數(shù)乘向量及坐標運算

1、第38課 數(shù)乘向量及坐標運算考試目標主詞填空1.實數(shù)與向量的積a與a同向的充要條件是>0.a與a反向的充要條件是<0.·(a+b)=a+b·(a-b)=a-b設a=(x,y),則a=(x,y).2.向量的坐標運算設a=(x1,y1),b=(x2,y2)a+b=,a-b=,a=bx1=x2且y1-y2,ab(a0,b0)x1y2-x2y1=0.3.三點共線的充要條件A、B、C三點共線存在R,使=.4.平面向量的基本定理如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a有且只有一對數(shù)1,2,使a=1e1+2e2.題型示例點津歸納【例1】設e

2、1、e2是不共線的向量，已知向量=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A、B、D三點共線，求k值.【解前點津】因A、B、D三點共線，故存在實數(shù),使=由此等式可得關于,k的方程組，從而可求得k值.【規(guī)范解答】由條件得:=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2.因A、B、D三點共線，故存在實數(shù),使=,所以2e1+ke2=(e1-e2)=2且k=-4,k=-8.【解后歸納】利用兩個向量共線的充要條件列方程是常用方法.例2題圖【例2】一艘船以5km/h速度向垂直于對岸方向行駛，航船實際航行方向與水流方向成30°角，求水流速度與船的實際速度.【解前點津】用向量分別表

3、示水流速度，船向垂直于對岸行駛的速度，船實際速度，將這三個向量的始點歸結在一處,利用圖形特點求解.【規(guī)范解答】如圖，表示水流速度，表示船向垂直于對岸行駛的速度,表示船實際速度，AOC=30°,|=5 km/h.OACB為矩形，|=|·cot30°=|·cot30°=5=8.66(km/h),|=10km/h.所以，水流速度為8.66km/h,船實際速度為10km/h.【解后歸納】有些物理量本身就可用向量表示.熟悉物理知識背景，數(shù)形結合，是應用向量工具的一項基本功.【例3】(1)證明:三個兩兩不平行的向量a,b,c可以構成一個三角形(每個向量的始

4、點重合于別處二個向量中的一個向量的終點)的充要條件是:a+b+c=0.(2)證明三角形的三個中線向量可以構成一個三角形.【解前點津】利用(1)的結論證明(2).用三條邊所在的向量分別表示三條中線.通過運算可獲結論.【規(guī)范解答】(1)充分性:a+b+c=0,a+b=-c根據(jù)三角形法則,三個兩兩不平行的向量a、b、c可以構成一個三角形;必要性:向量a、b、c可以構成一個三角形，不妨設在ABC中,=a,=b,=c,根據(jù)多邊形法則,+=0,a+b+c=0.例3題圖(2)如圖，D、E、F分別是ABC中三邊的中點，因為=+=+,=+=+,=+=+BC.將上述三式相加得,+=(+)=·0=0.【解

5、后歸納】熟練應用“三角形”法則以及“多邊形法則”，是必須具備的一項“基本功”.【例4】用向量法證明:三角形三中線交于一點.【解前點津】在ABC中,G是AD與BE的交點,連接AB的中點F與G及GC,欲證三中線共點，只須證明:G在中線CF上，從而只須證明與共線.例4題圖【規(guī)范解答】=+,=+,=(+)+(+)又=+,=+,兩式相減得:+=(+)即(+)=(+)代入消去+得=(+)+(+)=(+)=+,=+,2=(+)比較得=2,C、G、F在一條直線上，故G在中線AF上.【解后歸納】證明“線共點”或“點共線”問題，常轉(zhuǎn)化為向量共線的問題.對應訓練分階提升一、基礎夯實1.設e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個

6、非零向量，則有()A.e1e2B.|e1|=|e2|C.同一平面內(nèi)的任一向量a,都有a=e1+e2(,R) D.若e1與e2不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量a,都存在實數(shù),使a=e1+e22.已知a=e1-2e2,b=2e1+e2,且e1,e2是不共線的非零向量，則a+b與c=6e1-2e2的關系是()A.不共線B.共線C.相等D.無法確定3.已知向量e1,e2不共線，實數(shù)x,y滿足:(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,則x-y的值等于()A.3B.-3C.0D.24.若a,b不共線,且a+b=0(,R),則()A.·=1B.·=-1 C.=0D.,不確定

7、5.已知a,b不共線，且c=1a+2b(1,2R),若c,b共線,則1=()A.2B.1C.-1D.06.若O、A、B為平面上三點，C為線段AB的中點，則()A.= B.=()C.=2D.=()7.已知=(x,y),點B的坐標為(-2,1),則的坐標為 ()A.(x-2,y+1)B.(x+2,y-1) C.(-2-x,1-y)D.(x+2,y+1)8.已知a=(3,-1),b=(-1,2),則-3a-2b等于()A.(7,1)B.(-7,-1) C.(-7,1) D.(7,-1)9.已知點B的坐標為(m,n),的坐標為(i,j),則點A的坐標為( )A.(m-i,n-j) B.(i-m,j-n

8、) C.(m+i,n+j)D.(m+n,i+j) 二、思維激活10.已知平行四邊形ABCD的頂點:A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6)則第四個頂點D的坐標是.11.已知向量a=(3,-2),b=(-2,1),c=(7,-4),若c=a+b,則=,=.12.已知a=(1,2),b=(-3,2),若(ka+b)(a-3b),則實數(shù)k=.13.已知=i-2j,=i+m·j,其中i、j分別是x軸、y軸正方向上的單位向量,若A、B、C三點共線，則實數(shù)m=.三、能力提高14.在平行四邊形ABCD中.(1)設對角線=a,=b,求:,;(2)設邊和的中點為M、N,且=p,=q,求,.15.

9、設a=,B(1,0),b=(-3,4),c=(-1,1)且a=3b-2c,求點A的坐標.16.用向量證明:平行四邊形對角線互相平分.17.在平行六面體ABCD-EFGH中,證明:+=2.第17題圖第2課數(shù)乘向量及坐標運算習題解答1.D直接使用平面向量基本定理.2.Ba+b=3e1-e2=·c.3.A由條件:3x-4y=6且3=2x-3y,解之:x=6且y=3故x-y=3.4.C5.D令c=x·b則由x·b=1a+2b得x=2且1=0.第6題圖解6.B如圖所示:=7.C,所以,=-=(-2,1)-(x,y)=(-2-x,1-y).8.B-3a-2b-3(3,-1)-

10、2(-1,2)=(-9,3)+(+2,-4)=(-7,-1).9.A=-=(m,n)-(i,j)=(m-i,n-j).10.設D(x,y),=,(-1,-2)-(3,-1)=(x,y)-(5,6)故(-4,-1)=(x-5,y-6).由得:故D點坐標是(1,5).11.由(7,-4)=(3,-2)+·(-2,1)得:7=3-2,且-4=-2+解之:=1,=-2.12.ka+b=k·(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2);a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),10·(2k+2)=-4(k-3)k=-.13.因,=(1,m)故由得-2=m即m=-2.14.(1)如圖(1)，記平行四邊形ABCD的對角線交點為0,因平行四邊形對角線互相平分，所以:第14題圖解（1）=+=a-b;=+=b+a;=+=-a+b;第14題圖解(2)=+=-b-a.(2)如圖(2)所示,=+=+q-=+q又=+=-+(-p)+=-p解構成的方程組得:=q-p,=q-p.15.設A(x,y),則=(1-x,-y)代入a=3b-2c得:(1-x,-y)=3(-3,4)-2(-1,1),故.16.如圖，AC與BD是平行四