第二節(jié)、數(shù)量積向量積混合積

1、上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022年4月23日星期六徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院第二節(jié) 數(shù)量積 向量積一、數(shù)量積一、數(shù)量積二、向量積二、向量積*三、混合積三、混合積第八章上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022年4月23日星期六徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院. . 2121MMsMMF表示位移表示位移以以點(diǎn)點(diǎn)移動(dòng)到移動(dòng)到作用下沿直線從點(diǎn)作用下沿直線從點(diǎn)設(shè)一物體在常力設(shè)一物體在常力1M2MsF. ,cos W 的夾角的夾角與與為為其中其中所作的功所作的功力力sFsFF 一、數(shù)量積一、數(shù)量積啟示啟示 兩向量作這樣的運(yùn)算兩向量作這樣的運(yùn)算, , 結(jié)果是一個(gè)數(shù)量結(jié)果是一個(gè)數(shù)量. .實(shí)例實(shí)例上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022年4月2

2、3日星期六徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院ab即即記作記作的數(shù)量積的數(shù)量積與與向量向量把它叫做把它叫做的余弦的乘積的余弦的乘積的夾角的夾角及它們及它們、作作設(shè)有向量設(shè)有向量, , , , babababa 所以所以的方向上的投影的方向上的投影量量在向在向時(shí)是向量時(shí)是向量當(dāng)當(dāng)由于由于, 0 ),cos(cos babababbaPrj . babaaPrj ., 0 ,abbabbPrj 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)同理同理 cosbab定義定義 cos|baba 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022年4月23日星期六徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院數(shù)量積也稱為數(shù)量積也稱為“點(diǎn)積點(diǎn)積”、“內(nèi)積內(nèi)積”.結(jié)論結(jié)論 兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向

3、量的兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的乘積乘積. .上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022年4月23日星期六徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算規(guī)律數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算規(guī)律0)2( ba.ba , 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos ,2 .ba .|)1(2aaa )(,ba ,2 , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 證證:證證)(上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022年4月23日星期六徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律. )1(abba 交換律交換律.)( )2(c

4、bcacba 分配律分配律有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)上式顯然成立上式顯然成立時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng), 0 ; , 0 cc)()(baccbac Prj)(bacccPrjPrj bcacccPrjPrj . cbca . ),()( )3(為數(shù)為數(shù)結(jié)合律結(jié)合律 baba ).()()( );()( babababa 推論推論上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022年4月23日星期六徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院 試用向量證明三角形的余弦定理試用向量證明三角形的余弦定理. .則則如圖如圖中中設(shè)在設(shè)在),(, BCAABC,cABbCAaBC 則則有有記記,cABbCAaCB , bac )(2babaccc 從而從而即得即得及及由由,),

5、(, baccbbaa.cos2222 abbac 例例1 1證證).,cos(222bababa ABC acbbabbaa2 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022年4月23日星期六徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022年4月23日星期六徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院 cos|baba ,|cosbaba 222222cos

6、zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知兩向量垂直的充要條件為由此可知兩向量垂直的充要條件為上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022年4月23日星期六徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院正交正交( (垂直垂直) )向量向量.),(,2bababa 記作記作直直或垂或垂正交正交與與則稱則稱的夾角的夾角與與如果向量如果向量 ).(0,0aaa 即即正交正交都與零向量都與零向量任何向量任何向量上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022年4月23日星期六徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院abbababaPrj|Prj)3( . 3|Prj bba

7、ab所以所以.)3(;)2(;)1(),2 , 2, 1(),4, 1 , 1(上的投影上的投影在在的夾角的夾角與與求求已知已知babababa 解解:2)4()2(111)1( ba222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 .43 cosbab ab cosa例例2 2. 9 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022年4月23日星期六徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院證明證明:cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(垂直垂直與向量與向量證明向量證明向量例例acbbcac)()( 4 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022年4

8、月23日星期六徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院在研究物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)在研究物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí), ,既要考慮物體所受的力既要考慮物體所受的力, ,又又要分析力所產(chǎn)生的力矩要分析力所產(chǎn)生的力矩. . . . 的夾角為的夾角為與與點(diǎn)處點(diǎn)處桿上桿上作用于杠作用于杠有一個(gè)力有一個(gè)力的支點(diǎn)的支點(diǎn)為一根杠桿為一根杠桿設(shè)設(shè)OPFPFLO它的模它的模是一向量是一向量的力矩的力矩對(duì)支點(diǎn)對(duì)支點(diǎn)力力, MOFFOQM 二、向量積二、向量積LO PF Q,sin FOP 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022年4月23日星期六徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院. , 來(lái)確定的來(lái)確定的的角轉(zhuǎn)向的角轉(zhuǎn)向過(guò)過(guò)以不超以不超是按右手法則從是按右手法則從的指向的指向所決定的平

9、面所決定的平面與與的方向垂直于的方向垂直于FOPMFOPMLO PF QOPFM上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022年4月23日星期六徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院: 按照下列方式給出按照下列方式給出與與由兩個(gè)向量由兩個(gè)向量設(shè)向量設(shè)向量bac. ,sin 的夾角的夾角與與為為其中其中的模的模babacc . , 來(lái)確定來(lái)確定轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)向規(guī)則從規(guī)則從的指向按右手的指向按右手決定的平面決定的平面所所與與的方向垂直于的方向垂直于bacbac. , , , bacbabac 即即記作記作的向量積的向量積與與叫做向量叫做向量向量向量那么那么上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022年4月23日星期六徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院)( sin

10、|的夾角的夾角與與為為其中其中babac 即即bacba 的的向向量量積積為為與與向向量量.,、“外外積積”向向量量積積也也稱稱為為“叉叉積積”右右手手系系指指向向符符合合又又垂垂直直于于的的方方向向既既垂垂直直于于bac上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022年4月23日星期六徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院. 0)1( aa0sin0 ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量積的性質(zhì)向量積的性質(zhì))(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin , 0 )( 或或0 0sin . 0sin| baba證證ba/ba/. 00sin2 aaa上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022年4月23日星期六徐州工程學(xué)院

11、數(shù)理學(xué)院向量積的運(yùn)算規(guī)律向量積的運(yùn)算規(guī)律. )1(baab 交換律對(duì)向量積不成立交換律對(duì)向量積不成立. .)( )2(cbcacba 分配律分配律). ( )()()( )3(為數(shù)為數(shù)其中其中結(jié)合律結(jié)合律 bababa 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022年4月23日星期六徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積的坐標(biāo)表達(dá)式則則設(shè)設(shè),kbjbibbkajaiaazyxzyx )()(kbjbibkajaiabazyxzyx )()()()()()()()()(kkbajkbaikbakjbajjbaijbakibajibaiibazzyzxzzyyyxyzxyxxx Oijk0 kkjjii,

12、jikikjkji ,jkiijkkij kbabajbabaibababaxyyxzxxzyzzy)()()( 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022年4月23日星期六徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院二階行列式表示二階行列式表示.kbbaajbbaaibbaabayxyxzxzxzyzy 三階行列式表示三階行列式表示.zyxzyxbbbaaakjiba zzyyxxbabababa /),(兩兩個(gè)個(gè)為為零零不不能能同同時(shí)時(shí)為為零零，但但允允許許zyxbbb0, 000 yxzzyxaabaaa例，例，上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022年4月23日星期六徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院向量積的幾何意義向量積的幾何意義ab s

13、inbh :)1(的模的模ba sinbaba .面積面積為鄰邊的平行四邊形的為鄰邊的平行四邊形的和和表示以表示以baba :)2(的方向的方向ba .的平面相垂直的平面相垂直又平行于又平行于與一切既平行于與一切既平行于baba )sin( bhha 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022年4月23日星期六徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院.),2 , 1, 2(),1, 1 , 3(),0 , 0 , 1(nCBA的向量的向量求一個(gè)垂直于平面求一個(gè)垂直于平面過(guò)空間三點(diǎn)過(guò)空間三點(diǎn)設(shè)平面設(shè)平面 ABC)02 , 01, 12( AC)01, 01 , 13( AB,內(nèi)內(nèi)不共線且均位于平面不共線且均位于平面與與ACA

14、BACABn .35kji 例例5 5解解211112 kji),1, 1 , 2( ),2 , 1, 1( .ACAB垂直于平面垂直于平面故故 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022年4月23日星期六徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院22)()(baba 所以所以.)()(2222bababa 證明證明),(cos)(2222bababa 由于由于),(sin2222bababa .22ba 例例6 6證證),(sin),(cos2222bababa 2)(ba上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022年4月23日星期六徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 5

15、5510|22 c|0ccc .5152 kj的單位向量的單位向量都垂直都垂直求與求與例例kjibkjia2,423 7 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022年4月23日星期六徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院ABC解解D3, 4 , 0 AC0 , 5, 4 AB三角形三角形ABC的面積為的面積為|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |21BDS | AC|521225BD . 5| BD.,)1, 3 , 1()2 , 6, 5()2 , 1, 1( 8BDACCBA上的高上的高求邊求邊三角形中三角形中的的和和、在頂點(diǎn)為在頂點(diǎn)為例例 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022

16、年4月23日星期六徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院. cba和和、設(shè)有三個(gè)向量設(shè)有三個(gè)向量. , ,)( , cbacbacbacbaba記作記作的混合積的混合積、數(shù)量叫做三向量數(shù)量叫做三向量這樣得到的這樣得到的作數(shù)量積作數(shù)量積向量與第三個(gè)向量向量與第三個(gè)向量再把所得到的再把所得到的的向量積的向量積與與先作兩向量先作兩向量 *三、混合積三、混合積),(),(),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa 設(shè)設(shè), yxyxxzxzzyzybbaabbaabbaaba上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022年4月23日星期六徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院.)(zyxyxyxzxzxzyzycbbaacbbaacbbaacba

17、 三階行列式表示三階行列式表示zyxzyxzyxcccbbbaaacba )(根據(jù)行列式的性質(zhì)可得混合積的置換規(guī)律根據(jù)行列式的性質(zhì)可得混合積的置換規(guī)律. bacacbcba 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022年4月23日星期六徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院., cOCbOBaOA 設(shè)設(shè). , , 行四邊形的平面行四邊形的平面它的方向垂直于這平它的方向垂直于這平的面積的面積為邊所作平行四邊形為邊所作平行四邊形和和量量的模在數(shù)值上等于以向的模在數(shù)值上等于以向它它是一個(gè)向量是一個(gè)向量OADBbafba . , ; , 朝著平面異側(cè)朝著平面異側(cè)與與向量向量組成左手系時(shí)組成左手系時(shí)、當(dāng)當(dāng)朝著平面同側(cè)朝著平面同側(cè)與與

18、向量向量組成右手系時(shí)組成右手系時(shí)、當(dāng)當(dāng)cfcbacfcba,cos )( , cbacbacbacf 由于由于的夾角為的夾角為與與設(shè)設(shè)abcba h 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022年4月23日星期六徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院. , ; , 為負(fù)為負(fù)組成左手系時(shí)組成左手系時(shí)、當(dāng)當(dāng)為正為正組成右手系時(shí)組成右手系時(shí)、當(dāng)當(dāng)cbacbacbacba即即上投影的絕對(duì)值上投影的絕對(duì)值在在等于向量等于向量高高上等于上等于在數(shù)值在數(shù)值的面積的面積平行四邊形平行四邊形行六面體的底行六面體的底為棱的平為棱的平、以向量以向量, , ) ( fchbaSOADBcba ,cos cchf Prj. cos cbacbaShV 所以平行六面體的體積所以平行六面體的體積abcba h 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022年4月23日星期六徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院).()()(, 2 accbbacba 計(jì)算計(jì)算已知已知解解)()()(accbba )(accbbbcaba acbabbacaabaccbcbbccacba )()()()()()()()(0 0 0 0 0 0 cba )(. 4 2)(2 cbacba例例9 9上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022年4月23日星期六徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院.),(),(),(),( 444333222111的體積的體積求四面體求四面體已知