g(x);(3)當(dāng) 1 x 1且 x 0 時，f (x) g(x).變式：解：(1) f(x)=x -4.(2) F= 4+bx3.2xa 3(x) =-2- bx , F (-x ) x當(dāng)aw0,且bw0時，F(xiàn) (x)為非奇非偶函數(shù);當(dāng)a=0,bw0時，F(xiàn) (x)為奇函數(shù);當(dāng)aw0,b=0時，F(xiàn) (x)為偶函數(shù);當(dāng)a=0,b=0時，F(xiàn)四：方向預(yù)測、勝利在望(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)15ADDDC10AADDA1115 CADDB.16. (-, 3) (3,4)17.418.1219.-1,020.22x21.解x須滿足10,由1 x 1,所以函數(shù)因為函數(shù)1 xf(x)的定義域為(一1,0)f(x