二一般形式的柯西不等式

1、一、柯西不等式的簡(jiǎn)介1、柯西簡(jiǎn)介1柯西(Cauchy),法國(guó)數(shù)學(xué)家、力學(xué)家。是第一個(gè)認(rèn)識(shí)到無窮級(jí)數(shù)論并非多項(xiàng)式理論的平凡推廣而應(yīng)當(dāng)以極限為基礎(chǔ)建立其完整理論的數(shù)學(xué)家?？挛髟诖髮W(xué)期間，就開始研讀拉格朗日和拉普拉斯的著作?？挛髯钪匾臄?shù)學(xué)貢獻(xiàn)在微積分、復(fù)變函數(shù)和微分方程等方面。他提出的關(guān)于極限論”方法，把整個(gè)極限過程用不等式描述，后來經(jīng)過改進(jìn)形成的a-6方法一直沿用至今。止匕外，他還給出了如今通用的函數(shù)連續(xù)性概念，給出定積分的第一個(gè)確切性定義等。同時(shí)，柯西對(duì)力學(xué)和大文學(xué)，著作也非常豐富。共出版了7部著作和800多篇論文，以分析教程和關(guān)于定積分理論的報(bào)告最為著名?？挛骶哂袠O其崇高的學(xué)術(shù)價(jià)值。他是世界

2、著名數(shù)學(xué)家.是數(shù)學(xué)分析嚴(yán)格化的開拓者，復(fù)變函數(shù)論的奠基者，也是彈性力學(xué)理論基礎(chǔ)的建立者。他是僅次于歐拉的多產(chǎn)數(shù)學(xué)家。他的全集，包括789篇論著，多達(dá)24卷，其中有大量的開創(chuàng)性工作。舉世公認(rèn)的事實(shí)是，即使過了將近兩個(gè)世紀(jì)后，柯西的工作和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的中心位置仍然非常接近。他引進(jìn)的方法，以及獨(dú)一無二的創(chuàng)造力，開創(chuàng)了近代數(shù)學(xué)嚴(yán)密性的新紀(jì)元。本文所要研究的柯西不等式就是柯西(Cauchy)在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時(shí)得到的一個(gè)重要不等式?？挛鞑坏仁降男问蕉喾N多樣，證明方法很多，并且應(yīng)用廣泛，值得研究。2、柯西不等式及其推論2.1 一般形式的柯西不等式柯西不等式是數(shù)學(xué)中基本而且重要的不等式。在推廣新課標(biāo)

3、理念下，人教版選彳4-5不等式選講將柯西不等式納入了選修課程系統(tǒng)中。其表達(dá)形式為：定理：設(shè)a1,a2,langb,ibn是實(shí)數(shù)，則Q：+a22+.+an2h2+b22+bn2)之(a1bl+a2b2+anbn2,當(dāng)且僅當(dāng)bi=0(或ai=0或aibi=0li=1,2,3.,n)或存在一個(gè)數(shù)k使得ai=kb(i=1,2,3.,n)時(shí)等號(hào)成立。以上不等式稱為一般形式的柯西(Cauchy)不等式。分析：1.在柯西不等式中，為了書寫比較方便一般寫為£ajfbi2>(Zabi)2o2 .在柯西不等式中，因?yàn)楫?dāng)bi=0(i=1,2,3.,n)時(shí)顯然等號(hào)成立，當(dāng)bi#0(i=1,2,3.,n

4、)時(shí)，我們也可將條件句=kbi(i=1,2,3.,n)寫成分式的形式曳=竺一.=三(i=1,2,3.,n)。等號(hào)成立是柯西不等式中一個(gè)非常重要的部分，b1b2bi因此對(duì)等式成立的條件要分析透徹。3 .柯西不等式形式優(yōu)美并且具有非常重要的應(yīng)用價(jià)值，在不等式證明及數(shù)學(xué)競(jìng)賽解題中應(yīng)用廣泛。這個(gè)不等式限制條件少，ai,bi(i=1,2,3.n)可以為任意實(shí)數(shù)，并且其低維形式(二維形式、三維形式)在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用較多。此外，還有幾種比較常用的柯西不等式形式。二維形式：若a,b,c,d都是實(shí)數(shù),則(a2+b2b2+d2巨(ac十bd:當(dāng)且僅當(dāng)ad=cb時(shí)，等號(hào)成立。三維形式：若a1,a2,an；Db,bn

5、是實(shí)數(shù),其中i=1,2,3,則2222222(aa2a3)bib2b3廣匕a2b2a3b3當(dāng)且僅當(dāng)bi=0(i=1,2,3)或包=空=0(>#0其中i=1,2,3)時(shí)等號(hào)成立。b1b2b3向量形式：設(shè)P是兩個(gè)向量，則.制斗叫耳。當(dāng)且僅當(dāng)P是零向量，或存在實(shí)數(shù)k使得«=kP時(shí)等號(hào)成立。二維形式的三角不等式：設(shè)*1,*2,乂，丫2wR,那么Jx：+y：+&2+y22至4(x1X2)2+(y1y2)2成立。在高中教材中，先是給出我們二維形式的柯西不等式，然后才歸納出一般形式的柯西不等式的。教材要求我們不僅要掌握柯西不等式，而且還有領(lǐng)略這些不等式(尤其是二(三)維形式的柯西不等

6、式)的數(shù)學(xué)意義、幾何背景、證明方法及其應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)的美妙，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)興趣。下面在證明了一般形式的柯西不等式后，還會(huì)進(jìn)一步對(duì)二維形式的柯西不等式作進(jìn)一步分析。二維形式的三角不等式是根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式以及三角形三邊的關(guān)系得到的。是從幾何角度解釋了柯西不等式，同時(shí)也能夠用柯西不等式進(jìn)行證明。2.2常用柯西不等式推論2柯西不等式是數(shù)學(xué)中的一個(gè)非常重要的不等式，它的結(jié)構(gòu)對(duì)稱和諧，具有極強(qiáng)的應(yīng)用性，證明簡(jiǎn)潔，深受人們的喜愛。因此，本文將此定理作進(jìn)一步剖析，參考大量的資料總結(jié)出高中常用的幾種推論，不管是解題上還是在數(shù)學(xué)思想上對(duì)我們都會(huì)有所裨益。1r'n:nn推論一：對(duì)任意的兩組實(shí)數(shù)a

7、i、b(i=1,2,.,n),有a形bi2>Zaib當(dāng)且僅當(dāng)bi=0砧ai=0或aib=01=1,2,3.,n)或存在一個(gè)數(shù)k使得ai=kbi(i=1,2,3.,n)時(shí)等號(hào)成立。推論二：設(shè)aiwR,bi>0(i=1,2,3(1<i<n)等號(hào)成立。nn2(-.ai)n),則工二之ybiqbi1當(dāng)且僅當(dāng)bi=冏推論三：設(shè)ajbi同號(hào)且不為0(i=1,2,3.nnn(二ai)aii1niTbi"aibii1當(dāng)且僅當(dāng)b1=b2=b3=.=bn°2推論四：一+之n(aiwR：i=1,2,3，n).aa2a3anaa2.an推論五：設(shè)aiwR,有n(a12+a2

8、2+a32+.+an2觸(a1+a2+a3+.+an)2.注：1、在上面此種形式也可以寫成'ai<aibibin>(工ai)2。在解題時(shí)可以根據(jù)情i1況選擇不同的形式。2、為方便書寫，推論四也可寫成Z1_ai(ai乏R：i=1,2,3,.,n),推論四也可寫成n£a：之a(chǎn)/3wR+,i=1,2,3,.,n)因?yàn)檫@5個(gè)推論，均可通過柯西不等式證明，下面我們只做簡(jiǎn)單分析。對(duì)于推論一，只是柯西不等式的一個(gè)變形，不等式兩邊開方得到的一個(gè)比較常用的不等式。對(duì)于推論二和推論三類似，現(xiàn)以推論三為例。作這樣一個(gè)變形：nannnna工Zbi>(Eai)2(因?yàn)閎i>0(

9、i=1,2,3.n),而(£a)2=(£)2,因此可i4bii4i=1i=4i=1bi得到推論二(推論三)。對(duì)于推論四：由柯西不等式得：nnnZXai>(Z-=v,a")2,wR+,i=1,2,3.,n).imaiimi3.Hj一n1而(£-=yaj=n2,由此得證。y.ai對(duì)于推論五：可將式子看成222222222(111.1)aa2a3.an廣ea?a3.an.n很明顯，可以直接用柯西不等式證明。3、柯西不等式的證明證明柯西不等式的方法有很多種，為符合高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系以及新課標(biāo)的要求，提高學(xué)生的解題能力和思維方式，本文將給出以下幾種證明方法。當(dāng)

10、匕=0(或ai=0或aibi=0j(i=1,2,3.,n區(qū)寸，顯然柯西不等式是成立的。因此下面的證明均不考慮這種情況。1)、用直接法證明：用直接法就是直接從表達(dá)式入手，觀察有何特點(diǎn)。一般可以通過移項(xiàng)變形，讓不等式包與一個(gè)常數(shù)比較(如與“1或0”比較)。在這我們采用將右邊的式子除到左邊(即與“1”比較)，此時(shí)就比較好證了。22不妨設(shè)Aai,B=2h,C=Eah,其中(i=1,2,3.,n),即證明此式AB主C2成立。AB/1C22_%aiB%bii4i4一2,C2B（此時(shí)將B,C看成常數(shù)即可變成下式）nai2Bnbi2='、三Wi4Ci-4B22naiBbi="(3-)i4C2

11、B（利用均值不等式可變成下式）22aiBbiC2Bnaibi=2-i=2yC因此有ABABr+1之2,IP->C2C2即“.a2iZbi（Zaibi）2其中。=1,2,3.,n欣立?？挛鞑坏仁降靡宰C明。2）、用數(shù)學(xué)歸納法證明3:當(dāng)n=1時(shí)，不等式左邊=a12bl2,不等式右邊=（a1b1）2,顯然有a2b：=（ah）2,故不等式成立。當(dāng)n=2時(shí)，不等式左邊=(a12+a22)b|2+b22),2,2222222二abab2a?ba?b?,、22-(aQ)Zaha2b2(a2b2)=91"+a2b2)2=不等式右邊。故不等式成立。當(dāng)且僅當(dāng)a2b1=a1b2,即曳="時(shí)等

12、號(hào)成立。b1b2假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立。即：(a/+a22+.+ak2忖+b22+.+bk2泛(a1bl+a2b2+.+akbk)2222或"arbi,(-a,)2。=1,2,3.,k)當(dāng)且僅當(dāng)ai=kbdi=1,2,3.,k時(shí)等號(hào)成立。不妨設(shè)A=<a；B=<bi2C=<ai力那么當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式右邊=(a：+a22+.+aJ+ak書2lb：+b22+.+bk2+bk書2)222222二.AaBbkiABAb.iBakiak.1bk.1-C2Abk12222,Bak1.ak1bk1_2_/I.2.2（應(yīng)用推論一）-C+2JAB|ak4bk書+ak書bk書-C

13、+2|Cak由bk4+ak4bk書22=(Cak“bk1)=(aQa2b2a3b3ak。d)故當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立。綜上所述，得知柯西不等式成立。數(shù)學(xué)歸納法在高中數(shù)學(xué)是必須掌握的一種方法，在證明題中，其他方法都比較難想到的話，一般都可以用數(shù)學(xué)歸納法來解決。應(yīng)該說是一種比較受用的一種方法。因此選擇數(shù)學(xué)歸納法來證明柯西不等式，讓學(xué)生在明白如何證明的同時(shí)又重溫了數(shù)學(xué)歸納法這種數(shù)學(xué)方法。3）、用向量法證明18:設(shè)a=仁1色仔3,.冏）B=（b1，b2,b3,.,bn盧Rn,其中a1，a?,.,an;b1，b2,.bn為任意兩組實(shí)數(shù)。由向量的長(zhǎng)度定義得W=qa12+a22+.+an2,耳=肛2丑2

14、2+.十bn2,根據(jù)向量?jī)?nèi)積的定義，可得a-P=|q|P|cos,其中8是a與P的夾角,其中aP=a1bl+a2b2+.+anbn.因?yàn)閏os。1,所以,耳工風(fēng)耳,因此（a12十a(chǎn)22十十a(chǎn)n2fc12+b22+bn2）至（a1bl+a2b2+anbnf成立。體會(huì)：這種方法比較容易理解，主要根據(jù)數(shù)量積的定義及余弦函數(shù)的取值范圍來證明的。可見，柯西不等式涉及范圍及其廣，也可以說明柯西不等式的應(yīng)用范圍非常廣，很多問題都可應(yīng)用到柯西不等式。4）、用二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望證明4:設(shè)二維離散隨機(jī)變量二州的分布律分別為匕a1a2anp1/n1fn1nnb1b2bnP1/n1/n1n則由隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望公

15、式得ncE一aini41nE="aibin又因?yàn)镋(W/<E"2E"2,1n2所以(-Saibi)2nynnn即(Eaibi)2<(工a；)bi2),柯西不等式得以證明4i1i1i1體會(huì)：用數(shù)學(xué)期望來證明柯西不等式是一種比較新穎的做法，既能證明不等式，還加強(qiáng)了我們對(duì)隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望之間的運(yùn)算。將高中概率聯(lián)系在一起，是新課改的一個(gè)重要方向，又是高考中的一新熱點(diǎn)。我們要想證明柯西不等式，可以考。慮作差，即證明：-aibiy-0j1nn工aibnn工aibiiZajbja人jTnn22二aibjnni3jW-ahajbji丑j丑nn'、2i£

16、;j£2aibnn2x-x-22jajbiiTj£nn一2二二aibjajb)iWjTnn1一.2222二-aibj-2aibjajbiajbi2iTjT2aibj-ajbi-02-Caibi)22I_2一I_2_.2因此得證:Za,IZbj-aa,bi|20。即£ai£bk-人jg)I)a：a；當(dāng)且僅當(dāng)a,bj-ajbi=0(i,j=1,2,3，,n)時(shí)，即曳=_L(i,j=1,2,3,.,n)時(shí)等號(hào)成立。bibj體會(huì)：用作差法證明比較簡(jiǎn)單，就是兩式作差變形，作差后，通過配方、變形等手段進(jìn)行化簡(jiǎn)，最終利用平方式的非負(fù)性來證明作式子與0的大小關(guān)系。作差法

17、證明不等式是一種非常有效的方法，目標(biāo)明確。此種方法容易理解，較為常用。也可以用作商法來證明柯西不等式，在這里就不作證明了，判斷時(shí)只需與“1”進(jìn)行比較。這里可以參考文獻(xiàn)3。5)、用構(gòu)造二次函數(shù)法(判別式法)證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=(a1x+b1f+(a2x+b22+(anx+bn)2=a2a；THanx22a1bla2b2IHanbnx。2b；川b：2222由于aa2a3.an0因此f(x)A0恒成立，需AW0,即：=4(a1bl+a2b2+a3bs+.+anbnf-4a：a22a32.an2t12b22b32.bn20.即是(a12+a22+.+an2lb：+b22+.+bn2)>(a1

18、b1+a2b2+.+anbn)2當(dāng)且僅當(dāng)aix+bj=0(i=1,2,3.,n),即曳=阻=.=包時(shí)等號(hào)成立。b1b2bn體會(huì)：，這種方法是通過判別式AW0來解決的。先根據(jù)平方式具有非負(fù)性，然后利用二次函數(shù)恒小于零。這種在高中數(shù)學(xué)解題中是經(jīng)常用到的，歸納這種的原因有兩個(gè)。第一，熟悉解題方法；第二，一些著名數(shù)學(xué)定理也是通過我們熟悉的方法來證明的，因此我們要大膽的用簡(jiǎn)單的方法去研究一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。6)、用線性相關(guān)證明：設(shè)Rn為向量空間(n維空間)。若設(shè)a=(a但自,.,an)B=(b也他,.,3盧Rn,在n為歐式空間里，對(duì)于任意的2向量a、P,有不等式P)。,叼文日)，當(dāng)且僅當(dāng)a與P線性相關(guān)時(shí)

19、，等號(hào)成立，根據(jù)向量?jī)?nèi)積的定義可知：222.2.2.22(a1+a2+.+an21+b2+.+bnQ(a1bl+a2b2+.+anbn)成立。當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)，d與P線性相關(guān)，即存在實(shí)數(shù)k,1,使得kot+p=0。有=九"或ot=RP,(其中九=*=)，即有的=曳.=成立。kb1b2bn故柯西不等式得以證明。7)、用構(gòu)造數(shù)列來證明14:證明：構(gòu)造這樣的數(shù)列：Sn)2222222Sn=aibia2b2anbn)一向a?.an口b2bn則有Sni-Sn2222.2.2.2Fab1a2b2.anbnanibni-aia2.an1bb2.bni2222.2.2.2-a1bla2b2.anbnj-

20、la1a2.anb1b2.bn222.2.2.2.222anibn1albia2b2.anbn-aa2.斗bi-bib2.bnani=kaibn由22aibian書bn書+(bian+2"+«anbn由22anbnan書bn書十(bnan書)2»變形整理可得：Sn+-Sn=Qibn書一“204+燈書一bz14f+十。書-02口J因此Sn+-Sn0(nWN)。所以數(shù)列Vn單調(diào)減小，從而有對(duì)一切n>1,<Sn<Sn_i<.<Si=0o即，W0.故不等式成立。分析：這是結(jié)合數(shù)列來證明不等式的，關(guān)鍵是構(gòu)造了一個(gè)每項(xiàng)逐漸減小的數(shù)列，然后當(dāng)n趨于

21、無窮小的時(shí)候，肯定存在一項(xiàng)Si=0。即是有Sn<0.因此就可以證明柯西不等式。以上七種證明柯西不等式的方法是我查閱資料并加上自己的理解整理得到的，此外，還有很多證明柯西不等式的方法，在這里就不一一作介紹了。這充分體現(xiàn)了柯西不等式的重要性和證法的多樣性。因?yàn)楦咧薪滩闹薪o出了二維形式的柯西不等式，并且應(yīng)用的也比較多，下面我們分析二維形式的柯西不等式的數(shù)學(xué)意義、幾何背景及其證明方法。二維形式：若a,b,c,d者B是實(shí)數(shù)，則(a2+b2/c2+d2)之(ac+bdj當(dāng)且僅當(dāng)ad=cb時(shí)，等號(hào)成立。證明：a2b2c2d2=a2c2b2d2a2d2b2c2,a2c2b2d2a2d2b2c2=(acb

22、d)2(ad-bc)2,二(a2+b2c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2,又丁(ad-bc)2之0,因此(a2+b2Jc2+d2巨(ac+bdf成立。等號(hào)成立的條件，顯而易見當(dāng)ad-bc=0時(shí)，即a=£取等。bd首先，從形式上來看，不僅在排列形式上律明顯，具有簡(jiǎn)潔。對(duì)稱的美感；而且在數(shù)學(xué)和物理中也有重要作用。從數(shù)字上看，它反映了4個(gè)實(shí)數(shù)之間特定的數(shù)量關(guān)系。它是一般柯西不等式的最簡(jiǎn)單的形式，因此證明一般柯西不等式的證明方法二維的同樣能夠證明。上面是高中教材中的證明方法，比較簡(jiǎn)單。根據(jù)二維形式的不等式，我們還可以繼續(xù)變形得到下面的兩個(gè)式子。對(duì)于(a2+b2Kc2+d2縣(a

23、c+bd)2,可以得出.a2b2c2d2=a2b2c2d2至d（ac+bd2=ac+bd；當(dāng)且僅當(dāng)ac=bd（或a=£）時(shí)取得等號(hào)。bdVa2+b24c2+d2=a/+|b«|c|2+|d/(應(yīng)用兩次柯西不等式)之a(chǎn)c+|bd;當(dāng)且僅當(dāng)a=b,|c=d|時(shí)，取得等號(hào)。因此，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,c,d,都以下不等式成立:Ya2+b27c2+d2之a(chǎn)c+bdVa2+b2vc2+d2之a(chǎn)c+|bd。對(duì)于上面得到的兩個(gè)不等式結(jié)論，應(yīng)該掌握，在高中解題中經(jīng)常會(huì)用到。對(duì)于一個(gè)代數(shù)結(jié)果進(jìn)行最簡(jiǎn)單的詮釋，往往要借助直觀的幾何圖形，下面我們來看一下這個(gè)不等式的幾何意義。如圖1,設(shè)在平面直角坐

24、標(biāo)系中有向量OA=a=(a,b),OA=P=(c,d),兩個(gè)向的夾角為6,0<0<n。根據(jù)向量的數(shù)量積的定義，我們有afPcose.所以aP|=cc|P|cos0.因?yàn)閏os。，1,所以|a.耳«阿耳,用平面向量的坐標(biāo)表示不等式?？梢缘玫絘c+bd<va2+b2Jc2+d2.兩邊平方可得：(ac+bd)2<(a2+b2)(c2+d2)。即可得到二維形式的柯西不等式，由此可知，二維形式的柯西不等式是向量形式的不等式的坐標(biāo)表示。若向量5P中有零向量，則ac-bd=0,即可等號(hào)成立。若向量口，P都不是零向量，則當(dāng)gs耳=1,也即是向量P共線時(shí)(ot=kB,k#0),

25、等號(hào)成立。因此這就是二維形式的幾何意義，且我們也從中得到了它的向量形式，即口用E網(wǎng)用當(dāng)且僅當(dāng)a(或P)是零向量，或a=kB,k#0時(shí)，等號(hào)成立。以上就是柯西不等式的二維形式的幾何意義及其簡(jiǎn)單的理解。一個(gè)重要且基礎(chǔ)的不等式都會(huì)有很多推論和推廣的。因此，我們不僅要知道定理的內(nèi)容、證明方法，而且還要知道它的推論、推廣。更重要的是要知道如何運(yùn)用這些不等式?？挛鞑坏仁降倪\(yùn)用非常廣泛，下面就探討柯西不等式的幾類應(yīng)用。二、柯西不等式的應(yīng)用柯西不等式作為基礎(chǔ)而重要的不等式，其價(jià)值是不可估量的，它在解決一些實(shí)際問題或推導(dǎo)一些數(shù)學(xué)結(jié)論上非常的有用如果能靈活巧妙地運(yùn)用它，就可以使一些較為困難的問題迎刃而解，亦可使一

26、些復(fù)雜繁瑣的題目簡(jiǎn)單化，從而可以拓寬解題思路，節(jié)省解題時(shí)間，提高效率，尤其是在國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽上但是，柯西不等式的運(yùn)用非常靈活并且技巧性強(qiáng)，很多時(shí)候都找不到突破口，無法直接入手。因此，在應(yīng)用柯西不等式解題時(shí)，首先要分析其結(jié)構(gòu)，其次能創(chuàng)造條件靈活運(yùn)用柯西不等式。創(chuàng)造條件就是如何構(gòu)造柯西不等式中出現(xiàn)的兩個(gè)數(shù)組ai和bi(i=1,2,3,.n)。下面通過具體的例子介紹柯西不等式在以下幾類問題中的應(yīng)用，希望能對(duì)大家有所幫助1、在證明不等式中的應(yīng)用在證明不等式時(shí)，聯(lián)系經(jīng)典不等式，既可以啟發(fā)證明思路，又可以簡(jiǎn)化運(yùn)算,所以經(jīng)典不等式是數(shù)學(xué)研究的有力工具。作為經(jīng)典不等式的柯西不等式，在證明不等式成立時(shí)，方法簡(jiǎn)潔，

27、思路清晰。運(yùn)用柯西不等式證明某些不等式可以將看似無頭緒的難題不攻自破，清楚明了。下面針對(duì)例題進(jìn)行仔細(xì)分析。111例15已知a>b>c.,求證：+>0.a-bb-cc-a一1111n2證明：一一一(aiR,i=1,2,3.,n).aa2a3anaa2.an又abc.'a-b:>0,b-c>0,c-a>0滿足推論四中條件，_21124r之=a-bb-ca-bb-ca-c，一11_當(dāng)且僅當(dāng)一J=J,而a>b>c.因此等號(hào)不成立，a-b2b-c2111413c+>+=>0Oa-bb-cc-aa-cc-aa-c故不等式十十>0成立

28、。a-bb-cc-a分析：證明這一個(gè)問題比較簡(jiǎn)單，只需用推論四即可。在選擇應(yīng)用柯西不等式還是其推論時(shí)，一定要看清不等式的結(jié)構(gòu)，適合應(yīng)用哪個(gè)結(jié)論。在這個(gè)題里面我們一定要注意根據(jù)題的要求來使用柯西不等式及其推論。題中不等式有三個(gè)式子，而我們只對(duì)兩個(gè)式子用柯西不等式推論來放縮，原因很簡(jiǎn)單，如果全部放縮了的話，分母為0,是無意義的，因此在應(yīng)用過程中一定要注意式子是否有意義。例27設(shè)a,b,c亡R*,且a+b+c=1,求證：a2+b2+c2之9abc.證明：因?yàn)橐騛+b+c=1,此由柯西不等式可得:333a2+b2+c2=(a+b+c)(a2+b2+c2)之(aVa+bv'b+clc)2=(a2

29、+b2+c2)23333333又因?yàn)閍2+b2+c23Va2b2c2,33所以a233、+b2+c2,1333之3g護(hù)d=9abc成立。1一-一當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)取得等號(hào)。3分析：巧添因式就是在待證不等式的一邊或者在待求最值得代數(shù)式乘上或加上一個(gè)因式（數(shù)），使得它的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為柯西不等式（或它的推論）的結(jié)構(gòu)形式。從而實(shí)現(xiàn)應(yīng)用柯西不等式來解決問題。在應(yīng)用柯西不等式時(shí)我們經(jīng)常采用這種方法。這道證明題是在a+b+c=1為條件下來證明不等式成立的。在做這樣的題時(shí)，我們可以巧妙的運(yùn)用“1”來解決此問題。這道題的妙處就是利用了這一點(diǎn)，在不等式左側(cè)乘上了一個(gè)“1”，不改變式子的值，從而實(shí)現(xiàn)應(yīng)用柯西不等式來

30、證明。（1984列寧格勒數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）設(shè)2匕2R+且a+b+c=1,求證：a3b+b3c+c3a之a(chǎn)bc.9這道題與例2類似，讀者可根據(jù)例2自行證明。例310如果x,y,z之1且工+1+=2,證明:xyzxyz_x-1y-1z_1.證明：考慮柯西不等式的推論一x；x-1y-1z-1*/*xyz-.x-1y-1-zz-1.,xyz因?yàn)?+口+=3一1+1、=1xyz<xyz)所以,x+y+z之Jx-1+Jy-1+vz-1成立。分析：在做這道題之前首先要分析這個(gè)不等式有什么特點(diǎn)。首先注意到因此其中肯定能化簡(jiǎn)成這種形式。此時(shí)，我們可以猜想，如果用柯西不等式的話，那么應(yīng)用它的推論1,因此考慮柯西不

31、等式的推論一，ta；i1n之工aib根據(jù)柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式得:a1=x,b1=£,a2=y,b2xy-1但是我們添加的這一項(xiàng)a3=z,b3=.這樣，我們就可以應(yīng)用柯西不等式了z3+匕1+J是不是與工+工+1=2有關(guān)呢？當(dāng)然是有關(guān)的xyzxyzx-1y-1z-1xyzC111=3+【xyzJ=1,因此我們巧妙的應(yīng)用柯西不等式的推論1證明了這個(gè)看似復(fù)雜的難題。2、在證明恒等式中的應(yīng)用例110已知a«1b2+b$1-a2=1,求證:a2+b2=1。證明：由柯西不等式，得(aV1-b2+b+'1-a2)2<I2+(1-a2b2+(1-b25當(dāng)且僅當(dāng)二二=土式時(shí),上式

32、取等號(hào)。-1-a2a.ab=1-a2,1-b2,a2b2=1-a21b2,.a2b2=1。分析：利用柯西不等式來證明恒等式，主要是利用其取的等號(hào)時(shí)充分必要條件來達(dá)到目的的，或者是利用柯西不等式進(jìn)行夾逼的方法獲的證明。我們根據(jù)式子的特征來選擇所要增添的項(xiàng)，在給出的式子中肯定涉及了柯西不等式中的ai和b1,只要選擇合適，構(gòu)造出來的就可以是個(gè)常數(shù)。此題中的a1=a,b1=v1-b2,a2=V1-a2,b2=b。44A例2已知A,B為銳角，且cosf+嗎£=1,求證:sinBcosBjiAB=-22A證明：構(gòu)造兩組實(shí)數(shù)c0sdsinBsin2A;sinA,cosB.由柯西不等式，得:cosB

33、44A.4飛電+”小*、sinBcosB)2A2AcosA.,sinA-sinB+cosB、sinBcosB4A.4A因?yàn)轶胵+snq=i,所以有i=i是包成立的。從而等號(hào)成立的條件為:sinBcosB2“cosAsinB,2sinA2222rcosB=sinB即cosAcosB=sinAsinBcosB又因?yàn)锳,B為銳角，所以得到cosAcosB=sinAsinB,cos(A+B)=0所以AB=三.2分析：這是一道關(guān)于證明三角函數(shù)的恒等式，同樣也是利用了等號(hào)成立的條件來證明的。證明過程中最重要的就是找出柯西不等式中的兩個(gè)實(shí)數(shù)組,然后再適當(dāng)?shù)倪x取他們的順序，就很容易解決這道題了。3、在解決最值

34、問題中的應(yīng)用例115已知a,b,c£R/a+b+c=1,求J4a+1+U'4b+1+T'4c+1的最大值。解：由柯西不等式得.4a1.4b14c-1三K；4a11.4b11.4c11<J4a14b14c1X21212=21當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)，取得最大值再。3分析：這是在已知一次形式的條件下，去求根式的最大值問題。在這個(gè)問題中我們巧妙地運(yùn)用了“1”，聯(lián)想柯西不等式我們構(gòu)造這樣兩組數(shù)組：,J4b+1,J'4c+1,1,1,1,因止匕，我們可以將式子變形為：4a+141+J4b+1父1+J4c+1父1)。然后應(yīng)用柯西不等式，求得最大值，且等號(hào)成立的條件：

35、14a+1=d4b+1=<4c+1,即a=b=c=1時(shí)，取得最大值。3例216已知：設(shè)x+y+z=1,w=2x2+3y2+z2的最小值。解：由目標(biāo)函數(shù)可構(gòu)造向量a=(j2x,V3y,z)由條件可得aF=x+y+z,可設(shè)一:,1,由柯西不等式可得:fVmFy'/H1I.2.acos8+sin日=1,mn=sin8+cos-72-2262c226#2x+3y+z>./即：2x+3y+z>。.1111等號(hào)成立的條件是：尊=鄧，代入x+y+z=1即可得到6=-.11所以x=3,y=2,z=9.取得最小值工。11111111分析：這是一類求最值的題型，在已知一次形式的條件下，求

36、二次形式的最小值。同樣，我們巧妙地運(yùn)用了“1”，構(gòu)造出了柯西不等式中的兩個(gè)數(shù)組。與上一題類似。那么我們還可以用柯西不等式的向量形式來求解，上面詳細(xì)介紹了求解過程。在我查閱大量文獻(xiàn)后，了解到了在求最值問題中，有幾個(gè)類型，在本文就不一一展開說明，有興趣的可參考文獻(xiàn)16。4、在三角函數(shù)中的應(yīng)用例112(2008年浙江卷(理)若cos口+2sinu=-北，則tanot=(.11_A、一B、2C、D、-222分析：這是一道高考題，選擇題我們可以用排除法，也可以用直接法。利用cosa+2sincc=-#和sin2cc+cos2a=1求解得到since和cosx,就可以解決這個(gè)問題了，但是這種解法比較繁瑣。

37、下面我們將用柯西不等式來證明。(cosa+2sina)2<(12+22)(cos2a+sin2a)=5,又因?yàn)閏osa+2sina=-V5,所以有(-眄2=5W5恒成立，等式成立的條件是'二工,因此可得到cos二sin;tan口=2。故選B。2,2例1已知日為銳角，a,bWR,求證：(a+bf£一+一cos-sin-bsin丁=ab,sin證明：設(shè)m=-a,b,n=(cos“sin),則micosHsin9J因?yàn)閍+bcose)sin日)【coseJ(sinB)2b2所以(a+bj<2十2，當(dāng)且僅當(dāng)tanQa=cot6,b,等號(hào)成立。cos2sin/分析：待證的不

38、等式右邊是平方和的形式，且分母滿足sin%+cos2e=1,-八-一、，一'ab'因此可構(gòu)造向重m=,In=（cos9,sin6）,應(yīng)用柯西不等式的向<cos9sin6）量形式來證明。這一證明充分應(yīng)用了sin（+cos28=1這一隱含條件，我們應(yīng)當(dāng)認(rèn)真分析，廣泛聯(lián)想才能發(fā)現(xiàn)的條件，許多題目中只有恰當(dāng)?shù)乩秒[含條件，才能順利、簡(jiǎn)潔地求解。、在數(shù)列與不等式中的應(yīng)用例112已知數(shù)列圾的首項(xiàng)&=|，*=熟”住.，（D求Gn的通項(xiàng)公式;(2)證明：對(duì)任意的x>0,an-,'4-xIn=1,2,3.,(3)證明：a1+a2+.+an2n>n11X1-x23

39、n分析：本題是2008年陜西（理的）一道遞推數(shù)列與不等式綜合的壓軸題。第（1）、（2）題比較簡(jiǎn)單，我們?cè)谶@只看第（3）題的解法。在第（3）題中要應(yīng)用第（2）題中的結(jié)論來證明，是容易想到的，但是在過程中有些地方是不容易想到的，因此，如果能聯(lián)想到柯西不等式的推論即可巧妙的解決這個(gè)問題，現(xiàn)用推論四：21111n+.+之gwR,i=1,2,3.,n）.來證明。aa2a3anaa?ann一12解：由（1）可知，an=13>0,且L=1+J,由柯西不等式得:3n2an3n,、,11a2,an)(1+)>n2,所以an2naa2.an一-1十十1十a(chǎn)n1二一+之十.1+工：323naia2>

40、;,1一n1n3n故不等式得以證明。由此可見，柯西不等式雖然只是來自新課程教材的選修內(nèi)容，但是從上面的例題中可以看出，以柯西不等式為背景的題，已經(jīng)慢慢的進(jìn)入到高考試題中來，涉及到的技巧也很巧妙，經(jīng)常出沒在高考?jí)狠S題中，從這方面可以反映出一個(gè)學(xué)生的思維能力和對(duì)數(shù)學(xué)的掌握能力。因此，靈活的運(yùn)用柯西不等式求解是越來越重要了，學(xué)生掌握柯西不等式的應(yīng)用技巧也成為了必然趨勢(shì)。作為教師，對(duì)柯西不等式的應(yīng)用要引起高度重視。6、在解析幾何中的應(yīng)用22例117已知橢圓C:、+2=1與直線1：6x+8gy48=0相切，求點(diǎn)169的坐標(biāo)。解：設(shè)切點(diǎn)p（xo，yo）,則有22點(diǎn)W）在橢圓上：于巳=1,點(diǎn)p(x0,y0)

41、還在直線l上：6x0+8d3y0-48=0由柯西不等式得：48=6x08-3y0=24為243比43-"皿足十J.X0y（）當(dāng)且僅當(dāng)生=今等號(hào)成立，即y0=32x。,代入直線方程得2424.34X。=2,y0=2.故切點(diǎn)p的坐標(biāo)為2等222J分析：在高考數(shù)學(xué)試題中，圓錐曲線的題是必不可少的，而柯西不等式常常在這其中出沒。解決這樣的問題。因此，能夠靈活的運(yùn)用柯西不等式及其推論是非常重要的。本題中在構(gòu)造柯西不等式時(shí)利用了恒等式等號(hào)成立的條件。按照常規(guī)思路，相切就要求切點(diǎn)，即聯(lián)立方程組解出切點(diǎn)坐標(biāo)，但是工作量非常的大，因此如果能夠聯(lián)想到運(yùn)用柯西不等式，那么問題就會(huì)變得簡(jiǎn)單了。止匕外，柯西不

42、等式還在很多方面有應(yīng)用，如在解方程組，在平面幾何中都有著重要的應(yīng)用。在這里，本文就不在一一介紹了，如果有興趣，可查閱相關(guān)文獻(xiàn)。在上述柯西不等式的應(yīng)用中主要是圍繞高考試題中來舉例的。我認(rèn)為，在高考試題中，已經(jīng)有很多題尤其是壓軸題中涉及不等式的基本都會(huì)用到柯西不等式。因此，我查閱相關(guān)文獻(xiàn)，根據(jù)自己的理解，整理出來，供大家參考。三、柯西不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的價(jià)值體現(xiàn)1、在高中教材中的作用柯西不等式選自選修45不等式選講中的第三講柯西不等式與排序不等式。不等式選講是對(duì)以前所學(xué)的不等式內(nèi)容的拓寬、深化，通過不等式的證明、不等式的幾何意義、不等式的文化背景，從不等式的數(shù)學(xué)本質(zhì)上加以剖析，從而提高學(xué)生的邏輯思

43、維能力、分析問題、解決問題的能力。這本教材主要內(nèi)容包括絕對(duì)值不等式、平均值不等式、柯西不等式及證明不等式的基本方法。主要考查絕對(duì)值不等式的解法以及不等式的證明及其應(yīng)用。要求學(xué)生了解證明不等式的基本方法如比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等，會(huì)用這些方法證明一些簡(jiǎn)單的不等式。考查學(xué)生的推理論證能力和分析問題解決問題的能力。那么對(duì)于柯西不等式的學(xué)習(xí)，就符合本教材的目標(biāo)。因?yàn)樵诳挛鞑坏仁街刑N(yùn)藏著很多的證明方法和數(shù)學(xué)思想方法。還有柯西不等式的作用不僅僅是在這本教材中，在整個(gè)高中教材中都有著非常重要的作用。1.1 與新課標(biāo)的要求一致在數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)上，新課程標(biāo)準(zhǔn)提出了知識(shí)與技能、過程與方法

44、、情感態(tài)度與價(jià)值觀的三位一體的目標(biāo)，把過程性目標(biāo)、情感體驗(yàn)?zāi)繕?biāo)擺在與知識(shí)技能目標(biāo)同等重要的地位。把知識(shí)性目標(biāo)與發(fā)展性目標(biāo)有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)在“知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思考、解決問題、情感與態(tài)度”四個(gè)方面。注重在素質(zhì)教育目標(biāo)下關(guān)注學(xué)生的發(fā)展，關(guān)注學(xué)生的“學(xué)”，淡化了某些非數(shù)學(xué)本質(zhì)的術(shù)語(yǔ)和概念，打破了“以學(xué)科為中心”的傳統(tǒng)觀點(diǎn)，更體現(xiàn)了以人為本的人性味道。但在實(shí)際的教學(xué)過程中應(yīng)如何把握好發(fā)展性目標(biāo)，處理好3者的關(guān)系卻是數(shù)學(xué)教師面臨的又一現(xiàn)實(shí)性挑戰(zhàn)。而柯西不等式就更好地體現(xiàn)了三基的要求。在知識(shí)與技能這一方面，要現(xiàn)在不僅要求學(xué)生掌握重要公式的結(jié)構(gòu)形式，而且還理解其證明方法和幾何意義?？挛鞑坏仁骄腕w現(xiàn)的非常充分。因

45、為柯西不等式的推論、變形、推廣有很多，證明方法也有很多種。在過程與方法中也發(fā)揮的淋漓盡致。因?yàn)槠渲刑N(yùn)含了很多數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想方法如轉(zhuǎn)化法、換元法、構(gòu)造法、數(shù)形結(jié)合法等等。還有就是充分體現(xiàn)了“再創(chuàng)造”過程，因?yàn)閿?shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”過程是一種創(chuàng)新性的活動(dòng)，也是新課標(biāo)的要求，要求教師在教學(xué)中應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。柯西不等式的推導(dǎo)過程就顯示了一種“再創(chuàng)造”的過程。柯西不等式的推導(dǎo)是從它最簡(jiǎn)單的形式：二維形式進(jìn)行推導(dǎo)的。順應(yīng)學(xué)生思維展開的，然后再通過它的幾何意義得到柯西不等式的向量形式，這樣使學(xué)生更容易理解，并且也溝通了代數(shù)與幾何的聯(lián)系。那么創(chuàng)新就體現(xiàn)在柯西不等式的證明方法可謂是多種多樣。若能夠讓學(xué)生

46、自己獨(dú)立嘗試證明，這樣可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，還能使學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)成為體系，能更好的運(yùn)用、融合知識(shí)。1.2 展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在“課程基本理念”中指出“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分”。數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢(shì)，數(shù)學(xué)對(duì)推動(dòng)社會(huì)發(fā)展的作用，數(shù)學(xué)的社會(huì)需求，社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)作用，數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系，數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神。數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀。為此，高中數(shù)學(xué)課程提倡體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，并在適當(dāng)?shù)膬?nèi)容中提出對(duì)“數(shù)學(xué)文化”的學(xué)習(xí)要求，設(shè)立“數(shù)學(xué)史選講”等專題。而柯西不等式作為一個(gè)基礎(chǔ)而重要的不等式，也有

47、著它的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢(shì)。在教學(xué)過程中，作為教師，應(yīng)當(dāng)介紹柯西的一生，他是如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的，在數(shù)學(xué)方面是如何奮斗的。不僅讓同學(xué)們了解他，掌握柯西不等式在解題方面的應(yīng)用，還能了解數(shù)學(xué)文化。這樣才能更好地理解柯西不等式，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。所以說在教學(xué)上，重視柯西不等式的歷史價(jià)值，是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣不可缺少的重要課程。2、感受數(shù)學(xué)美數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)科學(xué)的本質(zhì)力量的感性和理性的顯現(xiàn)，是一種人的本質(zhì)力量通過宜人的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)的呈現(xiàn)。它是自然美的客觀反映，是科學(xué)美的核心?？挛鞑坏仁骄途哂袛?shù)學(xué)美的多種特征。古希臘著名學(xué)者畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)對(duì)數(shù)學(xué)有很深的造詣，他認(rèn)為萬物最基本的元素是數(shù)，

48、數(shù)的和諧-這就是美?？巳R因也曾說過數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是人類靈魂最獨(dú)特的創(chuàng)造。音樂能激發(fā)或撓慰情懷，繪畫能使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切。龐加萊也曾有對(duì)數(shù)學(xué)美的獨(dú)特見解：數(shù)學(xué)家們十分重視他們的方法和理論是否十分優(yōu)美，這并非華而不實(shí)的作風(fēng)，那么到底是什么使我們感到一個(gè)解答、一個(gè)證明優(yōu)美呢？那就是各個(gè)部分之間的和諧、對(duì)稱、恰到好處的平穩(wěn)。數(shù)學(xué)美來源于實(shí)踐，是反映自然界在數(shù)量關(guān)系與空間形式上目的性和規(guī)律性的和諧統(tǒng)一。人們從實(shí)踐中去尋找數(shù)學(xué)規(guī)律，去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美。教師在給同學(xué)們上課時(shí)也應(yīng)該展示出數(shù)學(xué)的美，給同學(xué)們以愉悅、興奮的感覺，讓學(xué)

49、生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，喜歡數(shù)學(xué)。但是，在現(xiàn)在的學(xué)生中有很多的學(xué)生很討厭數(shù)學(xué)，我在大學(xué)期間有做一些家教，他們就是覺得數(shù)學(xué)沒意思，很枯燥，數(shù)學(xué)太難，上課時(shí)也想聽就是聽不懂，然后沒辦法，聽著聽著就睡著了。那么這一現(xiàn)象是怎么產(chǎn)生的呢？我認(rèn)為可能是他們沒有從本質(zhì)上發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，缺少發(fā)現(xiàn)的眼睛。那么這雙眼睛就需要教師去充當(dāng)，帶領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣。那么我們?nèi)绾卧跀?shù)學(xué)教學(xué)過程中展現(xiàn)數(shù)學(xué)美呢？作為一名教師，我認(rèn)為現(xiàn)在教學(xué)中太重視應(yīng)試教育了，都是為了高考而學(xué)習(xí)，好像失去了學(xué)習(xí)的本質(zhì)。因此我認(rèn)為在我們教學(xué)時(shí)，應(yīng)該讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能感受和欣賞數(shù)學(xué)美，因?yàn)橹挥邪l(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，才會(huì)提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，才會(huì)

50、喜歡上數(shù)學(xué)，這樣成績(jī)才能有所提高。還有就是在教學(xué)時(shí)不僅要讓同學(xué)感受數(shù)學(xué)外在的美，而且還要欣賞它內(nèi)在的美。因?yàn)閿?shù)學(xué)上的許多東西，只有認(rèn)識(shí)到它的正確性，才能感覺到它的美好?！懊烙^”的數(shù)學(xué)對(duì)象，也必須進(jìn)入到“美好”的層次。美妙的感覺是需要培養(yǎng)的。因此，教師要給學(xué)生一些創(chuàng)新、探究、以至發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)真理的快樂。例如：三角形的3條高線、3條中線、3條內(nèi)角平分線都會(huì)交于一點(diǎn)，這是十分美麗，十分美好的，同時(shí)也是令人驚奇的結(jié)論。發(fā)現(xiàn)它會(huì)人讓覺得數(shù)學(xué)非常的奇妙。那么在我們教學(xué)時(shí)，先不告訴學(xué)生結(jié)果，要讓學(xué)生自己親自作圖，也可以讓同學(xué)們自己通過多媒體構(gòu)造他們的圖形，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)這些一下子看不出來的“真理”。

51、可以想象，學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)學(xué)真理該會(huì)是多么的驚喜。一旦體會(huì)到了數(shù)學(xué)的“美妙”，就會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生由衷的興趣，那么學(xué)好數(shù)學(xué)也就不是什么難事了。以下是柯西不等式體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)美。2.1簡(jiǎn)單美藝術(shù)家們追求的美中，形式美是其中特別重要的內(nèi)容，他們?cè)阡秩久罆r(shí)，常常運(yùn)用不同形式，如泰山的雄偉，華山的險(xiǎn)峻，黃山的奇特，峨眉的秀麗，青海的幽深，滇池的開闊等。數(shù)學(xué)家們也十分注重?cái)?shù)學(xué)的形式美，美國(guó)數(shù)學(xué)家柏克曾提出過一個(gè)關(guān)于審美度的公式審美度=秩序/復(fù)雜度，即人們對(duì)數(shù)學(xué)的審美感受程度，與數(shù)學(xué)表現(xiàn)出的秩序成正比，與數(shù)學(xué)表現(xiàn)出的復(fù)雜性成反比。因此，按審美度要求，數(shù)學(xué)的表現(xiàn)形式越簡(jiǎn)單就越美。而柯西不等式不僅符號(hào)簡(jiǎn)單、形式簡(jiǎn)n

52、nn單，而且語(yǔ)百表達(dá)、證明方法也簡(jiǎn)單。表達(dá)形式：Za：£b：之(£abj)2o1rj1iT-還有證明方法非常簡(jiǎn)單，非常美妙。如用構(gòu)造二次函數(shù)條證明時(shí)，f(x巨0,只需w0.證法簡(jiǎn)單巧妙。又如用向量法證明只需用向量的數(shù)量積的定義來證明，再根據(jù)cose|Mi來證明，結(jié)合圖像就更容易理解。2.2對(duì)稱、和諧美柯西不等式具有優(yōu)美的對(duì)稱形式：如柯西不等式Za21bj2>(ZaM)2、丘£近bj2>|Zab(i=1,2,.,n)、”耳工網(wǎng)耳等。雖然表達(dá)形式，問題涉及的角度不同，但是它們都非常對(duì)稱，和諧，統(tǒng)一。將(a：+a22+.+an232+b22十十bn2泛(a1

53、bl+a2b2+.+anbnf改寫成這種形式Zaj2Zbj2之a(chǎn)jbj)2(i=1,2,.,n),看起來來就不那么繁雜了。因此,有時(shí)我們可以根據(jù)研究問題中解析式結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，由一個(gè)結(jié)論迅速地得出相似結(jié)論，這不僅能縮減冗長(zhǎng)繁瑣的計(jì)算或證明過程，而且給人以對(duì)稱美的享受?？挛鞑坏仁骄哂泻椭C統(tǒng)一的形式，數(shù)學(xué)中的和諧美是指數(shù)學(xué)內(nèi)容與內(nèi)容之間、內(nèi)容與形式之間、部分與整體之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系或共同規(guī)律，從而形成本質(zhì)上的嚴(yán)謹(jǐn)與統(tǒng)一?？挛鞑坏仁骄哂卸S、三維等形式，它們都可以統(tǒng)一用一種統(tǒng)一形式來表示；而且還可以用向量的形式表達(dá)出來。3、數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)8高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中要求獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，理解

54、基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，了解概念、結(jié)論等產(chǎn)生的背景、應(yīng)用，體會(huì)其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，以及它們?cè)诤罄m(xù)學(xué)習(xí)中的作用。因此在教學(xué)過程中，教師的任務(wù)不僅僅是將數(shù)學(xué)中的定理，結(jié)論等表層的知識(shí)傳遞給學(xué)生。而應(yīng)該讓學(xué)生在掌握和理解了一定的外在知識(shí)后，進(jìn)一步去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的精髓即數(shù)學(xué)思想方法。只有這樣，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能有所提升。因此，在講解例題時(shí)，我們要將這道題的本質(zhì)，用的什么方法，什么數(shù)學(xué)思想闡述清楚。新課標(biāo)中柯西不等式的引入，將課標(biāo)的要求體現(xiàn)的淋漓盡致。因此柯西不等式在中學(xué)中的應(yīng)用中滲透了很多數(shù)學(xué)思想方法，這些數(shù)學(xué)思想方法對(duì)學(xué)習(xí)具有重要的指導(dǎo)意義。3.1 換元思想在證明柯西不等式的時(shí)候，用直

55、接法證明時(shí)有過這樣的變形：A=Zai2,B=£bi2,C=£aibi(i=1,2,.,n),即證明此式AB之C2成立。在我們之前的式子包含了很多的項(xiàng)，直接展開并比較左右兩邊大小是非常麻煩的，因此我們采取了上述換元的方法，這樣就就比較方便簡(jiǎn)潔了。還有在用構(gòu)造二次函數(shù)時(shí)，我們同樣也應(yīng)用了換元的思想。換元這一數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)方法，具有豐富的內(nèi)涵，在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常會(huì)用到這種方法。仔細(xì)體會(huì)這些內(nèi)容，挖掘這些思想方法，對(duì)我們以后的學(xué)習(xí)有重要的指導(dǎo)意義。那么在解題過程中，當(dāng)一個(gè)問題的敘述比較繁瑣，式子的結(jié)構(gòu)特征比較復(fù)雜時(shí)，我們?nèi)绻軌蛲ㄟ^分解變形，進(jìn)行適當(dāng)?shù)膿Q元，就可以將復(fù)雜的問題變成幾個(gè)簡(jiǎn)單的問題了。從而將復(fù)問題的結(jié)構(gòu)特征變得簡(jiǎn)潔、直觀、形象，這樣解決起問題效率就會(huì)提高。3.2 聯(lián)想思想聯(lián)想思想：聯(lián)想是由當(dāng)前感知的事物特征回憶起有關(guān)事物特征的相似、相近或相同的特征的心理現(xiàn)象。聯(lián)想可以溝通數(shù)學(xué)中的已知和未知、新知與就知的聯(lián)系，它不僅對(duì)掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、發(fā)展思維能力有著積極的意義，而且也有利于提高解題能力和解題速度。由此及彼的聯(lián)想，能夠拓寬我們的思路，開闊我們的視野，啟發(fā)我們的思維。縱向橫向的聯(lián)想，往往能迸發(fā)出創(chuàng)造性思維的火花。在學(xué)習(xí)過程中，我們理解基礎(chǔ)知識(shí)以后，在實(shí)際