2022年高三數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練 第5講立體幾何選擇壓軸題（解析版）

1、第5講 立體幾何選擇壓軸題一、單選題1（浙江超級全能生3月聯(lián)考）如圖，已知在中，為線段上一點，沿將翻轉(zhuǎn)至，若點在平面內(nèi)的射影恰好落在線段上，則二面角的正切的最大值為（ ）AB1CD【答案】C【分析】過作交BC于E，連接EH，結(jié)合已知條件有二面角的平面角為，而，設(shè)且，則，即可求，應(yīng)用函數(shù)與方程思想，構(gòu)造且在上有解求參數(shù)m的范圍，即可得二面角正切的最大值【解析】過作交BC于E，連接EH，在平面內(nèi)的射影恰好落在線段上，即面，且，即面，面，則，二面角的平面角為，在中，若令，則，又，且，故，則，即方程在上有解時，m的最大值即為所求，而開口向上且，即，對稱軸當(dāng)時，顯然成立；當(dāng)時，當(dāng)對稱軸在上，恒成立；當(dāng)對

2、稱軸在上，即；綜上，有，即，故二面角的正切的最大值為故選C【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用三垂線定理找到二面角的平面角，進(jìn)而根據(jù)線段關(guān)系、勾股定理求，由，結(jié)合函數(shù)與方程的思想求參數(shù)m范圍，進(jìn)而確定最大值2（浙江寧波模擬）設(shè)三棱錐的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，是棱上的點（不含端點），記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則ABCD【答案】B【分析】本題以三棱錐為載體，綜合考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的概念，以及各種角的計算解答的基本方法是通過明確各種角，應(yīng)用三角函數(shù)知識求解，而后比較大小而充分利用圖形特征，則可事倍功半【解析】方法1：如圖為中點，在底面的投影為

3、，則在底面投影在線段上，過作垂直，易得，過作交于，過作，交于，則，則，即，即，綜上所述，答案為B方法2：由最小角定理，記的平面角為（顯然）由最大角定理，故選B方法3：（特殊位置）取為正四面體，為中點，易得，故選B【點睛】常規(guī)解法下易出現(xiàn)的錯誤有，不能正確作圖得出各種角未能想到利用“特殊位置法”，尋求簡便解法3（湖南長沙市·長沙一中高三月考）在三棱錐中，二面角的余弦值為，當(dāng)三棱錐的體積的最大值為時，其外接球的表面積為ABCD【答案】B【分析】根據(jù)兩個射影，結(jié)合球的圖形，可知二面角的平面角為；根據(jù)題意可知當(dāng)，時，三棱錐的體積最大根據(jù)體積的最大值可求得BC的長，結(jié)合圖形即可求得球的半徑，進(jìn)

4、而求得表面積【解析】如圖，設(shè)球心在平面內(nèi)的射影為，在平面內(nèi)的射影為， 則二面角的平面角為，點在截面圓上運動，點在截面圓上運動，由圖知，當(dāng)，時，三棱錐的體積最大，此時與是等邊三角形，設(shè)，則，解得，所以，設(shè)，則，解得，球的半徑，所求外接球的表面積為，故選B【點睛】本題考查了三棱錐外接球的綜合應(yīng)用，根據(jù)空間幾何關(guān)系求得球的半徑，進(jìn)而求得表面積，對空間想象能力要求較高，屬于難題4（天一大聯(lián)考（理）在棱長為的正四面體中，點為所在平面內(nèi)一動點，且滿足，則的最大值為（ ）ABCD【答案】B【分析】由題意可知，點在所在平面內(nèi)的軌跡為橢圓，且該橢圓的焦點為、，長軸長為，然后以線段的中點為坐標(biāo)原點，直線所在直線為

5、軸，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出橢圓的方程，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值【解析】如圖所示，在平面內(nèi)，所以點在平面內(nèi)的軌跡為橢圓，取的中點為點，連接，以直線為軸，直線為建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則橢圓的半焦距，長半軸，該橢圓的短半軸為，所以，橢圓方程為點在底面的投影設(shè)為點，則點為的中心，故點正好為橢圓短軸的一個端點，則，因為，故只需計算的最大值設(shè)，則，則，當(dāng)時，取最大值，即，因此可得，故的最大值為故選B【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查線段長度最值的求解，根據(jù)橢圓的定義得知點的軌跡是橢圓，并結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)求解的最大值是解題的關(guān)鍵，在求解時也要注意橢圓有界性的應(yīng)用5（四川

6、成都市·高三二模（理）已知四面體的所有棱長均為，分別為棱，的中點，為棱上異于，的動點有下列結(jié)論：線段的長度為1；若點為線段上的動點，則無論點與如何運動，直線與直線都是異面直線；的余弦值的取值范圍為；周長的最小值為其中正確結(jié)論的個數(shù)為（ ）A1B2C3D4【答案】B【分析】將正四面體放在正方體中觀察，對于，可根據(jù)分別為正方體前后兩個面的中心可得出結(jié)論；對于，取為的中點，取為的中點，此時與相交；對于，計算可得，由逼近思想可作出判斷；對于，空間問題平面化的技巧，將三角形與放在同一平面上，可計算出【解析】在棱長為的正方體上取如圖所示的四個頂點依次連接，即可得到棱長為四面體，顯然，分別為正方體

7、前后兩個面的中心，故線段的長度為正方體棱長，故 對；對于：如圖，取為的中點，取為的中點，取為的中點，則由正方體的性質(zhì)易知，該三點在一條直線上，故此時與相交于，故錯；對于，又有，故，故點無限接近點時，會無限接近，故的余弦值的取值范圍不為，錯誤；對于，如圖將等邊三角形與鋪平，放在同一平面上，故有，當(dāng)且僅當(dāng)為中點時取最小值，故在正方體中，故周長的最小值為，故對，故選B【點睛】把空間中的最短路線問題利用展開圖轉(zhuǎn)化為平面上兩點間距離最短的問題，從而使問題得到解決，這是求空間中最短路線的一種常用方法6（內(nèi)蒙古呼和浩特市·高三一模（理）四面體的四個頂點都在球O上且，則球O的表面積為（ ）ABCD【

8、答案】B【分析】作出圖形，根據(jù)題中的數(shù)據(jù)證明平面平面，并找出球心的位置，列出等式求出外接球的半徑，結(jié)合球的表面積公式可得出結(jié)果【解析】取的中點，連接，設(shè)和的外心分別為，分別過點作平面和平面的垂線交于點，則點為外接球球心由題意可知，和都是邊長為4的等邊三角形為的中點，且，平面，平面，平面平面，易得，平面，平面AM，同理可得DM，則四邊形為菱形，菱形為正方形，平面，平面，所以外接圓半徑為，因此，四面體的外接球的表面積為，故選B【點睛】這個題目考查了外接球表面積的計算，找出球心位置，并計算外接球的半徑是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計算能力7（山東日照市·高三一模）已知直三棱柱的側(cè)棱長為，過、

9、的中點、作平面與平面垂直，則所得截面周長為（ ）ABCD【答案】C【分析】確定平面與各棱的交點位置，計算出截面各邊邊長，由此可得出所得截面周長【解析】如下圖所示，取的中點，連接，取的，連接，取的中點，連接、，為的中點，則，平面，平面，平面，、分別為、的中點，則且，平面，平面，所以，平面平面，所以，平面即為平面，設(shè)平面交于點，在直棱柱中，且，所以，四邊形為平行四邊形，且，、分別為、的中點，且，所以，四邊形為平行四邊形，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，平面，平面，平面，設(shè)平面平面，平面，所以，所以，四邊形為平行四邊形，可得，所以，為的中點，延長交于點，所以，又，所以，為的中點，因為平面平面，

10、平面平面，平面平面，為的中點，則，為的中點，則，同理，因為直棱柱的棱長為，為的中點，由勾股定理可得，同理可得，且，平面，平面，平面，、分別為、的中點，則，由勾股定理可得，同理因此，截面的周長為故選C【點睛】思路點睛：本題考查直棱柱截面多邊形周長的計算，在畫幾何體的截面，關(guān)鍵是畫截面與幾何體各面的交線，此交線只需兩個公共點即可確定，作圖時充分利用幾何體本身提供的面面平行等條件，可以更快地確定交線的位置8（山東濱州市·高三一模）如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足平面上的動點滿足，則點的軌跡為（ ）A圓B橢圓C雙曲線的一部分D拋物線的一部分【答案】B【分析】首先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則

11、點的軌跡是橢圓【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)所以點的軌跡是橢圓故選B【點晴】方法點睛：本題考查空間向量、軌跡及其方程，涉及方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查空間想象能力邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力，綜合性較強，屬于較難題型9（山東淄博市·高三一模）四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，底面為矩形，點是棱的中點，頂點在底面的射影為，則下列結(jié)論正確的是（ ）A棱上存在點使得面B當(dāng)落在上時，的取值范圍是C當(dāng)落在上時，四棱錐的體積最大值是2D存在的值使得點到面的距離為【答案】A【分析】對于A：取BC的中點E，連結(jié)DE，取SC中點P，連結(jié)PE、PD利用面PDE面BFS，可以

12、證明面；對于B：利用時，S與H重合，圖形不能構(gòu)成四棱錐，判斷B錯誤；對于C：求出體積的最大值為1故C錯誤；對于D：先判斷當(dāng)?shù)淖畲髸r，點B到面的距離d最大；然后求出，判斷D錯誤【解析】對于A：取BC的中點E，連結(jié)DE，取SC中點P，連結(jié)PE、PDPE為BCS的中位線， PEBS又面BFS，面BFS，PE面BFS；在矩形ABCD中，E、F分別為BC、AD的中點，DEBF，又面BFS，面BFS，DE面BFS；又，面PDE面BFS，面故A正確；對于B：為等邊三角形，當(dāng)時，S與H重合，圖形不能構(gòu)成四棱錐，與已知條件相悖，故B錯誤；對于C：在RtSHE中，當(dāng)且僅當(dāng)時，的最大值為1故C錯誤；對于D：由選項C

13、的推導(dǎo)可知：當(dāng)?shù)淖畲髸r，點B到面的距離d最大此時故D錯誤故選A【點睛】(1)證明線面平行，用線面平行的判定定理，在面內(nèi)找一條直線與已知直線平行；(2)等體積法是求三棱錐高的常用方法10（湖北武漢市·高三月考）已知三棱錐的各個頂點都在球的表面上，底面，是線段上一點，且過點作球的截面，若所得截面圓面積的最大值與最小值之差為，則球的表面積為（ ）ABCD【答案】B【分析】將三棱錐補成長方體，設(shè)，計算出球的半徑為，計算出截面圓半徑的最大值和最小值，根據(jù)已知條件可求得的值，可求得球的半徑，進(jìn)而可求得球的表面積【解析】平面，將三棱錐補成長方體，如下圖所示：設(shè)，連接、，可知點為的中點，因為四邊形為

14、矩形，則為的中點，所以，且，設(shè)，且，所以，球的半徑為，在中，在中，由余弦定理可得，平面，平面，平面，則，設(shè)過點的球的截面圓的半徑為，設(shè)球心到截面圓的距離為，設(shè)與截面圓所在平面所成的角為，則當(dāng)時，即截面圓過球心時，取最小值，此時取最大值，即；當(dāng)時，即與截面圓所在平面垂直時，取最大值，即，此時，取最小值，即由題意可得，解得所以，因此，球的表面積為故選B【點睛】方法點睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：補形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長方體中去求解；利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；定義法：到各個頂點距離均

15、相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點距離也是半徑，列關(guān)系求解即可11（安徽蚌埠市·高三二模（理）已知直四棱柱，其底面是平行四邊形，外接球體積為，若，則其外接球被平面截得圖形面積的最小值為（ ）ABCD【答案】A【分析】由條件可得為矩形，進(jìn)而可得平面，所以，則四邊形為正方形，所以直四棱柱為正四棱柱，設(shè)，由余弦定理可得的值，求出的值，由正弦定理可得的外接圓的半徑為，由均值不等式可得的最小值，從而得出答案【解析】由直四棱柱內(nèi)接于球，則四點在球面上，所以四邊形為球的一截面圓的內(nèi)接四邊形，所以對角互補又四邊形是平行四邊形，所以為矩

16、形在直四棱柱中，平面，所以又，所以平面，所以所以四邊形為正方形，所以直四棱柱為正四棱柱由外接球體積為，則球的半徑為，由為該外接球的直徑，則設(shè)，則，則在中， 由余弦定理可得 所以設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理可得 所以 當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，即的最小值為 其外接球被平面截得圖形面積的最小值為： 故選A【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查幾何體的外接球的截面面積問題，解答本題的關(guān)鍵是先由線面垂直關(guān)系得出直四棱柱為正四棱柱，然后由余弦定理和正弦定理得出的外接圓的半徑，由均值不等式求出最小值，屬于難題12（浙江省寧海中學(xué)高三月考）如圖，在中，點E為線段AB上一點，將繞DE翻折若在翻折過程中存在某個位置，使得，

17、記為的最小值，則（ ）ABCD【答案】C【分析】易知，A在以AD為母線的圓錐上的一部分（弧AF），與所成的最大角為，只需【解析】如圖，與所成的最大角為，只需即可即，即，即故選C【點睛】本題考查幾何中的翻折問題，考查學(xué)生的空間想象能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力，是一道難題13（天津河西區(qū)·高三一模）將長、寬分別為和的長方形沿對角線折成直二面角，得到四面體，則四面體的外接球的表面積為（ ）ABCD【答案】A【分析】取的中點，說明為四面體的外接球的球心，求出球的半徑，利用球體的表面積公式可求得結(jié)果【解析】取的中點，連接、，如下圖所示：由題意，因為，為的中點，所以，所以，為四面體的外接球的球心，且球的

18、半徑為，因此，四面體的外接球的表面積為故選A【點睛】方法點睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：補形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長方體中去求解；利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點距離也是半徑，列關(guān)系求解即可14（江西八校4月聯(lián)考（理）已知三棱錐的外接球的表面積為，則三棱錐的體積為（ ）A8BCD16【答案】A【分析】求出球的半徑得是球直徑，中點是球心，取中點，則平面，求得后可得到底

19、面的距離，從而可求得棱錐的高【解析】設(shè)球半徑為，則，而，所以是球的直徑，球心是中點，所以中點是直角外心，所以平面，又平面，所以，是中點， 所以故選A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查求棱錐體積，關(guān)鍵是求得棱錐的高，由于已知外接球的表面積，求得 半徑后確定就是球的直徑，從而利用球的截面圓性質(zhì)，易得平面的垂線，再由體積公式計算15（山西臨汾市·高三一模（理）在棱長為2的正方體中，平面，則以平面截正方體所得的截面面積最大時的截面為底面，以為頂點的錐體的外接球的表面積為（ ）ABCD【答案】B【分析】由正方體的對稱性，可知當(dāng)截面為正六邊形時，截面面積最大，再分當(dāng)球心在棱錐內(nèi)部時和當(dāng)球心在棱錐外部時

20、，建立方程求得外接球的半徑可得選項【解析】如圖，由正方體的對稱性，可知當(dāng)截面為正六邊形時，截面面積最大，此時正六邊形的邊長為，設(shè)交截面于，則為的中點，所以，設(shè)正六棱錐外接球的球心為，外接球半徑為，當(dāng)球心在棱錐內(nèi)部時，有，解得，外接球面積為；若球心在棱錐外部時，有，解得（舍去）以為頂點的錐體的外接球的表面積為故選B【點睛】方法點睛：求解幾何體外接球半徑的思路是依據(jù)球的截面的性質(zhì)：利用球的半徑截面圓的半徑及球心到截面的距離三者的關(guān)系求解，其中確定球心的位置是關(guān)鍵16（浙江省寧海中學(xué)高三月考）如圖，矩形中，點在，上，滿足，將沿向上翻折至，使得在平面上的射影落在的重心處，設(shè)二面角的大小為，直線，與平面

21、所成角分別為，則（ ）ABCD【答案】A【分析】作的中垂線，根據(jù)幾何關(guān)系得知點落在左邊，故可得，則問題可解【解析】作的中垂線，中點為，取中點，故在上，作交于，連接，如圖所示：因為，可知點在左邊，則，由圖可知，故易知 ，由于所以，則故選A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于根據(jù)幾何圖形關(guān)系判斷17（河南高三一模（理）如圖，在棱長為1正方體中，為棱的中點，動點在側(cè)面及其邊界上運動，總有，則動點的軌跡的長度為（ ）ABCD【答案】A【分析】分別取、的中點、，連，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)可證動點的軌跡是線段，求出的長度即可得解【解析】如圖：分別取、的中點、，連，因為為的中點，為的中點，為正方形，所以

22、，又平面，所以，而，所以平面，所以，同理可得，又，所以平面，因為平面，所以，因為動點在側(cè)面及其邊界上運動，所以動點的軌跡是線段，而，所以動點的軌跡的長度為故選A【點睛】關(guān)鍵點點睛：作出并證明動點的軌跡是本題解題關(guān)鍵，分別取、的中點、，連，則線段即為動點的軌跡，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)即可得證18（江蘇徐州市·高三二模）“帷幄”是古代打仗必備的帳篷，又稱“幄帳”如圖是一種幄帳示意圖，帳頂采用“五脊四坡式”，四條斜脊的長度相等，一條正脊平行于底面若各斜坡面與底面所成二面角的正切值均為，底面矩形的長與寬之比為，則正脊與斜脊長度的比值為（ ）ABCD1【答案】B【分析】取幄帳頂部，如圖幾

23、何體，作平面，垂足為，則到邊的距離相等，作于，于，得是二面角的平面角，是二面角的平面角，因此有，設(shè)，用表示出，即可得比值【解析】取幄帳頂部，如圖幾何體，作平面，垂足為，則到邊的距離相等，由平面，平面，得，同理作于，于，因為，平面，所以平面，而平面，所以，所以是二面角的平面角，同理是二面角的平面角，由已知，由，設(shè)，則，所以，由得，則，由上知是正方形，所以故選B【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查由二面角計算線段長，考查學(xué)生的空間想象能力解題是作出各斜坡面與底面所成二面角的平面角，利用它們的正切值均為，并設(shè)出底面矩形邊長后，用底面矩形邊長表示出正脊與斜脊的長度，從而得比值19（浙江名校協(xié)作體聯(lián)考）在矩形中

24、，E、F分別為邊、上的點，且，現(xiàn)將沿直線折成，使得點在平面上的射影在四邊形內(nèi)（不含邊界），設(shè)二面角的大小為，直線與平面所成的角為，直線與直線所成角為，則（ ）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)題意作出相應(yīng)的二面角，線面角，線線角，結(jié)合點在平面上的射影求解【解析】過A作的垂線，分別交，于M，G，N，如圖，顯然因為，所以直線與所成角即為當(dāng)在平面上的射影為G時，平面，此時于是當(dāng)在平面上的射影在線段上時，所以由于，進(jìn)而得，因為是在平面上的射影，所以由線面角最小性知，即再由二面角的最大性知故選D【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)二面角平面角、線面角、異面直線所成的的角的定義，分別在圖形中作出或找到是解題的關(guān)鍵，再根據(jù)

25、位置分析角的變化范圍即可比較大小20（河南高考適應(yīng)性考試（理）棱長為的正方體密閉容器內(nèi)有一個半徑為的小球，小球可在正方體容器內(nèi)任意運動，則其不能到達(dá)的空間的體積為（ ）ABCD【答案】A【分析】由題可得小球在八個角不能到達(dá)的空間相當(dāng)于邊長為2的正方體中間挖掉一個半徑為1的球的剩余部分，小球在12條邊活動不到的空間相當(dāng)于高為2，底面積為4的正四棱柱中間挖掉底面積為，高為2的圓柱剩下的部分，且有3個，由此可計算出體積【解析】由題可得小球在八個角不能到達(dá)的空間相當(dāng)于邊長為2的正方體中間挖掉一個半徑為1的球的剩余部分，其體積為，小球在12條邊活動不到的空間相當(dāng)于高為2，底面積為4的正四棱柱中間挖掉底面

26、積為，高為2的圓柱剩下的部分，且有3個，則其體積為，則小球不能到達(dá)的空間的體積為故選A【點睛】本題考查幾何體體積的計算，解題的關(guān)鍵是得出小球在運動中不能到達(dá)的空間的結(jié)構(gòu)特點21（遼寧高三一模（理）球面上兩點之間的最短連線的長度，就是經(jīng)過這兩個點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度（大圓就是經(jīng)過球心的平面截球面所得的圓），我們把這個弧長叫做兩點的球面距離已知正的項點都在半徑為的球面上，球心到所在平面距離為，則、兩點間的球面距離為（ ）ABCD【答案】C【分析】設(shè)球心為點，計算出，利用扇形弧長公式可求得結(jié)果【解析】設(shè)球心為點，平面截球所得截面圓的半徑為，由正弦定理可得，又，所以，為等邊三角形，則，因此

27、，、兩點間的球面距離為故選C【點睛】思路點睛：求球面距離，關(guān)鍵就是要求出球面上兩點與球心所形成的角，結(jié)合扇形的弧長公式求解，同時在計算球的截面圓半徑時，利用公式（其中為截面圓的半徑，為球的半徑，為球心到截面的距離）來計算22（湖北武漢市·高三月考）某圓錐母線長為2，底面半徑為，則過該圓錐頂點的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為（）A2BCD1【答案】A【分析】如圖截面為，P為MN的中點，設(shè)，進(jìn)而可得面積最大值【解析】如圖所示，截面為，P為MN的中點，設(shè)，當(dāng)時，此時截面面積最大，故選A【點睛】易錯點睛：先求出面積的函數(shù)表達(dá)式進(jìn)而判斷最大值，本題容易誤認(rèn)為垂直于底面的截面面積最大23（全

28、國高三月考（理）在棱長為的正四面體中，點，分別為直線，上的動點，點為中點，為正四面體中心（滿足），若，則長度為（ ）ABCD【答案】A【分析】將正四面體放在棱長為4的正方體中， 設(shè)分別是的中點， 連接，設(shè)的中點為，連接，結(jié)合勾股定理和中位線定理可得，由線面垂直的判定定理可得平面，從而證明是直角三角形，結(jié)合勾股定理即可求出【解析】將正四面體放在棱長為4的正方體中，則，為正方體的中心，設(shè)分別是的中點，則是的中點，連接，設(shè)的中點為，連接，因為是的中位線，所以，同理，因為，所以，所以，即，則，所以，因為，所以，因為，所以平面，所以，在中，故選A【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理和線面垂直的性質(zhì)，考查

29、空間思維能力與邏輯推理能力，是中檔題解題的關(guān)鍵是將幾何體放入正方體中便于分析垂直關(guān)系24（湖南長沙市·長郡中學(xué)高三月考）如圖，已知正四棱柱的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，點分別在半圓弧，(均不含端點)上，且，在球上，則（ ）A當(dāng)點在的三等分點處，球O的表面積為B當(dāng)點在的中點處，過，三點的平面截正四棱柱所得的截面的形狀都是四邊形C球的表面積的取值范圍為D當(dāng)點在的中點處，三棱錐的體積為定值【答案】D【分析】取中點，中點，中點，根據(jù)題意得球心在線段上，設(shè)，設(shè)，根據(jù)，得，進(jìn)而得，即可得C選項錯誤；當(dāng)點在的三等分點處，進(jìn)而根據(jù)上述運算即可得A選項錯誤；對于B選項，當(dāng)點在的上時，可知其截面為五邊形，

30、故錯誤；對于D選項，根據(jù)等體積法求解即可【解析】如圖1，取中點，中點，中點，根據(jù)題意，球心在線段上，設(shè)，則由余弦定理，設(shè)，則，因為（為球的半徑），所以，所以，所以球的表面積為，故C選項錯誤，當(dāng)點在的三等分點處，則，所以，所以球的表面積為，故A選項錯誤；對于B選項，取中點，當(dāng)點在的上時，連接，在平面中過點作的平行線，與線段分別交于，延長與相交，連接交點與點交于，此時，當(dāng)點在的中點處，過，三點的平面截正四棱柱所得的截面為五邊形，故B選項錯誤；對于D選項，當(dāng)點在的中點處，三棱錐的體積為，為定值，故D選項正確，故選D【點睛】本題考查空間幾何體的外接球，直棱柱的截面圖形，幾何體的體積等，考查空間思維能力

31、，運算求解能力，突出學(xué)生對知識的應(yīng)用能力考查，是中檔題本題解題的關(guān)鍵在于幾何體的外接球的半徑的討論，通過設(shè)元，將半徑表示為進(jìn)而求解25（河南高三一模（理）在三棱錐中，則該三棱錐的內(nèi)切球的表面積為（ ）ABCD【答案】A【分析】將該三棱錐還原到長方體中，根據(jù)已知求出長寬高，求出三棱錐體積，再利用內(nèi)切球的半徑表示出體積，即可求出半徑，得出表面積【解析】由題可將該三棱錐還原到如圖長方體中，設(shè)長方體的長寬高分別為，則，解得，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則，則，解得，則內(nèi)切球的表面積為，故選A【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查幾何體的內(nèi)切問題，解題的關(guān)鍵是將幾何體還原到長方體中，立體等體積關(guān)系求出內(nèi)切球半徑26（百校聯(lián)盟

32、質(zhì)檢（理）已知四棱錐中，平面，四邊形為正方形，平面過，的中點，則平面截四棱錐所得的截面面積為（ ）ABCD【答案】A【分析】順次連接E，F(xiàn)，G，H，I，則平面EFGHI即為過E，F(xiàn)，H的平面截四棱錐P-ABCD所得截面，求其面積，可得答案【解析】分別取，的中點，線段上靠近的四等分點，連接，因為，所以，四邊形是平行四邊形，即四點共面，設(shè)中點為，易得，故，所以五點共面，則平面即為平面，如圖，在中，可得，所以，在等腰三角形中，所以高為，故所求截面面積為矩形面積與三角形面積之和，故選A【點睛】關(guān)鍵點點睛：分別取，的中點，線段上靠近的四等分點作出并證明平面即為平面是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題27（河南金太陽

33、3月聯(lián)考（理）在正四棱錐中，若四棱錐的體積為，則該四棱錐外接球的體積為（ ）ABCD【答案】A【分析】如圖，作平面，垂足為連接，設(shè)，根據(jù)四棱錐的體積為求出，再求出正四棱錐外接球的半徑，即得解【解析】如圖，作平面，垂足為連接，則為的中點設(shè)，則，從而，故四棱錐的體積為，解得由題意可知正四棱錐外接球的球心在上，連接設(shè)正四棱錐外接球的半徑為，則，解得，故該四棱錐外接球的體積為，故選A【點睛】方法點睛：幾何體的外接球問題求解常用的方法有：（1）觀察法（直接觀察找到球心求出球的半徑再求解）；（2）模型法（把幾何體放到特殊幾何模型中求出外接球的半徑再求解）；（3）解三角形法（通過已知找到關(guān)于外接球半徑的方程

34、求出再求解）28（超級全能生1月聯(lián)考（理）已知三棱錐中，是等腰直角三角形，三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為（ ）ABCD【答案】D【分析】設(shè)在平面的投影為，過點作的垂線，垂足為，根據(jù)錐體的體積求出，又，可得，球心在過點且垂直面的直線上，設(shè)圓心為，半徑為，建立空間直角坐標(biāo)系，求出球心坐標(biāo)，即可得解；【解析】設(shè)在平面的投影為，過點作的垂線，垂足為，因為是等腰直角三角形，且，所以，因為三棱錐的體積為，所以，因為，所以在上，所以，所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，因為為等腰直角三角形，故外接圓的圓心在的中點，即點，則球心在過點且垂直面的直線上，設(shè)圓心為，半徑為，則，則，所以，解得，所以球心坐標(biāo)

35、為，所以半徑，所以，故選D【點睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑29（貴州新高考聯(lián)盟質(zhì)檢（理）在直三棱柱中，則該三棱柱內(nèi)能放置的最大球的表面積是（ ）ABCD【答案】A【分析】先由題意可得球的半徑為底面三角形內(nèi)切圓的半徑，易得，又，可得該三棱柱內(nèi)能放置的最大球半徑為2，最后由球的表面積計算公式計算即可【解析】由題意，球的半徑為底面三角形內(nèi)切圓的半徑，底面

36、三角形的邊長分別為6、8、10，底面三角形為直角三角形，又，該三棱柱內(nèi)能放置的最大球半徑為2，此時故選A【點睛】關(guān)鍵點睛：解題關(guān)鍵是得出所求球的半徑為直三棱柱底面三角形內(nèi)切圓的半徑，繼而進(jìn)行分析計算二、多選題30（山東德州市·高三一模）如圖，在邊長為4的正方形中，點、分別在邊、上（不含端點）且，將，分別沿，折起，使、兩點重合于點，則下列結(jié)論正確的有（ ）AB當(dāng)時，三棱錐的外接球體積為C當(dāng)時，三棱錐的體積為D當(dāng)時，點到平面的距離為【答案】ACD【分析】A選項：證明面，得；B選項：當(dāng)時，三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，利用分隔補形法求三棱錐的外接球體積；C選項：利用等體積法求三棱錐的體積；

37、D選項：利用等體積法求出點到平面的距離【解析】A選項：正方形由折疊的性質(zhì)可知：又面又面，；故A正確B選項：當(dāng)時，在中，則由A選項可知，三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，把三棱錐放置在長方體中，可得長方體的對角線長為，三棱錐的外接球半徑為，體積為，故B錯誤C選項：當(dāng)時，在中，則故C正確；D選項：設(shè)點到平面的距離為，則在中，則即故D正確；故選ACD【點睛】方法點睛：求三棱錐的體積時要注意三棱錐的每個面都可以作為底面，例如三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，我們就選擇其中的一個側(cè)面作為底面，另一條側(cè)棱作為高來求體積31（湖北九師聯(lián)盟3月聯(lián)考）如圖，在棱長為6的正方體中，為棱上一點，且為棱的中點，點是線段上的動點，

38、則（ ）A無論點在線段上如何移動，都有B四面體的體積為24C直線與所成角的余弦值為D直線與平面所成最大角的余弦值為【答案】ABD【分析】根據(jù)面判斷A；利用“等積變換”求出體積判斷B；求出直線與所成角的余弦值判斷C；根據(jù)當(dāng)點移動到的中點時最大可判斷D【解析】在正方體中，易證面又平面所以則A正確；則B正確；在棱上取點使，連結(jié)如圖則易知為直線與所成角或其補角，可得則則直線與所成角的余弦值為則C錯誤；由題意知三棱錐為棱長為的正四面體，作平面為垂足，則為正的中心，且為直線與平面所成角，所以當(dāng)點移動到的中點時最短，如圖，此時最小，最大，此時則D正確故選ABD【點睛】本題通過對多個命題真假的判斷，綜合考查空

39、間線面垂直證明線線垂直、異面直線成的角、直線與平面成的角，屬于難題這種題型綜合性較強，也是高考的命題熱點，同學(xué)們往往因為某一處知識點掌握不好而導(dǎo)致“全盤皆輸”，因此做這類題目更要細(xì)心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，另外，要注意從簡單的自己已經(jīng)掌握的知識點入手，然后集中精力突破較難的命題32（江蘇南通市·高三期末）如圖，在棱長為1的正方體中，P為線段上一動點（包括端點），則以下結(jié)論正確的有（ ）A三棱錐的體積為定值B過點P平行于平面的平面被正方體截得的多邊形的面積為C直線與平面所成角的正弦值的范圍為D當(dāng)點P與重合時，三棱錐的外接球的體積為【答案】BCD【分析】由，可判定A不正確；

40、根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)，得出截面為正，可判定B正確；由正方體的結(jié)構(gòu)特征和性質(zhì)，以及線面角的定義與求法，可判定C正確； 設(shè)的中點為，得到 得出三棱錐的外接球的的半徑，結(jié)合體積公式，可判定D正確【解析】對于A中，由，所以A不正確；對于B中，過點P平行于平面的平面被正方體截得的多邊形平面，此時三角形為邊長為的等邊三角形，其面積為，所以B正確；對于C中，由正方體的結(jié)構(gòu)特征和性質(zhì)，可得點P到平面的距離為，當(dāng)點P在線段上運動時，（P為端點時），設(shè)直線與平面所成角為，則，所以C正確；對于D中，當(dāng)點P與重合時，此時三棱錐為，設(shè)的中點為，因為，可得 所以三棱錐的外接球的球心為的中點，其半徑為，所以三棱錐的外接球的體積

41、為，所以D正確故選BCD【點睛】（1）對于三棱錐體積的求解可采用等體積法求解，通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決錐體的體積，特別時三棱錐的體積（2）對于線面角的計算問題可以通過根據(jù)直線與平面所成角的定義，結(jié)合垂線段與斜線段的長度比求得線面角的正弦值；（3）對于球的組合體問題：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑33（濟南市·山東省實驗中學(xué)高三月考）正方體中，E是棱的中點，F(xiàn)在側(cè)面上運動，且滿足平面以下命題正確的有（ ）A側(cè)面上存在點F，使得B直線與直線所成角可能為C平面與平面所成銳二面角的正切值為D設(shè)正方體棱長為1

42、，則過點E，F(xiàn)，A的平面截正方體所得的截面面積最大為【答案】AC【分析】取中點M，中點N，連接，易證得平面平面，可得點F的運動軌跡為線段取的中點F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，即有，A正確；當(dāng)點F與點M或點N重合時，直線與直線所成角最大，可判斷B錯誤；根據(jù)平面平面，即為平面與平面所成的銳二面角，計算可知C正確；【解析】取中點M，中點N，連接，則易證得，從而平面平面，所以點F的運動軌跡為線段取的中點F，因為是等腰三角形，所以，又因為，所以，故A正確；設(shè)正方體的棱長為a，當(dāng)點F與點M或點N重合時，直線與直線所成角最大，此時，所以B錯誤；平面平面，取F為的中點，則，即為平面與平面所成的銳二面角，所以C正

43、確；因為當(dāng)F為與的交點時，截面為菱形（為的交點），面積為，故D錯誤故選AC【點睛】本題主要考查線面角，二面角，截面面積的求解，空間幾何中的軌跡問題，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和數(shù)學(xué)運算能力，綜合性較強，屬于較難題34（山東泰安市·高三月考）如圖，點是正四面體底面的中心，過點的直線交，于點，是棱上的點，平面與棱的延長線相交于點，與棱的延長線相交于點，則（ ）A若平面，則B存在點S與直線MN，使平面C存在點與直線，使D是常數(shù)【答案】ABD【分析】對于選項A，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，進(jìn)行推理判斷即可；對于選項B，當(dāng)直線平行于直線， 時，通過線面垂直的判定定理，證明此時平面，即可證明，存在點

44、S與直線MN，使平面；對于選項C，假設(shè)存在點與直線，使，利用線面垂直的判定定理可證得平面，此時通過反證法說明矛盾性，即可判斷；對于選項D，利用，即可求得是常數(shù)【解析】對于選項A，若平面，平面與棱的延長線相交于點，與棱的延長線相交于點，平面平面，又平面，平面，點在面上，過點的直線交，于點，平面，又平面，平面平面，故A正確；對于選項B，當(dāng)直線平行于直線，為線段上靠近的三等分點，即，此時平面，以下給出證明：在正四面體中，設(shè)各棱長為，均為正三角形，點為的中心，由正三角形中的性質(zhì)，易得，在中，由余弦定理得，則，同理，又，平面，平面，平面，存在點S與直線MN，使平面，故B正確；對于選項C，假設(shè)存在點與直線

45、，使，設(shè)中點為，則，即，又易知與為相交直線，與均在平面上，平面，即平面，與正四面體相矛盾，所以假設(shè)不成立，故C錯誤；對于選項D，易知點到面，面，面的距離相等，記為，記與平面所處角的平面角為，為常數(shù)，則也為常數(shù)，則點到的距離為，又 ，又，為常數(shù)，故D正確故選ABD【點睛】本題考查了線面平行的性質(zhì)定理、線面垂直的判定定理，考查了三棱錐體積的計算，考查了向量的運算，考查了轉(zhuǎn)化能力與探究能力，屬于較難題35（湖南岳陽市·高三一模）將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，點P為線段AD上的一動點，下列結(jié)論正確的是（ ）A異面直線AC與BD所成的角為60°B是等邊三角形C面

46、積的最小值為D四面體ABCD的外接球的表面積為8【答案】BCD【分析】取的中點，連接，利用等腰三角形三線合一，可得，從而可得，可判斷A；通過計算，可得為正三角形；由長為2，所以只需求出邊上高的最小值就是面積的最小值；由于，所以四面體的外接球的半徑為，從而可求出其表面積【解析】對于A，因為，所以平面，平面，所以，異面直線AC與BD所成的角為90°，不是60°，所以A錯；對于B，因為，所以，同理，所的是等邊三角形，所以B對；對于C，因為，所以要求面積的最小值，只須求BC邊上高的最小值，此最小值恰為異面直線AD與BC的距離，設(shè)為h，因為，平面，平面，所以平面，又因為平面，所以直線

47、AD到平面距離即為h，即點D到平面距離為h，因為，所以，解得，所以面積的最小值，所以C對；對于D，由于，所以四面體ABCD的外接球的球心為O，半徑為，所以表面積為，所以D對故選BCD【點睛】方法點睛：求外接球半徑的常用方法：（1）補形法：側(cè)面為直角三角形或正四面體或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ停梢赃€原到正方體或長方體中去求解；（2）利用球的性質(zhì)：幾何體在不同面均對直角的棱必然是球的直徑；（3）定義法：到各個頂點距離均相等的點為球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點距離也是半徑，列關(guān)系求解即可36（山東臨沂市·高三其他模擬）如圖，在正方形中，點為

48、線段上的動點(不含端點)，將沿翻折，使得二面角為直二面角，得到圖所示的四棱錐，點為線段上的動點(不含端點)，則在四棱錐中，下列說法正確的有（ ）A四點不共面B存在點，使得平面平面C三棱錐的體積為定值D存在點使得直線與直線垂直【答案】AB【分析】假設(shè)直線與直線在同一平面上，所以在平面上，得出與重合，進(jìn)而得到四點不共面，可判定正確；當(dāng)點為線段中點時，得到，取的中點，證得四邊形為平行四邊形，可判定正確；根據(jù)的移動會導(dǎo)致點到平面的距離在變化，可判定不正確；先證得，得出與重合，可判定D不正確【解析】對于A中，假設(shè)直線與直線在同一平面上，所以在平面上，又因為在線段上，平面，所以與重合，與異于矛盾，所以直線

49、與直線必不在同一平面上，即四點不共面，故正確；對于B中，當(dāng)點為線段中點時， 可得，再取的中點，則且，四邊形為平行四邊形，所以，則直線與平面平行，故正確；對于C中，由題，但的移動會導(dǎo)致點到平面的距離在變化，所以的體積不是定值，故不正確；對于D中，過作于，因為平面平面，平面平面，所以平面過作于，因為平面平面，平面平面，所以平面，所以，若存在點使得直線與直線垂直，由平面平面，且平面，所以平面，所以與重合，與三角形是以為直角的三角形矛盾，所以不存在點使得直線與直線垂直，所以D不正確故選AB【點睛】解題方法點撥：（1）解答方法：一般時根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷

50、出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標(biāo)運算求出動點的軌跡方程；（2）對于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；（3）對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在37（山東日照市·高三一模）已知正方體的棱長為4，為的中點，為所在平面上一動點，則下列命題正確的是（ ）A若與平面所成的角為，則點的軌跡為圓B若，則的中點的軌跡所圍成圖形的面積為

51、C若點到直線與直線的距離相等，則點的軌跡為拋物線D若與所成的角為，則點的軌跡為雙曲線【答案】ACD【分析】對于A，根據(jù)正方體的性質(zhì)計算出，根據(jù)圓的定義可得答案；對于B，取的中點，根據(jù)，可得點的軌跡為圓，根據(jù)圓的面積公式計算可得結(jié)果；對于C，將點到直線轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)拋物線的定義可得結(jié)果；對于D，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式列式可解得結(jié)果【解析】如圖： 對于A，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，平面，所以為與平面所成的角，所以，所以，所以點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓；故A正確；對于B，在直角三角形中，取的中點，因為為的中點，所以，且，因為，所以，即點在過點且與垂直的平面內(nèi)，又，所以點的軌跡為以為半

52、徑的圓，其面積為，故B不正確；對于C，連接，因為平面，所以，所以點到直線的距離為，所以點到點的距離等于點到定直線的距離，又不在直線上，所以點的軌跡為以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線，故C正確；對于D，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，因為與所成的角為，所以，所以，整理得，所以點的軌跡為雙曲線，故D正確故選ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：D選項中，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式列式求解是解題關(guān)鍵38（廣東深圳市·高三一模）在空間直角坐標(biāo)系中，棱長為1的正四面體的頂點A，B分別為y軸和z軸上的動點（可與坐標(biāo)原點O重合），記正四面體在平面上的正投影圖形為S，則下列說法正確的有（

53、）A若平面，則S可能為正方形B若點A與坐標(biāo)原點O重合，則S的面積為C若，則S的面積不可能為D點D到坐標(biāo)原點O的距離不可能為【答案】ABD【分析】對于A，舉例說明可能性成立即可；對于B，當(dāng)點A與坐標(biāo)原點O重合時，到的距離均為，再利用正四面體兩個面所成二面角的正弦值為，從而可求出結(jié)果；對于C，當(dāng)位于軸上時，且且兩兩垂直，故把正四面體放入外接正方體中，從而可求得結(jié)果；對于D，由正四面體的性質(zhì)可知到的距離為，當(dāng)時，到的距離最大，進(jìn)而可求出的最大值【解析】對于A，如圖，當(dāng)B為時 ，正投影圖形為正方形，所以A正確；對于B，點A與坐標(biāo)原點O重合時，兩點已定，即在軸上，此時正四面體在空間中的形態(tài)已定，到的距離就是正三角形的高，均為，則正四面體在平面上的正投影圖形為以為腰，1為底的等腰三