高考專題復(fù)習(xí)第五節(jié)　指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

1、第五節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)要求-公眾號：新課標(biāo)試卷:1.掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì).2.通過具體實例,了解指數(shù)函數(shù)的實際意義,理解指數(shù)函數(shù)的概念.3.能畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象,探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.1.指數(shù)冪的概念(1)根式的概念方根的概念符號表示備注如果 xn=a ,n>1,nN*,那么x叫做a的n次方根當(dāng)n為奇數(shù)時,正數(shù)的n次方根是一個 正數(shù) ,負(fù)數(shù)的n次方根是一個 負(fù)數(shù) na0的n次方根是0當(dāng)n為偶數(shù)時,正數(shù)的n次方根有 兩個 ,它們互為 相反數(shù) ±na負(fù)數(shù)沒有偶次方根(2)兩個重要公式nan=a,n為奇數(shù),|a|=a(a0),-a(a<0),n為偶數(shù).(na

2、)n= a (注意a必須使na有意義). 2.有理數(shù)指數(shù)冪(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的表示amn= nam (a>0,m,nN*,n>1), a-mn= 1amn =1nam(a>0,m,nN*,n>1). (2)0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是 0 ,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義. (3)有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則(i)aras= ar+s (a>0,r,sQ). (ii)(ar)s= ars (a>0,r,sQ). (iii)(ab)r= arbr (a>0,b>0,rQ).

3、0;3.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域 R 值域 (0,+) 性質(zhì)過定點 (0,1) 當(dāng)x>0時, y>1 ;當(dāng)x<0時, 0<y<1 當(dāng)x>0時, 0<y<1 ;當(dāng)x<0時, y>1 在(-,+)上是 增函數(shù) 在(-,+)上是 減函數(shù) 提醒(1)當(dāng)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a的大小不確定時,需分a>1和0<a<1兩種情況進行討論.(2)指數(shù)函數(shù)的圖象恒過點(0,1),(1,a),-1,1a,依據(jù)這三點的坐標(biāo)可得到指數(shù)函數(shù)的大致圖象.知識拓展判斷指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的關(guān)系如圖所示的是指數(shù)函數(shù)

4、(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的圖象,底數(shù)a,b,c,d與1之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b>0.由此我們可得到以下規(guī)律:在第一象限內(nèi),指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a1)的圖象越高,底數(shù)越大.1.判斷正誤(正確的打“”,錯誤的打“”).(1)nan=(na)n=a.()(2)(-1)24=(-1)12=-1.()(3)函數(shù)y=a-x(a>0,且a1)是R上的增函數(shù).()(4)函數(shù)y=2x-1是指數(shù)函數(shù).()(5)若am<an(a>0,且a1),則m<n.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(新教

5、材人教A版必修第一冊P107T2改編)設(shè)a>0,將a2a·3a2表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,其結(jié)果是()A.a12B.a56C.a76D.a32答案C3.(新教材人教A版必修第一冊P115T2改編)若函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a1)的圖象經(jīng)過點2,13,則f(-1)=()A.1B.2C.3D.3答案C4.(新教材人教A版必修第一冊P115T3改編)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量原來是a件,在今后m年內(nèi),計劃使每年的產(chǎn)量比上一年增加p%,則該產(chǎn)品的產(chǎn)量y隨年數(shù)x變化的函數(shù)解析式為()A.y=a(1+p%)x(0<x<m)B.y=a(1+p%)x(0xm,xN)C.y=a(1+xp%)

6、(0<x<m)D.y=a(1+xp%)(0xm,xN)答案B5.函數(shù)f(x)=ax(a>0,a1)在區(qū)間1,2上的最大值是最小值的2倍,則a的值是()A.12或2B.12或2C.12 D.2答案B根式、指數(shù)式的化簡與求值1.0.027-13-17-2+27912-(2-1)0=. 答案-45解析0.027-13-17-2+27912-(2-1)0=0.3-1-49+531=50+103+53=-45.2.(2a23b12)(-6a12b13)÷(-3a16b56)(a>0且b>0)=. 答案4a解析(2a23b12)(-6a12b13

7、)÷(-3a16b56)=2×(-6)-3·a23+12-16b12+13-56=4a.3.化簡下列各式:(1)2350+22×214-12-(0.01)0.5;(2)a3b23ab2(a14b12)4a-13b13(a>0,b>0).解析(1)原式=1+14×4912110012=1+14×23110=1+16110=1615.(2)原式=(a3b2a13b23)12ab2a-13b13=a32+16-1+13b1+13-2-13=ab.名師點評指數(shù)冪運算的一般原則(1)有括號的先算括號里的,無括號的先進行指數(shù)運算.(2

8、)先乘除后加減,負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù).(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)的,先確定符號;底數(shù)是小數(shù)的,先化成分?jǐn)?shù);底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的,先化成假分?jǐn)?shù).(4)若是根式,則化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,盡可能用冪的形式表示,運用指數(shù)冪的運算性質(zhì)來解答.提醒運算結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)冪,形式要統(tǒng)一.指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用典例1(1)在同一平面直角坐標(biāo)系中,如果a>0且a1,那么函數(shù)f(x)=xa與g(x)=a-x在0,+)上的圖象可能是()(2)(多選題)已知實數(shù)a,b滿足等式12a=13b,則下列關(guān)系式中不可能成立的是()A.0<b<aB.a<b<0C.0<

9、a<bD.b<a<0答案(1)A(2)CD解析(1)易知f(x)=xa為冪函數(shù),g(x)=a-x=1ax為指數(shù)函數(shù).g(x)=a-x=1ax的圖象過定點(0,1),當(dāng)0<1a<1,即a>1時,g(x)是減函數(shù),f(x)=xa是下凹增函數(shù),故A選項正確,B選項錯誤;當(dāng)1a>1,即0<a<1時,g(x)是增函數(shù),f(x)=xa是上凹增函數(shù),故C、D選項錯誤.(2)畫出函數(shù)y=12x和y=13x的圖象,如圖所示:結(jié)合圖象分析a,b滿足等式12a=13b時a,b的大小關(guān)系.易知,若a,b均為正數(shù),則a>b>0;若a,b均為負(fù)數(shù),則a&l

10、t;b<0;若a=b=0,則12a=13b=1.名師點評應(yīng)用指數(shù)函數(shù)圖象的4個技巧(1)畫指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a1)的圖象,應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點:(1,a),(0,1),-1,1a.(2)已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象一般是取特殊點,判斷所給的圖象是否過這些點,若不滿足,則排除.(3)對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題,一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手,通過平移、伸縮、對稱變換得到相應(yīng)函數(shù)的圖象.當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時,應(yīng)注意分類討論.(4)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解,往往要作出相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象,運用數(shù)形結(jié)合的思想求解.1.函數(shù)y=ax-a2+a(a>0且a1)的

11、圖象不可能是()答案D當(dāng)0<a<1時,函數(shù)y=ax-a2+a為減函數(shù),取x=0,則y=a0-a2+a=-a-122+54,又0<a<1,所以1<-a-122+5454,故C中圖象可能,D中圖象不可能;當(dāng)a>1時,函數(shù)y=ax-a2+a為增函數(shù),取x=0,則y=a0-a2+a=-a-122+54,又a>1,所以-a-122+54<1,故A、B中圖象可能.2.函數(shù)f(x)=ax-b的圖象如圖所示,其中a,b為常數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.a>1,b<0 B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0D.0<

12、a<1,b<0答案D由題中f(x)=ax-b的圖象可以觀察出,函數(shù)f(x)=ax-b在定義域上單調(diào)遞減,所以0<a<1.函數(shù)f(x)=ax-b的圖象是將f(x)=ax的圖象向左平移得到的,所以b<0.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用角度一比較指數(shù)式的大小典例2(2020四川成都七中高三模擬)已知a=243,b=425,c=2513,則()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b答案Aa=243=1613,b=425=1615,c=2513,因為冪函數(shù)y=x13在R上單調(diào)遞增,所以a<c,因為指數(shù)函數(shù)y=16

13、x在R上單調(diào)遞增,所以b<a,即b<a<c.角度二解簡單的指數(shù)方程或不等式典例3設(shè)函數(shù)f(x)=4x-14x+1.(1)解不等式f(x)<13;(2)求函數(shù)f(x)的值域.解析(1)因為f(x)=4x-14x+1=1+-24x+1<13,所以4x+1<3,即22x<21,所以x<12,即不等式的解集為-,12.(2)因為f(x)=1+-24x+1,4x>0,所以4x+1>1,-2<-24x+1<0,-1<1+-24x+1<1,所以f(x)的值域為(-1,1).角度三與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性典例4函數(shù)f(

14、x)=12-x2+x+1的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.-,12B.-,1-52C.12,1+52D.12,+答案C由-x2+x+10得1-52x1+52,f(x)的定義域為1-52,1+52.y=-x2+x+1在-,12上單調(diào)遞增,在12,+上單調(diào)遞減,t=-x2+x+1在1-52,12上單調(diào)遞增,在12,1+52上單調(diào)遞減,又y=12t在R上單調(diào)遞減,f(x)=12-x2+x+1的單調(diào)遞增區(qū)間為12,1+52.角度四指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題典例5已知定義在R上的函數(shù)f(x)=b-2x2x+1+a是奇函數(shù).(1)求實數(shù)a,b的值;(2)若對任意實數(shù)x,不等式f(4x-k·2x)+f(22x+

15、1-k)<0恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.解析(1)定義在R上的函數(shù)f(x)=b-2x2x+1+a是奇函數(shù),f(0)=0,解得b=1.由f(-1)=-f(1),得b-121+a=b-24+a,解得a=2.故實數(shù)a=2,b=1.(2)由(1)知f(x)=1-2x2x+1+2=-(2x+1)+22(2x+1)=12+12x+1,y=2x+1在R上單調(diào)遞增,且y>1,f(x)在R上單調(diào)遞減.不等式f(4x-k·2x)+f(22x+1-k)<0恒成立即不等式f(4x-k·2x)<-f(22x+1-k)恒成立,f(x)是奇函數(shù),又是單調(diào)遞減函數(shù),4x-k

16、3;2x>k-22x+1,可得3·4x-k·2x-k>0恒成立,令t=2x(t>0),則3t2-kt-k>0(t>0)恒成立,若k60,則-k0,即k0;若k6>0,則<0,即k2+12k<0,此時無解.綜上,實數(shù)k的取值范圍是(-,0.名師點評指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用問題的解題策略(1)比較大小問題.常利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及中間值(0或1)比較大小.(2)解簡單的指數(shù)型不等式要充分利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),將指數(shù)型不等式轉(zhuǎn)化為一次、二次不等式解決.(3)指數(shù)函數(shù)的綜合問題.要把指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)同函數(shù)的其他性質(zhì)(如奇偶性、周期性)相

17、結(jié)合,同時要特別注意,底數(shù)不確定時,應(yīng)對底數(shù)進行分類討論.1.(多選題)已知函數(shù)f(x)=2x-12x+1,則下列說法正確的是()A.f(x)的圖象關(guān)于原點對稱B.f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱C.f(x)的值域為(-1,1)D.x1,x2R,且x1x2,f(x1)-f(x2)x1-x2<0恒成立答案ACf(x)=2x-12x+1的定義域為R,關(guān)于原點對稱,又f(-x)=2-x-12-x+1=1-2x1+2x=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù),圖象關(guān)于原點對稱,故A選項中說法正確;f(1)=2-12+1=13,f(-1)=12-112+1=13f(1),所以f(x)的圖象不關(guān)于y軸對稱,故B

18、選項錯誤;f(x)=2x-12x+1=121+2x,令1+2x=t,則t(1,+),y=f(x)=1-2t,易知1-2t(-1,1),所以f(x)的值域為(-1,1),故C選項中說法正確;函數(shù)t=1+2x在R上單調(diào)遞增,且y=1-2t在t(1,+)上單調(diào)遞增,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,可知f(x)=1-21+2x在R上單調(diào)遞增,故x1,x2R,且x1x2,f(x1)-f(x2)x1-x2<0不成立,故D選項中說法錯誤.2.(2020江西南昌模擬)函數(shù)y=134x-x2的單調(diào)增區(qū)間是()A.1,2 B.1,3C.(-,2D.2,+)答案Dy=134x-x2=3-4x+x2,y1=3x在R上單調(diào)

19、遞增,y2=x2-4x在(-,2)上單調(diào)遞減,在2,+)上單調(diào)遞增,y=3-4x+x2在(-,2)上單調(diào)遞減,在2,+)上單調(diào)遞增.故選D.A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.(2020山東濟寧高三二模)已知函數(shù)g(x)=3x+t的圖象不經(jīng)過第二象限,則t的取值范圍為()A.t-1B.t<-1C.t-3D.t-3答案A2.設(shè)x>0,且1<bx<ax,則()A.0<b<a<1B.0<a<b<1C.1<b<a D.1<a<b答案C3.函數(shù)y=x+a與y=ax,其中a>0,且a1,在同一直角坐標(biāo)系中它們的大致圖象有可能是()答案D

20、4.(2020安徽淮北一中高三模擬)設(shè)a=log49,b=3-1.1,c=827-13,則()A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b答案C5.(多選題)(2020山東聊城模擬)已知函數(shù)f(x)=2-x-2x,有下列四個結(jié)論,其中正確的結(jié)論是()A.f(0)=0B.f(x)是奇函數(shù)C.f(x)在(-,+)上單調(diào)遞增D.對任意的實數(shù)a,方程f(x)-a=0都有解答案ABDf(x)=2-x-2x,則f(0)=120-20=0,故A選項正確;f(-x)=2x-2-x=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù),故B選項正確;f(x)=12x-2x

21、在R上是減函數(shù),故C選項錯誤;當(dāng)x-時, f(x)+;當(dāng)x+時,f(x)-,即f(x)的值域是(-,+),它又是R上的減函數(shù),因此對任意實數(shù)a,f(x)=a都有解,故D選項正確.6.化簡:(a23·b-1)-12·a-12·b136a·b5=. 答案1a7.已知0x2,則函數(shù)y=4x-12-3×2x+5的最大值為. 答案52解析設(shè)2x=t,0x2,則1t4,y=4x-123×2x+5=12t23t+5=12(t-3)2+12,故當(dāng)t=1,即x=0時,函數(shù)有最大值52.8.化簡下列各式:(1)(0.06415)-2.

22、5233338-0;(2)56a13·b-2·(-3a-12b-1)÷(4a23·b3)12.解析(1)原式=641 00015-5223278131=410315×(-52)×23323131=5232-1=0.(2)原式=-52a-16b-3÷(4a23·b3)12=54a-16b-3÷(a13b-32)=-54a-32·b-23=54·1ab3=5ab4ab2.9.設(shè)函數(shù)f(x)=1210-ax,a是不為零的常數(shù).(1)若f(3)=12,求使不等式f(x)4的x的取值范圍;(2)

23、當(dāng)x-1,2時, f(x)的最大值是16,求a的值.解析(1)由f(3)=12得a=3,不等式f(x)4可化為23x-1022,x4,故x的取值范圍是4,+).(2)當(dāng)a>0時,f(x)=2ax-10是增函數(shù),所以在-1,2上,f(x)的最大值為f(2)=22a-10=16,解得a=7;當(dāng)a<0時,f(x)=2ax-10是減函數(shù),f(x)的最大值為f(-1)=2-a-10=16,解得a=-14.綜上,a=-14或a=7.B組能力拔高10.若函數(shù)f(x)=12x,x<1,a+14x,x1的值域為(a,+),則a的取值范圍為()A.14,+B.14,12 C.12,1D.14,1

24、答案B易知當(dāng)x<1時,f(x)=12x12,+,當(dāng)x1時,f(x)=a+14xa,a+14,函數(shù)f(x)的值域為(a,+),a+1412,a12,即a14,12.11.(多選題)定義運算a􀱇b=a(ab),b(a<b),設(shè)函數(shù)f(x)=1􀱇2-x,則下列命題正確的有()A. f(x)的值域為1,+)B. f(x)的值域為(0,1C.使不等式f(x+1)<f(2x)成立的x的取值范圍是(-,0)D.使不等式f(x+1)<f(2x)成立的x的取值范圍是(0,+)答案AC由函數(shù)f(x)=1􀱇2-x,得f(x)=1(12-x

25、),2-x(1<2-x),即f(x)=2-x(x<0),1(x0),作出函數(shù)f(x)的圖象如下,根據(jù)函數(shù)圖象可知f(x)的值域為1,+).故A選項正確,B選項錯誤;若不等式f(x+1)<f(2x)成立,則由函數(shù)圖象可得,2x<x+10,即x-1或2x<0,x+1>0,即-1<x<0.所以不等式f(x+1)<f(2x)成立時,x<0.故C選項正確,D選項錯誤.故選AC.12.(多選題)若實數(shù)a,b滿足2a+3a=3b+2b,則下列關(guān)系式中可能成立的是()A.0<a<b<1B.b<a<0C.1<a<

26、;b D.a=b答案ABD設(shè)f(x)=2x+3x,g(x)=3x+2x,作出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖,由圖象可知,當(dāng)x<0時, f(x)<g(x),所以2a+3a=3b+2b時,b<a<0,故B正確;當(dāng)x=0或x=1時, f(x)=g(x),所以2a+3a=3b+2b時,a=b,故D正確;當(dāng)0<x<1時, f(x)>g(x),所以2a+3a=3b+2b時,0<a<b<1,故A正確;當(dāng)x>1時, f(x)<g(x),所以2a+3a=3b+2b時,1<b<a,故C錯誤.13.(2019江蘇啟東高三期末)已知不等式N<3x-2x3x+2x<M對任意xR恒成立,其中M,N是與x無關(guān)的實數(shù),則M