注冊巖土工程師基礎考試培訓資料積分學

1、1一、一、 不定積分不定積分五、平面曲線積分五、平面曲線積分四、重積分四、重積分積分學二、二、 定積分定積分三、三、 廣義積分廣義積分六、積分應用六、積分應用21. 不定積分概念定義定義 ： 若在區(qū)間 I 上定義的兩個函數 F (x) 及 f (x)滿足)()(xfxF,d)()(dxxfxF或則稱 F (x) 為f (x) 在區(qū)間 I 上的一個原函數 .在區(qū)間 I 上的原函數全體稱為)(xf定義定義 ：Ixf在)(上的不定積分3xdd) 1 (xxfd)()(xf從不定積分定義可知:dxxfd)(xxfd)(或Cxd)2()(xF)(xF或Cd)(xF)(xF利用逆向思維利用逆向思維xkd)

2、 1 ( k 為常數)Cxk xx d)2(Cx111xxd)3(Cx ln時0 x) 1( )ln()ln(xxx1421d)4(xxCx arctanxxdcos)6(Cx sinxx2cosd)8(xxdsec2Cxtan或Cx cotarc21d)5(xxCxarcsin或Cxcosarcxxdsin)7(Cx cosxx2sind)9(xxdcsc2Cx cot5xxxdtansec)10(Cx secxxxdcotcsc)11(Cx cscxexd)12(Cexxaxd)13(Caaxln63.3.求不定積分方法求不定積分方法（1 1）直接積分法）直接積分法通過簡單變形, 利用基本

3、積分公式和運算法則求不定積分的方法 (要求記住基本積分公式）.22cos 21 sincosxdxxx例求不定積分22cos2sincosxdxxx22cos2sincosxdxxx22cos2cossinxxx7第一類換元的基本思路第一類換元的關鍵是湊微分，常用的湊微分結果有dxxg)()()(xdxfCxF)()()()(xfxFxf的原函數易求，且注：這里要求)(1baxdadx)() 1(11baxdakdxxkk)(xxeddxe)0()(ln1xxddxx（2） 換元積分法8)(sincosxdxdx )(cossinxdxdx)cot()(arctan112xarcdxddxx)

4、(arccos)(arcsin112xdxddxx)(21xddxx)(secsectanxdxdxx)(tancossecxddxxxdx 221)(xddxx112 xaaaxxdlnd9d 21xx 例 2 求 12dxx解：12) 12d(21xxCx| 12|ln21) 12(21xddx23 3xx dx例求10第二類換元的解題思路為dxxf)(dtttftx)()()(Ct )()()()(ttftCx)(1使用該公式的關鍵為在。單調可導，有反函數存)(. 1tx易求。積分dtttf)()(. 2第二類換元常見類型有 三角代換 倒代換 根式代換等11vuvu d一般經驗: 按“反

5、, 對, 冪, 指 , 三” 的順序,排前者取為 u .uvd（1）當被積函數為對數函數和反三角函數時,取被積函數為 u (2)當被積函數為兩種不同類型函數乘積時12例例4 4 求積分求積分ln.xdx解：解：1lnlnxdxxxxdxx.xxxeeClnxxxcxxe dxxxxee dx例例5 5 求積分求積分xxxe dxxde13解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxfxxf,)(2 Cedxxfx ),()(xfdxxf 兩邊同時對兩邊同時對 求導求導, 得得x,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2Cex 22(21Cxex ）1

6、42、定積分的性質 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(性質性質1 babadxxfkdxxkf)()( (k為為常常數數)性質性質2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(性質性質31、定積分定義：二、定積分二、定積分15 則則0)( dxxfba )(ba 性質性質5如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上0)( xf，推論：推論：則則dxxfba )( dxxgba )( )(ba 如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )()(ba （2）dxba 1dxba ab 性質性質416如果函數如果函數)(xf在閉區(qū)間

7、在閉區(qū)間,ba上連續(xù)，上連續(xù)，則在積分區(qū)間則在積分區(qū)間,ba上至少存在一個點上至少存在一個點 ， 使使dxxfba )()(abf )(ba 性質性質7 (定積分中值定理定積分中值定理)設設M及及m分別是函數分別是函數 則則 )()()(abMdxxfabmba .性質性質6上的最大值及最小值，上的最大值及最小值，積分中值公式積分中值公式173、積分上限函數的導數 如果如果)(xf在在,ba上連續(xù)，則積分上限的函數上連續(xù)，則積分上限的函數dttfxxa )()(在在,ba上具有導數，且它的導數上具有導數，且它的導數是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 如如果果)(tf連連續(xù)續(xù)

8、，)(xa、)(xb可可導導，則則dttfxFxbxa )()()()(的的導導數數)(xF 為為 )()()()(xbxadttfdxdxF )()()()(xaxafxbxbf 18.)()(babaxFdxxf 也可寫成也可寫成牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式.,:上上的的增增量量它它的的任任一一原原函函數數在在區(qū)區(qū)間間上上的的定定積積分分等等于于一一個個連連續(xù)續(xù)函函數數在在區(qū)區(qū)間間表表明明baba4、牛頓萊布尼茨公式195、定積分的計算法 dtttfdxxfba )()()(換元公式換元公式（2）第二類換元法）第二類換元法（3）分部積分法）分部積分法分部積分公式分部積分公式 babab

9、avduuvudv（1）湊微分法）湊微分法206、重要結論2200cossin)2(xdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 為正偶數為正偶數為大于為大于1的正奇數的正奇數21dxxx2112)4(7計算例dxxx21124)( 解解：dxxxxx)( 112224428411 dx22三、廣義積分三、廣義積分1 1、無窮限的廣義積分、無窮限的廣義積分 adxxf)( babdxxf)(lim bdxxf)( baadxxf)(lim23apxxd證證:當 p =1 時有 axxdaxlnapxxdappx11當 p 1 時有 1p1p,11pap當 p 1

10、 時收斂 ; p1 時發(fā)散 .,因此, 當 p 1 時, 反常積分收斂 , 其值為;11pap當 p1 時, 反常積分發(fā)散 . 24. )0(d0ptettp解解:tpept原式00d1teptptpep21021p252、無界函數的廣義積分、無界函數的廣義積分 badxxf)( badxxf )(lim0當當極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當當極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. badxxf)( badxxf)(lim0 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim026. )0(d022a

11、xaxa解解: 顯然瑕點為 a , 所以原式0arcsinaax1arcsin227baqaxx)(d證證: 當 q = 1 時,當 q 1 時收斂 ; q1 時發(fā)散 .baaxxdbaax ln當 q1 時baqaxx)(dabqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以當 q 1 時, 該廣義積分收斂 , 其值為;1)(1qabq當 q 1 時, 該廣義積分發(fā)散 .28Dyxfkd),(. 1( k 為常數)Dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d),(. 3DDDyxfyxfyxf, 1),(. 4yxfD上若在DDdd1 為D 的面積, 則 ),(2121無公共內點

12、DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(四、重積分（化為累次積分）四、重積分（化為累次積分）29特別, 由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(則Dyxfd),(Dyxd),(5. 若在D上),(yxf, ),(yxDyxfd),(6. 設),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面積為 ,MyxfmDd),(則有307.(二重積分的中值定理),(yxf設函數,),(D),(),(fdyxfD在閉區(qū)域D上 為D 的面積 ,則至少存在一點使連續(xù),重要結論：重要結論：如果積分區(qū)域關于x軸對稱，被積函數關于自變量y為奇函數，則積分為零；被積函數關于自變量y

13、為偶函數，則積分值等于x軸上半部分積分值的兩倍。 如果積分區(qū)域關于y軸對稱，被積函數關于自變量x為奇函數，則積分為零；被積函數關于自變量x為偶函數，則積分值等于y軸右半部分積分值的兩倍。 31bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd若D為 X 型區(qū)域 則)(1xy)(2xyxboyDax若D為Y 型區(qū)域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(則32D解解221.,2DxdDyx yxyx例13 計算其中由圍成 xxDdyyxdxdyx1222122 2112)(d

14、xyxxx 213)(dxxx.49 .,:211xxyxD33Dyxfd),(ddrrDrrf)sin,cos(3. 在極坐標系下計算二重積分222ryx注：在極坐標系下有注：在極坐標系下有。，后對先對化為二次積分的順序是r34,d222DyxR其中D 為圓周xRyx22所圍成的閉區(qū)域.提示提示: 由于積分區(qū)域關于X軸對稱，被積函數為偶函數，考慮上半圓。再利用極坐標cosRr 原式cos022dRrrRr2033d)sin1(32R)34(313RyDR xo:Dcos0Rr 2020d235zyxzyxfddd),( ),sin,cos(zfzddd在柱坐標系下化三重積分為三次積分是將積分

15、區(qū)域在某個坐標面上投影，將投影區(qū)域用極坐標表示，最后找出另一個坐標的變化范圍。最最后后對對，再再對對一一般般為為先先對對柱柱坐坐標標系系下下的的積積分分順順序序z36設曲線)0()(xfy與直線)(,babxax及 x 軸所圍曲則xbaoy)(xfy xxfAbad)(邊梯形面積為 A ,右下圖所示圖形面積為 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfAbad)()(21六、積分應用六、積分應用3722,xyxy在第一象限所圍所圍圖形的面積 . xxy 2oy2xy 解解: 由xy 22xy 得交點) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110A38sdyxabo)()(bxaxfy)(xfy xxxd所求弧長xysbad12xxfbad)(122.平面曲線